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浙江省绍兴市上虞区实验初级中学教育集团2025年中考模拟联考卷数学
1．（2025·上虞模拟）2025的相反数是（　　）
A．2025 B． C． D．
2．（2025·上虞模拟）年全国普通高校毕业生规模预计达万．其中“万”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·上虞模拟）5个相同正方体搭成的几何体主视图为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·上虞模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·上虞模拟）一次空气污染指数抽查中，收集到一周的数据如下：70，70，63，82，91，91，75．该组数据的中位数是（　　）
A．63 B．82 C．91 D．75
6．（2025·上虞模拟）如图，在中，，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·上虞模拟）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之为四两，九两分之为半斤．”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤（注：明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语）．这个问题中共有（　　）两银子．
A． B． C． D．
8．（2025·上虞模拟）如图，已知点，，则线段上任意一点的坐标可表示为（　　）
A． B．
C． D．）
9．（2025·上虞模拟）已知，两点在反比例函数的图象上，下列判断正确的是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
10．（2025·上虞模拟）如图，4个全等的直角三角形围出一个正方形，过点P，Q分别作的平行线，过点M，N分别作的平行线得四边形．则下列关于线段和的关系中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·上虞模拟）分解因式∶　 　．
12．（2025·上虞模拟）分式方程的解是　 　．
13．（2025·上虞模拟）如图所示的均匀圆盘中，指针落在每一个数上的机会均等，让转盘自由转动一次，指针落在偶数的概率是　 　．
14．（2025·上虞模拟）如图，是的直径，点D在的延长线上，DC切⊙O于点C，若，则的度数为 　 　．
15．（2025·上虞模拟）如图，已知，射线上一点M，以为边在下方作等边，点P为射线上一点（不包括点O），若是等腰三角形，则　 　．
16．（2025·上虞模拟）在平面直角坐标系中，，，是二次函数图象上三点.若，，则　 　（填“”或“”）；若对于，，，存在，则的取值范围是　 　.
17．（2025·上虞模拟）计算：.
18．（2025·上虞模拟）下面解不等式组的过程有没有错误？若有错误，请指出第一次出错在哪一步，并写出你的解题过程．
解：由①，得第一步 第二步 由②，得第三步 第四步 不等式组的解是第五步
19．（2025·上虞模拟）如图，拐尺与水平尺是生活中重要的测量工具．图是某排水管道系统的部分实物图，图3是其示意图．已知管道与的长度相同，与地面平行．现将拐尺和水平尺放在上，使，测得厘米，厘米．
（1）求的值；
（2）若米，求到地面的距离的长．
20．（2025·上虞模拟）4月23日是世界读书日，某校发起了以“阅见美好·读享精彩”为主题的读书活动，为了解学生的参与度，从全校随机抽取部分学生进行问卷调查，获取了每人平均每天的阅读时间t（单位：分钟），将收集到的数据分为A，B，C，D，E五个等级，绘制成如下不完整的统计图表．
等级 人数
5
10
m
80
n
请根据图表中的信息，解答下列问题：
（1）求m，n的值．
（2）判断这组数据的中位数所在的等级，并说明相应理由．
（3）学校拟将平均每天阅读时间不低于60分钟的学生评为“阅读之星”，若该校共有2000名学生，请你估计被评为“阅读之星”的学生人数．
21．（2025·上虞模拟）现有甲、乙两辆旅游车同时从旅行社前往某个旅游景点，全程180千米．行驶过程中甲车因故停留一段时间后继续驶向终点，乙车全程以60千米/小时的速度驶向景点．两辆车的行驶路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．
（1）甲车停留前行驶速度是 千米/小时，m＝ ；
（2）甲车比乙车早多少小时到达旅游景点？
22．（2025·上虞模拟）如图，在矩形中，，，点是边上的动点，连结，以为边作矩形（点在的同侧），且，连结．
（1）如图1，当点在的中点时，点在同一直线上，求的长；
（2）如图2，当时，求证：线段被平分．
23．（2025·上虞模拟）如图1是一个含有两个斜坡截面的轴对称图形，两个斜坡材质等各方面都一样．一个黑球从左斜坡顶端由静止滚下后沿水平木板直线运动，其中．从黑球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间（单位：）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据．记录的数据如表：
运动时间 0 2 4 6 8 10 …
运动速度 12 10 8 6 4 2 …
运动距离 0 22 40 54 64 70 …
（1）根据表格中的数值分别在图2、图3的平面直角坐标系中画出关于，关于的函数图象，并分别求出关于，关于的函数表达式．
（2）①求黑球在水平木板上滚动的最大距离．
②黑球从左斜坡顶端由静止滚下到点开始计时，运动到2秒的同时，有一个除颜色外其余与黑球完全相同的白球，从右斜坡顶端由静止滚下到点处，两球会在水平木板的某个位置相遇吗？若能相遇，请求出相遇点到点的距离；若不能相遇，请说明理由．
24．（2025·上虞模拟）[问题提出]
（1）如图1，已知线段AB＝4，点C是一个动点，且点C到点B的距离为2，则线段AC长度的最大值是________；
[问题探究]
（2）如图2，以正方形ABCD的边CD为直径作半圆O，E为半圆O上一动点，若正方形的边长为2，求AE长度的最大值；
[问题解决]
（3）如图3，某植物园有一块三角形花地ABC，经测量，AC＝20米，BC＝120米，∠ACB＝30°，BC下方有一块空地（空地足够大），为了增加绿化面积，管理员计划在BC下方找一点P，将该花地扩建为四边形ABPC，扩建后沿AP修一条小路，以便游客观赏．考虑植物园的整体布局，扩建部分BPC需满足∠BPC＝60°．为容纳更多游客，要求小路AP的长度尽可能长，问修建的观赏小路AP的长度是否存在最大值？若存在，求出AP的最大长度；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：B．
【分析】只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数，据此解答即可.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：万，
故答案为：C．
【分析】根据科学记数法的一般形式求解即可得到答案．科学记数法的一般形式为的形式，其中，为整数.
