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湖北省孝感市部分高中2024-2025学年高一下学期7月期末联考数学试题
1．（2025高一下·孝感期末）在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2025高一下·孝感期末）在 中， ，BC边上的高等于 ，则 （　　）
A． B． C． D．
3．（2025高一下·孝感期末）已知向量，不共线，且，，若与反向共线，则实数的值为（　　）
A．1 B． C． D．-2
4．（2025高一下·孝感期末）如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数的图形，图中四边形ABCD的对角线相交于点O，若，则（　　）
A．1 B． C． D．5
5．（2025高一下·孝感期末）如图，正三棱柱的底面是边长为3的正三角形，侧棱，一小虫从点A途经三个侧面爬到点，则小虫爬行的最短距离为（　　）
A．4 B．5 C． D．
6．（2025高一下·孝感期末）若是不在同一平面内的三条线段，则过它们中点的平面和直线的位置关系是 (　　)
A．平行 B．相交
C．在此平面内 D．平行或相交
7．（2025高一下·孝感期末）某校对学生在寒假中参加社会实践活动的时间（单位：小时）进行调查，并根据统计数据绘制了如图所示的频率分布直方图，其中实践活动时间的范围是[9，14]，数据的分组依次为：[9，10），[10，11），[11，12），[12，13），[13，14]．已知活动时间在[9，10）内的人数为300，则活动时间在[11，12）内的人数为（　　）
A．600 B．800 C．1000 D．1200
8．（2025高一下·孝感期末）若一组样本数据、、、的平均数为10，另一组样本数据、、、的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数和方差分别为（　　）
A．17，54 B．17，48 C．15，54 D．15，48
9．（2025高一下·孝感期末）下列函数中，周期为π，且在区间上单调递增的是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025高一下·孝感期末）已知为复数，设，，在复平面上对应的点分别为A，B，C，其中O为坐标原点，则（　　）
A． B． C． D．
11．（2025高一下·孝感期末）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述错误的是（　　）
A．CC1与B1E是异面直线 B．C1C与AE共面
C．AE与B1C1是异面直线 D．AE与B1C1所成的角为60°
12．（2025高一下·孝感期末）如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是，则　 　．
13．（2025高一下·孝感期末）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为　 　 .
14．（2025高一下·孝感期末）为庆祝中国共产党第二十次代表大会胜利闭幕，某高中学校在学生中开展了“学精神，悟思想，谈收获”的二十大精神宣讲主题活动．为了解该校学生参加主题学习活动的具体情况，校团委利用分层抽样的方法从三个年级中抽取了260人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了85人．已知该校高三年级共有720名学生，则该校共有学生　 　人．
15．（2025高一下·孝感期末）已知，且函数．
（1）化简；
（2）若，求和的值．
16．（2025高一下·孝感期末）的内角的对边分别为，设.
（1）求C
（2）若，求A
17．（2025高一下·孝感期末）已知在中，角的对边分别为，向量，.
（1）求角的大小；
（2）若成等差数列，且，求.
18．（2025高一下·孝感期末）如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE．
19．（2025高一下·孝感期末）为了庆祝党的二十大胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高中在全校三个年级开展了一次“不负时代，不负韶华，做好社会主义接班人”演讲比赛.共1500名学生参与比赛，现从各年级参赛学生中随机抽取200名学生，并按成绩分为五组：，，，，，得到如下频率分布直方图，且第五组中高三学生占.
（1）求抽取的200名学生的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）；
（2）若在第五组中，按照各年级人数比例采用分层随机抽样的方法抽取7人，再从中选取2人组成宣讲组，在校内进行义务宣讲，求这2人都是高三学生的概率；
（3）若比赛成绩（为样本数据的标准差），则认为成绩优秀，试估计参赛的1500名学生成绩优秀的人数.
参考公式：，（是第组的频率），参考数据：
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题可知角的终边经过点，
因为，，所以.
又因为.
所以.
综上，，
故选：D.
【分析】用特殊角三角函数值，确定点P坐标 ，依据三角函数定义，算P到原点距离r 。代入，求出结果 .
2．【答案】C
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】设
，
故答案为：C.
【分析】结合正弦定理，由两角和的余弦公式计算可得所求结果.
3．【答案】B
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】解：与反向共线，则存在实数k使（），
于是，
由于，不共线，所以有，整理得，解得或.
