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第5章《一次函数》单元测试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
1．下列图形中不能表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若正比例函数的图象经过点，且，则它的表达式为（ ）
A． B． C． D．
3．若把一次函数的图象向上平移2个单位长度，得到的图象的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
4．某书店对外租赁图书，收费办法是：每本书在租赁后的前两天每天按元收费，以后每天按元收费（不足一天按一天计算），则租金y（元）与租赁天数之间的关系式为（ ）
A． B． C． D．
5．直线与x轴交于点，下列说法正确的是（ ）
A．
B．直线上两点，，若，则
C．直线经过第四象限
D．关于x的方程的解为
6．如图，一次函数与的图象交于，则关于，的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
7．物理实验课上，同学们利用如图甲所示的装置探究某种晶体熔化时温度变化的规律，他们将实验数据记录后，绘制了如图乙所示的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．实验开始时，晶体的温度为 B．加热后，晶体开始熔化
C．晶体熔化过程持续了 D．该晶体的熔点是
8．正方形与正方形按照如图所示的位置摆放，其中点在上，点、、在同一直线上，且，，正方形沿直线向右平移得到正方形，当点与点重合时停止运动，设平移的距离为，正方形与正方形的重合部分面积为，则与之间的函数图象可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9．请写一个图象经过点的一次函数解析式： ．
10．点，点是一次函数图象上的两个点，若，则 （填“>”或“<”）．
11．如图，点A，B，C，D为平面直角坐标系中的四个点，一次函数的图象不可能经过点 ．
12．已知直线经过点，那么该直线与坐标轴围成的三角形的面积为
13．在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移6个单位长度，则平移后的函数表达式为 ．
14．控制变量法是生物学实验中常用的一种方法，某实验室研究人员配制了一种营养素，在控制其他因素不变的情况下，记录了时该营养素不同的用量与幼苗的生长速度，研究表明在一定用量范围内，幼苗的生长速度(/天)是该营养素用量()的一次函数( ，部分数据如下表所示：
营养素用量()
幼苗的生长速度(/天)
若营养素用量为，则幼苗的生长速度为 /天．
15．已知直线与直线的交点在轴上，则的值是 ．
16．小颖家，小亮家与学校在同一直线上且位于学校两侧，早上两人同时从家里出发去学校，走了分钟后，小颖以倍的速度跑向学校，小亮以倍的速度跑向学校，两人同时到达学校，两人各自离家的距离和他们所用时间的图象如图所示，请问下列结论正确的是 ．
①小颖家到学校距离比小亮家到学校的距离远；
②；
③加速后，，；
④两人从家出发分钟时，相距米．
三、解答题：本题共9小题，共68分。
17．若函数是关于x的正比例函数，求的值．
18．已知一次函数（为常数，）和．当时，求两个函数图像的交点坐标．
19．某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，水费实行阶梯收费．居民每月应交水费（单位：元）与用水量（单位：吨）之间的函数关系如图所示．
(1)求居民每月应交水费（单位：元）与用水量（单位：吨）之间的函数表达式．
(2)某户居民5月份共交水费65元，则该户居民5月份共用水多少吨？
20．如图所示的图像反映的过程是：小强星期天从家跑步去体育场，在那里锻炼了一会儿后又走到文具店去买笔，然后步行回家，其中表示时间，表示小强离家的距离，根据图像回答下列问题．

(1)体育场距文具店多远？
(2)小强在文具店逗留了多长时间？
(3)小强从文具店回家的平均速度是多少？
21．如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与轴、轴交于点、两点．
(1)求出点和点的坐标；
(2)点在直线上（不与重合），当的面积等于的面积时，求出点的坐标；
22．2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元．
(1)求甲、乙两种路灯的单价；
(2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少．
23．【材料阅读】
二元一次方程有无数组解，如：，，，，如果我们将方程的解看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示，探究发现：以方程的解为坐标的点落在同一条直线上，如图1所示，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象．
【问题探究】
（1）请在图2中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象，并直接写出该方程组的解为___________；
（2）已知关于，的二元一次方程无解，请在图3中画出符合题意的两条直线，设方程①图象与，轴的交点分别是、，方程②图象与，轴的交点分别是、，计算的度数．
【拓展应用】
（3）图4中包含关于，的二元一次方程组的两个二元一次方程的图象，请直接写出该方程组的解___________
24．在一条笔直的公路上依次有三地．甲、乙两车同时出发，甲车从地匀速行驶到地，停留1小时后按原路原速返回到地；乙车从地匀速行驶到地．在行驶的过程中，甲、乙两车之间的距离（千米）与甲车行驶时间（小时）之间的函数图象如图所示，解答下列问题：
(1)两地的距离为___________千米，甲车的速度为___________千米/时；
(2)求甲车从地行驶到地的过程中，两车距离（千米）与行驶时间（小时）之间的函数解析式：
(3)请直接写出两车出发多少小时甲距B地的距离是乙距B地距离的2倍．
25．在平面直角坐标系中，点，，，，并且实数a，b满足：．