3．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看，第一层是三个正方形，第二层靠左是两个正方形．
故答案为：B．
【分析】根据简单组合体的三视图的概念求解．
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A. 与不是同类项，不能合并，故本选项运算错误，不符合题意，A错误；
B. ，故本选项运算错误，不符合题意，B错误；
C. ，故本选项运算错误，不符合题意，C错误；
D. ，本选项运算正确，符合题意，D正确．
故答案为：D．
【分析】本题考查合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂除法运算．根据同类项定义可得 与不是同类项，不能合并，据此可判断A选项；根据同底数幂乘法运算法则可得：，据此可判断B选项；根据幂的乘方运算法则可得：，据此可判断C选项；根据同底数幂除法运算法则可得：，据此可判断D选项.
5．【答案】D
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将这组数据重新排序为：63，70，70，75，82， 91，91，
则其中位数为75，
故答案为：D．
【分析】中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数；根据中位数的定义并结合题意即可求解.
6．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，，
∴∠B=∠D=70°，
∵AE⊥CD，
∴∠DAE=90°-∠D=20°，
故答案为：C．
【分析】先根据平行四边形的性质可得∠B，再利用直角三角形两个锐角互余求解．
7．【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设总共有个人，
根据题意得：，
解得：，
（两），
故答案为：．
【分析】根据题意利用人数不变，结合每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤，得出等式即可．
8．【答案】B
【知识点】坐标与图形性质
【解析】【解答】解：∵点的坐标为，点的坐标为，
∴、两点纵坐标相等，都为1，
∴，
∴线段上任意一点的坐标可表示为．
故答案为：B．
【分析】根据、两点纵坐标相等，推得与轴平行，结合线段AB的长与坐标，可确定线段AB上任一点的坐标及范围．
9．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数中，k=2＞0，
∴该反比例函数的图象位于第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小，
∵，
当时，点，点都在第一象限，
∴，故选项A正确；
当时，，
∴点在第三象限，点在第一象限，
∴，故选项B、C错误；
当时，，则点，点都在第三象限，
∴，故选D错误.
故答案为：A．
【分析】 反比例函数， 当时， 其图象的两支分别位于第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小， 据此反t＞0，-1＜t＜0及t＜-1三种情况分别判断出A、B所在的象限，结合函数的增减性即可逐一判断得出答案.
10．【答案】B
【知识点】平行线的性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：连接、，过点C作，，设，，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，，
∴，，，
∵4个全等的直角三角形围出一个正方形，
∴
∴，，，
∴，，
∵，，
∴，，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
同理可得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
在与 中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】先利用正方形的性质可知，再根据平行线的性质，可得，，然后根据，可得，再根据，，可得，，再证明四边形是矩形，根据矩形的性质可得，从而可求出线段，再证明，根据全等三角形的性质得到，进行判断即可．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】用平方差公式分解因式．
12．【答案】
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：去分母得：，
解得：，
经检验：为分式方程的解．
故答案为：．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
13．【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：在如图所示的均匀圆盘中，指针落在每一个数上的机会均等，让转盘自由转动一次，共有5种等可能结果，其中指针落在偶数有2和4两种等可能性结果，所以指针落在偶数的概率是．
故答案为：．
【分析】根据题意，共有5种等可能结果，其中指针落在偶数有2和4两种等可能性结果，运用概率公式计算即得答案．
14．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
有切线连半径是解决圆的计算与证明的常用技巧，因此先连接OC得到直角三角形ODC，显然再利用直角三角形两锐角互余的性质结合同弧所对的圆周角与圆心角的关系定理即可．
15．【答案】或
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵，点P为射线上一点（不包括点O），是等腰三角形，
∴存在两种情况：
当时，如图，
则，
∴，
∴；
当时，如图，
则，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述，或，
故答案为：或．
【分析】先等边三角形的性质求得，，再分两种情况：，，分别求得．
16．【答案】；
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y=-x2+4x-1=-（x-2）2+3，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，开口向下，抛物线上的点离对称轴的距离越大其对应的函数值就越小；
∵0＜x1＜1，x2＞4，
∴2-x1＜x2-2，即点A比点B离对称轴直线的距离近，
∴y1＞y2；
由题意得x1＜x2＜x3，
又∵对于m＜x1＜m+1，m+1＜x1＜m+2，m+2＜x1＜m+3，存在y1＜y3＜y2，
∴x1＜2，x3＞2，且A点离对称轴直线的距离最远，B点离对称轴直线的距离最近，
∴2-x1＞x3-2＞|x2-2|，
∴x1+x3＜4，且x2+x3＞4，
∵2m+2＜x1+x3＜2m+4，2m+3＜x2+x3＜2m+5，
∴2m+2＜4，2m+5＞4，
解得.
