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课时跟踪检测(三)　小船渡河和关联速度模型
(选择题1～11小题，每小题5分。本检测卷满分80分)
1．(多选)下列图中实线为河岸，河水的流动方向如图中v的箭头所示，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线。则其中可能正确的是(　　)
2．一轮船的船头始终指向垂直于河岸的方向，并以一定的速度向对岸行驶，河水匀速流动，则关于轮船通过的路程、渡河经历的时间与水流速度的关系，下列说法正确的是(　　)
A．水流速度越大，路程越长，时间越长
B．水流速度越大，路程越短，时间越短
C．渡河时间与水流速度无关
D．路程与水流速度无关
3.如图，小船从A点开始渡河，小船在静水中的速度为v1，水流的速度为v2，合速度v的方向由A点指向B点，A、B两点连线与河岸垂直，以下说法正确的是(　　)
A．小船将到达B点
B．小船将到达B点右侧
C．合速度的大小为v＝v1＋v2
D．合速度的大小为v＝
4.(2024·重庆高一期末检测)某地进行抗洪抢险演练时，把一布娃娃放在一木盆(视为质点)中随河水流动，抢险战士发现这一情况时，抢险船(视为质点)和木盆的连线与河岸垂直，木盆到两岸的距离相等，两河岸平行，如图所示。抢险船在静水中的速度为5 m/s，河宽为300 m，河水流速为3 m/s，不计战士的反应时间和船的发动时间，则最短的救援时间(船到达木盆的时间)为(　　)
A．30 s B．60 s C．75 s D．100 s
5.(2024·德州高一检测)如图所示，汽车甲用绳以速度v1拉着汽车乙前进，乙的速度为v2，甲、乙都在水平面上运动，则此时甲、乙两车的速度之比为(　　)
A．cos α∶1 B．1∶cos α
C．sin α∶1 D．1∶sin α
6.如图所示，中间有孔的物块A套在光滑的竖直杆上，通过滑轮用不可伸长的轻绳将物块拉着匀速向上运动。则下列关于拉力F的大小及拉力对轻绳作用点的移动速度v的说法，正确的是(　　)
A．F不变、v不变 B．F增大、v不变
C．F增大、v增大 D．F增大、v减小
7．(2024·浙江宁波高一期末)甲图是救援船水上渡河演练的场景，假设船头始终垂直河岸，船的速度v船大小恒定，乙图中虚线ABC是救援船渡河的轨迹示意图，其中A点是出发点，D点位于A点的正对岸，AB段是直线，BC段是曲线，下列说法正确的是(　　)
A．船以该种方式渡河位移最短
B．船以该种方式渡河时间最长
C．AB段中水流速度不断增大
D．BC段中水流速度不断减小
8.(2024·辽宁朝阳高一检测)船从河岸A点沿直线AB到达对岸B点，直线AB和河岸的夹角为θ＝30°，假设河水速度保持不变且v水＝6 m/s，已知A点和B点的距离为s＝12 m，船在静水中的速度大小为v2＝3 m/s，则船从河岸A点沿直线AB到达对岸B点所用时间为(　　)
A．3 s B．3 s
C．2 s D．4 s
9．(多选)某运动员驾驶冲锋舟以最短时间过河。已知两河岸平行且距离为50 m，河水流速恒为5 m/s，冲锋舟相对水做初速度为零的匀加速直线运动，加速度大小为0.25 m/s2，方向与船头指向一致，则运动员的(　　)
A．过河时间是10 s
B．过河时间是20 s
C．轨迹(相对岸上的观众)是直线
D．轨迹(相对岸上的观众)是曲线
10．(2024·浙江高一开学考试)(多选)某次军事演练中，假设在演练时士兵驾驶坦克向东的速度大小为v1，坦克静止时射出的炮弹速度大小为v2，且出膛方向沿水平面内可调整，坦克轨迹距离目标最近为d，忽略炮弹受到的空气阻力和炮弹竖直方向的下落，且不计炮弹发射对坦克速度的影响，下列说法正确的是(　　)
A．炮弹轨迹在地面上的投影是一条直线
B．要想命中目标且炮弹在空中飞行时间最短，坦克发射处离目标的距离为
C．炮弹命中目标最短时间为
D．若到达距离目标最近处时再开炮，不管怎样调整炮口方向，炮弹都无法射中目标
