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湖南省汨罗市2025年中考二模数学试题
1．（2025·汨罗模拟） 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若向北运动米记作米，则向南运动米可记作（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵向北运动米记作米，
∴向南运动米可记作米 ，
故答案为：B
【分析】根据正数和负数表示相反意义的量结合题意即可求解。
2．（2025·汨罗模拟） 据2024年4月18日《天津日报》报道，天津市组织开展了第43届“爱鸟周”大型主题宣传活动．据统计，今春过境我市候鸟总数已超过800000只．将数据800000用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】还原用科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 800000 =8×105.
故答案为：C.
【分析】根据＞10的科学记数法的规范写法a×10n，这里a=8，n=5，即可得出答案。
3．（2025·汨罗模拟）2025年春晚涉及众多“非遗”元素，让“非遗”被更多人了解．如图是一个正方体的展开图，则与“传”字所在面相对的面上的字是（　　）
A．非 B．遗 C．文 D．化
【答案】C
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：在此正方体的展开图上，与“传”字所在面相对的面上的字是 “文”．
故答案为 ：C．
【分析】根据正方体平面展开图上相对面之间一定相隔一个正方形，即可得出答案。
4．（2025·汨罗模拟）在实数，，，中，有理数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【解答】解：在实数，，，中，有理数为，，，都是开方开不尽的数，都是无理数.
故答案为：C.
【分析】实数分为有理数与无理数，有限小数与无限循环小数就是有理数，有理数分为整数和分数，而整数又分为正整数、0、负整数，分数又分为正分数、负分数；无限不循环的小数就是无理数，常见无理数有：①根号型的数：开方开不尽的数，② 与有关的数，③构造型：像0.1010010001…（两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④三角函数型：如sin60°等，根据定义即可一一判断得出答案.据此判断即可得出答案.
5．（2025·汨罗模拟）下列命题中，是真命题的是（　　）
A．同旁内角互补
B．两直线被第三条直线所截，截得的内错角相等
C．三角形的外角大于三角形的内角
D．对顶角相等
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；内错角的概念；同旁内角的概念；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、在两直线平行的情况下，同旁内角互补，若两直线不平行，同旁内角不互补，所以“同旁内角互补”这个命题缺少“两直线平行”的前提，所以原命题是假命题，不符合题意；
B、必须是“两平行直线”被第三条直线所截，截得的内错角相等，所以“两直线被第三条直线所截，截得的内错角相等 "这个命题缺少”两平行直线“的前提，所以原命题是假命题，不符合题意；
C、准确表述应是三角形的外角大于与其不相邻的内角，所以原命题是假命题，不符合题意；
D、对顶角相等，原命题是真命题，符合题意；
故答案为：D．
【分析】依据平行线性质，三角形外角性质以及对顶角的定义可分别判断各个命题的真假，即可得出答案。
6．（2025·汨罗模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：对于A，，故A错误，不符合题意；
对于B，，故B错误，不符合题意；
对于C，，故C错误，不符合题意；
对于D，，故D正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】逐一判断选项即可，即由同底数幂乘除法判断A，B，结合合并同类项代数式加法运算判断C，幂的乘方运算判断D.
7．（2025·汨罗模拟）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】垂线的概念；平行线的判定；三角形内角和定理；旋转的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：记与相交于一点H，如图所示：
∵中，将绕点顺时针旋转得到，
∴
∵
∴在中，
∴
故D选项是正确的，符合题意；
设
∴
∵
∴
∴
∵不一定等于
∴不一定等于
∴不一定成立，
故B选项不正确，不符合题意；
∵不一定等于
∴不一定成立，
故A选项不正确，不符合题意；
∵将绕点顺时针旋转得到，
∴
∴
故C选项不正确，不符合题意；
故答案为：D
【分析】 记与相交于一点H，如图所示： 先根据旋转性质得，进而证得∠BHC=90°，即，可得出选项D正确；再根据角度计算可得出不一定等于 ，得出不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算得出A和C选项是错误的．故而得出正确答案。
8．（2025·汨罗模拟）长沙市某一周内每日最高气温的情况如图所示，下列说法中错误的是（　　）
A．这周最高气温是32℃ B．这组数据的中位数是30
C．这组数据的众数是24 D．周四与周五的最高气温相差8℃
【答案】B
【知识点】折线统计图；中位数；众数
【解析】【解答】解：A、由折线统计图的最高点可得出，这一周的最高气温是32℃，说法正确，故A不符合题意；
B、把这一周的气温数据按照从小到大排列：24，24，26，27，28，30，32，根据中位数定义，可得出这组数据的中位数是27，原说法错误，故B符合题意；
C、24出现了两次，次数最多，所以这组数据的众数是24，说法正确，故C不符合题意；
D、由折线图可知：周四、周五最高温度分别为32℃，24℃，故温差为（℃），说法正确，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】观察折线统计图可得出这一周的最高气温是32℃，可得出A不符合题意；根据中位数定义，结合统计图可得出这组数据的中位数是27，故B符合题意；根据众数定义可得出所以这组数据的众数是24，故C不符合题意；由折线图可知：周四、周五最高温度分别为32℃，24℃，故温差为（℃），可得出D不符合题意；即可得出正确答案为B。
