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浙江省宁波市余姚市肖东中心学校2024-2025学年第二学期初中期末考试七年级数学
1．（2025七下·余姚期末）下面物体运动情况或图形，属于平移的是（　　）
A．转动的风车 B．电梯的升降 C．书页的翻动 D．对称的蝴蝶
2．（2025七下·余姚期末）属于二元一次方程的解是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025七下·余姚期末）计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025七下·余姚期末）下列各式：，，，，是分式的有（　　）个。
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2025七下·余姚期末）某种细胞的直径大约是0.00000135米. 0.00000135用科学记数法可以表示为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025七下·余姚期末）若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025七下·余姚期末）下列调查中，适宜采用全面调查的是（　　）
A．了解一批圆珠笔的使用寿命
B．了解某市初中学生是否知道父母的生日
C．企业招聘，对应聘人员进行面试
D．考察人们保护海洋的意识
8．（2025七下·余姚期末） 将一把三角尺和一把无刻度的直尺按如图所示的方式放置，使三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，则与的关系为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025七下·余姚期末）甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工. 甲为了追赶上乙的速度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成. 求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工x个零件. 可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025七下·余姚期末）三张大小不一的正方形纸片按如图1和图2方式分别放置于相同的长方形中，它们既不重叠也无空隙，记图1阴影部分周长之和为m，图2阴影部分周长为n，要求m与n的差，只需知道一个图形的周长，这个图形是（　　）
A．整个长方形 B．图①正方形 C．图②正方形 D．图③正方形
11．（2025七下·余姚期末）　 　．
12．（2025七下·余姚期末）因式分解：　 　.
13．（2025七下·余姚期末）若 ，，则 　 　.
14．（2025七下·余姚期末）一个样本有50个数据，其中最大值是234，最小值是195，如果取组距为5，那么这组数据应分成　 　个组.
15．（2025七下·余姚期末）小明在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，即， 通过查看答案，答案为，则被污染的代数式为　 　.
16．（2025七下·余姚期末） 如图， 已知点 C 为两条相互平行的直线 AB， ED 之间一动点， 和 的角平分线相交于 F， 若 ， 则 的度数为　 　.
17．（2025七下·余姚期末）计算
（1）
（2）
18．（2025七下·余姚期末）化简：，再从-1，0，1这三个数中选择一个你认为合适的数作为x的值代入求值。
19．（2025七下·余姚期末）解方程：
（1）
（2）
20．（2025七下·余姚期末） 2024年10月30日4时27分，神舟十九号载人飞船成功发射，神舟九号所属神舟载人飞船是我国自行研制的载人航天器，达到或优于国际第三代载人飞船技术。为让更多同学了解航空航天知识，某中学开展了航空航天知识竞答活动，学校随机抽取了部分同学的成绩进行整理.数据分成四组：A组：；B组：；C组：；D组：.根据以上数据，绘制了频数分布直方图和扇形统计图.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次随机抽查 名同学，并补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中，求C组所在扇形的圆心角为多少度？
（3）若成绩在80分及以上为优秀，估计该校3600名学生中能达到优秀的人数.
21．（2025七下·余姚期末）如图，某校有一块长为米，宽为米的长方形地块，后勤部门计划将图中的阴影部分进行绿化，并在中间正方形空白处修建一座雕像。
（1）请用含a、b的代数式表示该地块绿化部分的面积.
（2），时，求对应面积的值
22．（2025七下·余姚期末）在计算 时，甲错把 b 看成了 6，得到的结果是 ，乙错把 a 看成了 -a，得到的结果是 .
（1） 求 a、b 的值；
（2） 将 a，b 的值代入 并化简，求出正确的结果.
23．（2025七下·余姚期末）随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全. 某小商店购进 A 种头盔 3 个和 B 种头盔 4 个共需 345 元，A 种头盔 4 个和 B 种头盔 3 个共需 390 元.
（1） 求 A，B 两种头盔的单价各是多少元；
（2） 若该商店计划用 450 元购进 A，B 两种头盔（A， B 两种头盔均购买），销售 1 个 A 种头盔可获利 35 元，销售 1 个 B 种头盔可获利 15 元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？
24．（2025七下·余姚期末） 交通部门为了安全起见在某道路两旁设置了 A， D两座可旋转探照灯. 假定主道路是平行的，即 ，A，B 为 PQ 上两点，AD 平分 交 CN 于点 D，E 为 AD 上一点，连接 BE，AF 平分 交 BE 于点 F.