11．(2024·江西南昌阶段练习)(多选)沙漠越野是汽车越野爱好者最喜欢的运动项目之一。沙漠越野难免陷车，某次越野车A陷入了沙地，B、C两车用绳子拉动A(无动力)使其脱困，示意图如图所示，P、Q为两定滑轮，设A沿图中虚线做直线运动，B、C对A的拉力方向与虚线夹角始终相等，A受沙子的阻力方向沿虚线方向且大小恒定，A在虚线上ab段以速度大小v匀速运动，运动中A受到的绳子拉力、阻力均在同一水平面内。则A在ab段运动的过程中(　　)
A．B在做加速运动
B．B在做减速运动
C．C对A的拉力增大
D．当拉动A的两绳夹角为120°时，B的速度大小为v
12．(10分)小船在静水中的速度与时间的关系如图甲所示，河水的流速与离一侧河岸的距离d的关系如图乙所示，求：
(1)小船渡河的最短时间；
(2)小船以最短时间渡河的位移大小。
13．(15分)(2024·山东日照高一阶段练习)某地防汛演练中，战士驾驶小船进行救援，河岸是平直的，河的宽度d＝600 m，河水的流速v0＝5 m/s，方向如图所示(＝6.4)。
(1)若小船在静水中的速度v1＝4 m/s，以最短的时间到达河对岸，求小船的位移x；
(2)若小船在静水中的速度v1＝4 m/s，以最小的位移到达河对岸，求小船的渡河时间t；
(3)若小船相对于水的速度(即静水中的速度)大小保持v2＝ m/s不变，为了避险，小船沿虚线从A点到B点再到C点，所用时间为T1，完成救援任务后再沿着虚线从C点到B点再返回到A点，所用时间为T2，已知A、B两点连线垂直于河岸，B、C两点连线平行于河岸，且AB＝172 m，BC＝79.8 m，不计小船在B点转变方向的时间。求T1与T2的比值。
课时跟踪检测(三)
1．选AB　若船的速度垂直于河岸，则合速度的方向偏向下游，A正确，C错误；若船的速度偏向上游，根据平行四边形定则知，合速度的方向可能正好垂直于河岸，B正确；若船的速度偏向下游，根据平行四边形定则知船的速度与流水速度的合速度的方向会偏向下游，船不可能向上游航行，D错误。
2．选C　设两侧河岸间距为d，由题意可知，轮船渡河经历的时间t＝，则轮船渡河经历的时间与水流速度大小无关，故A、B错误，C正确；水流速度越大，则水流方向的位移x就越大。根据路程s＝可知，水流速度越大，路程越长，故D错误。
3．选A　合速度方向由A点指向B点，则小船将到达B点，A正确，B错误；根据平行四边形定则可知，合速度的大小为v＝ ，C、D错误。
4．选A　船与木盆在水中都随水一起向下游运动，向下游运动的速度相等，所以若要救援的时间最短，则船头的方向始终指向木盆。所以最短的时间为tmin＝＝ s＝30 s，故选A。
5.选A　将汽车乙的速度分解为沿绳方向和垂直于绳方向，如图所示，沿绳方向的分速度等于汽车甲的速度，所以v2cos α＝v1，则甲、乙两车的速度之比为cos α∶1。
6．选D　设轻绳与竖直方向的夹角为θ，物块A向上做匀速直线运动，设速度为v1，物块A在竖直方向所受合力为零，则有Fcos θ＝mg，随θ角的增大，拉力F增大；拉力对轻绳作用点的移动速度为v＝v1cos θ，速度v1不变，随θ角的增大，则v减小，A、B、C错误，D正确。
7．选D　船头垂直河岸方向渡河，则渡河时间最短，渡河位移不是最短，故A、B错误；保持船头垂直于河岸，且在垂直于河岸方向上的速度不变，根据等时性可知，垂直河岸方向分运动的时间跟沿河岸方向分运动的时间相等，AB段中相同的时间内沿河岸方向运动的位移相同，因此水流速度不变，BC段中相同的时间内沿河岸方向运动的位移变短，因此水流速度不断减小，故C错误，D正确。
8．选D　由于船在静水中的速度满足v2＝v水sin 30°＝3 m/s，船头的指向应该和直线AB垂直，如图所示，由几何关系可得v合＝v水cos 30°＝3 m/s，则船从河岸A点沿直线AB到达对岸B点所用时间为tAB＝＝4 s，故选D。
9．选BD　根据分运动的等时性与独立性可知，当冲锋舟的船头指向与河岸垂直时，渡河时间最短，由于冲锋舟相对水做初速度为零的匀加速直线运动，则有d＝at，解得tmin＝20 s，即运动员的过河时间是20 s，故A错误，B正确；由题意可知，冲锋舟沿水流方向的分运动为匀速直线运动，冲锋舟在垂直于河岸方向的分运动为匀加速直线运动，可知，冲锋舟的加速度方向，即合力方向与初速度方向垂直，则冲锋舟做匀变速曲线运动，故运动员的轨迹(相对岸上的观众)是曲线，故C错误，D正确。