9．（2025·汨罗模拟）如图，是的直径，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：B．
【分析】先利用圆周角定理的推论求得，再根据直角三角形的两个锐角互余求得∠ABC，再利用圆周角定理求得∠D．
10．（2025·汨罗模拟）已知是抛物线（a是常数，上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线；②点在抛物线上；③若，则；④若，则其中，正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：
①抛物线的对称轴是直线，①正确；
②当x=0时，y=3，
∴点在抛物线上，②正确；
③当a＜0时，y1＜y2，
当a＞0时，y1＞y2，③错误；
④由题意得，
∴，④错误；
故答案为：B
【分析】根据二次函数的对称轴公式即可判断①；将x=0代入求出y即可判断②；根据二次函数系数与开口关系结合题意即可判断③；根据二次函数图象的对称性即可判断④。
11．（2025·汨罗模拟）计算：　 　．
【答案】5
【知识点】零指数幂；求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：，
故答案为：5．
【分析】根据绝对值和零指数幂的性质，可化简。
12．（2025·汨罗模拟）如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是　 　．
【答案】
【知识点】几何概率；概率公式
【解析】【解答】解：∵ 该图形为被分成八个面积相等的三角形的正八边形，其中有三个阴影三角形，
∴阴影部分的面积占比为，
∴指针落在阴影区域的概率为，
故答案为：．
【分析】求出阴影区域的面积和整个图形的面积，然后求出阴影面积的占比即可得出指针落在阴影部分的概率。
13．（2025·汨罗模拟）方程的解为　 　.
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：，
方程两边同时乘以x(2x+3)约去分母，
得x+2x+3=0，
解得x=-1，
当x=-1时，x(2x+3)≠0，
∴原分式方程的解为：x=-1.
故答案为：x=-1.
【分析】方程两边同时乘以x(2x+3)约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程根的情况.
14．（2025·汨罗模拟）如图，在正五边形中，连接，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵是正五边形，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据正多边形内角和可得∠C=∠ABC=108°，再根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠CBD，再根据角之间的关系即可求出答案.
15．（2025·汨罗模拟）已知一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为　 　．
【答案】9
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得△，
解得．
故答案为：9．
【分析】利用一元二次方程根的判别式计算求解即可。
16．（2025·汨罗模拟）某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流(单位：)与电阻(单位：)的函数表达式为，当时，的值为　 　．
【答案】4
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵，
∴当时.
故答案为：4
【分析】将R的值代入函数解析式，可求出I的值.
17．（2025·汨罗模拟）如图，焊接一个钢架，包括底角为的等腰三角形外框和3m高的支柱，则共需钢材约　 　m（结果取整数）．（参考数据：，，）
【答案】21
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵是等腰三角形，且，
∴AC=BC，，
在直角三角形ACD中：CD=3m
由，可得：m
由，可得：，
∴AC=BC=5m，AB=2AD=8m，
∴共需钢材约为：；
故答案为：21．
【分析】首先根据等腰三角形的性质得出AC=BC，，然后通过解直角三角形可得出m，，进而得出共需钢材约为：；
18．（2025·汨罗模拟）如图，四边形为正方形，点E是的中点，将正方形沿折叠，得到点B的对应点为点F，延长交线段于点P，若，则的长度为　 　．
【答案】2
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接AP，如图所示，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝AD＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝AB＝3，
由折叠性质可得：AF=AB=6，EF=BE＝AB＝3， ∠AFE＝∠B＝90°，
∴AD＝AF，∠AFP＝∠D＝90°，
在Rt△AFP和Rt△ADP中，
，
∴Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），
∴PF＝PD，
设PF＝PD＝x，则CP＝CD PD＝6 x，EP＝EF＋FP＝3＋x，
在Rt△PEC中，根据勾股定理得：EP2＝EC2＋CP2，
∴（3＋x）2＝32＋（6 x）2，解得x＝2，则DP的长度为2，
故答案为：2．
【分析】首先根据折叠性质得出EF=BE=EC=3，再根据HL通过证明Rt△AFP≌Rt△ADP，可得出PF＝PD，然后设PF＝PD＝x，即可得出CP＝6 x，EP＝3＋x，然后在Rt△CEP中，根据勾股定理可得出关于x的方程（3＋x）2＝32＋（6 x）2，解方程即可求得结果。
19．（2025·汨罗模拟）计算：
【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先根据零指数幂的性质“任何一个不为零的数的零次幂都等于1”、二次格式的性质、特殊锐角三角函数值、绝对值的性质分别化简，再计算乘法，最后计算有理数的减法及合并同类二次根式即可.