（1） 若 ，求出 的度数
（2） 若点 G 为线段 CD 上一点，且满足 ，当 时，试说明：AC∥BE；
（3） 在(1)问的条件下，探照灯 A，D 射出的光线在道路所在平面旋转. 探照灯 A 射出的光线 从 AC 处开始以每秒 的速度绕点 D 逆时针转动，探照灯 D 射出的光线 从 DN 处开始以每秒 的速度绕点 D 逆时针转动，当 转至射线 DC 后立即以相同速度回转. 若它们同时开始转动，当 回到出发时的位置DN 时同时停止转动. 设转动时间为 t 秒，则在转动过程中，当 时，请直接写出此时 t 的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】生活中的平移现象
【解析】【解答】解：A.属于旋转运动，各点做圆周运动，不是平移，A错误；
B.电梯厢做直线运动，形状和方向不变，是典型的平移，B正确；
C.属于旋转运动，围绕装订线转动，不是平移，C错误；
D.属于镜像对称，是空间变换，不是平移，D错误.
故答案为：B .
【分析】理解平移的三大特征：①直线运动；②大小形状不变；③方向不变。排除旋转和对称的选项。
2．【答案】A
【知识点】判断是否为二元一次方程的解
【解析】【解答】解：A.，A正确；
B.，B错误；
C.，C错误；
D.，D错误.
故答案为：A .
【分析】 题目要求从选项中找出满足二元一次方程 2x+3y=5 的解，二元一次方程组的解的形式为有序数对 ，只需要将每个选项中的数对代入方程，看结果是否等于5即可。
3．【答案】B
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】解：，A、C、D错误。
故答案为：B .
【分析】本题考查积的乘方公式的运用，需要将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
4．【答案】C
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：分母含有变量x，是分式；分母为常数3，不含变量，不是分式；分母为，含有变量b，是分式；分母为常数（圆周率），不含变量，不是分式；分母为，含有变量x，是分式。因此，是分式的有，，。
故答案为：C .
【分析】分母中含有字母（变量）的代数式就是分式，只需紧扣定义逐个核对就能判断出有几个代数式是分式。
5．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，A、B、C错误。
故答案为：D .
【分析】科学记数法的标准形式为，其中且a为实数。表示比10大的数时，n为正整数（比原数的整数位数少1），而表示比0大且比1小的数时，n为负整数（原数从左到右第一个不为0的数之前0的个数，取负整数）。
6．【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据分式有意义的条件可知，解这个不等式得。
故答案为：C .
【分析】分式有意义就要满足分母不为零，否则分式就无意义。
7．【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、了解一批圆珠笔的使用寿命，适宜采用抽样调查，故A不符合题意；
B、了解某市初中学生是否知道父母的生日，适宜采用抽样调查，故B不符合题意；
C、企业招聘，对应聘人员进行面试，适宜采用全面调查，故C符合题意；
D、考察人们保护海洋的意识，适宜采用抽样调查，故D不符合题意；
故选：C．
【分析】根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．
8．【答案】B
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质；余角
【解析】【解答】解：如图，
∵直尺的对边平行
∴∠3=∠2
∵∠1+∠3=180°-90°=90°
∴∠1+∠2=90°
故答案为：B .
【分析】由平行线的性质退出∠3=∠2，由平角定义得到∠1+∠3=90°，因此∠1+∠2=90° 。
9．【答案】D
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：∵甲的加工速度是乙的1.2倍
∴甲的加工速度可表示为1.2x
∵乙比甲多用半小时做完工作
∴
即
故答案为：D .
【分析】由两人之间的工作效率关系可以很方便表示出甲的加工速度，再根据两人所用时间差为半小时即可列出本题方程，注意单位换算。
10．【答案】D
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：设正方形①的边长为a，正方形②的边长为b，正方形③的边长为c，
m=2（a-c）+2c+2（a+c-b）+2b=2a-2c+2c+2a+2c-2b+2b=4a+2c；
n=2(a+b-c)+2（a+c-b）=c+2a+2b-2c+2a+2c-2b=4a
∴m-n=（4a+2c）-4a=2c，
∴只需知道正方形③的周长.
