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浙江省杭州市临平区2025年中考二模数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
1．（2025·临平二模） 如果高于海平面记作，那么低于海平面应该记作（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解： ∵高于海平面100m记作+100m，
∴低于海平面50m应该记作-50m.
故答案为：B .
【分析】 根据正负数可以表示一对相反意义的量进行作答.
2．（2025·临平二模）如图所示的几何体的俯视图是（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】根据俯视图的画法可得：俯视图为一个正方形，且正方形两边的中点有一条实线．
故答案为：B．
【分析】根据所给几何体，再结合俯视图的定义对每个选项一一判断求解即可。
3．（2025·临平二模） 随着科学技术的不断发展，网络已经成为新时代的“宠儿”，截至年月，我国移动电话用户达亿户，将亿用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 10.02亿=1002000000=1.002×109.
故答案为：C .
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.
4．（2025·临平二模） 如果，那么下列不等式正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：
解：∵x＜y，
∴3x＜3y，
∴选项A符合题意；
∵x＜y，
∴-2x＞-2y，
∴选项B不符合题意；
∵x＜y，
∴x+2＜y+2，
∴选项C不符合题意；
∵x＜y，
∴x-1＜y-1，
∴选项D不符合题意．
故答案为：A .
【分析】 根据x＜y，应用不等式的性质，逐项判断即可.
5．（2025·临平二模）如果代数式x2-2x+5的值为3，那么代数式2x-x2的值等于（　　）
A．2 B．-2 C．8 D．-8
【答案】A
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵x2-2x+5=3，
∴x2-2x=-2，
∴当x2-2x=-2时，原式=-(x2-2x)=-(-2)=2，
故答案为：A.
【分析】根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可.
6．（2025·临平二模） 如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底C处，点D在的延长线上，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解： ∵MN∥EF，
∴∠1+∠CBN=180°，
∵∠1=67°，
∴∠CBN=113°，
∵∠DBC+∠CBN+∠2=180°，∠2=45°，
∴∠DBC=22°，
故答案为：B .
【分析】
由平行线的性质求出∠CBN的度数，由平角定义即可求出∠DBC的度数.
7．（2025·临平二模） 随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递40件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原来平均每人每周投递快件x件，
根据快递公司的快递员人数不变列出方程，
得：
故答案为：D.
【分析】设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件(x+40)件，根据人数=投递快递总数量÷人均投递数量，结合快递公司的快递员人数不变，即可得出关于的分式方程，此题得解.
8．（2025·临平二模）用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，作法错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】尺规作图-垂线
【解析】【解答】解：A、根据垂径定理作图的方法可知，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意；
B、根据直径所对的圆周角是直角的方法可知，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意；
C、根据相交两圆的公共弦的性质可知，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意；
D、无法证明CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，符合题意．
故选：D．
【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线作图即可求解．
9．（2025·临平二模）已知△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，现有两个判断：
①若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2；
②若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2，
对于上述的两个判断，下列说法正确的是（　　）
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确
C．①，②都错误 D．①，②都正确
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，
∴B1C1=B2C2，
∴△A1B1C1≌△A2B2C2（SSS），∴①正确；
∵∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，
∴△A1B1C1∽△A2B2C2
∵△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，
∴△A1B1C1≌△A2B2C2
∴②正确；
故选：D．
【分析】根据SSS即可推出△A1B1C1≌△A2B2C2，判断①正确；根据“两角法”推知两个三角形相似，然后结合两个三角形的周长相等推出两三角形全等，即可判断②．
10．（2025·临平二模） 已知二次函数 过点 ，， 三点. 记 ，，则下列判断正确的是（　　）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数y=x2+bx+c过点A(x1，y1)，B(x1+t，y2)，C(x1+2t，y3)三点，
∴，y2=(x1+t)2+b(x1+t)+c，y3=(x1+2t)2+b(x1+2t)+c，
∴
∴n-m=3t2+(2x1+b)t-[t2+(2x1+b)t]=2t2，
若n-m>2，则2t2>2，
∴t>1或t<-1，
故A错误，不符合题意；
若n-m<2，则2t2<2，
∴-1故B错误，不符合题意；
若t>1，则2t2>2，
∴n-m>2，故C正确，符合题意；
若-1故D错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】由二次函数y=x2+bx+c过点A(x1，y1)，B(x1+t，y2)，C(x1+2t，y3)三点，可得，，即得n-m=3t2+(2x1+b)t-[t2+(2x1+b)t]=2t2，再逐项判断即可.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025·临平二模） 分解因式：　 　．
【答案】或
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：，
故答案为：或 .