故答案为：＞；.
【分析】首先将抛物线的解析式配成顶点式，可得抛物线的对称轴为直线x=2，开口向下，抛物线上的点离对称轴的距离越大其对应的函数值就越小，进而比较出A、B两点距离纵坐标直线的距离的大小即可判断y1与y2的大小；由题意得x1＜x2＜x3，结合y1＜y3＜y2，可得x1＜2，x3＞2，且A点离对称轴直线的距离最远，B点离对称轴直线的距离最近，即2-x1＞x3-2＞|x2-2|，进而结合不等式性质可列出关于字母m的不等式组，求解即可.
17．【答案】解：
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】利用绝对值的性质，算术平方根的定义，零指数幂及负整数指数幂计算即可.
18．【答案】解：解不等式组的过程有错误，第一次出错在第三步；
由①得，
，
由②得，
，
所以不等式组的解是．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】观察题干给出的解题过程：解第一个不等式中的移项、合并同类项及系数化为1的步骤都没有出现错误；解第二个不等式中的去分母没有出现错误，但分数线具有括号的作用，在去括号的时候，由于“括号前面是负号，去掉括号和负号，括号内的每一项都需要改变符号”这个地方出错了，进而根据正确的方法计算解答即可.
19．【答案】（1）解：∵，厘米，厘米，，
∵，
∴，
∴；
答：；
（2）解：如图所示，过点作，垂足为，
∵，
∴，，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，
设，，则，
∵米，
∴，解得，
∴米．
答：米．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）由平行线的性质知，等于，则解直角三角形PNM即可；
（2）由于平行线间距离处处相等，可分别过点B、C作AD的垂线段BE和CD，可得矩形BCDE，由于BC等于AB，可设CD的长，则BE的长可表示，再解直角三角形ABE即可得到AB的表达式，再利用AD的长即可得到关于CD长的一元一次方程，最后解方程即可．
20．【答案】（1）解：∵D等级的学生参与人数为80人，占，
参与调查的人数有：人，
C等级的学生有：，
，
；
（2）解：参与调查的人有200人，中位数应是第100，第101个数的平均数，
第100个数据在D等级，第101个数据在D等级， D等级，
这组数据的中位数在D等级；
（3）解：∵总人数为2000人，统计表中平均每天阅读时间不低于分钟的学生人数为65人，
∴可评为“阅读之星”的学生人数为：人．
【知识点】扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）利用D等级的学生参与人数和所占百分比，求出抽测人数，分别求出C等级以及E等级的人数；
（2）根据中位数的定义计算；
（3）利用样本估计总体计算．
（1）解：由扇形统计图与统计表可知D等级的学生参与人数为80人，占，
参与调查的人数有：人，
C等级的学生有：，
，
；
（2）参与调查的人有200人，中位数应是第100，第101个数的平均数，且第100个数据在D等级，第101个数据在D等级， D等级，
这组数据的中位数在D等级；
（3）统计表中平均每天阅读时间不低于分钟的学生人数为65人，
当总人数为2000人时，可评为“阅读之星”的学生人数为：人．
21．【答案】（1）80，
（2）解：甲车停留后行驶速度是（千米/小时），
甲车到达旅游景点所需时间为（小时）；
乙车到达旅游景点所需时间为（小时）；
∵（小时），
∴甲车比乙车早小时到达旅游景点．
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）甲车停留前行驶速度是（千米/小时），
根据题意得：（小时）；
故答案为：80，；
【分析】（1）甲车停留前所走路程除以时间即得行驶速度是80（千米/小时），用90除以乙的速度即得m的值；
（2）求出甲车停留后行驶速度是100（千米/小时），可得甲车到达旅游景点所需时间为（小时）；而乙车到达旅游景点所需时间为（小时）；故甲车比乙车早小时到达旅游景点．
（1）解：甲车停留前行驶速度是（千米/小时），
根据题意得：（小时）；
故答案为：80，；
（2）解：甲车停留后行驶速度是（千米/小时），
甲车到达旅游景点所需时间为（小时）；
乙车到达旅游景点所需时间为（小时）；
∵（小时），
∴甲车比乙车早小时到达旅游景点．
22．【答案】（1）解：∵四边形是矩形，，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）证明：过点作于点，与交于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴线段被平分．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先根据勾股定理求出BE，再利用勾股定理求出CE，结合CE=2EF，可求出EF，从而可利用线段和求得BF；