20．（2025·汨罗模拟）先化简，再求值：，其中.
【答案】解：
，
，
将代入，
则原式=．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；分式的通分；分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】首先对原式中的括号内式子通分计算，再将分式的分子分母因式分解，然后约分化简，最后代入求值．
21．（2025·汨罗模拟）文明是一座城市的名片，更是一座城市的底蕴．成都市某学校于细微处着眼，于贴心处落地，积极组织师生参加“创建全国文明典范城市志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据统计图信息，解答下列问题：
（1）本次调查的师生共有___________人，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角度数：
（3）该校共有1500名师生，若有的师生参加志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的师生人数．
【答案】（1），
如图所示，
（2）在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角度数为，
（3）估计参加“文明宣传”项目的师生人数为（人）．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：依题意，本次调查的师生共有人，
∴“文明宣传”的人数为（人）
补全统计图，如图所示，
故答案为：．
【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体.
（1）根据“清洁卫生”的人数除以占比可求出样本的容量，利用总人数减去其它几组的人数可求出“文明宣传”的人数，据此可补全统计图；
（2）先求出“敬老服务”的占比，再乘以可求出“敬老服务”对应的圆心角度数；
（3）用样本估计总体，用乘以再乘以“文明宣传”的 比可求出参加“文明宣传”项目的师生人数．．
22．（2025·汨罗模拟）如图，已知，延长到E，使，连接，，，若．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形.
（2）解：如图所示，
∵，
∴．
∵矩形中，，
∴，
∴，
∴．

【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再结合BC=DE，即可证出四边形是矩形；
（2）先利用勾股定理可得，再结合，利用勾股定理求出即可．
23．（2025·汨罗模拟）低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深．低碳环保，绿色出行成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台元，乙型自行车进货价格为每台元．该公司销售台甲型自行车和台乙型自行车，可获利元，销售台甲型自行车和台乙型自行车，可获利元．
（1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？
（2）为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共台，且资金不超过元，最少需要购买甲型自行车多少台？
【答案】（1）解：该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润分别为元，根据题意得，
，
解得：，
答：该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润分别为元；
（2）解：设需要购买甲型自行车台，则购买乙型自行车台，依题意得，
，
解得：，
∵为正整数，
∴的最小值为，
答：最少需要购买甲型自行车台．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润分别为元，根据“公司销售台甲型自行车和台乙型自行车，可获利元，销售台甲型自行车和台乙型自行车，可获利元”即可列出方程组，进而即可求解；
（2）设需要购买甲型自行车台，则购买乙型自行车台，由题意即可列出不等式，进而得到a的取值范围，再根据题意即可求解。
24．（2025·汨罗模拟）如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别向，两港运送物资，最后到达港正东方向的港装运新的物资．甲货轮沿港的东南方向航行海里后到达港，再沿北偏东方向航行一定距离到达港．乙货轮沿港的北偏东方向航行一定距离到达港，再沿南偏东方向航行一定距离到达港．（参考数据：，，）
（1）求，两港之间的距离（结果保留小数点后一位）；
（2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明．
【答案】（1）解：如图，过作于点，
∴，
由题意可知：，，
∴，
∴，
∴，
∴（海里），
∴，两港之间的距离海里；
（2）解：由（）得：，，，
∴，
∴，
由题意得：，，
∴，
∴，（海里），
∴甲行驶路程为：（海里），乙行驶路程为：（海里），
∵，且甲、乙速度相同，
∴甲货轮先到达港．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（）经过点B作AC的垂线，垂足为点E，分别解Rt△BCE和Rt△ABE，可求得，，进一步即可求解即可求解；
（）在三角形ABC中用三角函数可得甲行驶路程为：，在三角形ADC中用三角函数可得乙行驶路程为：，因为速度相同，然后比较行驶路程即可；
（1）如图，过作于点，
∴，
由题意可知：，，
∴，
∴，