【分析】利用平方差公式分解因式即可.
12．（2025·临平二模） 如图，是的三个外角，则的度数是　 　．
【答案】
【知识点】多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：由于任意多边形外角和为360°，
∴=360°.
故答案为： 360°.
【分析】 利用三角形的外角性质，可得出∠1=∠ABC+∠ACB，∠2=∠ABC+∠BAC，∠3=∠BAC+∠ACB，将其相加，可得出∠1+∠2+∠3=2（∠ABC+∠ACB+∠BAC），再结合三角形内角和是180°，即可求出结论.
13．（2025·临平二模） 在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针方向旋转到点，则点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解： 如图，过点A作AB⊥y轴于点B，
∵点A（1，1），
∴AB=OB=1，∠AOB=45°，
∴OA=OA'=，
∴，
故答案为： .
【分析】过点A作AB⊥y轴于点B，可得AB=OB=1，∠AOB=45°，OA=，从而得到A'坐标.
14．（2025·临平二模） 某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中随机选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为　 　．
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：设四种水果分别为ABCD，则1个人选两种水果的情况共有：
AB，AC，AD，BC，BD，CD，六种情况.
则两人相同的概率为.
故答案为： .
【分析】罗列每个人选取两种水果的所有情况即可.
15．（2025·临平二模） 已知关于x的两个方程，．若前一个方程中有一个根是后一个方程某个根的5倍，则实数c的值是　 　．
【答案】或
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解： 设5t为方程x2-x+5c=0的一个根，则t为x2+x+c=0的一个根，
∴t2+t+c=0①，25t2-5t+5c=0，即5t2-t+c=0②，
②-①得4t2-2t=0，
故t=0.5或t=0，
当t=0时，得c=0，不合题意舍去；
当t=0.5时，代入得c=.
故答案为： .
【分析】 设x2+x+c=0的一个根为t，5t为方程x2-x+5c=0的一个根，根据方程解的定义得到t2+t+c=0①，25t2-5t+5c=0，即5t2-t+c+0②，然后利用加减消元法解方程可得到c的值.
16．（2025·临平二模）如图，已知正方形ABCD与正方形AEFG，M，N分别是AB，CD的中点，当点F落在线段MN上时，点G恰好在ED上.记正方形AEFG的面积为m，正方形ABCD的面积为n，则=　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接DF，过点G作GH⊥MN，HG的延长线交AD于点K，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠B=∠C=∠ADC=90°，AD//BC，AB//CD，
∵点M，N是AB，CD的中点，
∴DN=BM，CN=BM，
∴四边形BCNM，四边形ADNM都是矩形
∵HK⊥MN，AD//BC，
∴HK⊥AD，
∴四边形KDNH，四边形AKHM都是矩形，
设GK=a，DN=b，则a>0，b>0，HN=DK，
∴CD=AD=2b，HK=DN=b，
∴HG=HK-GK=b-a，
∵∠GHF=∠AKG=90°，
∴∠HGE+∠HFG=90°
∵四边形AEFG是正方形，
∴FG=AG，∠AGF=90°，
∵∠HGF+∠KGA =90°，
∴∠HFG=∠KGA，
在△HFG和△KGA中，
∴△HFG≌△KGA(AAS)，
∴HG=AK=b-a，FH=GK=a，
∴HN=DK=AD-AK=2b-(b-a)=b+a，
∴FN=HN+FH=b+a+a=b+2a，
∵四边形AEFG是正方形，AF是对角线，
∴DE是线段AF的垂直平分线，
∴FD=AD=2b，
在Rt△FDH中，由勾股定理得：FD2=DN2+FN2
∴(2b)2=b2+(b+2a)2，
整理得：b2-2ab-2a2=0，
解这个关于b的方程得：，(不合题意，舍去)，
∴，
在Rt△AGK中，由勾股定理得：
，
∴正方形AEFG的面积m=AG2=4a2，
∵，
∴正方形ABCD的面积，
∴.
故答案为：.