又因为，所以，故.
故选：B.
【分析】利用向量反向共线的定义，设（），建立等式；代入、的表达式，依据共线向量相等的条件（系数对应相等）列方程组，解方程组后，结合的限制筛选出符合条件的.
4．【答案】B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：由，，根据勾股定理逆定理，得 .
以C为坐标原点，AC所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
如图所示，则，
设，则，，
由，所以，可得.
故选：B.
【分析】通过勾股定理逆定理判断，为建坐标系创造垂直条件；以为原点建系，利用图形边长确定各点坐标，设坐标，用坐标表示和；根据，利用向量坐标对应相等列方程组，解出 .
5．【答案】C
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题
【解析】【解答】解：三棱柱的侧面展开图为一个矩形，如图所示，
因为正三角形ABC的边长为3，侧棱，所以，
所以，即小虫爬行的最短距离为，
故选：C.
【分析】首先利用正三棱柱侧面展开图，将‘空间曲面爬行路径’转化为‘平面矩形对角线’，简化问题；然后展开图的水平边长由底面正三角形周长（倍边长）确定，竖直边长为侧棱长度；最后通过矩形对角线公式（勾股定理），直接求出最短距离.
6．【答案】A
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【解答】解：
如图，设的中点分别为，则确定一个平面．
连．
在中，是中点，是中点，根据三角形中位线定理，中位线．
又平面，平面．
所以平面．
即过它们中点的平面和直线的位置关系是平行．
故选：A.
【分析】利用三角形中位线定理，找到与平行的线段；通过‘线线平行’（ ）结合‘线面平行判定条件’（在平面外，在平面内 ），直接推出与平面平行．
7．【答案】D
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：活动时间在[9，10）内的频率为0.10，在[11，12）内的频率为0.40，已知活动时间在内的人数为，设活动时间在[11，12）内的人数为x，则，解得x＝1 200．
故选：D．
【分析】首先从频率分布直方图中获取和区间的频率（利用与组距为的关系 ）然后依据‘各区间相等’的原理（源于频率的定义：频率，总人数固定 ），建立比例等式，最后代入已知的区间人数和频率，求解区间的人数即可．
8．【答案】A
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】由题意可知，数据、、、的平均数为10，则，则
所以，数据、、、的平均数为
，
方差为，
所以，，
将两组数据合并后，新数据、、、、、、、的平均数为
，
方差为
.
故答案为：A.
【分析】利用平均数和方差的性质直接求解，可得答案.
9．【答案】A,C
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性
【解析】【解答】解：对于A，的周期为π，当时，在上为负， ，因为在上单调递减，所以在上单调递增 ，A符合题意；
对于B，正切函数的周期为所以的周期为，B不符合题意；
对于C，的周期为π，余弦函数的单调递增区间是（ ），令，则，即 ，当时，单调递增区间为，所以在上单调递增 ，C符合题意；
对于D，的周期为π，令（ ），解得 ，当时，单调递减区间为；当时，单调递增区间为 ，所以在上先减后增（不单调），D不符合题意.
故选：AC.
【分析】对每个函数，根据三角函数周期公式（、周期为；周期为 ），判断周期是否为，筛除周期不符的选项，对周期符合的选项，通过‘换元法’（令 ）转化为基本三角函数（、 ）的单调性，结合的区间，判断原函数在上的单调性，筛除单调不符的选项.
10．【答案】A,B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量垂直的坐标表示；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：设，，
，，
，，
A、，A正确；
B、，，B正确；
C、，
当时，，C错误；
D、 ，
可以为零，也可以不为零，所以不一定平行于，D错误.
故选：AB.
【分析】首先设出复数，依据复数的几何意义，确定其本身、共轭复数、乘以后对应的复平面坐标，进而得到对应向量，
A、分别计算与的模长，利用根式运算和平方的非负性，验证模长是否相等；
B、通过计算与的数量积，若数量积为，则两向量垂直；
C、分别计算与的模长，展开对比，结合时的情况，判断模长是否相等；
D、根据向量平行的坐标关系列出等式，分析等式是否恒成立，判断两向量是否一定平行；
11．【答案】A,B,D
【知识点】异面直线所成的角；异面直线的判定
【解析】【解答】解：对于A，和都在平面内（棱柱的侧面是平面，、是侧面内的线段 ），根据“共面直线”定义（在同一平面内的直线 ），故与 共面，A错误.