10．选AC　炮弹向东和向北的运动均为匀速直线运动，则合运动也是匀速直线运动，炮弹轨迹在地面上的投影是一条直线，故A正确；炮弹速度向北发射时命中目标时间最短，则命中目标最短时间为t＝，坦克发射处离目标的距离为x＝，故B错误，C正确；由于v2>v1，若到达距离目标最近处时再开炮，应调整炮口至左上方，可能射中目标，故D错误。
11．选BC　由题可知，B、C对A的拉力方向与虚线夹角始终相等，故汽车B、C对A施加的拉力大小相等，汽车B、C的速度大小相等，设绳子与竖直方向的夹角为θ，A受沙子的阻力为F，则FC＝FB＝，vC＝vB＝vcos θ，故在汽车沿虚线匀速运动过程中，θ角增大，FC增大，汽车B、C的速度减小，当拉动A的两绳夹角为120°时，即θ＝60°时，vC＝vB＝，故B、C正确，A、D错误。
12．解析：(1)由题图甲、乙可知，v船＝3 m/s，河宽d＝300 m，船头垂直于河对岸行驶时，渡河时间最短，
故tmin＝＝100 s。
(2)当小船船头垂直于河对岸行驶时，d＝v船tmin，
结合题图乙可知，v水先随时间线性增大，后线性减小，垂直河岸分位移为x1＝d＝300 m，
沿河岸方向分位移为x2＝2··＝200 m，
小船以最短时间渡河的位移大小为
x＝＝100 m。
答案：(1)100 s　(2)100 m
13．解析：(1)小船以最短的时间渡河，则船头垂直于河岸，渡河时间t1＝，
沿着河岸方向的位移x1＝v0t1，
垂直于河岸方向的位移就等于d，则小船的位移
x＝≈960 m，
与河岸的夹角的正切值为tan θ＝＝。
(2)由于v1联立解得小船的渡河时间t＝＝250 s。
(3)小船的合速度方向沿着A、B两点连线，当小船从A点运动到B点时，设合速度为v合1
v合1＝，Δt1＝
从B点运动到C点时，设合速度为v合2，
则v合2＝v0＋v2，Δt2＝
从C点运动到B点时，设合速度为v合2′，
则v合2′＝v2－v0，Δt2′＝
从B点运动到A点时，运动时间等于Δt1
则＝＝。
答案：(1)960 m，与河岸的夹角的正切值为　(2)250 s　(3)
5 / 5综合·融通(一)　小船渡河和关联速度模型
　　　　(融会课主题串知综合应用)
　　高考物理命题改革的指导思想要求具备综合运用所学知识分析、解决实际问题的能力。运动的合成与分解中的小船渡河和关联速度模型就是“学以致用,活学活用”的典型应用。通过本节课的学习要掌握建立小船渡河模型的一般思路和解法,建立常见的绳、杆关联速度模型的解法。
　　　　　　　　　　　　　　　　
主题(一)　小船渡河模型
[知能融会通]
1.三个速度
(1)分速度v水:水流的速度。
(2)分速度v船:船在静水中的速度。
(3)合速度v:表示船的实际航行的速度。
2.两类问题
类型 矢量图解 过河方法
渡河 时间 最短 当船头方向(即v船方向)垂直于河岸时,渡河时间最短,最短时间tmin=
渡河 位移 最短 如果v船>v水,当船头朝向上游与河岸夹角θ满足v船cos θ=v水时,合速度垂直于河岸,渡河位移最短,等于河宽d
如果v船　　[典例]　一小船渡河,河宽d=180 m,水流速度为v1=2.5 m/s。小船在静水中的速度为v2=5 m/s,求:
(1)小船渡河的最短时间为多少 该过程渡河位移多大
(2)欲使小船渡河的航程最短,船头应朝什么方向 用多长时间
尝试解答:
　　[变式拓展]　对应典例的情境,如果水流速度变为v1=6.25 m/s,欲使小船渡河的航程最短,船头应朝什么方向 此时最短航程为多少
[题点全练清]
1.(2024·长沙高一调研)如图所示,快艇在静水中的航行速度大小为13 m/s,
某河流的水流速度大小为5 m/s,已知快艇在此河流中渡河的最短时间为12 s。若快艇以最短路程渡河,则渡河的时间为 (　　)
A.13 s B.15 s
C.18 s D.20 s
2.如图所示,某河流中水流速度大小恒为v1,A处的下游C处是个漩涡,A点和漩涡的连线与河岸的最大夹角为θ。为使小船从A点出发以恒定的速度安全到达对岸,小船航行时在静水中速度的最小值为 (　　)
A.v1sin θ B.v1cos θ
C.v1tan θ D.