∴，
∴（海里），
∴，两港之间的距离海里；
（2）由（）得：，，，
∴，
∴，
由题意得：，，
∴，
∴，（海里），
∴甲行驶路程为：（海里），乙行驶路程为：（海里），
∵，且甲、乙速度相同，
∴甲货轮先到达港．
25．（2025·汨罗模拟）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图①，点为第四象限内抛物线上一动点，连接，当时，求点的坐标；
（3）如图②，连接是线段上的两个动点，且，连接，求的最小值．
【答案】（1）解：由题意可得：，
解得：，
∴抛物线表达式为：；

（2）解：由抛物线的表达式知，
，则，，
∴点，则，
设点，，
∵点为第四象限内抛物线上一动点，，
则，
整理得，
解得：，（不符合题意舍去）
∴，
则点；
（3）解：过点C作且，连接、，
则，点，
∵， 则，
则，
则，
当O、N、D共线时，取等号，
即的最小值．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题；函数几何问题中的最值
【解析】【分析】（1）把A（-2，0）和C（0，-4）分别代入 中，可得出关于b，c的方程组，解方程可求得bc的值，进一步即可得出抛物线的表达式；
（2）根据 点为第四象限内抛物线上一动点， 可设点，，根据抛物线与X轴的交点坐标，可得出，再根据三角形面积计算公式，可得，再解方程并检验即可；
（3）过点C作且，连接、， 证明， 则， 当O、N、D共线时，取等号， 再进一步求解即可．
（1）解：由题意可得：，
解得：，
∴抛物线表达式为：；
（2）解：由抛物线的表达式知，
，则，，
∴点，则，
设点，，
∵点为第四象限内抛物线上一动点，，
则，
整理得，
解得：，（不符合题意舍去）
∴，
则点；
（3）解：过点C作且，连接、，
则，点，
∵， 则，
则，
则，
当O、N、D共线时，取等号，
即的最小值．
26．（2025·汨罗模拟）如图①，在平面直角坐标系中，以点为圆心的圆，交x轴于B，C两点（B在C的左侧），交y轴于A，D两点（A在D的下方）．
【问题提出】
（1）直接写出B、C两点的坐标；
【问题探究】
（2）如图②，将绕点P旋转得到，试说明四边形的形状，并求出点M的坐标；
【问题解决】
（3）在一次数学建模设计大赛上，智慧组操作的四个电子机器人A，B，M，C一开始均在如图③所示的上，其中是的直径，四边形是矩形．表演开始后，机器人B先从点B出发，沿直线与直线之间的某个直线方向运动到上的点E处，然后立即调整方向，沿垂直的方向运动到上的点G处停止；机器人M沿直线先运动到的中点Q处，再沿方向运动到点G处和机器人B汇合．请你通过计算分析，机器人M的两次运动路线形成的的大小是否为定值？若是定值，请计算这个定值；若不是定值，请说明理由．
【答案】解：（1）连接AP，
∵AD=2，
∴AO=，
∵点P（-1，0），
∴OP=1，
∴AP=，
∵ B在C的左侧 ，
∴点B（-3，0），点C（1，0）；
（2）四边形ACMB是矩形。
根据旋转性质可得：和，
∴四边形ACMB是平行四边形，
∵BC是圆P的直径，
∴∠M=90°，
∴ 四边形ACMB是矩形；
∴点M和点A关于点P中心对称，
∵点A（0，-），点P（-1，0），
∴点M的横坐标为：-1-1=-2，纵坐标为：0+=，
即点M的坐标为（-2，）；
（3）是定值，的大小为定值．
∵在和中，点Q为斜边的中点，
，
，
，
，
，
，
故的大小为定值。
【知识点】矩形的判定与性质；垂径定理；解直角三角形；关于原点对称的点的坐标特征；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得出，再由勾股定理求出的长度，即圆P的半径，再根据及 点 即可得出点B（-3，0），点C（1，0）进而得出答案；
（2）根据旋转的性质可得出四边形是平行四边形，再根据圆周角定理证得∠M=90°，根据矩形的判定即可得出四边形是矩形，再根据矩形的中心对称性质，结合点A（0，-），点P（-1，0），即可求得点M的坐标；
（3）首先根据直角三角形斜边中线的性质得出，进而得出和，然后根据外角的性质推出，再由，求出的大小，即可求得的大小为定值．
1 / 1湖南省汨罗市2025年中考二模数学试题
1．（2025·汨罗模拟） 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若向北运动米记作米，则向南运动米可记作（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
2．（2025·汨罗模拟） 据2024年4月18日《天津日报》报道，天津市组织开展了第43届“爱鸟周”大型主题宣传活动．据统计，今春过境我市候鸟总数已超过800000只．将数据800000用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·汨罗模拟）2025年春晚涉及众多“非遗”元素，让“非遗”被更多人了解．如图是一个正方体的展开图，则与“传”字所在面相对的面上的字是（　　）
A．非 B．遗 C．文 D．化
4．（2025·汨罗模拟）在实数，，，中，有理数是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·汨罗模拟）下列命题中，是真命题的是（　　）
A．同旁内角互补
B．两直线被第三条直线所截，截得的内错角相等
C．三角形的外角大于三角形的内角
D．对顶角相等
6．（2025·汨罗模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·汨罗模拟）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·汨罗模拟）长沙市某一周内每日最高气温的情况如图所示，下列说法中错误的是（　　）