【分析】连接DF，过点G作GH⊥MN，HG的延长线交AD于K，设GK=a，DN=b，则a>0，b>0，则CD=AD=2b，HK=DN=b，HG=b-a，证明△HEG和△KGA全等得HG=AK=b-a，FH=GK=a，则HN=DK=b+a，进而得FN=b+2a，证明DE是线段AF的垂直平分线，则FD=AD=2b，在Rt△FDH中，由勾股定理得(2b)2=b2+(b+2a)2，整理得b2-2ab-2a2=0，解这个关于b的方程得，则，由此得正方形AEFG的面积m=AG2=4a2，正方形ABCD的面积，据此即可得出的值.
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025·临平二模）计算：
【答案】解：原式=
【知识点】实数的运算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据绝对值、特殊角三角函数值、二次根式的性质及负整数指数幂的性质先化简，再计算加减即可.
18．（2025·临平二模）计算：
（1） ；
（2）
【答案】（1）解：原式==
（2）解：原式=
【知识点】整式的混合运算；分式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式、单项式与多项式的乘法法则以及合并同类项法则化简即可；
（2）对括号中的式子进行通分，对括号外分式的分子利用平方差公式进行分解，然后将除法化为乘法，再进行约分即可对原式进行化简.
19．（2025·临平二模） 如图，在的方格中，的顶点均在格点上．试按要求画出线段（E，F均为格点），各画出一条即可．
【答案】解：
【知识点】垂线的概念；作图-平行线；线段垂直平分线的概念
【解析】【分析】 在格点中利用勾股定理，三角形全等以及平移的性质构造垂直和平行即可.
20．（2025·临平二模）在探究欧姆定律时，小明发现小灯泡电路上的电压保持不变，通过小灯泡的电流越大，灯就越亮.设选用小灯泡的电阻为，通过的电流强度为.
（1）若电阻为，通过的电流强度为，求I关于R的函数表达式.
（2）如果电阻小于，那么与原来的相比，小灯泡的亮度将发生什么变化？
【答案】（1）解：∵电压不变，，
∴，
；
（2）解：，
，I随R的增大而减小，
若电阻小于，那么与原来的相比，小灯泡的亮度将变亮.
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）由题意可得U=IR，将R=40、I=0.30代入可得U的值，据此可得I关于R的函数表达式；
（2）根据反比例函数的性质可得：I随R的增大而减小，据此判断.
21．（2025·临平二模） 学校体育组为了解本学期九年级女生体质健康的变化情况，从九年级全体女生中随机抽取名女生进行体质测试，并调取这名女生上学期的体质测试成绩进行对比．经过对两次成绩进行整理、描述和分析，得出了下面的部分信息：
【信息1】两次测试成绩（满分为100分）的频数分布直方图如下：
（数据分组：，，，，）
【信息2】抽取名女生上学期测试成绩在的具体分数是：
80 81 83 84 84 88
【信息3】抽取的名女生两个学期测试成绩的平均数、中位数、众数如下表：
学期 平均数 中位数 众数
上学期 82.9 84
本学期 82.9 86 86
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本题中，的值为　 　，的值为　 　．
（2）学校体育组计划根据本学期统计数据安排九年级80分以下的同学参加体质加强训练项目，若九年级共有90名女生，估计参加此项目的女生人数．
（3）小林比较了两个学期测试成绩的平均数，发现没有区别，从而得出结论：九年级女生的体质健康没有发生变化．你是否同意他的看法？请说明理由．
【答案】（1）15；83
（2）解：人，
估计参加此项目的女生约为18人 .
（3）解：不同意．
平均数只是衡量数据发展变化的一个指标，在本题中，虽然平均数没有变化，但是中位数和众数都在提高，说明九年级女生的体质健康成绩呈上升趋势．
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】 （1）m=2+3+6+4=15，
上学期成绩的中位数是第8个数据，由题意知第8个数据为83，
所以n=83，
故答案为：15、83
【分析】 （1）将各分组人数相加即可得除m的值，再根据中位数的定义可得n的值；
（2）用总人数乘以样本中80分以下的学生人数所占比例即可；
（3）根据中位数、众数的变化情况及其实际意义可得答案．
22．（2025·临平二模） 课本56页中有这样一道题：证明．如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等，
（1）小玲在思考这道题时．画出图形，写出已知和求证．
已知：在和中，，，是边上的中线，是边上的中线，．
求证：．
请你帮她完成证明过程．
（2）小玲接着提出了两个猜想：
①如果两个三角形有两条边和第三边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等；
②如果两个三角形有两条边和第三边上的高分别相等，那么这两个三角形全等；
请你分别判断这两个猜想是否正确，如果正确，请予以证明，如果不正确，请举出反例．
【答案】（1）解： ∵CD是△ABC边AB上的中线，C'D'是△A'B'C'边A'B'上的中线，
∴AD=DB，A'D'=D'B'，
∴AD=A'D'，
∴△ACD≌△A'C'D'（SSS），
∴∠A=∠A'，
∴△ABC≌△A'B'C'（SAS） .