主题(二)　关联速度模型
[知能融会通]
1.两物体通过不可伸长的轻绳(杆)相连,当两物体都发生运动,且物体运动的方向不在绳(杆)的直线上时,两物体的速度是关联的。
2.处理关联速度问题的方法:首先认清哪个是合速度、哪个是分速度。物体的实际速度一定是合速度,分解时两个分速度方向应取沿绳(杆)方向和垂直绳(杆)方向。
3.常见的速度分解模型
情境图示 定量结论
v=v∥=v物cos θ
v物'=v∥=v物cos θ
v∥=v∥' 即v物cos α=v物'cos β
v∥=v∥' 即v物cos θ=v物'cos α
　　[典例]　(多选)如图所示,一条不可伸长的细绳跨过一个小定滑轮,将A、B两物体连在一起,B物体以速度v0向左匀速运动,当细绳与水平方向成θ角时(0<θ<90°),A物体的速度大小和绳的拉力与A物体重力之间的关系为 (　　)
A.A物体的速度大小为
B.A物体的速度大小为v0cos θ
C.绳的拉力大于A物体重力
D.绳的拉力等于A物体重力
听课记录:
[题点全练清]
1.(2024·广东佛山高一期末)(多选)钓鱼是一项
受欢迎的运动,钓到大鱼时一般会先将鱼遛至没有力气再收线,如图所示,在收尾阶段,鱼已经浮在水面不再挣扎,钓鱼者以恒定速率v收鱼线(钓鱼者和鱼竿视为不动),鱼线与水平面的夹角为θ,以下说法正确的是 (　　)
A.鱼在靠近钓鱼者过程中速率增大
B.当θ=60°时,鱼的速率为2v
C.当θ=37°时,鱼的速率为0.8v
D.鱼受到的合外力恒定
2.如图所示,一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的小球A和B(A、B均可视为质点)。将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑,当轻杆到达位置2时,小球A与球形容器球心等高,其速度大小为v1,已知此时轻杆与水平面成θ=30°角,小球B的速度大小为v2,则 (　　)
A.v2=v1　　　　　　 B.v2=2v1
C.v2=v1 D.v2=v1
综合·融通(一)　小船渡河和关联速度模型
主题(一)
[典例]　解析：(1)欲使小船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向。当船头垂直河岸渡河时，如图甲所示，小船的合速度方向为倾斜方向，垂直河岸的分速度为v2＝5 m/s，小船渡河的最短时间t＝＝ s＝36 s，
小船的合速度大小为
v合＝＝ m/s，
该过程渡河位移大小为x＝v合t＝90 m。
(2)欲使小船渡河的航程最短，小船的合运动方向应垂直河岸。船头应朝上游与河岸成某一角度β，
如图乙所示，由v2cos β＝v1，得β＝60°。所以当船头朝上游与河岸成60°角时，小船渡河的航程最短，则最短航程x＝d＝180 m
所用时间t′＝＝＝ s＝24 s。
答案：(1)36 s　90 m　(2)船头应朝上游与河岸成60°角　24 s
[变式拓展]　解析：因为v1＝6.25 m/s＞v2＝5 m/s，合速度方向不可能垂直于河岸。如图所示，当船头与河岸上游夹角θ满足cos θ＝＝＝，得θ＝37°，此时小船渡河的航程最短，最短航程为xmin＝＝225 m。
答案：船头应朝上游与河岸成37°角　225 m
[题点全练清]
1．选A　设河宽为d，快艇渡河时间最短，船头指向需垂直河岸，最短渡河时间为t＝，则河宽d＝v静t＝13×12 m＝156 m，由于快艇的静水航行速度大于水流速度，
以最短路程渡河时，快艇的合速度方向应垂直河岸，如图所示，快艇的合速度大小为v＝＝ m/s＝12 m/s，渡河的时间为t′＝＝ s＝13 s，故A正确。
2.