对于B，在平面内，与平面交于点，且不在上（是中点，与相交于 ），
根据“异面直线”定义（不同在任何一个平面内 ），与 是异面直线，B错误.
对于C，在平面内，在平面内，且与不相交（，与交于，但不延伸到所在平面 ），根据“异面直线”定义，与 是异面直线，C正确，
对于D，因（棱柱上下底面对应边平行 ），故与所成角等于与所成角（异面直线夹角的平移转化 ），
又是正三角形（底面是正三角形，棱柱底面全等 ），是中点，故（正三角形中线与高重合 ），即与所成角为，因此与所成角为，D错误。
故选：ABD.
【分析】首先依据‘直线是否在同一平面内’，结合棱柱的侧面、底面结构，判断直线是否共面，然后利用‘平行边转化’，将异面直线夹角转化为平面内直线夹角，结合正三角形性质（中线垂直底边 ）求解角度.
12．【答案】
【知识点】复数在复平面中的表示；复数的模；平面内两点间距离公式的应用
【解析】【解答】解：由图像可知，，所以，所以.
故填：.
【分析】利用复平面内点与复数的一一对应关系（坐标对应复数），确定和，然后进行复数减法运算，得到的结果，最后依据复数模的计算公式（），算出的值.
13．【答案】28
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】如图
根据题意，如图，，，，
由相似易得 ，
，，，
故答案为：28
【分析】由相似易得所截棱台的高，结合棱台体积公式直接求解。
14．【答案】
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：利用分层抽样的方法从三个年级中抽取了260人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了85人，可得高三年级共有90人，又由高三年级共有720名学生，则每个学生被抽到的概率为，设该校共有名学生，可得，解得（人），即该校共有名学生.
故填：.
【分析】首先通过总抽取人数减去高一、高二抽取人数，得到高三抽取人数，然后利用等概率性，在分层抽样中，每个个体被抽取的概率等于 ‘某层抽取人数 ÷ 该层总人数’，且全校概率相同，最后建立方程求解，根据全校抽取人数与总人数的比例等于高三抽取的概率，列方程求出全校总人数.
15．【答案】（1）解：
（2）解：由，平方可得，
即．
所以．
又因为，∴，，
所以，
因为，
所以．
【知识点】同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）利用诱导公式先转化，再对含根号的式子通过同乘分母有理化，结合的范围确定根号开方后符号，逐步化简得到，核心是三角恒等变换公式的运用。
（2）已知的值，通过平方结合求出，再利用完全平方公式，结合范围确定的符号，进而求出其值.
（1）．
（2）由，
平方可得，
即．
∴．
又，∴，，
∴，
∵，
∴．
16．【答案】（1）解：因为，由正弦定理得，化简得，
所以.
因为，所以.
（2）解：因为，由正弦定理得，又，
由，所以，即.
因为，所以，
所以，即.
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】(1) 利用正弦定理将角化为边，通过等式变形得到边的关系，再代入余弦定理求出，结合的范围确定的值，核心是正弦定理与余弦定理的综合运用.
(2)先由正弦定理将边的等式转化为角的等式，再利用三角形内角和将转化为并展开，经过化简得到，结合的范围求出，关键是边角转化和三角恒等变换的运用.
（1）因为，由正弦定理得，化简得，
所以.
因为，所以.
（2）因为，由正弦定理得，又，
由，所以，即.
因为，所以，
所以，即.
17．【答案】（1）解：因为，
所以，
因为在中，，
所以，所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
因为，所以.
（2）解：由成等差数列，
可得，
由正弦定理得，
因为，所以，
所以，得，
由余弦定理得，
所以，，
所以.
【知识点】等差数列的性质；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算；余弦定理
【解析】【分析】(1) 先计算，利用向量数量积坐标公式展开，结合两角和的正弦公式化简，得到 ，然后根据三角形内角和，得，利用诱导公式，结合已知，得到等式 ，最后利用二倍角公式，转化为，结合（ ），求出，进而确定.
(2) 由成等差数列，得 ，然后根据正弦定理（为三角形外接圆半径 ），将角的关系转化为边的关系 ，再对进行化简，，所以，结合已知其值为，及，得，即， 最后再根据余弦定理，结合和，将两边平方得，即，代入余弦定理式子，求出的值.