A．这周最高气温是32℃ B．这组数据的中位数是30
C．这组数据的众数是24 D．周四与周五的最高气温相差8℃
9．（2025·汨罗模拟）如图，是的直径，，则（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·汨罗模拟）已知是抛物线（a是常数，上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线；②点在抛物线上；③若，则；④若，则其中，正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2025·汨罗模拟）计算：　 　．
12．（2025·汨罗模拟）如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是　 　．
13．（2025·汨罗模拟）方程的解为　 　.
14．（2025·汨罗模拟）如图，在正五边形中，连接，则的度数为　 　．
15．（2025·汨罗模拟）已知一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为　 　．
16．（2025·汨罗模拟）某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流(单位：)与电阻(单位：)的函数表达式为，当时，的值为　 　．
17．（2025·汨罗模拟）如图，焊接一个钢架，包括底角为的等腰三角形外框和3m高的支柱，则共需钢材约　 　m（结果取整数）．（参考数据：，，）
18．（2025·汨罗模拟）如图，四边形为正方形，点E是的中点，将正方形沿折叠，得到点B的对应点为点F，延长交线段于点P，若，则的长度为　 　．
19．（2025·汨罗模拟）计算：
20．（2025·汨罗模拟）先化简，再求值：，其中.
21．（2025·汨罗模拟）文明是一座城市的名片，更是一座城市的底蕴．成都市某学校于细微处着眼，于贴心处落地，积极组织师生参加“创建全国文明典范城市志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据统计图信息，解答下列问题：
（1）本次调查的师生共有___________人，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角度数：
（3）该校共有1500名师生，若有的师生参加志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的师生人数．
22．（2025·汨罗模拟）如图，已知，延长到E，使，连接，，，若．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，求的长．
23．（2025·汨罗模拟）低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深．低碳环保，绿色出行成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台元，乙型自行车进货价格为每台元．该公司销售台甲型自行车和台乙型自行车，可获利元，销售台甲型自行车和台乙型自行车，可获利元．
（1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？
（2）为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共台，且资金不超过元，最少需要购买甲型自行车多少台？
24．（2025·汨罗模拟）如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别向，两港运送物资，最后到达港正东方向的港装运新的物资．甲货轮沿港的东南方向航行海里后到达港，再沿北偏东方向航行一定距离到达港．乙货轮沿港的北偏东方向航行一定距离到达港，再沿南偏东方向航行一定距离到达港．（参考数据：，，）
（1）求，两港之间的距离（结果保留小数点后一位）；
（2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明．
25．（2025·汨罗模拟）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图①，点为第四象限内抛物线上一动点，连接，当时，求点的坐标；
（3）如图②，连接是线段上的两个动点，且，连接，求的最小值．
26．（2025·汨罗模拟）如图①，在平面直角坐标系中，以点为圆心的圆，交x轴于B，C两点（B在C的左侧），交y轴于A，D两点（A在D的下方）．
【问题提出】
（1）直接写出B、C两点的坐标；
【问题探究】
（2）如图②，将绕点P旋转得到，试说明四边形的形状，并求出点M的坐标；
【问题解决】
（3）在一次数学建模设计大赛上，智慧组操作的四个电子机器人A，B，M，C一开始均在如图③所示的上，其中是的直径，四边形是矩形．表演开始后，机器人B先从点B出发，沿直线与直线之间的某个直线方向运动到上的点E处，然后立即调整方向，沿垂直的方向运动到上的点G处停止；机器人M沿直线先运动到的中点Q处，再沿方向运动到点G处和机器人B汇合．请你通过计算分析，机器人M的两次运动路线形成的的大小是否为定值？若是定值，请计算这个定值；若不是定值，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵向北运动米记作米，
∴向南运动米可记作米 ，
故答案为：B
【分析】根据正数和负数表示相反意义的量结合题意即可求解。
2．【答案】C
【知识点】还原用科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 800000 =8×105.