选A　如图所示，设小船航行时在静水中速度为v2，当v2垂直AB时速度最小，由三角函数关系可知v2＝v1sin θ，故A正确。
主题(二)
[典例]　选BC　将B物体的速度v0沿绳子的方向和垂直于绳子的方向进行正交分解，如图所示，则有A物体上升的速度vA＝v0cos θ，故A错误，B正确；由于B物体以速度v0向左匀速运动，θ变小，则vA变大，A物体加速上升，处于超重状态，所以绳的拉力大于A物体的重力，故C正确，D错误。
[题点全练清]
1.选AB　将鱼的速度分解为沿鱼线方向的速度和垂直鱼线方向的速度，如图所示，则v＝v鱼cos θ，钓鱼者以恒定速率v收鱼线过程中，鱼线与水平面的夹角θ增大，则v鱼增大，鱼做变加速运动，鱼受到的合外力不是恒定值，故A正确，D错误；根据v＝v鱼cos θ，可知当θ＝60°时，v鱼＝2v，当θ＝37°时，v鱼＝1.25v，故B正确，C错误。
2.选C　小球A与球形容器球心等高，速度v1方向竖直向下，速度分解如图所示，有v11＝v1sin 30°＝v1，由几何知识可知，此时小球B的速度方向与杆成α＝60°角，因此v21＝v2cos 60°＝v2，两球沿杆方向的速度相等，即v21＝v11，解得v2＝v1，故选C。
4 / 4(共64张PPT)
小船渡河和关联速度模型
(融会课——主题串知综合应用)
综合 融通(一)
高考物理命题改革的指导思想要求具备综合运用所学知识分析、解决实际问题的能力。运动的合成与分解中的小船渡河和关联速度模型就是“学以致用,活学活用”的典型应用。通过本节课的学习要掌握建立小船渡河模型的一般思路和解法,建立常见的绳、杆关联速度模型的解法。
1
主题(一)　小船渡河模型
2
主题(二)　关联速度模型
3
课时跟踪检测
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主题(一)　小船渡河模型
1.三个速度
(1)分速度v水:水流的速度。
(2)分速度v船:船在静水中的速度。
(3)合速度v:表示船的实际航行的速度。
知能融会通
2.两类问题
类型 矢量图解 过河方法
渡河 时间 最短 当船头方向(即v船方向)垂直于河岸时,渡河时间最短,最短时间tmin=
渡河 位移 最短 如果v船>v水,当船头朝向上游与河岸夹角θ满足v船cos θ=v水时,合速度垂直于河岸,渡河位移最短,等于河宽d
如果v船续表
[典例]　一小船渡河,河宽d=180 m,水流速度为v1=2.5 m/s。小船在静水中的速度为v2=5 m/s,求:
(1)小船渡河的最短时间为多少 该过程渡河位移多大
[答案]　36 s　90 m
[解析]　欲使小船在最短时间内渡河,船头应朝垂直河岸方向。当船头垂直河岸渡河时,如图甲所示,小船的合速度方向为倾斜方向,垂直河岸的分速度为v2=5 m/s,小船渡河的最短时间t== s=36 s,
小船的合速度大小为v合== m/s,
该过程渡河位移大小为x=v合t=90 m。
(2)欲使小船渡河的航程最短,船头应朝什么方向 用多长时间
[答案]　船头应朝上游与河岸成60°角　24 s
[解析]　欲使小船渡河的航程最短,小船的合运动方向应垂直河岸。船头应朝上游与河岸成某一角度β,
如图乙所示,由v2cos β=v1,得β=60°。所以当船头朝上游与河岸成60°角时,小船渡河的航程最短,则最短航程x=d=180 m
所用时间t'=== s=24 s。
[变式拓展]　对应典例的情境,如果水流速度变为v1=6.25 m/s,欲使小船渡河的航程最短,船头应朝什么方向 此时最短航程为多少
答案:船头应朝上游与河岸成37°角　225 m
解析:因为v1=6.25 m/s>v2=5 m/s,合速度方向不可能垂直于河岸。如图所示,当船头与河岸上游夹角θ满足cos θ===,得θ=37°,此时小船渡河的航程最短,最短航程为xmin==225 m。
1.(2024·长沙高一调研)如图所示,快艇在静水中的航行速度大小为13 m/s,某河流的水流速度大小为5 m/s,已知快艇在此河流中渡河的最短时间为12 s。若快艇以最短路程渡河,则渡河的时间为 (　　)
A.13 s B.15 s
C.18 s D.20 s
题点全练清
√
解析:设河宽为d,快艇渡河时间最短,船头指向需垂直河岸,最短渡河时间为t=,则河宽d=v静t=13×12 m=156 m,由于快艇的静水航行速度大于水流速度,以最短路程渡河时,快艇的合速度方向应垂直河岸,如图所示,快艇的合速度大小为v== m/s=12 m/s,渡河的时间为t'== s=13 s,故A正确。
2.如图所示,某河流中水流速度大小恒为v1,
A处的下游C处是个漩涡,A点和漩涡的连线
与河岸的最大夹角为θ。为使小船从A点出
发以恒定的速度安全到达对岸,小船航行时
在静水中速度的最小值为 (　　)
A.v1sin θ B.v1cos θ
C.v1tan θ D.
