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广西钦州市第十三中学2024-2025学年高二下学期期末热身考试数学试卷（三）
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1．圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为（ ）
A． B．C． D．
2．“或”是“定点在圆的外部”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知F是双曲线的右焦点，直线与C交于P，Q两点，若以为直径的圆经过点F，则C的离心率为（ ）
A．2 B． C．3 D．
4．已知等边三角形的一个顶点位于抛物线的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（ ）
A． B． C． D．
5．若直线平面，且的方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ）
A． B． C． D．
6．在空间直角坐标系中，，则平面的一个法向量为（ ）
A． B． C． D．
7．某图书馆有3本科普书和4本小说，要从中选出4本放在展示区，且必须同时包含科普书和小说，有（ ）选法．
A．30种 B．34种 C．60种 D．35种
8．已知，则（ ）
A．－10 B．－40 C．10 D．40
二、多选题（共3小题，每小题5分，共15分）
9．期末考试，某学校的数学成绩服从正态分布，则（ ）
A．这次测试的数学平均成绩为110 B．这次测试的数学成绩的方差为10
C．分数在120分以上的人数与分数在90分以下的人数相同
D．分数在140分以上的人数与分数在80分以下的人数大致相同
10．已知集合，的4个不同三元子集（含有三个元素的子集）组成集合，且满足：①；②中任意两个元素的并集是的真子集，任意三个元素的并集是.任取一个集合，记事件“”，事件“”，则（ ）
A．集合中任意两个元素的交集非空B．C．取到的集合的所有可能结果有4种 D．
11．某地新开了一条夜市街，每晚最多能接纳10万人.主办公司计划通过广告宣传提高客流量.通过调研，发现投入的广告费x与每晚客流量y存在如下关系：
x/万元 1 2 3 4 5
y/千人 5 6 8.1 9 14.5
附，，，，令，，，现用曲线拟合变量x与y的相关关系，并利用一元线性回归模型求参数，的最小二乘估计，依所求回归方程C为预测依据，则（ ）
A．曲线C经过点 B．
C．若投入广告费9万元，则每晚客流量会超过夜市接纳能力D．广告费每增加1万元，每晚客流量增加3000人
第II卷（非选择题）
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12．某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”的理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量y（单位：度）与气温x（单位：℃）之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
x/℃ 17 14 9 0
y/度 30 32 38 a
由表中数据得线性回归方程：，则a的值为 .
13．现有甲、乙、丙三个人，需要执行某项试验任务，每个人至多执行一次．如果规定时间内某人完成任务，则试验成功，结束该任务；如果规定时间内某人不能完成任务，则撤回再由下一个人执行任务．若该项试验任务按照甲、乙、丙的顺序执行且甲、乙、丙三人在规定时间内完成任务的概率分别为，每个人能否完成任务相互独立，则试验成功的概率为 ．
14．已知随机变量，若，则 ．
四、解答题（共6小题，共70分）
15．已知的展开式中的所有二项式系数之和为32．
(1)求的值；
(2)求展开式中的系数．
16．如图，在四棱锥中，平面，，，，.
(1)求点到平面的距离；
(2)求二面角的余弦值.
17．如图，在直三棱柱中，，，，，是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：；
(3)求二面角的正弦值．
18．已知为椭圆的一个焦点，且经过点，设直线与交于，两点，记直线，的斜率分别为，，其中为坐标原点．
(1)求的方程；
(2)用表示的值．
19．已知过点的直线与圆相交于、两点，直线．

(1)当时，求直线的方程；
(2)设为直线上的动点，过作圆的两条切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值；
(3)是否存在直线，使得向量与共线？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B B D A A B D AD ABD
题号 11
答案 BC
12．60 13． 14． 15．(1)；(2)10.
16．(1)(2)
17．（1）如图1，连接交于点，连接，
因为的中点，为的中点，所以为的中位线，所以，
因为平面，平面，所以平面．
（2）在中，，，，
由余弦定理得，
，
所以，所以，
又平面，平面，所以，
又，，，平面，所以平面，
因为平面，所以．
（3）如图2，连接，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
取，得，所以．
设平面的法向量为，则，
取，得，所以．
设二面角的平面角大小为，
则，
所以，
则二面角的正弦值为.
18．(1)(2)
19．(1)或 (2)
(3)存在直线，使得向量与共线，直线的方程为

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