故答案为：D.
【分析】设正方形①的边长为a，正方形②的边长为b，正方形③的边长为c，利用平移法，分别表示出m和n，并化简，然后求出m-n即可.
11．【答案】
【知识点】有理数的减法法则
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】将减法运算化成加法运算求解即可．
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
故答案为： .
【分析】本题是一个多项式因式分解问题，涉及两项的差，其中一项是立方项，另一项是线性与平方的乘积。关键在于提取公因式后，剩余部分是否可继续分解。
13．【答案】1
【知识点】同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：∵
∴
即
∴
故答案为：1 .
【分析】本题需要逆用幂的乘方公式，逆用同底数幂的除法公式，且联想到出现在这里是何种身份，只有将这两者联系在一起才能顺利解答出来。
14．【答案】8
【知识点】频数（率）分布表
【解析】【解答】解：(234-195)5=7.8，依题意需要分8个组。
故答案为：8 .
【分析】按照教材所讲的分组方法，先求出最大值与最小值的差值（极差），再除以组距，所得结果用进一法取整数就能求出可以分成多少组。
15．【答案】
【知识点】分式的除法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：
故答案为： .
【分析】根据被除式、除式和商式之间的关系可知，被污染的代数式（除式）等于被除式除以商式，然后计算并化简即可。
16．【答案】120°
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；角平分线的概念；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵∠ABC和∠CDE的平分线交于点F
∴∠ABE=∠EBC，∠ADE=∠ADC
∵DE∥AB
∴∠BED=∠ABE=∠EBC，∠BAD=∠ADE=∠ADC
设∠BED=∠ABE=∠EBC=x，∠BAD=∠ADE=∠ADC=y
在中，由外角性质可知∠BFD=x+y
∵
∴
在四边形BCDF中，由四边形内角和为360°可得
化简得x+y=120°
∴
故答案为：120° .
【分析】本题主要条件是一组平行线，两条角平分线，解题中需将几者之间涉及的角关联起来，再结合多边形内角和公式整体求出∠BFD的大小，最后利用两个角之间的数量关系即可求∠BCD的度数。
17．【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式
【知识点】分式的加减法；整数指数幂的运算
【解析】【分析】（1）任何非零数的零次幂等于1，因此直接得到结果1。负指数表示倒数，即；
(2)分式加减需先通分，找到共同分母，注意符号变化，尤其是分母的因式分解和变形。
18．【答案】解：原式=
∵
∴
即
当时，原式=
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】本题为常规题型，分式的化简求值，考查学生的运算能力，同时要留意分式有意义的条件，正确选择字母的数值代入计算。
19．【答案】（1）解：
检验，分母不为零
是方程的解；
（2）解：
①+3②得：
把代入②，得：
方程的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）解分式方程第一步就是去分母，将原方程转化为一个整式方程，再化简求解。特别强调的是需要验根，否则会扣分，这是解分式方程与解整式方程的最大不同之处；
(2)解二元一次方程组的核心思想是消元（减少未知数的个数），这里采用的是加减消元法，其实也可以用代入消元法求解，本题考查基础。
20．【答案】（1）解：40；
补全频数分布直方图如下，
（2）解：
答： C组圆心角为；
（3）解： （人）
答： 全校80分以上有2520人.
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【答案】解：(1)
40-4-8-18=10（人）
所以本次随机抽查40名同学，D组有10人，画图略
【分析】
（1）根据直方图和扇形统计图中B组数据可以算出本次调查的样本容量，于是可以算出D组人数，从而补全频数分布直方图；
（2）由样本中C组人数所占比例乘以360°即可求出其在扇形统计图中的圆心角度数。
（3）80分以上包括C、D两组，先计算出这两组人数一共占样本容量的比例有多大，根据样本与总体的关系可以估计出总体中80分以上的人数也占同样的比例。
21．【答案】（1）解：
（2）解：原式=129 ()
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】（1）本题考查学生的观察分析能力，需要建立图形与代数之间的联系，再进行整式的混合运算；
(2)在第(1)问的基础上代值计算，一定要注意运算的顺序是先计算乘方，后计算乘法，最后才是加法。
22．【答案】（1）解：依题意
∴
由于乙把a看成了-a，所以
∴
（2）解：原式=.