（1）因为，
所以，
因为在中，，
所以，所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
因为，所以，
（2）由成等差数列，
可得，
由正弦定理得，
因为，所以，
所以，得，
由余弦定理得，
所以，，
所以.
18．【答案】（1）证明：因为PA⊥平面ABCD，
所以PA⊥BD．
因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC．
又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC．
（2）证明：因为PA⊥平面ABCD，AE 平面ABCD，
所以PA⊥AE．
因为底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，
且E为CD的中点，所以AE⊥CD．所以AB⊥AE．
又AB∩PA＝A，所以AE⊥平面PAB．
因为AE 平面PAE，
所以平面PAB⊥平面PAE．
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）先利用线面垂直性质得，再由菱形性质得，最后依据线面垂直判定定理，通过与相交，证得平面，核心是线面垂直性质与判定定理的运用.
（2）先由线面垂直性质得，再结合菱形及角度条件证，进而得平面，最后依据面面垂直判定定理，由平面证得平面平面，关键是线面垂直、面面垂直判定定理的连续应用.
19．【答案】（1）解：由题可得，
答：抽取的200名学生的平均成绩.
（2）解：由于第五组总共要抽取7人，高三学生占，所以抽到的高三学生应该有人，
所以由古典概型可得这2人都是高三学生的概率为.
（3）解：由题可得，
所以优秀的比赛成绩应该，
而比赛成绩在的频率为：，
而（人），
答：参赛的1500名学生成绩优秀的人数为人.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1） 频率分布直方图中，平均成绩 = 每组中点值 × 对应频率之和，直接代入计算.
（2） 先由分层抽样确定高三人数，再用古典概型（组合数）计算‘2 人都是高三’的概率.
（3）先算标准差s，确定优秀成绩区间，再算该区间频率，最后用全校人数 × 频率估算优秀人数.
（1）依题意，得
，
所以抽取的200名学生的平均成绩.
（2）由于第五组总共要抽取7人，高三学生占，所以抽到的高三学生应该有人，
所以由古典概型可得这2人都是高三学生的概率为.
（3）依题意，得
，
所以优秀的比赛成绩应该，
而比赛成绩在的频率为：，
而，
故参赛的1500名学生成绩优秀的人数为人.
1 / 1湖北省孝感市部分高中2024-2025学年高一下学期7月期末联考数学试题
1．（2025高一下·孝感期末）在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题可知角的终边经过点，
因为，，所以.
又因为.
所以.
综上，，
故选：D.
【分析】用特殊角三角函数值，确定点P坐标 ，依据三角函数定义，算P到原点距离r 。代入，求出结果 .
2．（2025高一下·孝感期末）在 中， ，BC边上的高等于 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】设
，
故答案为：C.
【分析】结合正弦定理，由两角和的余弦公式计算可得所求结果.
3．（2025高一下·孝感期末）已知向量，不共线，且，，若与反向共线，则实数的值为（　　）
A．1 B． C． D．-2
【答案】B
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】解：与反向共线，则存在实数k使（），
于是，
由于，不共线，所以有，整理得，解得或.
又因为，所以，故.
故选：B.
【分析】利用向量反向共线的定义，设（），建立等式；代入、的表达式，依据共线向量相等的条件（系数对应相等）列方程组，解方程组后，结合的限制筛选出符合条件的.
4．（2025高一下·孝感期末）如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数的图形，图中四边形ABCD的对角线相交于点O，若，则（　　）
A．1 B． C． D．5
【答案】B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：由，，根据勾股定理逆定理，得 .
以C为坐标原点，AC所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
如图所示，则，
设，则，，
由，所以，可得.
故选：B.
【分析】通过勾股定理逆定理判断，为建坐标系创造垂直条件；以为原点建系，利用图形边长确定各点坐标，设坐标，用坐标表示和；根据，利用向量坐标对应相等列方程组，解出 .
5．（2025高一下·孝感期末）如图，正三棱柱的底面是边长为3的正三角形，侧棱，一小虫从点A途经三个侧面爬到点，则小虫爬行的最短距离为（　　）
A．4 B．5 C． D．
【答案】C
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题
【解析】【解答】解：三棱柱的侧面展开图为一个矩形，如图所示，
因为正三角形ABC的边长为3，侧棱，所以，
所以，即小虫爬行的最短距离为，
故选：C.
