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2025年吉林省四平市中考数学五模试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各数中，比小的数是( )
A. B. C. D.
2.如图，将一个长方体内部挖去一个圆柱，它的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.，则括号内应填的单项式是( )
A. B. C. D.
4.若，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
5.去年春季，某校组织学生参加春耕插秧活动在插秧过程中，往往需要拉一条绳子插秧，这样做的原理可以用下列哪个基本事实来描述( )
A. 两点之间，线段最短
B. 两点确定一条直线
C. 垂线段最短
D. 经过一点有无数条直线
6.如图，在边长为的正方形正中间剪去一个边长为的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
7.计算：______．
8.学校有足球个，篮球的数量比足球的倍多个，则篮球的数量为______．
9.如图，在中，，观察尺规作图的痕迹，若，则的长是______．
10.如图，中，，点在边上，，延长到点，使，若，则的长是______．
11.玉佩是我国古人身上常佩戴的一种饰品现在从一块直径为的圆形玉料中刻出一个如图所示的扇形玉佩点、、均在圆上，且，则这个扇形玉佩的面积是______结果保留．
三、解答题：本题共11小题，共87分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
12.本小题分
先化简，再求代数式的值，其中．
13.本小题分
物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成，某学习小组在活动课上制作了、、三张卡片，这三张卡片除图片内容不同外，没有其他区别将这三张卡片放置于暗箱中摇匀．
小明从暗箱中随机抽取一张，抽中卡片的概率是______；
小华从暗箱中随机抽取两张，用画树状图或列表的方法求小华抽到两张内容均为化学变化的卡片的概率．
14.本小题分
某瓷器超市有、两种规格的倒装壶瓷器按定价销售，已知件种规格的倒装壶瓷器和件种规格的倒装壶瓷器总售价为元，件种规格的倒装壶瓷器和件种规格的倒装壶瓷器总售价为元求每件种规格的倒装壶瓷器和每件种规格的倒装壶瓷器的定价．
15.本小题分
如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，点、均在格点上只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留适当的作图痕迹．
在图中，以为边画一个面积为的，使点在格点上画一个即可；
在图中，以为边画一个面积为的平行四边形，使点、均在格点上；
在图中，以为边画一个面积为的四边形，且四边形是轴对称图形，使点、均在格点上．
16.本小题分
如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、．
求反比例函数和一次函数的解析式；
若点是第三象限内一点，且的面积为，求点的坐标．
17.本小题分
为激发学生兴趣，提高学生素质，促进学生全面发展，某校在课后延时服务期间开展了丰富多彩的选修课，艾老师为大家开展了我是小小理财家的选修课，在这节选修课后，同学们为了解全校名学生平均每天使用零花钱的情况，他们随机调查了部分学生平均每天使用零花钱的金额，并用得到的数据绘制了如图所示的统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
本次接受随机调查的学生有______人，图中的值是______；
本次调查获取样本数据的众数为______元，中位数为______元；
根据样本数据，估计该校平均每天使用零花钱的金额大于元的学生人数．
18.本小题分
如图是某电脑显示器示意图，由显示屏矩形和支架组成，显示屏对角线的中点固定在支架直杆的一端，显示屏可绕点顺时针或逆时针旋转，已知，，为避免在旋转过程中显示屏与支架平台发生磕碰，求支架直杆的最小值结果精确到，参考数据：，，．
19.本小题分