（2）解： ①正确，已知：在△ABC和△A'B'C'中，CB=C'B'，AC=A'C'，CD是△ABC边AB上的中线，C'D'是△A'B'C'边A'B'上的中线，CD=C'D'．
求证：△ABC≌△A'B'C'．
证明：延长CD到T，使得CD=DT，连接AT，延长C'D'到T'，使得C'D'=D'T'，连接A'T'．
易证△CDB≌△TDA（SAS），
∴CB=AT，∠DCB=∠T，
同法可证，△C'DB'≌△T'D'A'，可得C'B'=A'T'，∠D'C'B'=∠T，
∵CB=B'C'，CD=C'D'，
∴CT=C'T'，
∴△ACT≌△A'C'T'（SSS），
∴∠ACT=∠A'C'T'，∠T=∠T'，
∴∠BCD=∠B'C'D'，
∴∠ACB=∠A'C'B'，
∴△ABC≌△A'B'C'（SAS） ；
②不正确，反例如下：
在△ABC和△ABD中，高均为CH，
AC=AC，BC=BC，CH=CH，
但显然△ABC与△ABD不全等.
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】 （1）证明△ACD≌△A'C'D'（SSS），推出∠A=∠A'，再根据SAS证明△ABC≌△A'B'C'；
（2）①正确，写出已知，求证，延长CD到T，使得CD=DT，连接AT，延长C'D'到T'，使得C'D'=D'T'，连接A'T'．利用确定的三角形的性质证明∠ACB=∠A'C'B'，可得结论；
②不正确，画出反例图即可．
23．（2025·临平二模） 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（1）当时，求车流速度v关于x的解析式；
（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时，）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）
【答案】（1）解： 由题意：当0≤x≤20时，v=60；
当20＜x≤200时，设v=ax+b，
则，
解得：，
∴.
（2）解： 由（Ⅰ）可得，
当0≤x＜20时，w=60x，
∵60＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x=20时，w有最大值，最大值为60×20=1200；
当20≤x≤200时，w=，
当x=100时，w最大值为≈3333；
综上：当时，最大值约为3333．即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．
【知识点】分段函数；二次函数的其他应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据题意，分两种情况由待定系数法求出函数解析式；
（2）分两种情况求出w关于x的函数解析式，由函数的性质求出最值即可．
24．（2025·临平二模） 如图1，在中，是钝角，以为直径的圆与边交于点D，与延长线交于点E，连结，连结交于点G．
（1）求证：．
（2）记与之间是否存在确定的数量关系？若存在，请求出该数量关系；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，若点G关于的对称点在以为直径的圆上，证明点G是的内心．
【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠ABC=∠DEC，
∴∠C=∠DEC，
∵AB为直径，
∴∠BEC=90°，
∴∠DEC+∠BED=90°，∠C+∠CBE=90°，
∴∠BED=∠CBE，
∴.
（2）解：存在，
理由：连接AD，如图，
∵∠EBG=∠ADG，∠BEG=∠DAG，
∴△BEG∽△DAG，
∴，
∵四边形ADBE为圆的内接四边形，
∴∠DAC=∠CBE，
∵∠C=∠C，
∴△CAD∽△CBE，
∴，
∴，
，
∴.
（3）解：连接BG'，GG'，DG'，
由对称性知，∠ABD=∠DBG'，
由同弧所对圆周角相等，
∴∠ABD=∠AED，∠DBG'=∠DEG'，
∴∠AED=∠DEG'，
同理，可证∠EAB=∠G'AB，
∴G为的内心.
【知识点】等腰三角形的判定；圆的综合题；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据∠BEA=90°，以及同弧所对圆周角相等，推出ED=DC，进而推出DE为直角三角形斜边上的中线，从而得到结论；
（2）连接AD，利用相似三角形的判定与性质得到，，根据等量代换，可得，从而得出结论；
（3）连接BG'，GG'，DG'，利用对称性和圆周角定理，可得∠AED=∠DEG'和∠EAB=∠G'AB，从而得出内心.