故答案为：C.
【分析】根据＞10的科学记数法的规范写法a×10n，这里a=8，n=5，即可得出答案。
3．【答案】C
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：在此正方体的展开图上，与“传”字所在面相对的面上的字是 “文”．
故答案为 ：C．
【分析】根据正方体平面展开图上相对面之间一定相隔一个正方形，即可得出答案。
4．【答案】C
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【解答】解：在实数，，，中，有理数为，，，都是开方开不尽的数，都是无理数.
故答案为：C.
【分析】实数分为有理数与无理数，有限小数与无限循环小数就是有理数，有理数分为整数和分数，而整数又分为正整数、0、负整数，分数又分为正分数、负分数；无限不循环的小数就是无理数，常见无理数有：①根号型的数：开方开不尽的数，② 与有关的数，③构造型：像0.1010010001…（两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④三角函数型：如sin60°等，根据定义即可一一判断得出答案.据此判断即可得出答案.
5．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；内错角的概念；同旁内角的概念；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、在两直线平行的情况下，同旁内角互补，若两直线不平行，同旁内角不互补，所以“同旁内角互补”这个命题缺少“两直线平行”的前提，所以原命题是假命题，不符合题意；
B、必须是“两平行直线”被第三条直线所截，截得的内错角相等，所以“两直线被第三条直线所截，截得的内错角相等 "这个命题缺少”两平行直线“的前提，所以原命题是假命题，不符合题意；
C、准确表述应是三角形的外角大于与其不相邻的内角，所以原命题是假命题，不符合题意；
D、对顶角相等，原命题是真命题，符合题意；
故答案为：D．
【分析】依据平行线性质，三角形外角性质以及对顶角的定义可分别判断各个命题的真假，即可得出答案。
6．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：对于A，，故A错误，不符合题意；
对于B，，故B错误，不符合题意；
对于C，，故C错误，不符合题意；
对于D，，故D正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】逐一判断选项即可，即由同底数幂乘除法判断A，B，结合合并同类项代数式加法运算判断C，幂的乘方运算判断D.
7．【答案】D
【知识点】垂线的概念；平行线的判定；三角形内角和定理；旋转的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：记与相交于一点H，如图所示：
∵中，将绕点顺时针旋转得到，
∴
∵
∴在中，
∴
故D选项是正确的，符合题意；
设
∴
∵
∴
∴
∵不一定等于
∴不一定等于
∴不一定成立，
故B选项不正确，不符合题意；
∵不一定等于
∴不一定成立，
故A选项不正确，不符合题意；
∵将绕点顺时针旋转得到，
∴
∴
故C选项不正确，不符合题意；
故答案为：D
【分析】 记与相交于一点H，如图所示： 先根据旋转性质得，进而证得∠BHC=90°，即，可得出选项D正确；再根据角度计算可得出不一定等于 ，得出不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算得出A和C选项是错误的．故而得出正确答案。
8．【答案】B
【知识点】折线统计图；中位数；众数
【解析】【解答】解：A、由折线统计图的最高点可得出，这一周的最高气温是32℃，说法正确，故A不符合题意；
B、把这一周的气温数据按照从小到大排列：24，24，26，27，28，30，32，根据中位数定义，可得出这组数据的中位数是27，原说法错误，故B符合题意；
C、24出现了两次，次数最多，所以这组数据的众数是24，说法正确，故C不符合题意；
D、由折线图可知：周四、周五最高温度分别为32℃，24℃，故温差为（℃），说法正确，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】观察折线统计图可得出这一周的最高气温是32℃，可得出A不符合题意；根据中位数定义，结合统计图可得出这组数据的中位数是27，故B符合题意；根据众数定义可得出所以这组数据的众数是24，故C不符合题意；由折线图可知：周四、周五最高温度分别为32℃，24℃，故温差为（℃），可得出D不符合题意；即可得出正确答案为B。
9．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：B．
【分析】先利用圆周角定理的推论求得，再根据直角三角形的两个锐角互余求得∠ABC，再利用圆周角定理求得∠D．
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：
①抛物线的对称轴是直线，①正确；
②当x=0时，y=3，
∴点在抛物线上，②正确；
③当a＜0时，y1＜y2，
当a＞0时，y1＞y2，③错误；
④由题意得，
∴，④错误；
故答案为：B
【分析】根据二次函数的对称轴公式即可判断①；将x=0代入求出y即可判断②；根据二次函数系数与开口关系结合题意即可判断③；根据二次函数图象的对称性即可判断④。
11．【答案】5
【知识点】零指数幂；求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：，
故答案为：5．
【分析】根据绝对值和零指数幂的性质，可化简。
12．【答案】
【知识点】几何概率；概率公式
【解析】【解答】解：∵ 该图形为被分成八个面积相等的三角形的正八边形，其中有三个阴影三角形，
∴阴影部分的面积占比为，
∴指针落在阴影区域的概率为，
故答案为：．
【分析】求出阴影区域的面积和整个图形的面积，然后求出阴影面积的占比即可得出指针落在阴影部分的概率。
13．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：，
方程两边同时乘以x(2x+3)约去分母，
得x+2x+3=0，
解得x=-1，
当x=-1时，x(2x+3)≠0，
∴原分式方程的解为：x=-1.