√
解析:如图所示,设小船航行时在静水中速度为v2,当v2垂直AB时速度最小,由三角函数关系可知v2=v1sin θ,故A正确。
主题(二)　关联速度模型
1.两物体通过不可伸长的轻绳(杆)相连,当两物体都发生运动,且物体运动的方向不在绳(杆)的直线上时,两物体的速度是关联的。
2.处理关联速度问题的方法:首先认清哪个是合速度、哪个是分速度。物体的实际速度一定是合速度,分解时两个分速度方向应取沿绳(杆)方向和垂直绳(杆)方向。
知能融会通
3.常见的速度分解模型
情境图示 定量结论
v=v∥=v物cos θ
v物'=v∥=v物cos θ
v∥=v∥'
即v物cos α=v物'cos β
v∥=v∥'
即v物cos θ=v物‘cos α
续表
[典例]　(多选)如图所示,一条不可伸长的细绳跨过一个小定滑轮,将A、B两物体连在一起,B物体以速度v0向左匀速运动,当细绳与水平方向成θ角时(0<θ<90°),A物体的速度大小和绳的拉力与A物体重力之间的关系为 (　　)
A.A物体的速度大小为
B.A物体的速度大小为v0cos θ
C.绳的拉力大于A物体重力
D.绳的拉力等于A物体重力
√
√
[解析]　将B物体的速度v0沿绳子的方向和垂直于绳子的方向进行正交分解,如图所示,则有A物体上升的速度vA=v0cos θ,故A错误,B正确;由于B物体以速度v0向左匀速运动,θ变小,则vA变大,A物体加速上升,处于超重状态,所以绳的拉力大于A物体的重力,故C正确,D错误。
1.(2024·广东佛山高一期末)(多选)钓鱼是一项受欢迎的运动,钓到大鱼时一般会先将鱼遛至没有力气再收线,如图所示,在收尾阶段,鱼已经浮在水面不再挣扎,钓鱼者以恒定速率v收鱼线(钓鱼者和鱼竿视为不动),鱼线与水平面的夹角为θ,以下说法正确的是 (　　)
A.鱼在靠近钓鱼者过程中速率增大
B.当θ=60°时,鱼的速率为2v
C.当θ=37°时,鱼的速率为0.8v
D.鱼受到的合外力恒定
题点全练清
√
√
解析:将鱼的速度分解为沿鱼线方向的速度和垂直鱼线方向的速度,如图所示,则v=v鱼cos θ,钓鱼者以恒定速率v收鱼线过程中,鱼线与水平面的夹角θ增大,则v鱼增大,鱼做变加速运动,鱼受到的合外力不是恒定值,故A正确,D错误;根据v=v鱼cos θ,可知当θ=60°时,v鱼=2v,当θ=37°时,v鱼=1.25v,故B正确,C错误。
2.如图所示,一轻杆两端分别固定质量为mA和mB
的小球A和B(A、B均可视为质点)。将其放在一个光
滑球形容器中从位置1开始下滑,当轻杆到达位置2时,
小球A与球形容器球心等高,其速度大小为v1,已知此时
轻杆与水平面成θ=30°角,小球B的速度大小为v2,则 (　　)
A.v2=v1　　　　　　 B.v2=2v1
C.v2=v1 D.v2=v1
√
解析:小球A与球形容器球心等高,速度v1方向竖直向下,速度分解如图所示,有v11=v1sin 30°=v1,由几何知识可知,此时小球B的速度方向与杆成α=60°角,因此v21=v2cos 60°=v2,两球沿杆方向的速度相等,即v21=v11,解得v2=v1,故选C。
课时跟踪检测
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(选择题1~11小题,每小题5分。本检测卷满分80分)
1.(多选)下列图中实线为河岸,河水的流动方向如图中v的箭头所示,虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线。则其中可能正确的是(　　)
√
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解析:若船的速度垂直于河岸,则合速度的方向偏向下游,A正确,C错误;若船的速度偏向上游,根据平行四边形定则知,合速度的方向可能正好垂直于河岸,B正确;若船的速度偏向下游,根据平行四边形定则知船的速度与流水速度的合速度的方向会偏向下游,船不可能向上游航行,D错误。
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2.一轮船的船头始终指向垂直于河岸的方向,并以一定的速度向对岸行驶,河水匀速流动,则关于轮船通过的路程、渡河经历的时间与水流速度的关系,下列说法正确的是 (　　)
A.水流速度越大,路程越长,时间越长
B.水流速度越大,路程越短,时间越短
C.渡河时间与水流速度无关
D.路程与水流速度无关
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解析:设两侧河岸间距为d,由题意可知,轮船渡河经历的时间t=,则轮船渡河经历的时间与水流速度大小无关,故A、B错误,C正确;水流速度越大,则水流方向的位移x就越大。根据路程s=可知,水流速度越大,路程越长,故D错误。
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3.如图,小船从A点开始渡河,小船在静水中的速度为v1,水流的速度为v2,合速度v的方向由A点指向B点,A、B两点连线与河岸垂直,以下说法正确的是 (　　)
A.小船将到达B点
B.小船将到达B点右侧
C.合速度的大小为v=v1+v2
D.合速度的大小为v=
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解析:合速度方向由A点指向B点,则小船将到达B点,A正确,B错误;根据平行四边形定则可知,合速度的大小为v= ,C、D错误。
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4.(2024·重庆高一期末检测)某地进行抗洪抢险演练时,把一布娃娃放在一木盆(视为质点)中随河水流动,抢险战士发现这一情况时,抢险船(视为质点)和木盆的连线与河岸垂直,木盆到两岸的距离相等,两河岸平行,如图所示。抢险船在静水中的速度为5 m/s,河宽为300 m,河水流速为3 m/s,不计战士的反应时间和船的发动时间,则最短的救援时间(船到达木盆的时间)为 (　　)