1 / 1浙江省杭州市临平区2025年中考二模数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
1．（2025·临平二模） 如果高于海平面记作，那么低于海平面应该记作（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·临平二模）如图所示的几何体的俯视图是（　　）．
A． B．
C． D．
3．（2025·临平二模） 随着科学技术的不断发展，网络已经成为新时代的“宠儿”，截至年月，我国移动电话用户达亿户，将亿用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·临平二模） 如果，那么下列不等式正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·临平二模）如果代数式x2-2x+5的值为3，那么代数式2x-x2的值等于（　　）
A．2 B．-2 C．8 D．-8
6．（2025·临平二模） 如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底C处，点D在的延长线上，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·临平二模） 随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递40件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025·临平二模）用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，作法错误的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025·临平二模）已知△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，现有两个判断：
①若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2；
②若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2，
对于上述的两个判断，下列说法正确的是（　　）
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确
C．①，②都错误 D．①，②都正确
10．（2025·临平二模） 已知二次函数 过点 ，， 三点. 记 ，，则下列判断正确的是（　　）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025·临平二模） 分解因式：　 　．
12．（2025·临平二模） 如图，是的三个外角，则的度数是　 　．
13．（2025·临平二模） 在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针方向旋转到点，则点的坐标是　 　．
14．（2025·临平二模） 某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中随机选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为　 　．
15．（2025·临平二模） 已知关于x的两个方程，．若前一个方程中有一个根是后一个方程某个根的5倍，则实数c的值是　 　．
16．（2025·临平二模）如图，已知正方形ABCD与正方形AEFG，M，N分别是AB，CD的中点，当点F落在线段MN上时，点G恰好在ED上.记正方形AEFG的面积为m，正方形ABCD的面积为n，则=　 　.
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025·临平二模）计算：
18．（2025·临平二模）计算：
（1） ；
（2）
19．（2025·临平二模） 如图，在的方格中，的顶点均在格点上．试按要求画出线段（E，F均为格点），各画出一条即可．
20．（2025·临平二模）在探究欧姆定律时，小明发现小灯泡电路上的电压保持不变，通过小灯泡的电流越大，灯就越亮.设选用小灯泡的电阻为，通过的电流强度为.
（1）若电阻为，通过的电流强度为，求I关于R的函数表达式.
（2）如果电阻小于，那么与原来的相比，小灯泡的亮度将发生什么变化？
21．（2025·临平二模） 学校体育组为了解本学期九年级女生体质健康的变化情况，从九年级全体女生中随机抽取名女生进行体质测试，并调取这名女生上学期的体质测试成绩进行对比．经过对两次成绩进行整理、描述和分析，得出了下面的部分信息：
【信息1】两次测试成绩（满分为100分）的频数分布直方图如下：
（数据分组：，，，，）
【信息2】抽取名女生上学期测试成绩在的具体分数是：
80 81 83 84 84 88
【信息3】抽取的名女生两个学期测试成绩的平均数、中位数、众数如下表：
学期 平均数 中位数 众数
上学期 82.9 84
本学期 82.9 86 86
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本题中，的值为　 　，的值为　 　．
（2）学校体育组计划根据本学期统计数据安排九年级80分以下的同学参加体质加强训练项目，若九年级共有90名女生，估计参加此项目的女生人数．
（3）小林比较了两个学期测试成绩的平均数，发现没有区别，从而得出结论：九年级女生的体质健康没有发生变化．你是否同意他的看法？请说明理由．
22．（2025·临平二模） 课本56页中有这样一道题：证明．如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等，
（1）小玲在思考这道题时．画出图形，写出已知和求证．
已知：在和中，，，是边上的中线，是边上的中线，．
求证：．
请你帮她完成证明过程．
（2）小玲接着提出了两个猜想：
①如果两个三角形有两条边和第三边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等；
②如果两个三角形有两条边和第三边上的高分别相等，那么这两个三角形全等；
请你分别判断这两个猜想是否正确，如果正确，请予以证明，如果不正确，请举出反例．
23．（2025·临平二模） 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（1）当时，求车流速度v关于x的解析式；
（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时，）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）
24．（2025·临平二模） 如图1，在中，是钝角，以为直径的圆与边交于点D，与延长线交于点E，连结，连结交于点G．
（1）求证：．
（2）记与之间是否存在确定的数量关系？若存在，请求出该数量关系；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，若点G关于的对称点在以为直径的圆上，证明点G是的内心．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解： ∵高于海平面100m记作+100m，
∴低于海平面50m应该记作-50m.