故答案为：x=-1.
【分析】方程两边同时乘以x(2x+3)约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程根的情况.
14．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵是正五边形，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据正多边形内角和可得∠C=∠ABC=108°，再根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠CBD，再根据角之间的关系即可求出答案.
15．【答案】9
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得△，
解得．
故答案为：9．
【分析】利用一元二次方程根的判别式计算求解即可。
16．【答案】4
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵，
∴当时.
故答案为：4
【分析】将R的值代入函数解析式，可求出I的值.
17．【答案】21
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵是等腰三角形，且，
∴AC=BC，，
在直角三角形ACD中：CD=3m
由，可得：m
由，可得：，
∴AC=BC=5m，AB=2AD=8m，
∴共需钢材约为：；
故答案为：21．
【分析】首先根据等腰三角形的性质得出AC=BC，，然后通过解直角三角形可得出m，，进而得出共需钢材约为：；
18．【答案】2
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接AP，如图所示，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝AD＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝AB＝3，
由折叠性质可得：AF=AB=6，EF=BE＝AB＝3， ∠AFE＝∠B＝90°，
∴AD＝AF，∠AFP＝∠D＝90°，
在Rt△AFP和Rt△ADP中，
，
∴Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），
∴PF＝PD，
设PF＝PD＝x，则CP＝CD PD＝6 x，EP＝EF＋FP＝3＋x，
在Rt△PEC中，根据勾股定理得：EP2＝EC2＋CP2，
∴（3＋x）2＝32＋（6 x）2，解得x＝2，则DP的长度为2，
故答案为：2．
【分析】首先根据折叠性质得出EF=BE=EC=3，再根据HL通过证明Rt△AFP≌Rt△ADP，可得出PF＝PD，然后设PF＝PD＝x，即可得出CP＝6 x，EP＝3＋x，然后在Rt△CEP中，根据勾股定理可得出关于x的方程（3＋x）2＝32＋（6 x）2，解方程即可求得结果。
19．【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先根据零指数幂的性质“任何一个不为零的数的零次幂都等于1”、二次格式的性质、特殊锐角三角函数值、绝对值的性质分别化简，再计算乘法，最后计算有理数的减法及合并同类二次根式即可.
20．【答案】解：
，
，
将代入，
则原式=．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；分式的通分；分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】首先对原式中的括号内式子通分计算，再将分式的分子分母因式分解，然后约分化简，最后代入求值．
21．【答案】（1），
如图所示，
（2）在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角度数为，
（3）估计参加“文明宣传”项目的师生人数为（人）．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：依题意，本次调查的师生共有人，
∴“文明宣传”的人数为（人）
补全统计图，如图所示，
故答案为：．
【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体.
（1）根据“清洁卫生”的人数除以占比可求出样本的容量，利用总人数减去其它几组的人数可求出“文明宣传”的人数，据此可补全统计图；
（2）先求出“敬老服务”的占比，再乘以可求出“敬老服务”对应的圆心角度数；
（3）用样本估计总体，用乘以再乘以“文明宣传”的 比可求出参加“文明宣传”项目的师生人数．．
22．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形.