【分析】首先利用正三棱柱侧面展开图，将‘空间曲面爬行路径’转化为‘平面矩形对角线’，简化问题；然后展开图的水平边长由底面正三角形周长（倍边长）确定，竖直边长为侧棱长度；最后通过矩形对角线公式（勾股定理），直接求出最短距离.
6．（2025高一下·孝感期末）若是不在同一平面内的三条线段，则过它们中点的平面和直线的位置关系是 (　　)
A．平行 B．相交
C．在此平面内 D．平行或相交
【答案】A
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【解答】解：
如图，设的中点分别为，则确定一个平面．
连．
在中，是中点，是中点，根据三角形中位线定理，中位线．
又平面，平面．
所以平面．
即过它们中点的平面和直线的位置关系是平行．
故选：A.
【分析】利用三角形中位线定理，找到与平行的线段；通过‘线线平行’（ ）结合‘线面平行判定条件’（在平面外，在平面内 ），直接推出与平面平行．
7．（2025高一下·孝感期末）某校对学生在寒假中参加社会实践活动的时间（单位：小时）进行调查，并根据统计数据绘制了如图所示的频率分布直方图，其中实践活动时间的范围是[9，14]，数据的分组依次为：[9，10），[10，11），[11，12），[12，13），[13，14]．已知活动时间在[9，10）内的人数为300，则活动时间在[11，12）内的人数为（　　）
A．600 B．800 C．1000 D．1200
【答案】D
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：活动时间在[9，10）内的频率为0.10，在[11，12）内的频率为0.40，已知活动时间在内的人数为，设活动时间在[11，12）内的人数为x，则，解得x＝1 200．
故选：D．
【分析】首先从频率分布直方图中获取和区间的频率（利用与组距为的关系 ）然后依据‘各区间相等’的原理（源于频率的定义：频率，总人数固定 ），建立比例等式，最后代入已知的区间人数和频率，求解区间的人数即可．
8．（2025高一下·孝感期末）若一组样本数据、、、的平均数为10，另一组样本数据、、、的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数和方差分别为（　　）
A．17，54 B．17，48 C．15，54 D．15，48
【答案】A
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】由题意可知，数据、、、的平均数为10，则，则
所以，数据、、、的平均数为
，
方差为，
所以，，
将两组数据合并后，新数据、、、、、、、的平均数为
，
方差为
.
故答案为：A.
【分析】利用平均数和方差的性质直接求解，可得答案.
9．（2025高一下·孝感期末）下列函数中，周期为π，且在区间上单调递增的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性
【解析】【解答】解：对于A，的周期为π，当时，在上为负， ，因为在上单调递减，所以在上单调递增 ，A符合题意；
对于B，正切函数的周期为所以的周期为，B不符合题意；
对于C，的周期为π，余弦函数的单调递增区间是（ ），令，则，即 ，当时，单调递增区间为，所以在上单调递增 ，C符合题意；
对于D，的周期为π，令（ ），解得 ，当时，单调递减区间为；当时，单调递增区间为 ，所以在上先减后增（不单调），D不符合题意.
故选：AC.
【分析】对每个函数，根据三角函数周期公式（、周期为；周期为 ），判断周期是否为，筛除周期不符的选项，对周期符合的选项，通过‘换元法’（令 ）转化为基本三角函数（、 ）的单调性，结合的区间，判断原函数在上的单调性，筛除单调不符的选项.
10．（2025高一下·孝感期末）已知为复数，设，，在复平面上对应的点分别为A，B，C，其中O为坐标原点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量垂直的坐标表示；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：设，，
，，
，，
A、，A正确；
B、，，B正确；
C、，
当时，，C错误；
D、 ，
可以为零，也可以不为零，所以不一定平行于，D错误.
故选：AB.
【分析】首先设出复数，依据复数的几何意义，确定其本身、共轭复数、乘以后对应的复平面坐标，进而得到对应向量，
A、分别计算与的模长，利用根式运算和平方的非负性，验证模长是否相等；
B、通过计算与的数量积，若数量积为，则两向量垂直；
C、分别计算与的模长，展开对比，结合时的情况，判断模长是否相等；
D、根据向量平行的坐标关系列出等式，分析等式是否恒成立，判断两向量是否一定平行；
11．（2025高一下·孝感期末）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述错误的是（　　）
A．CC1与B1E是异面直线 B．C1C与AE共面
C．AE与B1C1是异面直线 D．AE与B1C1所成的角为60°
【答案】A,B,D
【知识点】异面直线所成的角；异面直线的判定
【解析】【解答】解：对于A，和都在平面内（棱柱的侧面是平面，、是侧面内的线段 ），根据“共面直线”定义（在同一平面内的直线 ），故与 共面，A错误.