某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为万立方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工，由于特殊情况，公司抽调甲队外援施工，先由乙队先单独施工天后甲队返回，两队又共同施工了天，甲、乙两队共完成土方量万立方，这时乙队因故暂时停止施工，由甲队单独完成剩余部分，甲、乙两队共同完成的土方量万立方与工作的时间天的函数关系如图所示．
乙队每天完成土方量多少万立方；
若该公司预计工期天，甲队能否按期完成剩余部分？
当时，求甲、乙两队共同完成的土方量万立方与工作的时间天的函数关系式；
当甲、乙两个工程队共同完成土方量万立方时，甲、乙两个工程队哪个队完成的土方量多，多多少？
20.本小题分
【感知】如图，在矩形中，点是边的中点，连接保持矩形不动，将绕着点顺时针旋转一定的角度得到，点、、的对应点分别为点、、，连接若旋转角的大小为，且，则的周长为______；
【探究】如图，在图中的的旋转过程中，当线段与线段相交于点点不与点、、、重合时，连接，其他条件不变求证：；
【拓展】在图中的的整个旋转过程中旋转角小于，当点落在矩形的对称轴上，且，时，线段与线段相交于点，直接写出线段的长度．
21.本小题分
如图，在 中，，，，动点从点出发，沿折线向点运动，点在上的速度为每秒个单位长度，在上的速度为每秒个单位长度，过点作交线段于点，以为边向其右侧作矩形，使，且当点与点重合时，点停止运动设矩形与 重叠部分图形的面积为平方单位，点的运动时间为秒．
当点与点重合时，求的值；
求关于的函数解析式；
连接，当矩形的边或的中点落在上时，直接写出的值．
22.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线、为常数经过点和，点、在该抛物线上点与点不重合，且点、的横坐标分别为、，将此抛物线在、两点之间的部分图象包含、两点记为．
求此抛物线对应的函数解析式；
当图象上的点的纵坐标随值的增大而增大时，求的取值范围；
当图象的最低点是抛物线的顶点，且点、中较低点的纵坐标与顶点的纵坐标之差为时，求的值；
设点、的坐标分别为、，连接，当线段与图象只有一个公共点时，直接写出的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】，，，，故不符合题意；
B.，，，，故符合题意；
C.，故不符合题意；
D.，故不符合题意；
故选：．
2.【答案】
【解析】从正面看：主视图为长方形，中间有两条垂直地面的虚线，，，不符合题意，符合题意，
故选：．
3.【答案】
【解析】，
括号内应填的单项式是，
故选：．
4.【答案】
【解析】、，应用不等式的基本性质，
，选项A错误，不符合题意；
B、，应用不等式的基本性质，
，选项B错误，不符合题意；
C、，应用不等式的基本性质，
，选项C错误，不符合题意；
D、，应用不等式的基本性质，
，选项D正确，符合题意；
故选：．
5.【答案】
【解析】拉一条绳子插秧的原理是：两点确定一条直线．
故选：．
6.【答案】
【解析】在边长为的正方形正中间剪去一个边长为的小正方形，
第一个图形中剩余的面积为：，
由第一个图形可知，大平行四边形的高为：，
第二个图形的大平行四边形的面积为，
；
故选：．
7.【答案】
【解析】．
故答案为．
8.【答案】
【解析】由题知，
因为足球有个，且篮球的数量比足球的倍多个，
所以篮球的数量为个．
故答案为：．
9.【答案】
【解析】由作图可知，
，
，
，
．
故答案为：．
10.【答案】
【解析】，
，
，
，点在的延长线上，
，
，
∽，
，
，
，
故答案为：．
11.【答案】
【解析】如图，连接，取的中点，连接，
由条件可知是的直径．
，
，
，
．
故答案为：．
12.【答案】原式
；
当时，原式．
13.【解析】小明从暗箱中随机抽取一张，抽中卡片的概率是；
故答案为：；
从暗箱中随机抽取两张，列表如下：
， ，
， ，
， ，
共种等可能的结果，其中两张内容均为化学变化的有，或，共种情况，
．
14.【答案】每件种规格的倒装壶瓷器的定价为元，每件种规格的倒装壶瓷器的定价为元．
【解析】设每件种规格的倒装壶瓷器的定价为元，每件种规格的倒装壶瓷器的定价为元，
根据题意，得，
解得，
即每件种规格的倒装壶瓷器的定价为元，每件种规格的倒装壶瓷器的定价为元，
答：每件种规格的倒装壶瓷器的定价为元，每件种规格的倒装壶瓷器的定价为元．
15.【解析】如图所示，即为所求；
如图所示，即为所求；
如图所示，即为所求．
16.【答案】一次函数的解析式为；
．
【解析】反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数解析式为，
反比例函数的图象经过点，
，解得：，
，