（2）解：如图所示，
∵，
∴．
∵矩形中，，
∴，
∴，
∴．

【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再结合BC=DE，即可证出四边形是矩形；
（2）先利用勾股定理可得，再结合，利用勾股定理求出即可．
23．【答案】（1）解：该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润分别为元，根据题意得，
，
解得：，
答：该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润分别为元；
（2）解：设需要购买甲型自行车台，则购买乙型自行车台，依题意得，
，
解得：，
∵为正整数，
∴的最小值为，
答：最少需要购买甲型自行车台．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润分别为元，根据“公司销售台甲型自行车和台乙型自行车，可获利元，销售台甲型自行车和台乙型自行车，可获利元”即可列出方程组，进而即可求解；
（2）设需要购买甲型自行车台，则购买乙型自行车台，由题意即可列出不等式，进而得到a的取值范围，再根据题意即可求解。
24．【答案】（1）解：如图，过作于点，
∴，
由题意可知：，，
∴，
∴，
∴，
∴（海里），
∴，两港之间的距离海里；
（2）解：由（）得：，，，
∴，
∴，
由题意得：，，
∴，
∴，（海里），
∴甲行驶路程为：（海里），乙行驶路程为：（海里），
∵，且甲、乙速度相同，
∴甲货轮先到达港．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（）经过点B作AC的垂线，垂足为点E，分别解Rt△BCE和Rt△ABE，可求得，，进一步即可求解即可求解；
（）在三角形ABC中用三角函数可得甲行驶路程为：，在三角形ADC中用三角函数可得乙行驶路程为：，因为速度相同，然后比较行驶路程即可；
（1）如图，过作于点，
∴，
由题意可知：，，
∴，
∴，
∴，
∴（海里），
∴，两港之间的距离海里；
（2）由（）得：，，，
∴，
∴，
由题意得：，，
∴，
∴，（海里），
∴甲行驶路程为：（海里），乙行驶路程为：（海里），
∵，且甲、乙速度相同，
∴甲货轮先到达港．
25．【答案】（1）解：由题意可得：，
解得：，
∴抛物线表达式为：；

（2）解：由抛物线的表达式知，
，则，，
∴点，则，
设点，，
∵点为第四象限内抛物线上一动点，，
则，
整理得，
解得：，（不符合题意舍去）
∴，
则点；
（3）解：过点C作且，连接、，
则，点，
∵， 则，
则，
则，
当O、N、D共线时，取等号，
即的最小值．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题；函数几何问题中的最值
【解析】【分析】（1）把A（-2，0）和C（0，-4）分别代入 中，可得出关于b，c的方程组，解方程可求得bc的值，进一步即可得出抛物线的表达式；
（2）根据 点为第四象限内抛物线上一动点， 可设点，，根据抛物线与X轴的交点坐标，可得出，再根据三角形面积计算公式，可得，再解方程并检验即可；
（3）过点C作且，连接、， 证明， 则， 当O、N、D共线时，取等号， 再进一步求解即可．
（1）解：由题意可得：，
解得：，
∴抛物线表达式为：；
（2）解：由抛物线的表达式知，
，则，，
∴点，则，
设点，，
∵点为第四象限内抛物线上一动点，，
则，
整理得，
解得：，（不符合题意舍去）
∴，
则点；
（3）解：过点C作且，连接、，
则，点，
∵， 则，
则，
则，
当O、N、D共线时，取等号，
即的最小值．
26．【答案】解：（1）连接AP，
∵AD=2，
∴AO=，
∵点P（-1，0），
∴OP=1，
∴AP=，
∵ B在C的左侧 ，
∴点B（-3，0），点C（1，0）；
（2）四边形ACMB是矩形。
根据旋转性质可得：和，
∴四边形ACMB是平行四边形，
∵BC是圆P的直径，
∴∠M=90°，
∴ 四边形ACMB是矩形；
∴点M和点A关于点P中心对称，
∵点A（0，-），点P（-1，0），
∴点M的横坐标为：-1-1=-2，纵坐标为：0+=，
即点M的坐标为（-2，）；
（3）是定值，的大小为定值．
∵在和中，点Q为斜边的中点，
，
，
，
，
，
，
故的大小为定值。
【知识点】矩形的判定与性质；垂径定理；解直角三角形；关于原点对称的点的坐标特征；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得出，再由勾股定理求出的长度，即圆P的半径，再根据及 点 即可得出点B（-3，0），点C（1，0）进而得出答案；
（2）根据旋转的性质可得出四边形是平行四边形，再根据圆周角定理证得∠M=90°，根据矩形的判定即可得出四边形是矩形，再根据矩形的中心对称性质，结合点A（0，-），点P（-1，0），即可求得点M的坐标；
（3）首先根据直角三角形斜边中线的性质得出，进而得出和，然后根据外角的性质推出，再由，求出的大小，即可求得的大小为定值．
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