故答案为：B .
【分析】 根据正负数可以表示一对相反意义的量进行作答.
2．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】根据俯视图的画法可得：俯视图为一个正方形，且正方形两边的中点有一条实线．
故答案为：B．
【分析】根据所给几何体，再结合俯视图的定义对每个选项一一判断求解即可。
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 10.02亿=1002000000=1.002×109.
故答案为：C .
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.
4．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：
解：∵x＜y，
∴3x＜3y，
∴选项A符合题意；
∵x＜y，
∴-2x＞-2y，
∴选项B不符合题意；
∵x＜y，
∴x+2＜y+2，
∴选项C不符合题意；
∵x＜y，
∴x-1＜y-1，
∴选项D不符合题意．
故答案为：A .
【分析】 根据x＜y，应用不等式的性质，逐项判断即可.
5．【答案】A
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵x2-2x+5=3，
∴x2-2x=-2，
∴当x2-2x=-2时，原式=-(x2-2x)=-(-2)=2，
故答案为：A.
【分析】根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可.
6．【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解： ∵MN∥EF，
∴∠1+∠CBN=180°，
∵∠1=67°，
∴∠CBN=113°，
∵∠DBC+∠CBN+∠2=180°，∠2=45°，
∴∠DBC=22°，
故答案为：B .
【分析】
由平行线的性质求出∠CBN的度数，由平角定义即可求出∠DBC的度数.
7．【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原来平均每人每周投递快件x件，
根据快递公司的快递员人数不变列出方程，
得：
故答案为：D.
【分析】设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件(x+40)件，根据人数=投递快递总数量÷人均投递数量，结合快递公司的快递员人数不变，即可得出关于的分式方程，此题得解.
8．【答案】D
【知识点】尺规作图-垂线
【解析】【解答】解：A、根据垂径定理作图的方法可知，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意；
B、根据直径所对的圆周角是直角的方法可知，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意；
C、根据相交两圆的公共弦的性质可知，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意；
D、无法证明CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，符合题意．
故选：D．
【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线作图即可求解．
9．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，
∴B1C1=B2C2，
∴△A1B1C1≌△A2B2C2（SSS），∴①正确；
∵∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，
∴△A1B1C1∽△A2B2C2
∵△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，
∴△A1B1C1≌△A2B2C2
∴②正确；
故选：D．
【分析】根据SSS即可推出△A1B1C1≌△A2B2C2，判断①正确；根据“两角法”推知两个三角形相似，然后结合两个三角形的周长相等推出两三角形全等，即可判断②．
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数y=x2+bx+c过点A(x1，y1)，B(x1+t，y2)，C(x1+2t，y3)三点，
∴，y2=(x1+t)2+b(x1+t)+c，y3=(x1+2t)2+b(x1+2t)+c，
∴
∴n-m=3t2+(2x1+b)t-[t2+(2x1+b)t]=2t2，
若n-m>2，则2t2>2，
∴t>1或t<-1，
故A错误，不符合题意；
若n-m<2，则2t2<2，
∴-1故B错误，不符合题意；
若t>1，则2t2>2，
∴n-m>2，故C正确，符合题意；
若-1故D错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】由二次函数y=x2+bx+c过点A(x1，y1)，B(x1+t，y2)，C(x1+2t，y3)三点，可得，，即得n-m=3t2+(2x1+b)t-[t2+(2x1+b)t]=2t2，再逐项判断即可.
11．【答案】或
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：，
故答案为：或 .
【分析】利用平方差公式分解因式即可.
12．【答案】
【知识点】多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：由于任意多边形外角和为360°，
∴=360°.
故答案为： 360°.
【分析】 利用三角形的外角性质，可得出∠1=∠ABC+∠ACB，∠2=∠ABC+∠BAC，∠3=∠BAC+∠ACB，将其相加，可得出∠1+∠2+∠3=2（∠ABC+∠ACB+∠BAC），再结合三角形内角和是180°，即可求出结论.
13．【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解： 如图，过点A作AB⊥y轴于点B，
∵点A（1，1），
∴AB=OB=1，∠AOB=45°，
∴OA=OA'=，
∴，
故答案为： .
【分析】过点A作AB⊥y轴于点B，可得AB=OB=1，∠AOB=45°，OA=，从而得到A'坐标.
14．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：设四种水果分别为ABCD，则1个人选两种水果的情况共有：
AB，AC，AD，BC，BD，CD，六种情况.