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A.30 s B.60 s
C.75 s D.100 s
解析:船与木盆在水中都随水一起向下游运动,向下游运动的速度相等,所以若要救援的时间最短,则船头的方向始终指向木盆。所以最短的时间为tmin== s=30 s,故选A。
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5. (2024·德州高一检测)如图所示,汽车甲用绳以速度v1拉着汽车乙前进,乙的速度为v2,甲、乙都在水平面上运动,则此时甲、乙两车的速度之比为 (　　)
A.cos α∶1 B.1∶cos α
C.sin α∶1 D.1∶sin α
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解析:将汽车乙的速度分解为沿绳方向和垂直于绳方向,如图所示,沿绳方向的分速度等于汽车甲的速度,所以v2cos α=v1,则甲、乙两车的速度之比为cos α∶1。
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6.如图所示,中间有孔的物块A套在光滑的竖直杆上,通过滑轮用不可伸长的轻绳将物块拉着匀速向上运动。则下列关于拉力F的大小及拉力对轻绳作用点的移动速度v的说法,正确的是 (　　)
A.F不变、v不变
B.F增大、v不变
C.F增大、v增大
D.F增大、v减小
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解析:设轻绳与竖直方向的夹角为θ,物块A向上做匀速直线运动,设速度为v1,物块A在竖直方向所受合力为零,则有Fcos θ=mg,随θ角的增大,拉力F增大;拉力对轻绳作用点的移动速度为v=v1cos θ,速度v1不变,随θ角的增大,则v减小,A、B、C错误,D正确。
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7.(2024·浙江宁波高一期末)甲图是救援船水上渡河演练的场景,假设船头始终垂直河岸,船的速度v船大小恒定,乙图中虚线ABC是救援船渡河的轨迹示意图,其中A点是出发点,D点位于A点的正对岸,AB段是直线,BC段是曲线,下列说法正确的是 (　　)
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A.船以该种方式渡河位移最短
B.船以该种方式渡河时间最长
C.AB段中水流速度不断增大
D.BC段中水流速度不断减小
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解析:船头垂直河岸方向渡河,则渡河时间最短,渡河位移不是最短,故A、B错误;保持船头垂直于河岸,且在垂直于河岸方向上的速度不变,根据等时性可知,垂直河岸方向分运动的时间跟沿河岸方向分运动的时间相等,AB段中相同的时间内沿河岸方向运动的位移相同,因此水流速度不变,BC段中相同的时间内沿河岸方向运动的位移变短,因此水流速度不断减小,故C错误,D正确。
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8.(2024·辽宁朝阳高一检测)船从河岸A点沿直线AB到达对岸B点,直线AB和河岸的夹角为θ=30°,假设河水速度保持不变且v水=6 m/s,已知A点和B点的距离为s=12 m,船在静水中的速度大小为v2=3 m/s,则船从河岸A点沿直线AB到达对岸B点所用时间为(　　)
A.3 s B.3 s
C.2 s D.4 s
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解析:由于船在静水中的速度满足v2=v水sin 30°=3 m/s,船头的指向应该和直线AB垂直,如图所示,由几何关系可得v合=v水cos 30°=3 m/s,则船从河岸A点沿直线AB到达对岸B点所用时间为tAB==4 s,故选D。
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9.(多选)某运动员驾驶冲锋舟以最短时间过河。已知两河岸平行且距离为50 m,河水流速恒为5 m/s,冲锋舟相对水做初速度为零的匀加速直线运动,加速度大小为0.25 m/s2,方向与船头指向一致,则运动员的 (　　)
A.过河时间是10 s
B.过河时间是20 s
C.轨迹(相对岸上的观众)是直线
D.轨迹(相对岸上的观众)是曲线
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解析:根据分运动的等时性与独立性可知,当冲锋舟的船头指向与河岸垂直时,渡河时间最短,由于冲锋舟相对水做初速度为零的匀加速直线运动,则有d=a,解得tmin=20 s,即运动员的过河时间是20 s,故A错误,B正确;由题意可知,冲锋舟沿水流方向的分运动为匀速直线运动,冲锋舟在垂直于河岸方向的分运动为匀加速直线运动,可知,冲锋舟的加速度方向,即合力方向与初速度方向垂直,则冲锋舟做匀变速曲线运动,故运动员的轨迹(相对岸上的观众)是曲线,故C错误,D正确。
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10.(2024·浙江高一开学考试)(多选)某次军事演练中,假设在演练时士兵驾驶坦克向东的速度大小为v1,坦克静止时射出的炮弹速度大小为v2,且出膛方向沿水平面内可调整,坦克轨迹距离目标最近为d,忽略炮弹受到的空气阻力和炮弹竖直方向的下落,且不计炮弹发射对坦克速度的影响,下列说法正确的是(　　)
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A.炮弹轨迹在地面上的投影是一条直线