（2）先利用AAS证明，再根据全等三角形的性质得出，则可得出结论．
（1）解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）证明：过点作于点，与交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即线段被平分．
23．【答案】（1）解：
由图像猜测是的一次函数，
设，表中取点，代入得：
解得：，
即：，再把其它点坐标代入上述函数表达式成立，
与的函数表达式为；
由图像猜测是的二次函数，且过原点，
设，表中取点，代入得：
解得：，，
即：，再把其它点坐标代入上述函数表达式成立，
与的函数表达式为
（2）解：①由（1）可知，，
，即，
又的对称轴为，且开口向下，
当时，取最大值为：，
黑球在水平木板上滚动的最大距离为；
②由题意可知，时，白球从处出发，
当时，设表示白球在木板上滑行的距离，
则，
，
令，即，
得：，
解得：，（不合题意，舍去）
将代入，
相遇点到点的距离为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）根据表中数据画出图像即可，由图像可知是的一次函数，设，表中取点代入，即可解得函数表达式；由图像可知是的二次函数，且过原点，设，表中取点代入，即可解得函数表达式；
（2）①由，可知，结合，开口向下，对称轴，即可求得的最大值；②根据题意，可得白球滑行距离的表达式，再令，解出，代入即可得到相遇点离点距离．
24．【答案】（1）6
（2）解：连接AO并延长交半圆O于F，如图：
∵正方形ABCD的边CD为直径作半圆O，边长为2，
∴∠ADO＝90°，AD＝2，OD＝OC＝OF＝1，
当E运动到F时，AE最大，AF的长度即是AE的最大值，
∴AO＝ ，
∴AF＝AO+OF＝+1，
∴AE最大为+1；
（3）解：作BC的垂直平分线DE，在BC下方作∠BCO＝30°，射线CO交DE于O，以O为圆心，OC为半径作⊙O，连接OB、连接AO并延长交⊙O于P，则AP为满足条件的小路，过A作AF⊥OC于F，如图：
∵∠BCO＝30°，∠ACB＝30°，
∴∠ACF＝60°，
∴AF＝AC sin60°＝30，CF＝AC cos60°＝10 ，
∵DE垂直平分BC，BC＝120，
∴CE＝60，∠OEC＝90°，
∴OC＝ ，
∴OF＝OC﹣CF＝30，
∴OA＝ ，
∴AP＝OA+OP＝60+40．
∴小路AP的长度最大为60+40．
【知识点】正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；圆与四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）当C在线段AB延长线上时，AC最大，此时AC＝AB+BC＝4+2＝6，
故答案为：6；
【分析】（1）当C在线段AB延长线上时，AC最大，利用AC＝AB+BC求得AC即可；
（2）当E运动到F时，AE最大，AF的长度即是AE的最大值，利用勾股定理求得AO，再利用AF＝AO+OF求得AF即可，从而可得AE；
（3）作BC的垂直平分线DE，在BC下方作∠BCO＝30°，射线CO交DE于O，以O为圆心，OC为半径作⊙O，连接OB、连接AO并延长交⊙O于P，则AP为满足条件的小路，过A作AF⊥OC于F，Rt△ACF中，求出AF、CF，再在Rt△AOF中，求出OA，再利用AP＝OA+OP求解．
（1）解：当C在线段AB延长线上时，AC最大，此时AC＝AB+BC＝4+2＝6，
故答案为：6；
（2）解：连接AO并延长交半圆O于F，如图：
∵正方形ABCD的边CD为直径作半圆O，边长为2，
∴∠ADO＝90°，AD＝2，OD＝OC＝OF＝1，
当E运动到F时，AE最大，AF的长度即是AE的最大值，
Rt△AOD中，AO＝ ，
∴AF＝AO+OF＝+1，
即AE最大为+1；
（3）解：作BC的垂直平分线DE，在BC下方作∠BCO＝30°，射线CO交DE于O，以O为圆心，OC为半径作⊙O，连接OB、连接AO并延长交⊙O于P，则AP为满足条件的小路，过A作AF⊥OC于F，如图：
∵∠BCO＝30°，∠ACB＝30°，
∴∠ACF＝60°，
Rt△ACF中，AF＝AC sin60°＝30，CF＝AC cos60°＝10 ，
∵DE垂直平分BC，BC＝120，
∴CE＝60，∠OEC＝90°，
∴OC＝ ，
∴OF＝OC﹣CF＝30，
Rt△AOF中，OA＝ ，
∴AP＝OA+OP＝60+40．
即小路AP的长度最大为60+40．
1 / 1浙江省绍兴市上虞区实验初级中学教育集团2025年中考模拟联考卷数学
1．（2025·上虞模拟）2025的相反数是（　　）
A．2025 B． C． D．
【答案】B
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：B．
【分析】只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数，据此解答即可.
