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第1章《有理数》、第2章《有理数的运算》复习与检测试卷
全卷共三大题，24小题，满分为120分．
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．年国际数学日的主题是“数学·艺术·创意”，的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
2． 2025年5月4日，平陆运河青年枢纽电站顺利完成并网调试，具备发电条件．
该电站设计年发电量1300万千瓦时，年减排二氧化碳1.17万吨．
数据13000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
如图，浙教版初中数学课本长度约为，该近似数精确到（ ）
A．百分位 B．十分位 C．个位 D．十位
某次数学测试的平均成绩是80分，小王得了85分，记作分，小李的成绩记作分，
表示得了（ ）分
A．67 B．62 C．72 D．83
已知，，，则a、b、c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6. 两数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
天天在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，输入一个有理数x，
则可相应的输出一个结果y．若输入x的值为，则输出的结果y为（ ）
A．7 B．6 C．8 D．12
如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点，
将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是（ ）
A．1 B． C．1或 D．1或
已知，则代数式的值不可能为（ ）
A． B． C． D．
已知整数满足下列条件：，
依此类推，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11．比较下列各对数的大小： ．
12．一天早晨的气温是，中午上升了，半夜又下降了，半夜的气温是 ．
13．若，则 ．
14．按如图所示的程序计算，若开始输入的数为0，则最后输出的结果为 ．
如图，在数轴上，点A，点B表示的数分别是，10，点P以个单位秒的速度从A出发，
沿数轴向右运动，同时点Q以4个单位秒的速度从点B出发沿数轴在B，A之间往返运动．
当点P到达点B时，点Q表示的数是 ．
有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入的值是3，第1次输出的结果是16，
第2次输出的结果是8，第3次输出的结果是4，依次继续下去，第2024次输出的结果是________
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．计算．
(1) (2)
18. 已知a，b均为有理数，现我们定义一种新的运算，规定：a#b＝a2+a×b﹣5，
例如：1#2＝12+1×2﹣5＝﹣2.
（1）求（﹣2）#（﹣3）的值；
（2）若（﹣3）#m＝10，请直接写出m的值.
学习有理数的乘法后，老师给同学们这样一道题目，计算，
看谁算得又快又对，有两位同学的解法如下
小明：原式
小军：原式
（1）对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？
（2）上面的解法对你有何启发，你认为还有更好的方法吗？如果有，请把它写出来；
（3）用你认为最合适的方法计算
有8筐白菜，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，
称后的纪录如下：
回答下列问题：
(1)这8筐白菜中最接近标准重量的这筐白菜重__________千克；
(2)与标准重量比较，8筐白菜总计超过或不足多少千克？
(3)若白菜每千克售价元，则出售这8筐白菜可卖多少元？
21. 请你仔细阅读下列材料：计算：
解法：按常规方法计算
原式
解法：简便计算，先求其倒数
原式的倒数为：
故
再根据你对所提供材料的理解，
模仿以上两种方法分别进行计算：．
22.阅读与计算：出租车司机小李某天上午营运时是在欢乐谷门口出发，沿南北走向的大街上进行的，
如果规定向南为正，向北为负，他这天上午所接送八位乘客的行车里程（单位：）如下：
，，，，，，，．
将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？
将第几位乘客送到目的地时，小李离欢乐谷门口最远？
若汽车消耗天然气量为，这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？
若出租车起步价为5元，起步里程为（包括），超过部分每千米1.2元，
问小李这天上午共得车费多少元？
某路公交车从起点经过A、B、C、D站到达终点，一路上下乘客如下表所示．
（用正数表示上车的人数，负数表示下车的人数）
起点 A B C D 终点
上车的人数 18 15 12 7 5 0
下车的人数 0
(1)到终点下车还有________人；
(2)车行驶在那两站之间车上的乘客最多？________站和________站；
(3)若每人乘坐一站需买票1元，问该车出车一次能收入多少钱？请列出算式并写出计算过程．
24．如图，数轴上点A，B所表示的数分别是4，8.
请用尺规作图的方法确定原点O的位置(不写做法，保留作图痕迹)；
已知动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点N从点A出发，
以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．
① 运动1秒后，点M表示的数是________，点N表示的数为________；
② 运动t秒后，点M表示的数是________，点N表示的数为________；
③ 若线段，求此时t的大小以及相应的M所表示的数.