B.要想命中目标且炮弹在空中飞行时间最短,坦克发射处离目标的距离为
C.炮弹命中目标最短时间为
D.若到达距离目标最近处时再开炮,不管怎样调整炮口方向,炮弹都无法射中目标
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解析:炮弹向东和向北的运动均为匀速直线运动,则合运动也是匀速直线运动,炮弹轨迹在地面上的投影是一条直线,故A正确;炮弹速度向北发射时命中目标时间最短,则命中目标最短时间为t=,坦克发射处离目标的距离为x=,故B错误,C正确;由于v2>v1,若到达距离目标最近处时再开炮,应调整炮口至左上方,可能射中目标,故D错误。
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11.(2024·江西南昌阶段练习)(多选)沙漠
越野是汽车越野爱好者最喜欢的运动项目之
一。沙漠越野难免陷车,某次越野车A陷入了
沙地,B、C两车用绳子拉动A(无动力)使其脱
困,示意图如图所示,P、Q为两定滑轮,设A沿图中虚线做直线运动,B、C对A的拉力方向与虚线夹角始终相等,A受沙子的阻力方向沿虚线方向且大小恒定,A在虚线上ab段以速度大小v匀速运动,运动中A受到的绳子拉力、阻力均在同一水平面内。则A在ab段运动的过程中 (　　)
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A.B在做加速运动
B.B在做减速运动
C.C对A的拉力增大
D.当拉动A的两绳夹角为120°时,B的速度大小为v
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解析:由题可知,B、C对A的拉力方向与虚线夹角始终相等,故汽车B、C对A施加的拉力大小相等,汽车B、C的速度大小相等,设绳子与竖直方向的夹角为θ,A受沙子的阻力为F,则FC=FB=,vC=vB=vcos θ,故在汽车沿虚线匀速运动过程中,θ角增大,FC增大,汽车B、C的速度减小,当拉动A的两绳夹角为120°时,即θ=60°时,vC=vB=,故B、C正确,A、D错误。
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12.(10分)小船在静水中的速度与时间的关系如图甲所示,河水的流速与离一侧河岸的距离d的关系如图乙所示,求:
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(1)小船渡河的最短时间;
答案:100 s　
解析:由题图甲、乙可知,v船=3 m/s,河宽d=300 m,船头垂直于河对岸行驶时,渡河时间最短,
故tmin==100 s。
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(2)小船以最短时间渡河的位移大小。
答案:100 m
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解析:当小船船头垂直于河对岸行驶时,d=v船tmin,
结合题图乙可知,v水先随时间线性增大,后线性减小,垂直河岸分位移为x1=d=300 m,
沿河岸方向分位移为x2=2··=200 m,
小船以最短时间渡河的位移大小为
x==100 m。
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13.(15分)(2024·山东日照高一阶段练习)某地防汛演练中,战士驾驶小船进行救援,河岸是平直的,河的宽度d=600 m,河水的流速v0=5 m/s,方向如图所示(=6.4)。
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(1)若小船在静水中的速度v1=4 m/s,以最短的时间到达河对岸,求小船的位移x;
答案:960 m,与河岸的夹角的正切值为　
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解析:小船以最短的时间渡河,则船头垂直于河岸,渡河时间t1=,
沿着河岸方向的位移x1=v0t1,
垂直于河岸方向的位移就等于d,则小船的位移
x=≈960 m,
与河岸的夹角的正切值为tan θ==。
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(2)若小船在静水中的速度v1=4 m/s,以最小的位移到达河对岸,求小船的渡河时间t;
答案:250 s　
解析:由于v1联立解得小船的渡河时间t==250 s。
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(3)若小船相对于水的速度(即静水中的速度)大小保持v2= m/s不变,为了避险,小船沿虚线从A点到B点再到C点,所用时间为T1,完成救援任务后再沿着虚线从C点到B点再返回到A点,所用时间为T2,已知A、B两点连线垂直于河岸,B、C两点连线平行于河岸,且AB=172 m,BC=79.8 m,不计小船在B点转变方向的时间。求T1与T2的比值。
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解析:小船的合速度方向沿着A、B两点连线,当小船从A点运动到B点时,设合速度为v合1
v合1=,Δt1=
从B点运动到C点时,设合速度为v合2,
则v合2=v0+v2,Δt2=
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从C点运动到B点时,设合速度为v合2',
则v合2'=v2-v0,Δt2'=
从B点运动到A点时,运动时间等于Δt1
则==。
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