2．（2025·上虞模拟）年全国普通高校毕业生规模预计达万．其中“万”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：万，
故答案为：C．
【分析】根据科学记数法的一般形式求解即可得到答案．科学记数法的一般形式为的形式，其中，为整数.
3．（2025·上虞模拟）5个相同正方体搭成的几何体主视图为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看，第一层是三个正方形，第二层靠左是两个正方形．
故答案为：B．
【分析】根据简单组合体的三视图的概念求解．
4．（2025·上虞模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A. 与不是同类项，不能合并，故本选项运算错误，不符合题意，A错误；
B. ，故本选项运算错误，不符合题意，B错误；
C. ，故本选项运算错误，不符合题意，C错误；
D. ，本选项运算正确，符合题意，D正确．
故答案为：D．
【分析】本题考查合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂除法运算．根据同类项定义可得 与不是同类项，不能合并，据此可判断A选项；根据同底数幂乘法运算法则可得：，据此可判断B选项；根据幂的乘方运算法则可得：，据此可判断C选项；根据同底数幂除法运算法则可得：，据此可判断D选项.
5．（2025·上虞模拟）一次空气污染指数抽查中，收集到一周的数据如下：70，70，63，82，91，91，75．该组数据的中位数是（　　）
A．63 B．82 C．91 D．75
【答案】D
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将这组数据重新排序为：63，70，70，75，82， 91，91，
则其中位数为75，
故答案为：D．
【分析】中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数；根据中位数的定义并结合题意即可求解.
6．（2025·上虞模拟）如图，在中，，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，，
∴∠B=∠D=70°，
∵AE⊥CD，
∴∠DAE=90°-∠D=20°，
故答案为：C．
【分析】先根据平行四边形的性质可得∠B，再利用直角三角形两个锐角互余求解．
7．（2025·上虞模拟）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之为四两，九两分之为半斤．”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤（注：明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语）．这个问题中共有（　　）两银子．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设总共有个人，
根据题意得：，
解得：，
（两），
故答案为：．
【分析】根据题意利用人数不变，结合每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤，得出等式即可．
8．（2025·上虞模拟）如图，已知点，，则线段上任意一点的坐标可表示为（　　）
A． B．
C． D．）
【答案】B
【知识点】坐标与图形性质
【解析】【解答】解：∵点的坐标为，点的坐标为，
∴、两点纵坐标相等，都为1，
∴，
∴线段上任意一点的坐标可表示为．
故答案为：B．
【分析】根据、两点纵坐标相等，推得与轴平行，结合线段AB的长与坐标，可确定线段AB上任一点的坐标及范围．
9．（2025·上虞模拟）已知，两点在反比例函数的图象上，下列判断正确的是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数中，k=2＞0，
∴该反比例函数的图象位于第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小，
∵，
当时，点，点都在第一象限，
∴，故选项A正确；
当时，，
∴点在第三象限，点在第一象限，
∴，故选项B、C错误；
当时，，则点，点都在第三象限，
∴，故选D错误.
故答案为：A．
【分析】 反比例函数， 当时， 其图象的两支分别位于第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小， 据此反t＞0，-1＜t＜0及t＜-1三种情况分别判断出A、B所在的象限，结合函数的增减性即可逐一判断得出答案.
10．（2025·上虞模拟）如图，4个全等的直角三角形围出一个正方形，过点P，Q分别作的平行线，过点M，N分别作的平行线得四边形．则下列关于线段和的关系中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：连接、，过点C作，，设，，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，，
∴，，，
∵4个全等的直角三角形围出一个正方形，
∴
∴，，，
∴，，
∵，，
∴，，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
同理可得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
在与 中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】先利用正方形的性质可知，再根据平行线的性质，可得，，然后根据，可得，再根据，，可得，，再证明四边形是矩形，根据矩形的性质可得，从而可求出线段，再证明，根据全等三角形的性质得到，进行判断即可．
11．（2025·上虞模拟）分解因式∶　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】用平方差公式分解因式．
12．（2025·上虞模拟）分式方程的解是　 　．
【答案】
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：去分母得：，
解得：，
经检验：为分式方程的解．
故答案为：．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
13．（2025·上虞模拟）如图所示的均匀圆盘中，指针落在每一个数上的机会均等，让转盘自由转动一次，指针落在偶数的概率是　 　．
【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：在如图所示的均匀圆盘中，指针落在每一个数上的机会均等，让转盘自由转动一次，共有5种等可能结果，其中指针落在偶数有2和4两种等可能性结果，所以指针落在偶数的概率是．
故答案为：．
【分析】根据题意，共有5种等可能结果，其中指针落在偶数有2和4两种等可能性结果，运用概率公式计算即得答案．
14．（2025·上虞模拟）如图，是的直径，点D在的延长线上，DC切⊙O于点C，若，则的度数为 　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
有切线连半径是解决圆的计算与证明的常用技巧，因此先连接OC得到直角三角形ODC，显然再利用直角三角形两锐角互余的性质结合同弧所对的圆周角与圆心角的关系定理即可．
15．（2025·上虞模拟）如图，已知，射线上一点M，以为边在下方作等边，点P为射线上一点（不包括点O），若是等腰三角形，则　 　．
【答案】或
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵，点P为射线上一点（不包括点O），是等腰三角形，
∴存在两种情况：
当时，如图，
则，
∴，
∴；
当时，如图，
则，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述，或，
故答案为：或．
【分析】先等边三角形的性质求得，，再分两种情况：，，分别求得．
16．（2025·上虞模拟）在平面直角坐标系中，，，是二次函数图象上三点.若，，则　 　（填“”或“”）；若对于，，，存在，则的取值范围是　 　.