则两人相同的概率为.
故答案为： .
【分析】罗列每个人选取两种水果的所有情况即可.
15．【答案】或
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解： 设5t为方程x2-x+5c=0的一个根，则t为x2+x+c=0的一个根，
∴t2+t+c=0①，25t2-5t+5c=0，即5t2-t+c=0②，
②-①得4t2-2t=0，
故t=0.5或t=0，
当t=0时，得c=0，不合题意舍去；
当t=0.5时，代入得c=.
故答案为： .
【分析】 设x2+x+c=0的一个根为t，5t为方程x2-x+5c=0的一个根，根据方程解的定义得到t2+t+c=0①，25t2-5t+5c=0，即5t2-t+c+0②，然后利用加减消元法解方程可得到c的值.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接DF，过点G作GH⊥MN，HG的延长线交AD于点K，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠B=∠C=∠ADC=90°，AD//BC，AB//CD，
∵点M，N是AB，CD的中点，
∴DN=BM，CN=BM，
∴四边形BCNM，四边形ADNM都是矩形
∵HK⊥MN，AD//BC，
∴HK⊥AD，
∴四边形KDNH，四边形AKHM都是矩形，
设GK=a，DN=b，则a>0，b>0，HN=DK，
∴CD=AD=2b，HK=DN=b，
∴HG=HK-GK=b-a，
∵∠GHF=∠AKG=90°，
∴∠HGE+∠HFG=90°
∵四边形AEFG是正方形，
∴FG=AG，∠AGF=90°，
∵∠HGF+∠KGA =90°，
∴∠HFG=∠KGA，
在△HFG和△KGA中，
∴△HFG≌△KGA(AAS)，
∴HG=AK=b-a，FH=GK=a，
∴HN=DK=AD-AK=2b-(b-a)=b+a，
∴FN=HN+FH=b+a+a=b+2a，
∵四边形AEFG是正方形，AF是对角线，
∴DE是线段AF的垂直平分线，
∴FD=AD=2b，
在Rt△FDH中，由勾股定理得：FD2=DN2+FN2
∴(2b)2=b2+(b+2a)2，
整理得：b2-2ab-2a2=0，
解这个关于b的方程得：，(不合题意，舍去)，
∴，
在Rt△AGK中，由勾股定理得：
，
∴正方形AEFG的面积m=AG2=4a2，
∵，
∴正方形ABCD的面积，
∴.
故答案为：.
【分析】连接DF，过点G作GH⊥MN，HG的延长线交AD于K，设GK=a，DN=b，则a>0，b>0，则CD=AD=2b，HK=DN=b，HG=b-a，证明△HEG和△KGA全等得HG=AK=b-a，FH=GK=a，则HN=DK=b+a，进而得FN=b+2a，证明DE是线段AF的垂直平分线，则FD=AD=2b，在Rt△FDH中，由勾股定理得(2b)2=b2+(b+2a)2，整理得b2-2ab-2a2=0，解这个关于b的方程得，则，由此得正方形AEFG的面积m=AG2=4a2，正方形ABCD的面积，据此即可得出的值.
17．【答案】解：原式=
【知识点】实数的运算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据绝对值、特殊角三角函数值、二次根式的性质及负整数指数幂的性质先化简，再计算加减即可.
18．【答案】（1）解：原式==
（2）解：原式=
【知识点】整式的混合运算；分式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式、单项式与多项式的乘法法则以及合并同类项法则化简即可；
（2）对括号中的式子进行通分，对括号外分式的分子利用平方差公式进行分解，然后将除法化为乘法，再进行约分即可对原式进行化简.
19．【答案】解：
【知识点】垂线的概念；作图-平行线；线段垂直平分线的概念
【解析】【分析】 在格点中利用勾股定理，三角形全等以及平移的性质构造垂直和平行即可.
20．【答案】（1）解：∵电压不变，，
∴，
；
（2）解：，
，I随R的增大而减小，
若电阻小于，那么与原来的相比，小灯泡的亮度将变亮.
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）由题意可得U=IR，将R=40、I=0.30代入可得U的值，据此可得I关于R的函数表达式；
（2）根据反比例函数的性质可得：I随R的增大而减小，据此判断.
21．【答案】（1）15；83
（2）解：人，
估计参加此项目的女生约为18人 .