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】
（1）本题只要抓住没看错的字母，将错就错，顺着题意就能分别把两个字母的值求出来；
（2）在第(1)问的基础上进行整式乘法运算，考查基本运算能力。
23．【答案】（1）解：设A种头盔x元/个，B种头盔y元/个
解得
答：A种头盔75元/个，B种头盔30元/个；
（2）解：设购买了a个A型头盔，b个B型头盔，依题意
即
购买方案有，
利润分别为：
（元）
(元)
220元>215元
答：两种方案：①购买2个A型头盔，10个B型头盔；
②购买4个A型头盔，5个B型头盔；
最大利润是220元.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）本题需要学生理解题意后，针对两种头盔单价设两个未知数，找到等量关系，建立二元一次方程组模型，从而求解；
（2）题考查单个二元一次方程的解的不确定性，学生只要抓住两个变量均为正整数来有序枚举，就可以找出所有方案。
24．【答案】（1）解： ，
，
平分
，
∴，
.
.
所以答案为：；
（2）解：设，则，
.
，
平分，AD平分.
，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
（3）解： 或 .
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；角平分线的概念；平行线的判定与性质的应用-求角度；平行线的判定与性质的应用-证明问题
【解析】【解答】解：（3）解：，由题意得 ，
当 时，如图，，此时，，
∴
∴
∵
∴
∴
解得 ；
当 时，如图，，此时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得 ；
综上， 或 .
【分析】（1）利用角平分线的定义可知之间的关系，结合点A处的平角以及∠EAP=100°可以得到∠BAD=80°，即∠CAD=80°，于是∠CAP可求，再利用平行线的性质可得出∠C=20°；（2）由平行线的性质可知∠ADC=∠BAD，而∠BAD=∠CAD，故∠ADC=∠BAD=∠CAD，根据条件∠ADC=2∠GAD可知∠CAD=2∠GAD，即AG平分∠CAD，易证∠GAF=∠CAD，由可得，同时由得到∠CAD=∠BEA，从而得到两直线平行；
（3）此问要求学生能将文字与图形结合起来，理解题目的动态过程，同时根据各条线段的相对位置变化进行精准分类讨论，建立起与之相应的方程关系，再求出方程的解，难度较大。
1 / 1浙江省宁波市余姚市肖东中心学校2024-2025学年第二学期初中期末考试七年级数学
1．（2025七下·余姚期末）下面物体运动情况或图形，属于平移的是（　　）
A．转动的风车 B．电梯的升降 C．书页的翻动 D．对称的蝴蝶
【答案】B
【知识点】生活中的平移现象
【解析】【解答】解：A.属于旋转运动，各点做圆周运动，不是平移，A错误；
B.电梯厢做直线运动，形状和方向不变，是典型的平移，B正确；
C.属于旋转运动，围绕装订线转动，不是平移，C错误；
D.属于镜像对称，是空间变换，不是平移，D错误.
故答案为：B .
【分析】理解平移的三大特征：①直线运动；②大小形状不变；③方向不变。排除旋转和对称的选项。
2．（2025七下·余姚期末）属于二元一次方程的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】判断是否为二元一次方程的解
【解析】【解答】解：A.，A正确；
B.，B错误；
C.，C错误；
D.，D错误.
故答案为：A .
【分析】 题目要求从选项中找出满足二元一次方程 2x+3y=5 的解，二元一次方程组的解的形式为有序数对 ，只需要将每个选项中的数对代入方程，看结果是否等于5即可。
3．（2025七下·余姚期末）计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】解：，A、C、D错误。
故答案为：B .
【分析】本题考查积的乘方公式的运用，需要将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
4．（2025七下·余姚期末）下列各式：，，，，是分式的有（　　）个。
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：分母含有变量x，是分式；分母为常数3，不含变量，不是分式；分母为，含有变量b，是分式；分母为常数（圆周率），不含变量，不是分式；分母为，含有变量x，是分式。因此，是分式的有，，。
故答案为：C .
【分析】分母中含有字母（变量）的代数式就是分式，只需紧扣定义逐个核对就能判断出有几个代数式是分式。
5．（2025七下·余姚期末）某种细胞的直径大约是0.00000135米. 0.00000135用科学记数法可以表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，A、B、C错误。
故答案为：D .