【答案】；
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y=-x2+4x-1=-（x-2）2+3，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，开口向下，抛物线上的点离对称轴的距离越大其对应的函数值就越小；
∵0＜x1＜1，x2＞4，
∴2-x1＜x2-2，即点A比点B离对称轴直线的距离近，
∴y1＞y2；
由题意得x1＜x2＜x3，
又∵对于m＜x1＜m+1，m+1＜x1＜m+2，m+2＜x1＜m+3，存在y1＜y3＜y2，
∴x1＜2，x3＞2，且A点离对称轴直线的距离最远，B点离对称轴直线的距离最近，
∴2-x1＞x3-2＞|x2-2|，
∴x1+x3＜4，且x2+x3＞4，
∵2m+2＜x1+x3＜2m+4，2m+3＜x2+x3＜2m+5，
∴2m+2＜4，2m+5＞4，
解得.
故答案为：＞；.
【分析】首先将抛物线的解析式配成顶点式，可得抛物线的对称轴为直线x=2，开口向下，抛物线上的点离对称轴的距离越大其对应的函数值就越小，进而比较出A、B两点距离纵坐标直线的距离的大小即可判断y1与y2的大小；由题意得x1＜x2＜x3，结合y1＜y3＜y2，可得x1＜2，x3＞2，且A点离对称轴直线的距离最远，B点离对称轴直线的距离最近，即2-x1＞x3-2＞|x2-2|，进而结合不等式性质可列出关于字母m的不等式组，求解即可.
17．（2025·上虞模拟）计算：.
【答案】解：
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】利用绝对值的性质，算术平方根的定义，零指数幂及负整数指数幂计算即可.
18．（2025·上虞模拟）下面解不等式组的过程有没有错误？若有错误，请指出第一次出错在哪一步，并写出你的解题过程．
解：由①，得第一步 第二步 由②，得第三步 第四步 不等式组的解是第五步
【答案】解：解不等式组的过程有错误，第一次出错在第三步；
由①得，
，
由②得，
，
所以不等式组的解是．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】观察题干给出的解题过程：解第一个不等式中的移项、合并同类项及系数化为1的步骤都没有出现错误；解第二个不等式中的去分母没有出现错误，但分数线具有括号的作用，在去括号的时候，由于“括号前面是负号，去掉括号和负号，括号内的每一项都需要改变符号”这个地方出错了，进而根据正确的方法计算解答即可.