对于B，在平面内，与平面交于点，且不在上（是中点，与相交于 ），
根据“异面直线”定义（不同在任何一个平面内 ），与 是异面直线，B错误.
对于C，在平面内，在平面内，且与不相交（，与交于，但不延伸到所在平面 ），根据“异面直线”定义，与 是异面直线，C正确，
对于D，因（棱柱上下底面对应边平行 ），故与所成角等于与所成角（异面直线夹角的平移转化 ），
又是正三角形（底面是正三角形，棱柱底面全等 ），是中点，故（正三角形中线与高重合 ），即与所成角为，因此与所成角为，D错误。
故选：ABD.
【分析】首先依据‘直线是否在同一平面内’，结合棱柱的侧面、底面结构，判断直线是否共面，然后利用‘平行边转化’，将异面直线夹角转化为平面内直线夹角，结合正三角形性质（中线垂直底边 ）求解角度.
12．（2025高一下·孝感期末）如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是，则　 　．
【答案】
【知识点】复数在复平面中的表示；复数的模；平面内两点间距离公式的应用
【解析】【解答】解：由图像可知，，所以，所以.
故填：.
【分析】利用复平面内点与复数的一一对应关系（坐标对应复数），确定和，然后进行复数减法运算，得到的结果，最后依据复数模的计算公式（），算出的值.
13．（2025高一下·孝感期末）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为　 　 .
【答案】28
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】如图
根据题意，如图，，，，
由相似易得 ，
，，，
故答案为：28
【分析】由相似易得所截棱台的高，结合棱台体积公式直接求解。
14．（2025高一下·孝感期末）为庆祝中国共产党第二十次代表大会胜利闭幕，某高中学校在学生中开展了“学精神，悟思想，谈收获”的二十大精神宣讲主题活动．为了解该校学生参加主题学习活动的具体情况，校团委利用分层抽样的方法从三个年级中抽取了260人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了85人．已知该校高三年级共有720名学生，则该校共有学生　 　人．
【答案】
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：利用分层抽样的方法从三个年级中抽取了260人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了85人，可得高三年级共有90人，又由高三年级共有720名学生，则每个学生被抽到的概率为，设该校共有名学生，可得，解得（人），即该校共有名学生.
故填：.
【分析】首先通过总抽取人数减去高一、高二抽取人数，得到高三抽取人数，然后利用等概率性，在分层抽样中，每个个体被抽取的概率等于 ‘某层抽取人数 ÷ 该层总人数’，且全校概率相同，最后建立方程求解，根据全校抽取人数与总人数的比例等于高三抽取的概率，列方程求出全校总人数.
15．（2025高一下·孝感期末）已知，且函数．
（1）化简；
（2）若，求和的值．
【答案】（1）解：
（2）解：由，平方可得，
即．
所以．
又因为，∴，，
所以，
因为，
所以．
【知识点】同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）利用诱导公式先转化，再对含根号的式子通过同乘分母有理化，结合的范围确定根号开方后符号，逐步化简得到，核心是三角恒等变换公式的运用。
（2）已知的值，通过平方结合求出，再利用完全平方公式，结合范围确定的符号，进而求出其值.
（1）．
（2）由，
平方可得，
即．
∴．
又，∴，，
∴，
∵，
∴．
16．（2025高一下·孝感期末）的内角的对边分别为，设.
（1）求C
（2）若，求A
【答案】（1）解：因为，由正弦定理得，化简得，
所以.
因为，所以.
（2）解：因为，由正弦定理得，又，
由，所以，即.
因为，所以，
所以，即.
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】(1) 利用正弦定理将角化为边，通过等式变形得到边的关系，再代入余弦定理求出，结合的范围确定的值，核心是正弦定理与余弦定理的综合运用.
(2)先由正弦定理将边的等式转化为角的等式，再利用三角形内角和将转化为并展开，经过化简得到，结合的范围求出，关键是边角转化和三角恒等变换的运用.