(1)直接写出点A坐标________，点B坐标________，点C坐标________；
(2)如图1，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度在射线AB上向右运动，运动时间为t秒，射线PC交x轴于E点，同时点Q从点D出发，以每秒1个单位的速度向上运动，轴．
①当时，求三角形EPQ的面积；
②在①条件下，将线段平移至线段，使点M、N分别在坐标轴上，且点Q对应M点，点P对应N点，线段与交于点T，直接写出T点坐标________．
参考答案
一、选择题
1．D
【分析】本题主要考查了函数的概念，熟练掌握对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，是解题的关键．
根据函数的概念：对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，逐项判断即可．
【详解】解：A．对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，不符合题意．
B．对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，不符合题意．
C．对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，不符合题意．
D．对于自变量x的每一个值，因变量y有2个值与它对应，所以y不是x的函数，符合题意．
故选：D．
2．A
【分析】本题考查反比例函数解析式，先将，代入得出，再求出，根据题意可知：，进而得出，即可得出，求出答案即可．
【详解】解：∵正比例函数的图象经过点，
∴，
∵，
∴，
根据题意可知：，
∴，
∴，
∴
故选：A．
3．D
【分析】本题考查了一次函数图象的平移，其规则是左加右减，上加下减，掌握平移规则是解题的关键；根据平移规则即可求解．
【详解】解：∵一次函数的图象向上平移2个单位长度，
∴平移的图象的解析式是，
即；
故选：D．
4．D
【分析】本题主要考查了列函数关系式，理解题意、弄清量之间的关系成为解题的关键．
分别计算出前2天的费用和后面天的费用，二者求和即可解答．
【详解】解：由题意得，．
故选：D．
5．D
【分析】本题主要考查了一次函数的图象和系数的关系、一次函数与一元一次方程等知识点，掌握一次函数的性质是解题的关键．
根据一次函数的性质、一次函数与方程的关系逐项判断即可．
【详解】解：A．由与x轴交于点，则，
解得，故A错误，不符合题意；
B．由，则y随x的增大而增大，直线上两点，，
若，则，故B错误，不符合题意；
C．由、，则直线经过一、二、三象限，故C错误，不符合题意；
D．由直线与x轴交于点，
则当时，函数，
即关于x的方程的解为，故D正确，符合题意．
故选：D．
6．C
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)，一次函数的平移， 利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
【详解】解：∵一次函数与的图象交于点，
一次函数与的图象向上平移1个单位得到一次函数与，
∴一次函数与的图象交于点，
∴关于的方程组的解为，
故选：C．
7．C
【分析】本题考查了函数图象，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据函数图象的信息，且结合选项具体问题进行分析，即可作答．
【详解】解：由图乙可知，实验开始时，晶体的温度为，故选项A不符合题意：
加热后，该晶体开始熔化，故选项B不符合题意；
晶体熔化过程持续了：，故选项C符合题意：
温度到后晶体开始熔化，故熔点是，故选项D不符合题意．
故选C．
8．A
【分析】本题主要考查了动点函数图象问题，类似于这类要选择符合题意的函数图象时，不一定要写出函数关系式．根据面积的变化情况一一比较即可．
【详解】解：由题可得：正方形面积为：，
，
最大重合面积为，
B选项，不符合题意；
正方形沿直线向右平移得到正方形，当点G与点C重合时停止运动，
开始时重合面积为0，最后的重合面积为0，
C、D不符合题意；A选项符合题意；
故选：A．
二、填空题。
9．（答案不唯一）
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握知识点是解题的关键．
设解析式为，代入点，求出，即可写出符合题意的答案．
【详解】解：设解析式为，
代入点，
则，
∴答案可以为：，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了一次函数的性质．解题的关键在于明确一次函数，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小．
根据一次函数时，随的增大而减小进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴随的增大而减小，
∵，
∴，
故答案为：．
11．A
【分析】本题考查了一次函数，解题关键是掌握一次函数的图象和性质：①当，若，则图象经过一、二、三、象限；若，则图象经过一、三、四象限②当时，若，则图象经过一、二、四象限；若，则图象经过二、三、四象限．根据一次函数的图象与性质进行解答即可．
【详解】解：一次函数，
一次函数图象经过第一、二、三象限，
点A在第四象限，
一次函数的图象不可能经过点A，
故答案为：A．
12．
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，求出当时，，再结合三角形面积公式计算即可得解，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：在直线中，当时，，
∵直线经过点，
∴该直线与坐标轴围成的三角形的面积为，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了一次函数图象的平移，根据平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】解：将函数的图象向上平移6个单位长度，则平移后的函数表达式为，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查一次函数的应用．利用待定系数法求得解析式．然后将代入，即可求解．