19．（2025·上虞模拟）如图，拐尺与水平尺是生活中重要的测量工具．图是某排水管道系统的部分实物图，图3是其示意图．已知管道与的长度相同，与地面平行．现将拐尺和水平尺放在上，使，测得厘米，厘米．
（1）求的值；
（2）若米，求到地面的距离的长．
【答案】（1）解：∵，厘米，厘米，，
∵，
∴，
∴；
答：；
（2）解：如图所示，过点作，垂足为，
∵，
∴，，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，
设，，则，
∵米，
∴，解得，
∴米．
答：米．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）由平行线的性质知，等于，则解直角三角形PNM即可；
（2）由于平行线间距离处处相等，可分别过点B、C作AD的垂线段BE和CD，可得矩形BCDE，由于BC等于AB，可设CD的长，则BE的长可表示，再解直角三角形ABE即可得到AB的表达式，再利用AD的长即可得到关于CD长的一元一次方程，最后解方程即可．
20．（2025·上虞模拟）4月23日是世界读书日，某校发起了以“阅见美好·读享精彩”为主题的读书活动，为了解学生的参与度，从全校随机抽取部分学生进行问卷调查，获取了每人平均每天的阅读时间t（单位：分钟），将收集到的数据分为A，B，C，D，E五个等级，绘制成如下不完整的统计图表．
等级 人数
5
10
m
80
n
请根据图表中的信息，解答下列问题：
（1）求m，n的值．
（2）判断这组数据的中位数所在的等级，并说明相应理由．
（3）学校拟将平均每天阅读时间不低于60分钟的学生评为“阅读之星”，若该校共有2000名学生，请你估计被评为“阅读之星”的学生人数．
【答案】（1）解：∵D等级的学生参与人数为80人，占，
参与调查的人数有：人，
C等级的学生有：，
，
；
（2）解：参与调查的人有200人，中位数应是第100，第101个数的平均数，
第100个数据在D等级，第101个数据在D等级， D等级，
这组数据的中位数在D等级；
（3）解：∵总人数为2000人，统计表中平均每天阅读时间不低于分钟的学生人数为65人，
∴可评为“阅读之星”的学生人数为：人．
【知识点】扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）利用D等级的学生参与人数和所占百分比，求出抽测人数，分别求出C等级以及E等级的人数；
（2）根据中位数的定义计算；
（3）利用样本估计总体计算．
（1）解：由扇形统计图与统计表可知D等级的学生参与人数为80人，占，
参与调查的人数有：人，
C等级的学生有：，
，
；
（2）参与调查的人有200人，中位数应是第100，第101个数的平均数，且第100个数据在D等级，第101个数据在D等级， D等级，
这组数据的中位数在D等级；
（3）统计表中平均每天阅读时间不低于分钟的学生人数为65人，
当总人数为2000人时，可评为“阅读之星”的学生人数为：人．
21．（2025·上虞模拟）现有甲、乙两辆旅游车同时从旅行社前往某个旅游景点，全程180千米．行驶过程中甲车因故停留一段时间后继续驶向终点，乙车全程以60千米/小时的速度驶向景点．两辆车的行驶路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．
（1）甲车停留前行驶速度是 千米/小时，m＝ ；
（2）甲车比乙车早多少小时到达旅游景点？
【答案】（1）80，
（2）解：甲车停留后行驶速度是（千米/小时），
甲车到达旅游景点所需时间为（小时）；
乙车到达旅游景点所需时间为（小时）；
∵（小时），
∴甲车比乙车早小时到达旅游景点．
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）甲车停留前行驶速度是（千米/小时），
根据题意得：（小时）；
故答案为：80，；
【分析】（1）甲车停留前所走路程除以时间即得行驶速度是80（千米/小时），用90除以乙的速度即得m的值；
（2）求出甲车停留后行驶速度是100（千米/小时），可得甲车到达旅游景点所需时间为（小时）；而乙车到达旅游景点所需时间为（小时）；故甲车比乙车早小时到达旅游景点．
（1）解：甲车停留前行驶速度是（千米/小时），
根据题意得：（小时）；
故答案为：80，；
（2）解：甲车停留后行驶速度是（千米/小时），
甲车到达旅游景点所需时间为（小时）；
乙车到达旅游景点所需时间为（小时）；
∵（小时），
∴甲车比乙车早小时到达旅游景点．
22．（2025·上虞模拟）如图，在矩形中，，，点是边上的动点，连结，以为边作矩形（点在的同侧），且，连结．
（1）如图1，当点在的中点时，点在同一直线上，求的长；
（2）如图2，当时，求证：线段被平分．
【答案】（1）解：∵四边形是矩形，，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）证明：过点作于点，与交于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴线段被平分．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先根据勾股定理求出BE，再利用勾股定理求出CE，结合CE=2EF，可求出EF，从而可利用线段和求得BF；
（2）先利用AAS证明，再根据全等三角形的性质得出，则可得出结论．
（1）解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）证明：过点作于点，与交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即线段被平分．
23．（2025·上虞模拟）如图1是一个含有两个斜坡截面的轴对称图形，两个斜坡材质等各方面都一样．一个黑球从左斜坡顶端由静止滚下后沿水平木板直线运动，其中．从黑球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间（单位：）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据．记录的数据如表：