（1）因为，由正弦定理得，化简得，
所以.
因为，所以.
（2）因为，由正弦定理得，又，
由，所以，即.
因为，所以，
所以，即.
17．（2025高一下·孝感期末）已知在中，角的对边分别为，向量，.
（1）求角的大小；
（2）若成等差数列，且，求.
【答案】（1）解：因为，
所以，
因为在中，，
所以，所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
因为，所以.
（2）解：由成等差数列，
可得，
由正弦定理得，
因为，所以，
所以，得，
由余弦定理得，
所以，，
所以.
【知识点】等差数列的性质；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算；余弦定理
【解析】【分析】(1) 先计算，利用向量数量积坐标公式展开，结合两角和的正弦公式化简，得到 ，然后根据三角形内角和，得，利用诱导公式，结合已知，得到等式 ，最后利用二倍角公式，转化为，结合（ ），求出，进而确定.
(2) 由成等差数列，得 ，然后根据正弦定理（为三角形外接圆半径 ），将角的关系转化为边的关系 ，再对进行化简，，所以，结合已知其值为，及，得，即， 最后再根据余弦定理，结合和，将两边平方得，即，代入余弦定理式子，求出的值.
（1）因为，
所以，
因为在中，，
所以，所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
因为，所以，
（2）由成等差数列，
可得，
由正弦定理得，
因为，所以，
所以，得，
由余弦定理得，
所以，，
所以.
18．（2025高一下·孝感期末）如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE．
【答案】（1）证明：因为PA⊥平面ABCD，
所以PA⊥BD．
因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC．
又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC．
（2）证明：因为PA⊥平面ABCD，AE 平面ABCD，
所以PA⊥AE．
因为底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，
且E为CD的中点，所以AE⊥CD．所以AB⊥AE．
又AB∩PA＝A，所以AE⊥平面PAB．
因为AE 平面PAE，
所以平面PAB⊥平面PAE．
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）先利用线面垂直性质得，再由菱形性质得，最后依据线面垂直判定定理，通过与相交，证得平面，核心是线面垂直性质与判定定理的运用.
（2）先由线面垂直性质得，再结合菱形及角度条件证，进而得平面，最后依据面面垂直判定定理，由平面证得平面平面，关键是线面垂直、面面垂直判定定理的连续应用.
19．（2025高一下·孝感期末）为了庆祝党的二十大胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高中在全校三个年级开展了一次“不负时代，不负韶华，做好社会主义接班人”演讲比赛.共1500名学生参与比赛，现从各年级参赛学生中随机抽取200名学生，并按成绩分为五组：，，，，，得到如下频率分布直方图，且第五组中高三学生占.
（1）求抽取的200名学生的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）；
（2）若在第五组中，按照各年级人数比例采用分层随机抽样的方法抽取7人，再从中选取2人组成宣讲组，在校内进行义务宣讲，求这2人都是高三学生的概率；
（3）若比赛成绩（为样本数据的标准差），则认为成绩优秀，试估计参赛的1500名学生成绩优秀的人数.
参考公式：，（是第组的频率），参考数据：
【答案】（1）解：由题可得，
答：抽取的200名学生的平均成绩.
（2）解：由于第五组总共要抽取7人，高三学生占，所以抽到的高三学生应该有人，
所以由古典概型可得这2人都是高三学生的概率为.
（3）解：由题可得，
所以优秀的比赛成绩应该，
而比赛成绩在的频率为：，
而（人），
答：参赛的1500名学生成绩优秀的人数为人.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1） 频率分布直方图中，平均成绩 = 每组中点值 × 对应频率之和，直接代入计算.
（2） 先由分层抽样确定高三人数，再用古典概型（组合数）计算‘2 人都是高三’的概率.
（3）先算标准差s，确定优秀成绩区间，再算该区间频率，最后用全校人数 × 频率估算优秀人数.
（1）依题意，得
，
所以抽取的200名学生的平均成绩.
（2）由于第五组总共要抽取7人，高三学生占，所以抽到的高三学生应该有人，
所以由古典概型可得这2人都是高三学生的概率为.
（3）依题意，得
，
所以优秀的比赛成绩应该，
而比赛成绩在的频率为：，
而，
故参赛的1500名学生成绩优秀的人数为人.
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