一次函数的图象经过，，
，解得：，
一次函数的解析式为；
点是第三象限内一点，，，的面积为，
，
，
．
17.【解析】人，，
本次接受随机调查的学生有人，图中的值是．
故答案为：，．
元组人，元组人，元组人，元组人，元组人，
元组人数最多，
众数为元，
元组人，元组人，元组人，且，，
从小到大排列，第个，第个数落在元组，
中位数为元．
故答案为：，．
人，
故该校平均每天使用零花钱的金额大于元的学生约人．
18.【解析】在中，点是的中点，，．
，
，
当时，旋转过程中显示屏与支架平台刚好不发生磕碰，
支架直杆的最小值约为．
19.【解析】由图象知：乙队天完成了万立方，
万方；
答：乙队每天完成土方量万立方；
能按期完成；理由如下：
甲队单独完成剩余部分为：万立方；
两队天完成了：万立方，
则甲队每天完成的土方量为：万立方，
甲完成剩余土方的时间为：天，
天，
，
所以能按期完成剩余部分；
当时，函数图象为线段，
设函数解析式为，将，分别代入得：
，
解得：，
函数解析式为；
对于，
当时，得：，
解得；
万立方，万立方，万立方；
答：甲比乙完成的土方量多，多万立方．
20.【答案】
【解析】在矩形中，点是边的中点，，
；
将绕着点顺时针旋转一定的角度得到，点、、的对应点分别为点、、，
，，
是等边三角形，
，
的周长为；
故答案为：．
【探究】证明：如图，连接交于点，
由题意得，，
，
≌，
；
，
垂直平分，即点是的中点；
点是边的中点，
是的中位线，
；
【拓展】当点落在的垂直平分线上时，
点是边的中点，
，，
；
由旋转知，
，
四边形是矩形，
；
当点落在的垂直平分线上时，
则，分别是，的中点，
；
如图，过作于点，
则四边形是矩形，
，；
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，，
即，
是等腰直角三角形，且，；
，
，
，
是等腰直角三角形，，
由勾股定理得．
综上，的长度为或．
21.【解析】当点与点重合时，如图，
在 中，，，，
，，
四边形是矩形，
，
为等腰直角三角形，
，
，
；
当点与点重合时，
，，，
，
矩形，，
，
，
解得：；
当点运动到点时，，
由可知，当点与点重合时，，
当时，重叠部分为矩形，
；
当时，重叠部分为五边形，如图，
则：，
，
，
为等腰直角三角形，
，
；
当时，重叠部分为梯形，此时，
延长，交于点，由题意，得：，
，
，
，，
，
，
；
综上：；
或理由如下：
当的中点落在上时，如图，连接，此时，
为的中点，
，
，，
，
∽，
，即，
，
解得：；
当的中点在上时，如图，此时，
，
，
，，
在和中，
，
≌，
，
由可知：，
则，
，
，
，
；
综上：或．
22.【解析】在平面直角坐标系中，抛物线、为常数经过点和，将两点坐标分别代入得：
，
解得，
抛物线对应的函数解析式为；
由知，抛物线对应的函数解析式为，如图：
抛物线的对称轴为直线，
点、在该抛物线上点与点不重合，且点、的横坐标分别为、，图象上的点的纵坐标随值的增大而增大，
依题意得：，
解得：，
点与点不重合，
，
解得，
综上所述，当，且时，图象上的点的纵坐标随值的增大而增大；
点、在该抛物线上点与点不重合，且点、的横坐标分别为、，
、，
由知，抛物线对应的函数解析式为，则其顶点坐标为，
分两种情况讨论：
当是较低点时，
依题意得：，
解得，
由较低点的纵坐标与顶点的纵坐标之差为得：
，
整理得：，
解得：或不合题意，舍去；
当是较低点时，
依题意得：，
解得：，
由较低点的纵坐标与顶点的纵坐标之差为得：
，
整理得：，
解得：或不合题意，舍去；
综上所述，的值为或；
的取值范围为或理由如下：
点、的坐标分别为、，
这两个点在直线上，且关于轴对称，
当时，，解得或，
直线与抛物线的交点坐标为和，
根据题意，分两种情况：
当线段与图象只有一个公共点，在对称轴右侧时，如图：
当点在点左侧时，
依题意得：，
解得：，
此时，即点在点左侧，如图：
故此种情况下；
当点在点右侧时，
依题意得：，
解得：，
此时，即点在点右侧，如图：
故此种情况下；
当线段与图象只有一个公共点，在对称轴左侧时，如图：
当点在点左侧时，
依题意得：，
解得：，
此时，即点在点左侧，如图：
故此种情况，线段与图象有两个公共点，不符合题意；
当点在点右侧时，
依题意得：，
解得：，
此时，即点在点右侧，
当时，如图：
故此种情况下；
当时，如图：
故此种情况，线段与图象有两个公共点，不符合题意；
综上所述，的取值范围为或．
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