【详解】解：设幼苗的生长速度(/天)是该营养素用量()的函数关系式为：
代入得
解得：
∴
当时，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查一次函数的交点问题，由直线与直线的交点在轴上可知当时函数值相等，得到，然后代入化简即可．推导知时函数值相等是解题的关键．
【详解】解：当时，，，
∵直线与直线的交点在轴上，
∴，
∴．
16．②③
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键．
①观察图象判断即可；
②根据速度路程时间求出加速前小亮的速度，从而求出其加速后的速度，再根据路程速度时间求出的值即可；
③设加速前，小颖的速度为米/分钟，则加速后的速度为米/分钟，根据小颖加速前后的路程之和为列关于的方程并求解，从而求出其加速后的速度即可；
④计算两人前12分钟的路程差即可．
【详解】解：小颖家到学校距离与小亮家到学校的距离相等，
①不正确，不符合题意；
加速前小亮的速度为（米/分钟），则加速后小亮的速度为（米/分钟），
（米，
，
②正确，符合题意；
设加速前，小颖的速度为米/分钟，则加速后的速度为米/分钟，
则，
解得，
（米/分钟），
加速后小颖的速度是250米/分钟，
由①可知，加速后小亮的速度为200米/分钟，
③正确，符合题意；
两人从家出发12分钟时，相距（米，
④不正确，不符合题意．
故答案为：②③．
三、解答题。
17．解：函数是关于的正比例函数，
，且，
．
18．解：当时，，
令，则，
解得，
当时，，
当时，两个函数图象的交点坐标为．
19．（1）解：当时，设与的函数表达式为．
点（10，25）在该函数图象上，
，
解得，
即当时，与的函数表达式为．
当时，设与的函数表达式为，
则解得
即当时，与的函数表达式为．
综上所述，与的函数表达式为
（2），
将代入，得，
解得．
答：该户居民5月份共用水20吨．
20．（1）解：由图像看出体育场距文具店（千米）．
（2）解：由图像看出小强在文具店逗留了（分）．
（3）解：文具店到家的距离是千米，小强回家的时间为分钟，
∴小强从文具店回家的平均速度是（千米/分）．
21．（1）解：在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B两点，
令，则；令，则，
∴，；
（2）解：设，
∴，
∵的面积等于的面积，
∴，
解得（舍）或，
∴．
22．（1）解：设甲、乙两种路灯的单价分别为元，根据题意得，
解得：
答：甲、乙两种路灯的单价分别为，元
（2）解：设购买甲种路灯盏，则购买乙种路灯盏，根据题意得，
解得：
设购买费用为元，根据题意得，
∵
∴当取得最大值时，取得最小值，
∴时，（盏），
即购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少，
答：购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少．
23．解：（1）如图所示，即为所求；
由图象可知，直线与直线交于点，
∴同时是方程和方程的解，
∴是方程组的解；
（2）∵方程组无解，
∴直线与直线没有交点，
∴直线与直线平行，
在方程中，当时，，
∴直线经过点，
如图所示，直线和直线即为所求；
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）如图所示，
在方程中，当时，则，即此时，
∴是方程的解，即直线经过点；
∴直线为直线或直线中的一条，
把代入方程中，左边，方程左右两边不相等，
∴不是方程的解，即直线不经过点，
∴直线即为直线
∴直线为直线，
在方程中，当时，则，解得，
∴是方程的一个解，
∵直线与直线的交点横坐标为3，
∴直线与直线的交点坐标为，
∴二元一次方程组的解为，
故答案为：．
24．（1）解：由函数图象可得，当两车都未出发时，两车相距千米，
∴两地的距离为千米；
由函数图象可得当甲行驶3小时时到达A地，
∴甲车的速度为千米/小时；
（2）解：由（1）可知， 乙车的速度为千米/小时，
从甲开始从B地出发到甲从A地出发时，此时一共经过小时，
∴甲车从地行驶到地的过程中，两车距离（千米）与行驶时间（小时）之间的函数解析式为；
（3）解：当甲从B地向A地运动时，则，解得；
当甲从A向C地出发且乙没有经过B地时，则，此时方程无解；
当甲从A向C地出发且甲没有经过B地，但乙经过了B地时，则，解得；
综上所述，两车出发3小时或小时时，甲距B地的距离是乙距B地距离的2倍．
25．（1）解：∵实数a，b满足：，
∴，，解得：，，
∵点，，，，
∴，，，，
故答案为：，，；
（2）①当时，
∵动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度在射线AB上向右运动，运动时间为t秒，
∴当在轴的左边时，如图，
∵，，，
∴轴，到轴的距离为，到的距离为，
∴，
∵射线交x轴于E点，轴，
∴，
∴，解得：（不符合）；
当在轴的右边时，如图，
∵，，，
∴轴，到轴的距离为，到的距离为，
∴，
∵射线交x轴于E点，轴，
∴，
∴，解得：，
∵同时点Q从点D出发，以每秒1个单位的速度向上运动，轴，，
∴当时，，，，
如图，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，过点作轴于点，则四边形是矩形，
∴
；
②当在轴的正半轴，在轴的正半轴时，如图，
如图，交于点，交于点，
∵轴，
∴，
∵是由平移后得到的，
∴，
∴，
∴，
又轴，
∴，
∴，
∴，
，，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∵，在直线上，
∴，解得：,
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
，解得：，
∴；
当在轴的负半轴，在轴的负半轴时，如图，
同理可证明：，
∴，
，，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
，解得：；
∴，
综上所述，点的坐标为或，
故答案为：或．

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