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第1章《有理数》、第2章《有理数的运算》复习与检测试卷解答
全卷共三大题，24小题，满分为120分．
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．年国际数学日的主题是“数学·艺术·创意”，的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的关键．根据正数的绝对值等于本身即可求解．
【详解】解：的绝对值是
故选：B．
2．2025年5月4日，平陆运河青年枢纽电站顺利完成并网调试，具备发电条件．
该电站设计年发电量1300万千瓦时，年减排二氧化碳1.17万吨．
数据13000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了科学记数法，将13000000用科学记数法表示，需满足形式（其中，为整数）．
【详解】解：确定和：将13000000的小数点从末尾向左移动位，得到，
此时，
故科学记数法为．
故选：C．
如图，浙教版初中数学课本长度约为，该近似数精确到（ ）
A．百分位 B．十分位 C．个位 D．十位
【答案】B
【分析】本题考查了近似数的精确度．熟练掌握近似数的精确度是解题的关键．
根据近似数小数部分的最后一位判断即可．
【详解】解：由题意知，近似数精确到十分位，
故选：B．
某次数学测试的平均成绩是80分，小王得了85分，记作分，小李的成绩记作分，
表示得了（ ）分
A．67 B．62 C．72 D．83
【答案】C
【分析】本题考查正数和负数，有理数计算．关键是掌握正负数表示的实际意义．由正负数的概念可计算．
【详解】解：平均成绩是80分，小王得了85分，记作分，小李的成绩记作分，
则（分，
即小李得了72分，
答：小李的成绩记作分，表示得了72分，
故选：C．
5．已知，，，则a、b、c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查有理数的乘方运算，有理数的大小比较，先根据有理数的乘方法则进行计算，再根据正数大于0，0大于负数，两个负数绝对值大的反而小，判断大小即可．
【详解】解：，，，
∵，
∴；
故选C．
6. 两数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了利用数轴比较大小，有理数的加减法，绝对值和相反数，理解数轴是解题关键．由数轴可知，，再逐项判断即可．
【详解】解：由数轴可知，，
，，，，
A选项正确，B、C、D选项错误，
故选：A．
天天在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，输入一个有理数x，
则可相应的输出一个结果y．若输入x的值为，则输出的结果y为（ ）
A．7 B．6 C．8 D．12
【答案】A
【分析】本题考查了程序流程图与有理数混合运算，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题的关键．
根据所给数值转换机列式计算即可，
【详解】解：依题意得：
第一次：把代入运算程序得∶ ，
第二次：把代入运算程序得∶ ，
∴输出的结果y为7，
故选：A．
如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点，
将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是（ ）
A．1 B． C．1或 D．1或
【答案】C
【分析】本题考查了数轴，分类讨论思想是解题的关键．先根据两点间的距离公式求出点A落在对应点表示的数，在利用中点公式求出C点表示的数．
【详解】设是点的对应点，由题意可知点是和的中点
当点在的右侧，，表示的数为，
那么C表示的数为：，
当点在的左侧，，表示的数为，
那么C表示的数为：，
故选：C．
9．已知，则代数式的值不可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查有理数的除法及绝对值，解题的关键是分类讨论：①，；②，；③，；④，，然后根据范围去掉绝对值可得出可能的值．
【详解】解：∵，
∴可分以下四种情况：
①，，
；
②，，
；
③，，
；
④，，
；
综上所述，代数式的值不可能为．
故选：B．
已知整数满足下列条件：，
依此类推，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查数字的变化类，根据题意，可以写出这列数的前几个数，从而可以发现数字的变化特点，从而可以得到的值．
【详解】解：由题意可得，
，
，
，
，
，
……，
依次类推，（n为正整数），
当，即时，
．
故选：C．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11．比较下列各对数的大小： ．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握比较的方法是关键；
两个负数，绝对值大的反而小，据此求解即可．
【详解】解：∵，且，
∴；
故答案为：．
12．一天早晨的气温是，中午上升了，半夜又下降了，半夜的气温是 ．
【答案】0
【分析】本题考查了有理数加减混合运算的应用，读懂题意，列出正确的式子是解题的关键．
根据题意列式子，进行有理数的加减运算即可．
【详解】解：半夜的气温是：．
故答案为：0．
13．若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．根据非负数的性质列式求出 a 、b 的值,然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：由题意得，
，
．