运动时间 0 2 4 6 8 10 …
运动速度 12 10 8 6 4 2 …
运动距离 0 22 40 54 64 70 …
（1）根据表格中的数值分别在图2、图3的平面直角坐标系中画出关于，关于的函数图象，并分别求出关于，关于的函数表达式．
（2）①求黑球在水平木板上滚动的最大距离．
②黑球从左斜坡顶端由静止滚下到点开始计时，运动到2秒的同时，有一个除颜色外其余与黑球完全相同的白球，从右斜坡顶端由静止滚下到点处，两球会在水平木板的某个位置相遇吗？若能相遇，请求出相遇点到点的距离；若不能相遇，请说明理由．
【答案】（1）解：
由图像猜测是的一次函数，
设，表中取点，代入得：
解得：，
即：，再把其它点坐标代入上述函数表达式成立，
与的函数表达式为；
由图像猜测是的二次函数，且过原点，
设，表中取点，代入得：
解得：，，
即：，再把其它点坐标代入上述函数表达式成立，
与的函数表达式为
（2）解：①由（1）可知，，
，即，
又的对称轴为，且开口向下，
当时，取最大值为：，
黑球在水平木板上滚动的最大距离为；
②由题意可知，时，白球从处出发，
当时，设表示白球在木板上滑行的距离，
则，
，
令，即，
得：，
解得：，（不合题意，舍去）
将代入，
相遇点到点的距离为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）根据表中数据画出图像即可，由图像可知是的一次函数，设，表中取点代入，即可解得函数表达式；由图像可知是的二次函数，且过原点，设，表中取点代入，即可解得函数表达式；
（2）①由，可知，结合，开口向下，对称轴，即可求得的最大值；②根据题意，可得白球滑行距离的表达式，再令，解出，代入即可得到相遇点离点距离．
24．（2025·上虞模拟）[问题提出]
（1）如图1，已知线段AB＝4，点C是一个动点，且点C到点B的距离为2，则线段AC长度的最大值是________；
[问题探究]
（2）如图2，以正方形ABCD的边CD为直径作半圆O，E为半圆O上一动点，若正方形的边长为2，求AE长度的最大值；
[问题解决]
（3）如图3，某植物园有一块三角形花地ABC，经测量，AC＝20米，BC＝120米，∠ACB＝30°，BC下方有一块空地（空地足够大），为了增加绿化面积，管理员计划在BC下方找一点P，将该花地扩建为四边形ABPC，扩建后沿AP修一条小路，以便游客观赏．考虑植物园的整体布局，扩建部分BPC需满足∠BPC＝60°．为容纳更多游客，要求小路AP的长度尽可能长，问修建的观赏小路AP的长度是否存在最大值？若存在，求出AP的最大长度；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）6
（2）解：连接AO并延长交半圆O于F，如图：
∵正方形ABCD的边CD为直径作半圆O，边长为2，
∴∠ADO＝90°，AD＝2，OD＝OC＝OF＝1，
当E运动到F时，AE最大，AF的长度即是AE的最大值，
∴AO＝ ，
∴AF＝AO+OF＝+1，
∴AE最大为+1；
（3）解：作BC的垂直平分线DE，在BC下方作∠BCO＝30°，射线CO交DE于O，以O为圆心，OC为半径作⊙O，连接OB、连接AO并延长交⊙O于P，则AP为满足条件的小路，过A作AF⊥OC于F，如图：
∵∠BCO＝30°，∠ACB＝30°，
∴∠ACF＝60°，
∴AF＝AC sin60°＝30，CF＝AC cos60°＝10 ，
∵DE垂直平分BC，BC＝120，
∴CE＝60，∠OEC＝90°，
∴OC＝ ，
∴OF＝OC﹣CF＝30，
∴OA＝ ，
∴AP＝OA+OP＝60+40．
∴小路AP的长度最大为60+40．
【知识点】正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；圆与四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）当C在线段AB延长线上时，AC最大，此时AC＝AB+BC＝4+2＝6，
故答案为：6；
【分析】（1）当C在线段AB延长线上时，AC最大，利用AC＝AB+BC求得AC即可；
（2）当E运动到F时，AE最大，AF的长度即是AE的最大值，利用勾股定理求得AO，再利用AF＝AO+OF求得AF即可，从而可得AE；
（3）作BC的垂直平分线DE，在BC下方作∠BCO＝30°，射线CO交DE于O，以O为圆心，OC为半径作⊙O，连接OB、连接AO并延长交⊙O于P，则AP为满足条件的小路，过A作AF⊥OC于F，Rt△ACF中，求出AF、CF，再在Rt△AOF中，求出OA，再利用AP＝OA+OP求解．
（1）解：当C在线段AB延长线上时，AC最大，此时AC＝AB+BC＝4+2＝6，
故答案为：6；
（2）解：连接AO并延长交半圆O于F，如图：
∵正方形ABCD的边CD为直径作半圆O，边长为2，
∴∠ADO＝90°，AD＝2，OD＝OC＝OF＝1，
当E运动到F时，AE最大，AF的长度即是AE的最大值，
Rt△AOD中，AO＝ ，
∴AF＝AO+OF＝+1，
即AE最大为+1；
（3）解：作BC的垂直平分线DE，在BC下方作∠BCO＝30°，射线CO交DE于O，以O为圆心，OC为半径作⊙O，连接OB、连接AO并延长交⊙O于P，则AP为满足条件的小路，过A作AF⊥OC于F，如图：
∵∠BCO＝30°，∠ACB＝30°，
∴∠ACF＝60°，
Rt△ACF中，AF＝AC sin60°＝30，CF＝AC cos60°＝10 ，
∵DE垂直平分BC，BC＝120，
∴CE＝60，∠OEC＝90°，
∴OC＝ ，
∴OF＝OC﹣CF＝30，
Rt△AOF中，OA＝ ，
∴AP＝OA+OP＝60+40．
即小路AP的长度最大为60+40．
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