【分析】科学记数法的标准形式为，其中且a为实数。表示比10大的数时，n为正整数（比原数的整数位数少1），而表示比0大且比1小的数时，n为负整数（原数从左到右第一个不为0的数之前0的个数，取负整数）。
6．（2025七下·余姚期末）若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据分式有意义的条件可知，解这个不等式得。
故答案为：C .
【分析】分式有意义就要满足分母不为零，否则分式就无意义。
7．（2025七下·余姚期末）下列调查中，适宜采用全面调查的是（　　）
A．了解一批圆珠笔的使用寿命
B．了解某市初中学生是否知道父母的生日
C．企业招聘，对应聘人员进行面试
D．考察人们保护海洋的意识
【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、了解一批圆珠笔的使用寿命，适宜采用抽样调查，故A不符合题意；
B、了解某市初中学生是否知道父母的生日，适宜采用抽样调查，故B不符合题意；
C、企业招聘，对应聘人员进行面试，适宜采用全面调查，故C符合题意；
D、考察人们保护海洋的意识，适宜采用抽样调查，故D不符合题意；
故选：C．
【分析】根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．
8．（2025七下·余姚期末） 将一把三角尺和一把无刻度的直尺按如图所示的方式放置，使三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，则与的关系为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质；余角
【解析】【解答】解：如图，
∵直尺的对边平行
∴∠3=∠2
∵∠1+∠3=180°-90°=90°
∴∠1+∠2=90°
故答案为：B .
【分析】由平行线的性质退出∠3=∠2，由平角定义得到∠1+∠3=90°，因此∠1+∠2=90° 。
9．（2025七下·余姚期末）甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工. 甲为了追赶上乙的速度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成. 求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工x个零件. 可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：∵甲的加工速度是乙的1.2倍
∴甲的加工速度可表示为1.2x
∵乙比甲多用半小时做完工作
∴
即
故答案为：D .
【分析】由两人之间的工作效率关系可以很方便表示出甲的加工速度，再根据两人所用时间差为半小时即可列出本题方程，注意单位换算。
10．（2025七下·余姚期末）三张大小不一的正方形纸片按如图1和图2方式分别放置于相同的长方形中，它们既不重叠也无空隙，记图1阴影部分周长之和为m，图2阴影部分周长为n，要求m与n的差，只需知道一个图形的周长，这个图形是（　　）
A．整个长方形 B．图①正方形 C．图②正方形 D．图③正方形
【答案】D
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：设正方形①的边长为a，正方形②的边长为b，正方形③的边长为c，
m=2（a-c）+2c+2（a+c-b）+2b=2a-2c+2c+2a+2c-2b+2b=4a+2c；
n=2(a+b-c)+2（a+c-b）=c+2a+2b-2c+2a+2c-2b=4a
∴m-n=（4a+2c）-4a=2c，
∴只需知道正方形③的周长.
故答案为：D.
【分析】设正方形①的边长为a，正方形②的边长为b，正方形③的边长为c，利用平移法，分别表示出m和n，并化简，然后求出m-n即可.
11．（2025七下·余姚期末）　 　．
【答案】
【知识点】有理数的减法法则
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】将减法运算化成加法运算求解即可．
12．（2025七下·余姚期末）因式分解：　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
故答案为： .
【分析】本题是一个多项式因式分解问题，涉及两项的差，其中一项是立方项，另一项是线性与平方的乘积。关键在于提取公因式后，剩余部分是否可继续分解。
13．（2025七下·余姚期末）若 ，，则 　 　.
【答案】1
【知识点】同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：∵
∴
即
∴
故答案为：1 .
【分析】本题需要逆用幂的乘方公式，逆用同底数幂的除法公式，且联想到出现在这里是何种身份，只有将这两者联系在一起才能顺利解答出来。
14．（2025七下·余姚期末）一个样本有50个数据，其中最大值是234，最小值是195，如果取组距为5，那么这组数据应分成　 　个组.
【答案】8
【知识点】频数（率）分布表
【解析】【解答】解：(234-195)5=7.8，依题意需要分8个组。
故答案为：8 .
【分析】按照教材所讲的分组方法，先求出最大值与最小值的差值（极差），再除以组距，所得结果用进一法取整数就能求出可以分成多少组。
15．（2025七下·余姚期末）小明在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，即， 通过查看答案，答案为，则被污染的代数式为　 　.
