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湖南省2025年中考真题数学试题
一、选择题（共10小题）
1．（2025·湖南）下列四个数中，最大的数是（　　）
A．3.5 B． C．0 D．﹣1
【答案】A
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：
3.5最大
故答案为：A.
【分析】正数都大于0，负数都小于0，正数比较大小，绝对大的数字大，反之，负数比较大小，绝对值大的反而小.
2．（2025·湖南）武术是我国传统的体育项目．下列武术动作图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：无论沿那条直线折叠，A、B、D都不能重合，故都不是轴对称图形.
故答案为：C.
【分析】把一个图形沿某条直线折叠后能够完全重合的图形叫轴对称图形，这条直线叫它的对称轴.
3．（2025·湖南）某校开展了五类社团活动：舞蹈、篮球、口风琴、摄影、戏剧，现从中随机抽取一类社团活动进行展示，则抽中戏剧类社团活动的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：
故答案为：D.
【分析】简单事件的概率直接利用概率公式计算即可.
4．（2025·湖南）计算a3 a4的结果是（　　）
A．2a7 B．a7 C．2a4 D．a12
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】同底数幂的乘法，底数不变，指数相加.
5．（2025·湖南）将分式方程去分母后得到的整式方程为（　　）
A．x+1＝2x B．x+2＝1 C．1＝2x D．x＝2（x+1）
【答案】A
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：给方程两边都乘以得：
故答案为：A .
【分析】给方程两边同时乘以各分母的最简公分母即可化分式方程为整式方程.
6．（2025·湖南）在平面直角坐标系中，将点P（﹣3，2）向右平移3个单位长度到P1处，则点P1的坐标为（　　）
A．（﹣6，2） B．（0，2）
C．（﹣3，5） D．（﹣3，﹣1）
【答案】B
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】点的坐标平移规律，右加左减，上加下减.
7．（2025·湖南）下列调查中，适合采用全面调查的是（　　）
A．了解某班同学的跳远成绩
B．了解夏季冷饮市场上冰激凌的质量情况
C．了解全国中学生的身高状况
D．了解某批次汽车的抗撞击能力
【答案】A
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、适合全面调查；
B、由于市场了冰激凌的数量太大且全面调查具有破坏性，故适合抽查；
C、由于全面中学生的数量太大难以操作，故适合抽查；
D、由于全面调查具有破坏性，故适合抽查；
故答案为：A.
【分析】当样本容量太大难以操作且调查具有破坏性时不适宜进行全面调查.
8．（2025·湖南）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直平分，AB＝3，则四边形ABCD的周长为（　　）
A．6 B．9 C．12 D．18
【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：互相平分
四边形ABCD是平行四边形
是菱形
四边形ABCD的周长
故答案为：C.
【分析】由于对角线互相垂直平分的四边形是菱形，而菱形的四条边相等，即四边形ABCD的周长等于边长AB的4倍.
9．（2025·湖南）对于反比例函数，下列结论正确的是（　　）
A．在（2，2）在该函数的图象上
B．该函数的图象分别位于第二、第四象限
C．当x＜0时，y随x的增大而增大
D．当x＞0时，y随x的增大而减小
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：
，双曲线的两个分支分别在第一、三象限，且在每一个分支内，都随的增大而减小.
故答案为：D.
【分析】对于反比例函数，当时，双曲线的两个分支分别在第一、三象限，且在每一个分支内都随的增大而减小；而当时，双曲线的两个分支分别在第二、四象限，且在每一个分支内都随的增大而增大；另由反比例函数图象上点的坐标特征知.
10．（2025·湖南）如图，北京市某处A位于北纬40°（即∠AOC＝40°），东经116°，三沙市海域某处B位于北纬15°（即∠BOC＝15°），东经116°．设地球的半径约为R千米，则在东经116°所在经线圈上的点A和点B之间的劣弧长约为（　　）
A．（千米） B．（千米）
C．（千米） D．（千米）
【答案】C
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】由于弧AB所对的圆周角可求，扇形AOB的半径已知，可直接应用弧长公式计算即可.
二、填空题（共8小题）
11．（2025·湖南）如图，一条排水管连续两次转弯后又回到与原来相同的方向，若第一次转弯时∠CAB＝145°，则∠ABD＝　 　 ．
【答案】145°
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：
故答案为：145°.