14．按如图所示的程序计算，若开始输入的数为0，则最后输出的结果为 ．
【答案】
【分析】本题考查有理数的运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 由题意列式计算，直至结果大于8即可．
【详解】解∶开始输入的数为0，
解：返回继续运算；
输出结果；
故答案为∶
如图，在数轴上，点A，点B表示的数分别是，10，点P以个单位秒的速度从A出发，
沿数轴向右运动，同时点Q以4个单位秒的速度从点B出发沿数轴在B，A之间往返运动．
当点P到达点B时，点Q表示的数是 ．
【答案】1
【分析】本题考查数轴上的动点问题，理解数轴的定义，以及数轴上点的特征和意义是解题关键．
先根据题意确定的长度，以及点P到达点B时，点P、Q运动的时间，从而确定出此时Q点运动路程，即可结合A点的数字求解．
【详解】解：∵点A，点B表示的数分别是，10，
∴，
∵点P以个单位秒的速度从A出发沿数轴向右运动，
∴点P到达点B所用时间是（秒），
∵点Q以4个单位秒的速度从点B出发沿数轴在B，A之间往返运动，
∴Q所运动的路程为，
∴Q运动到A后，又返回到了B，又向A运动了个单位，
∴Q表示的数是．
故答案为：1．
有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入的值是3，第1次输出的结果是16，
第2次输出的结果是8，第3次输出的结果是4，依次继续下去，第2024次输出的结果是________
【答案】16
【分析】本题考查了数字类规律探究，根据题目所给运算程序，先计算出前几次输出结果，得出一般规律：输出结果按照16，8，4，2，1，6，3的顺序循环，即每7次一个循环，按照此规律可解答即可．
【详解】解：根据题意可得：
第1次输出的结果是16，
第2次输出的结果是8，
第3次输出的结果是4，
第4次输出的结果是，
第5次输出的结果是，
第6次输出的结果是，
第7次输出的结果是，
第8次输出的结果是，
……
按照16，8，4，2，1，6，3的顺序每7次一个循环，
，
∴第2024次输出的结果为16，
故答案为∶16
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．计算．
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查有理数的运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键，
（1）先利用负数指数幂的运算法则化简，再进行计算即可得到答案；
（2）先利用乘法分配律，再利用整式加减法运算法则计算即可得到答案．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
18. 已知a，b均为有理数，现我们定义一种新的运算，规定：a#b＝a2+a×b﹣5，
例如：1#2＝12+1×2﹣5＝﹣2.
（1）求（﹣2）#（﹣3）的值；
（2）若（﹣3）#m＝10，请直接写出m的值.
【答案】(1)5;(2)-2
【分析】（1）根据的含义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可．
（2）根据的含义，得到方程，解方程即可求出的值．
【详解】解：（1）（﹣2）#（﹣3）
＝（﹣2）2+（﹣2）×（﹣3）﹣5
＝4+6﹣5
＝5；
（2）∵（﹣3）#m＝10，
∴9﹣3m﹣5＝10，
解得m＝﹣2.
故m的值是﹣2.
学习有理数的乘法后，老师给同学们这样一道题目，计算，
看谁算得又快又对，有两位同学的解法如下
小明：原式
小军：原式
（1）对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？
（2）上面的解法对你有何启发，你认为还有更好的方法吗？如果有，请把它写出来；
（3）用你认为最合适的方法计算
【答案】（1）小军；（2）；（3）
【分析】（1）根据计算判断小军的解法好；
（2）把写成，然后利用乘法分配律进行计算即可得解；
（3）把写成，然后利用乘法分配律进行计算即可得解．
【详解】解：（1）小军的方法计算量较小，解法较好；
（2）还有更好的解法，
；
（3）
．
有8筐白菜，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，
称后的纪录如下：
回答下列问题：
(1)这8筐白菜中最接近标准重量的这筐白菜重__________千克；
(2)与标准重量比较，8筐白菜总计超过或不足多少千克？
(3)若白菜每千克售价元，则出售这8筐白菜可卖多少元？
【答案】(1)
(2)千克
(3)
【分析】本题考查了有理数的混合运算的实际应用，有理数加法以及减法的应用，绝对值的意义，正负数的意义．
（1）纪录中绝对值最小的数，就是最接近标准重量的数；
（2）先将记录中各数相加，再根据正负数的意义解答；
（3）计算出8筐白菜的实际重量，然后乘以每千克售价可得答案．
【详解】（1）解：最接近标准重量的是纪录中绝对值最小的数，
，，，，，，，
∴绝对值最小的是，
∴千克，
故答案为；
（2），
答：与标准重量比较，8筐白菜总计不足5.5千克；
（3）由（2）可知，与标准重量比较，8筐白菜总计不足5.5千克，
∴（元）
答：出售这8筐白菜可卖元．
21. 请你仔细阅读下列材料：计算：
解法：按常规方法计算
原式
解法：简便计算，先求其倒数
原式的倒数为：
故
再根据你对所提供材料的理解，模仿以上两种方法分别进行计算：．
【答案】
【分析】观察解法1，用常规方法计算即可求解；
观察解法2，可让除数和被除数交换位置进行计算，最后的结果取计算结果的倒数即可．
【详解】解法，
；
解法，原式的倒数为：
，
故．
22.阅读与计算：出租车司机小李某天上午营运时是在欢乐谷门口出发，沿南北走向的大街上进行的，
如果规定向南为正，向北为负，他这天上午所接送八位乘客的行车里程（单位：）如下：