【答案】
【知识点】分式的除法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：
故答案为： .
【分析】根据被除式、除式和商式之间的关系可知，被污染的代数式（除式）等于被除式除以商式，然后计算并化简即可。
16．（2025七下·余姚期末） 如图， 已知点 C 为两条相互平行的直线 AB， ED 之间一动点， 和 的角平分线相交于 F， 若 ， 则 的度数为　 　.
【答案】120°
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；角平分线的概念；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵∠ABC和∠CDE的平分线交于点F
∴∠ABE=∠EBC，∠ADE=∠ADC
∵DE∥AB
∴∠BED=∠ABE=∠EBC，∠BAD=∠ADE=∠ADC
设∠BED=∠ABE=∠EBC=x，∠BAD=∠ADE=∠ADC=y
在中，由外角性质可知∠BFD=x+y
∵
∴
在四边形BCDF中，由四边形内角和为360°可得
化简得x+y=120°
∴
故答案为：120° .
【分析】本题主要条件是一组平行线，两条角平分线，解题中需将几者之间涉及的角关联起来，再结合多边形内角和公式整体求出∠BFD的大小，最后利用两个角之间的数量关系即可求∠BCD的度数。
17．（2025七下·余姚期末）计算
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式
【知识点】分式的加减法；整数指数幂的运算
【解析】【分析】（1）任何非零数的零次幂等于1，因此直接得到结果1。负指数表示倒数，即；
(2)分式加减需先通分，找到共同分母，注意符号变化，尤其是分母的因式分解和变形。
18．（2025七下·余姚期末）化简：，再从-1，0，1这三个数中选择一个你认为合适的数作为x的值代入求值。
【答案】解：原式=
∵
∴
即
当时，原式=
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】本题为常规题型，分式的化简求值，考查学生的运算能力，同时要留意分式有意义的条件，正确选择字母的数值代入计算。
19．（2025七下·余姚期末）解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
检验，分母不为零
是方程的解；
（2）解：
①+3②得：
把代入②，得：
方程的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）解分式方程第一步就是去分母，将原方程转化为一个整式方程，再化简求解。特别强调的是需要验根，否则会扣分，这是解分式方程与解整式方程的最大不同之处；
(2)解二元一次方程组的核心思想是消元（减少未知数的个数），这里采用的是加减消元法，其实也可以用代入消元法求解，本题考查基础。
20．（2025七下·余姚期末） 2024年10月30日4时27分，神舟十九号载人飞船成功发射，神舟九号所属神舟载人飞船是我国自行研制的载人航天器，达到或优于国际第三代载人飞船技术。为让更多同学了解航空航天知识，某中学开展了航空航天知识竞答活动，学校随机抽取了部分同学的成绩进行整理.数据分成四组：A组：；B组：；C组：；D组：.根据以上数据，绘制了频数分布直方图和扇形统计图.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次随机抽查 名同学，并补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中，求C组所在扇形的圆心角为多少度？
（3）若成绩在80分及以上为优秀，估计该校3600名学生中能达到优秀的人数.
【答案】（1）解：40；
补全频数分布直方图如下，
（2）解：
答： C组圆心角为；
（3）解： （人）
答： 全校80分以上有2520人.
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【答案】解：(1)
40-4-8-18=10（人）
所以本次随机抽查40名同学，D组有10人，画图略
【分析】
（1）根据直方图和扇形统计图中B组数据可以算出本次调查的样本容量，于是可以算出D组人数，从而补全频数分布直方图；
（2）由样本中C组人数所占比例乘以360°即可求出其在扇形统计图中的圆心角度数。
（3）80分以上包括C、D两组，先计算出这两组人数一共占样本容量的比例有多大，根据样本与总体的关系可以估计出总体中80分以上的人数也占同样的比例。
21．（2025七下·余姚期末）如图，某校有一块长为米，宽为米的长方形地块，后勤部门计划将图中的阴影部分进行绿化，并在中间正方形空白处修建一座雕像。
（1）请用含a、b的代数式表示该地块绿化部分的面积.