（3）解：不同意．
平均数只是衡量数据发展变化的一个指标，在本题中，虽然平均数没有变化，但是中位数和众数都在提高，说明九年级女生的体质健康成绩呈上升趋势．
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】 （1）m=2+3+6+4=15，
上学期成绩的中位数是第8个数据，由题意知第8个数据为83，
所以n=83，
故答案为：15、83
【分析】 （1）将各分组人数相加即可得除m的值，再根据中位数的定义可得n的值；
（2）用总人数乘以样本中80分以下的学生人数所占比例即可；
（3）根据中位数、众数的变化情况及其实际意义可得答案．
22．【答案】（1）解： ∵CD是△ABC边AB上的中线，C'D'是△A'B'C'边A'B'上的中线，
∴AD=DB，A'D'=D'B'，
∴AD=A'D'，
∴△ACD≌△A'C'D'（SSS），
∴∠A=∠A'，
∴△ABC≌△A'B'C'（SAS） .
（2）解： ①正确，已知：在△ABC和△A'B'C'中，CB=C'B'，AC=A'C'，CD是△ABC边AB上的中线，C'D'是△A'B'C'边A'B'上的中线，CD=C'D'．
求证：△ABC≌△A'B'C'．
证明：延长CD到T，使得CD=DT，连接AT，延长C'D'到T'，使得C'D'=D'T'，连接A'T'．
易证△CDB≌△TDA（SAS），
∴CB=AT，∠DCB=∠T，
同法可证，△C'DB'≌△T'D'A'，可得C'B'=A'T'，∠D'C'B'=∠T，
∵CB=B'C'，CD=C'D'，
∴CT=C'T'，
∴△ACT≌△A'C'T'（SSS），
∴∠ACT=∠A'C'T'，∠T=∠T'，
∴∠BCD=∠B'C'D'，
∴∠ACB=∠A'C'B'，
∴△ABC≌△A'B'C'（SAS） ；
②不正确，反例如下：
在△ABC和△ABD中，高均为CH，
AC=AC，BC=BC，CH=CH，
但显然△ABC与△ABD不全等.
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】 （1）证明△ACD≌△A'C'D'（SSS），推出∠A=∠A'，再根据SAS证明△ABC≌△A'B'C'；
（2）①正确，写出已知，求证，延长CD到T，使得CD=DT，连接AT，延长C'D'到T'，使得C'D'=D'T'，连接A'T'．利用确定的三角形的性质证明∠ACB=∠A'C'B'，可得结论；
②不正确，画出反例图即可．
23．【答案】（1）解： 由题意：当0≤x≤20时，v=60；
当20＜x≤200时，设v=ax+b，
则，
解得：，
∴.
（2）解： 由（Ⅰ）可得，
当0≤x＜20时，w=60x，
∵60＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x=20时，w有最大值，最大值为60×20=1200；
当20≤x≤200时，w=，
当x=100时，w最大值为≈3333；
综上：当时，最大值约为3333．即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．
【知识点】分段函数；二次函数的其他应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据题意，分两种情况由待定系数法求出函数解析式；
（2）分两种情况求出w关于x的函数解析式，由函数的性质求出最值即可．
24．【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠ABC=∠DEC，
∴∠C=∠DEC，
∵AB为直径，
∴∠BEC=90°，
∴∠DEC+∠BED=90°，∠C+∠CBE=90°，
∴∠BED=∠CBE，
∴.
（2）解：存在，
理由：连接AD，如图，
∵∠EBG=∠ADG，∠BEG=∠DAG，
∴△BEG∽△DAG，
∴，
∵四边形ADBE为圆的内接四边形，
∴∠DAC=∠CBE，
∵∠C=∠C，
∴△CAD∽△CBE，
∴，
∴，
，
∴.
（3）解：连接BG'，GG'，DG'，
由对称性知，∠ABD=∠DBG'，
由同弧所对圆周角相等，
∴∠ABD=∠AED，∠DBG'=∠DEG'，
∴∠AED=∠DEG'，
同理，可证∠EAB=∠G'AB，
∴G为的内心.
【知识点】等腰三角形的判定；圆的综合题；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据∠BEA=90°，以及同弧所对圆周角相等，推出ED=DC，进而推出DE为直角三角形斜边上的中线，从而得到结论；
（2）连接AD，利用相似三角形的判定与性质得到，，根据等量代换，可得，从而得出结论；
（3）连接BG'，GG'，DG'，利用对称性和圆周角定理，可得∠AED=∠DEG'和∠EAB=∠G'AB，从而得出内心.
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