，，，，，，，．
将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？
将第几位乘客送到目的地时，小李离欢乐谷门口最远？
若汽车消耗天然气量为，这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？
若出租车起步价为5元，起步里程为（包括），超过部分每千米1.2元，
问小李这天上午共得车费多少元？
【答案】(1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在欢乐谷门口的北边2千米处
(2)将第六位乘客送到目的地时，小李离欢乐谷门口最远
(3)这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气6.8立方米
(4)小李这天上午共得车费56.8元
【分析】本题考查了正数和负数、有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解此题的关键．
（1）将这些正数和负数全部相加，进行计算即可解答；
（2）分别计算出送完每一位乘客时，距欢乐谷的距离，即可解答；
（3）将这些正数和负数的绝对值全部相加，进行计算即可解答；
（4）八名顾客均有起步价，再求出超出千米的加价，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：由题意得：
（千米），
将最后一位乘客送到目的地时，小李在欢乐谷门口的北边2千米处；
（2）解：由题意得：
第一位乘客：（千米），
第二位乘客：（千米），
第三位乘客：（千米），
第四位乘客：（千米），
第五位乘客：（千米），
第六位乘客：（千米），
第七位乘客：（千米），
第八位乘客：（千米），
，
将第六位乘客送到目的地时，小李离欢乐谷门口最远；
（3）解：由题意得：
（千米），
，
这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气6.8立方米；
（4）解：由题意得：
（元），
小李这天上午共得车费元．
某路公交车从起点经过A、B、C、D站到达终点，一路上下乘客如下表所示．
（用正数表示上车的人数，负数表示下车的人数）
起点 A B C D 终点
上车的人数 18 15 12 7 5 0
下车的人数 0
(1)到终点下车还有________人；
(2)车行驶在那两站之间车上的乘客最多？________站和________站；
(3)若每人乘坐一站需买票1元，问该车出车一次能收入多少钱？请列出算式并写出计算过程．
【答案】(1)29
(2)B；C
(3)150元
【分析】本题考查了正数和负数，有理数的混合运算的应用，读懂图表信息，求出各站之间车上人数是解题的关键．
（1）根据正负数的意义，上车为正数，下车为负数，列出算式即可得解；
（2）分别计算相邻两站之间车上的乘客数解答即可；
（3）分别计算相邻两站之间车上的乘客数，相加再乘以票价元，然后计算即可得解．
【详解】（1）解：根据题意可得：到终点前，车上有（人）；
故到终点下车人．
故答案为：．
（2）解：根据图表可知各站之间车上人数分别是：
起点站，车上有人，
A站站，车上有人，
站站，车上有人，
站站，车上有人，
站终点，车上有人，
易知站和站之间人数最多．
故答案为：；．
（3）解：根据题意可知：起点站，车上有人，
站站，车上有人，
站站，车上有人，
站站，车上有人，
站终点，车上有人，
则（元）．
答：该车出车一次能收入元．
24．如图，数轴上点A，B所表示的数分别是4，8.
请用尺规作图的方法确定原点O的位置(不写做法，保留作图痕迹)；
已知动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点N从点A出发，
以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．
① 运动1秒后，点M表示的数是________，点N表示的数为________；
② 运动t秒后，点M表示的数是________，点N表示的数为________；
③ 若线段，求此时t的大小以及相应的M所表示的数.
【答案】(1)见解析
(2)①3；6
②4-t；4+2t
③t=1秒时，点M表示的数是3；t=3秒时，点M表示的数是1．
【分析】（1）根据点A是OB的中点进行作图；
(2) ①根据AM=t，AN=2t，OM=OA-AM,ON=OA+AN，把t=1代入计算即可求解；
②根据AM=t，AN=2t，OM=OA-AM,ON=OA+AN，即可求解；
③分两种情况：若点N在线段AB上，则AN=AB-BN；若点N在B的右侧，则AN=AB+BN，分别根据线段的和差关系，即可得出点M所表示的数．
【详解】（1）解：以A为圆心AB为半径画弧形，交BA延长线于O，
如图所示，点O即为所求；
（2）解：①如图，
当t=1时，则AM=t=1，AN=2t=2，
∴OM=OA-AM=4-1=3,ON=OA+AN=4+2=6，
∴点M表示的数是3，点N表示的数是6，
故答案为：3，6；
②运动t秒后，AM=t，AN=2t,
OM=OA-AM=4-t,ON=OA+AN=4+2t，
∴点M表示的数是4-t，点N表示的数是4+2t，
故答案为：4-t，4+2t；
③当BN=2时，分两种情况：
i)当点N在点B左侧时，则AN=AB-BN=（8-4）-2=2t，
解得：t=1，
∴OM=4-t=4-1=3，
∴点M表示的数是3，
ii) 当点N在点B右侧时，则AN=AB+BN=（8-4）+2=2t，
解得：t=3，
∴OM=4-t=4-3=1，
∴点M表示的数是1，
综上，t的值为1或3，点M表示的数是3或1．
答：t=1秒时，点M表示的数是3；t=3秒时，点M表示的数是1．
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