（2），时，求对应面积的值
【答案】（1）解：
（2）解：原式=129 ()
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】（1）本题考查学生的观察分析能力，需要建立图形与代数之间的联系，再进行整式的混合运算；
(2)在第(1)问的基础上代值计算，一定要注意运算的顺序是先计算乘方，后计算乘法，最后才是加法。
22．（2025七下·余姚期末）在计算 时，甲错把 b 看成了 6，得到的结果是 ，乙错把 a 看成了 -a，得到的结果是 .
（1） 求 a、b 的值；
（2） 将 a，b 的值代入 并化简，求出正确的结果.
【答案】（1）解：依题意
∴
由于乙把a看成了-a，所以
∴
（2）解：原式=.
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】
（1）本题只要抓住没看错的字母，将错就错，顺着题意就能分别把两个字母的值求出来；
（2）在第(1)问的基础上进行整式乘法运算，考查基本运算能力。
23．（2025七下·余姚期末）随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全. 某小商店购进 A 种头盔 3 个和 B 种头盔 4 个共需 345 元，A 种头盔 4 个和 B 种头盔 3 个共需 390 元.
（1） 求 A，B 两种头盔的单价各是多少元；
（2） 若该商店计划用 450 元购进 A，B 两种头盔（A， B 两种头盔均购买），销售 1 个 A 种头盔可获利 35 元，销售 1 个 B 种头盔可获利 15 元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设A种头盔x元/个，B种头盔y元/个
解得
答：A种头盔75元/个，B种头盔30元/个；
（2）解：设购买了a个A型头盔，b个B型头盔，依题意
即
购买方案有，
利润分别为：
（元）
(元)
220元>215元
答：两种方案：①购买2个A型头盔，10个B型头盔；
②购买4个A型头盔，5个B型头盔；
最大利润是220元.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）本题需要学生理解题意后，针对两种头盔单价设两个未知数，找到等量关系，建立二元一次方程组模型，从而求解；
（2）题考查单个二元一次方程的解的不确定性，学生只要抓住两个变量均为正整数来有序枚举，就可以找出所有方案。
24．（2025七下·余姚期末） 交通部门为了安全起见在某道路两旁设置了 A， D两座可旋转探照灯. 假定主道路是平行的，即 ，A，B 为 PQ 上两点，AD 平分 交 CN 于点 D，E 为 AD 上一点，连接 BE，AF 平分 交 BE 于点 F.
（1） 若 ，求出 的度数
（2） 若点 G 为线段 CD 上一点，且满足 ，当 时，试说明：AC∥BE；
（3） 在(1)问的条件下，探照灯 A，D 射出的光线在道路所在平面旋转. 探照灯 A 射出的光线 从 AC 处开始以每秒 的速度绕点 D 逆时针转动，探照灯 D 射出的光线 从 DN 处开始以每秒 的速度绕点 D 逆时针转动，当 转至射线 DC 后立即以相同速度回转. 若它们同时开始转动，当 回到出发时的位置DN 时同时停止转动. 设转动时间为 t 秒，则在转动过程中，当 时，请直接写出此时 t 的值.
【答案】（1）解： ，
，
平分
，
∴，
.
.
所以答案为：；
（2）解：设，则，
.
，
平分，AD平分.
，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
（3）解： 或 .
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；角平分线的概念；平行线的判定与性质的应用-求角度；平行线的判定与性质的应用-证明问题
【解析】【解答】解：（3）解：，由题意得 ，
当 时，如图，，此时，，
∴
∴
∵
∴
∴
解得 ；
当 时，如图，，此时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得 ；
综上， 或 .
【分析】（1）利用角平分线的定义可知之间的关系，结合点A处的平角以及∠EAP=100°可以得到∠BAD=80°，即∠CAD=80°，于是∠CAP可求，再利用平行线的性质可得出∠C=20°；（2）由平行线的性质可知∠ADC=∠BAD，而∠BAD=∠CAD，故∠ADC=∠BAD=∠CAD，根据条件∠ADC=2∠GAD可知∠CAD=2∠GAD，即AG平分∠CAD，易证∠GAF=∠CAD，由可得，同时由得到∠CAD=∠BEA，从而得到两直线平行；
（3）此问要求学生能将文字与图形结合起来，理解题目的动态过程，同时根据各条线段的相对位置变化进行精准分类讨论，建立起与之相应的方程关系，再求出方程的解，难度较大。
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