【分析】两直线平行，内错角相等.
12．（2025·湖南）化简 　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：=== 。
故答案为： .
【分析】根据二次根式乘法法则的逆用即可化简。
13．（2025·湖南）因式分解：a2+13a＝ 　 　 ．
【答案】a（a+13）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
故答案为：a（a+13）.
【分析】直接提公因式a即可.
14．（2025·湖南）约分：　 　 ．
【答案】x2
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：
故答案为：x2.
【分析】由于分母是分子的一个因式，直接约去分母即可.
15．（2025·湖南）甲、乙两人在一次100米赛跑比赛中，路程s（米）与时间t（秒）的函数关系如图所示，填 　 　 （“甲”或“乙”先到终点）．
【答案】甲
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：
甲先到达终点
故答案为：甲.
【分析】观察图象得，甲比乙提前2秒到达终点.
16．（2025·湖南）如图，在△ABC中，BC＝6，点E是AC的中点，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，直线MN交AB于点D，连接DE，则DE的长是 　 　 ．
【答案】3
【知识点】尺规作图-垂直平分线；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：垂直平分BA
是AB中点
是AC中点
是的中位线
故答案为：3.
【分析】由基本尺规作图过程知MN垂直平分AB，即D是AB中点，又E是AC中点，则DE是的中位线，则DE等于AB的一半.
17．（2025·湖南）如图，图1为传统建筑中的一种窗格，图2为其窗框的示意图，多边形ABCDEFGH为正八边形，连接AC，BD，AC与BD交于点M，∠AMB＝ 　 　 ．
【答案】45°
【知识点】三角形内角和定理；多边形的外角和公式；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：多边形ABCDEFGH是正八边形
故答案为：45°.
【分析】由正八边形的各边相等，各内角都等于135°，则利用等腰三角形的内角和可得，再利用三角形的外角性质即可.
18．（2025·湖南）已知，a，b，c是△ABC的三条边长，记，其中k为整数．
（1）若三角形为等边三角形，则t＝　 　 ；
（2）下列结论正确的是　 　 ．（写出所有正确的结论）
①若k＝2，t＝1，则△ABC为直角三角形；
②若，则5＜t＜11；
③若，a，b，c为三个连续整数，且a＜b＜c，则满足条件的△ABC的个数为7．
【答案】（1）2
（2）①②
【知识点】整式的加减运算；等边三角形的性质；勾股定理的逆定理；一元一次不等式组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）是等边三角形
（2） ①若k＝2，t＝1， 则
是直角三角形
②若
则
，解得：
，解得：
，即
③若，a，b，c为三个连续整数，且a＜b＜c，
，解得
，解得
故满足条件的的值有6个，即满足条件的的个数为6个
故答案为：①②.
【分析】（1）由于等边三角形的三边相等，则，而1的任意次幂都等于1，故；
（2） ①若k＝2，t＝1，则，即三边恰好满足勾股定理，故结论正确；
②若，则，此时借助三角形三边关系定理可确定边的取值范围为，代入计算得，故结论正确；
③若，a，b，c为三个连续整数，且a＜b＜c，则，由三边关系定理可得，再结合已知可得，解得，即，则满足条件的的个数为6个，故结论错误.
三、解答题（共8小题）
19．（2025·湖南）计算：（﹣2025）0+|﹣1|﹣tan45°．
【答案】解：原式＝1+1﹣1
＝2﹣1
＝1
【知识点】求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】实数的混合运算，先分别计算0次幂、有理数的绝对值和特殊角的三角函数值，再分别进行加减运算即可.
20．（2025·湖南）先化简，再求值：（x+2）（x﹣2）+x（1﹣x），其中x＝6．
【答案】解：（x+2）（x﹣2）+x（1﹣x）
＝x2﹣4+x﹣x2
＝x﹣4，
当x＝6时，原式＝6﹣4＝2
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】整式的化简求值，先利用平方差公式和乘法分配律求出多项式的积，再去括号并合并同类项，最后再代入字母的值进行计算即可.
