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【北师大版八年级数学（上）课时练习】
§2.7二次根式 （3）（二次根式混合运算）
一、单选题（共30分）
1．（本题6分）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（本题6分）设a，b是实数，定义一种新运算：．下面有四个推断：①，②，③，其中推断正确的是（ ）
A．①③ B．①② C．②③ D．①②③
3．（本题6分）下列式子中，为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（本题6分）下列各式中，从左向右变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（本题6分）我们规定：对于任意的正数m、n的运算“”为当时，；当时，，其他运算符号意义不变，按上述规定，计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共30分）
6．（本题6分） ．
7．（本题6分）计算： ．
8．（本题6分）如图，有一块直角三角形纸片，，，现将沿直线折叠，使落在斜边上，且C与点E重合，则的长为 ．
9．（本题6分）计算的结果等于 ．
10．（本题6分）已知，则 ．
三、解答题（共40分）
11．（本题8分）计算题
(1)；
(2)．
12．（本题8分）如图是一个单位长度为1的网格，每个小格的顶点叫做格点．

(1)请在网格中，画出一个顶点都在格点上的，使，，；
(2)直接写出点到的距离_____．
13．（本题8分）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
14．（本题8分）先观察下列等式，猜想找规律，回答问题：
①；
②；
③．
(1)根据上面三个等式，请写出第7个等式为 ；
(2)请写出第 n个等式为 ；
(3)根据上述规律，解答问题：
设 ，求不超过m的最大整数是多少？
15．（本题8分）我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫作奇异三角形．例如，某三角形的三边长分别是2，和，因为，所以这个三角形是奇异三角形．
(1)若△ABC的三边长分别是3，5和，判断此三角形是不是奇异三角形，说明理由．
(2)若△ABC是奇异三角形，且其中有两条边长分别为3、4，求出第三条边长．
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【北师大版八年级数学（上）课时练习】
§2.7二次根式 （3）（二次根式混合运算）
一、单选题（共30分）
1．（本题6分）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
A．不能进行合并，故，故A错误，不符合题意；
B．，故B错误，不符合题意；
C．，故C错误，不符合题意；
D．，故D正确，符合题意；
故选：D．
2．（本题6分）设a，b是实数，定义一种新运算：．下面有四个推断：①，②，③，其中推断正确的是（ ）
A．①③ B．①② C．②③ D．①②③
解：①：，．由于平方的非负性，，故①正确；
②：，而．因平方结果相同，，故②正确；
③：，而．取反例，，，左边为，右边为，显然不等，故③错误；
综上，正确推断为①②，
故选B．
3．（本题6分）下列式子中，为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
解：A、是最简二次根式，符合题意；
B、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，被开方数含有开得尽的因式，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：A．
4．（本题6分）下列各式中，从左向右变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
解A：，而非，故本选项不符合题意；
B：在实数范围内，负数没有平方根，和无意义，故本选项不符合题意；
C：，故本选项符合题意；
D： ，而非，故本选项不符合题意；
故选：C．
5．（本题6分）我们规定：对于任意的正数m、n的运算“”为当时，；当时，，其他运算符号意义不变，按上述规定，计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
解：∵当时，，
∴，
∵当时，，
∴，
则．
故选：A．
二、填空题（共30分）
6．（本题6分） ．
解：
故答案为：
7．（本题6分）计算： ．
解：
；
故答案为：．
8．（本题6分）如图，有一块直角三角形纸片，，，现将沿直线折叠，使落在斜边上，且C与点E重合，则的长为 ．
解：在，由勾股定理得，
由折叠的性质可得，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得，
∴，
∴，
故答案为：．
9．（本题6分）计算的结果等于 ．
解：
，
故答案为：．
10．（本题6分）已知，则 ．
解：，
，
解得，
，
，
故答案为：5．
三、解答题（共40分）
11．（本题8分）计算题
(1)；
(2)．
（1）解：
．
（2）解：
．
12．（本题8分）如图是一个单位长度为1的网格，每个小格的顶点叫做格点．

(1)请在网格中，画出一个顶点都在格点上的，使，，；
(2)直接写出点到的距离_____．
（1）解：如图，即为所求．
．
（2）解：设点到的距离为，
由网格可知，的面积为，
则，
解得，
故答案为：．
13．（本题8分）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
14．（本题8分）先观察下列等式，猜想找规律，回答问题：
①；
②；
③．
(1)根据上面三个等式，请写出第7个等式为 ；
(2)请写出第 n个等式为 ；
(3)根据上述规律，解答问题：
设 ，求不超过m的最大整数是多少？
（1）解：第7个等式为；
故答案为：；
（2）第 n个等式为；
故答案为：；
（3）
，
∴不超过m的最大整数是2024．
15．（本题8分）我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫作奇异三角形．例如，某三角形的三边长分别是2，和，因为，所以这个三角形是奇异三角形．
(1)若△ABC的三边长分别是3，5和，判断此三角形是不是奇异三角形，说明理由．
(2)若△ABC是奇异三角形，且其中有两条边长分别为3、4，求出第三条边长．
（1）解：此三角形是奇异三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴此三角形是奇异三角形；
（2）解：设第三边为x，
当边长为4的边是最长边时，
∵△ABC是奇异三角形，
∴或，
解得或（舍去）；或（舍去）；
当边长为x的边是最长边时，
∵△ABC是奇异三角形，
∴，
解得或（舍去）；
综上所述，第三边的长为或或．
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