21．（2025·湖南）如图，△ABC的顶点A，C在⊙O上，圆心O在边AB上，∠ACB＝120°，BC与⊙O相切于点C，连接OC．
（1）求∠ACO的度数；
（2）求证：AC＝BC．
【答案】（1）解：∵BC与⊙O相切于点C，
∴OC⊥CB，
∴∠OCB＝90°，
∴∠ACO＝∠ACB﹣∠OCB＝120°﹣90°＝30°
（2）证明：∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO＝30°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
∴∠A＝∠B，
∴AC＝BC
【知识点】等腰三角形的判定；切线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）由于切线垂直于过切点的半径，因此，则；
（2）由于半径相等，则，再由三角形内角和可得，则等角对等边可得AC=BC.
22．（2025·湖南）同学们准备在劳动课上制作艾草香包，需购买A，B两种香料．已知A种材料的单价比B种材料的单价多3元，且购买4件A种材料与购买6件B种材料的费用相等．
（1）求A种材料和B种材料的单价；
（2）若需购买A种材料和B种材料共50件，且总费用不超过360元，则最多能购买A种材料多少件？
【答案】（1）解：设A种材料的单价为x元，则B种材料的单价为（x﹣3）元，
由题意得：4x＝6（x﹣3），
解得：x＝9，
∴x﹣3＝6，
答：A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元
（2）解：设能购买A种材料m件，则能购买B种材料（50﹣m）件，
由题意得：9m+6（50﹣m）≤360，
解得：m≤20，
答：最多能购买A种材料20件
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A种材料的单价为x元，则B种材料的单价为（x﹣3）元，由相等关系“ 购买4件A种材料与购买6件B种材料的费用相等 ”列方程并求解即可；
（2）设能购买A种材料m件，则能购买B种材料（50﹣m）件，由不等关系“ 总费用不超过360元 ”列不等式并求解即可.
23．（2025·湖南）为了解某校七、八年级学生在某段时间内参加公益活动次数（单位：次）的情况，从这两个年级中各随机抽取20名学生进行调查．已知这两个年级的学生人数均为200人．
对抽取的七年级学生在此段时间内参加公益活动次数的统计结果如下：
平均数 方差
6.2 1.46
同时对抽取的八年级学生的调查数据进行如下统计分析．
【收集数据】从八年级抽取的学生在此段时间内参加公益活动次数如下：
9 8 6 10 8 8 7 3 6 7
7 5 8 4 8 5 7 6 8 6
【整理数据】结果如表：
次数x分组 画记 频数
2＜x≤4 T 2
4＜x≤6 正一 6
6＜x≤8 正正 10
8＜x≤10 　 　
【分析数据】数据的平均数是6.8，方差是2.76．
【解决问题】答下列问题：
（1）请补全频数分布表和频数分布直方图；
（2）请估计该校八年级学生在此段时间内参加公益活动次数超过6次的人数；
（3）请从平均数、方差两个量中任选一个，比较该校七、八年级学生在此段时间内参加公益活动次数的情况．
【答案】（1）解：由题意得：“8＜x≤10”的频数为：20﹣2﹣6﹣10＝2，
补全频数分布表和频数分布直方图如下：
结果如表：
次数x分组 画记 频数
2＜x≤4 T 2
4＜x≤6 正一 6
6＜x≤8 正正 10
8＜x≤10 T 2
（2）解：200120（人），
答：估计该校八年级学生在此段时间内参加公益活动次数超过6次的人数为120人
（3）解：选八年级，理由如下：
因为八年级学生参加公益活动次数的平均数比七年级大，所以选八年级．（答案不唯一）
【知识点】用样本估计总体；条形统计图；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】（1）由题意知八年级共抽取20名学生且把成绩分为四组，其中前三组人数已知，则用样本容量分别减去前面三组的频数可得到第四组频数，再补全直方图即可；
（2）用八年级总人数乘以样本中超过6次的人数占比即可；
（3）平均数是衡量一组数据集中趋势的量，由于八年级的平均次数高于七年级的平均次数，故选择八年级；方差是衡量一组数据稳定性的量，方差越小数据越稳定，也可求出八年级的方差并与七年级进行比较，再选择方差值小的年级.
24．（2025·湖南）如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱AB和CD分别垂直地面水平线l于点B，D，AB＝19分米，CD＞AB．在点A，C之间的晾衣绳上有固定挂钩E，AE＝13分米，一件连衣裙MN挂在点E处（点M与点E重合），且直线MN⊥l．
（1）如图1，当该连衣裙下端点N刚好接触到地面水平线l时，点E到直线AB的距离EG等于12分米，求该连衣裙MN的长度；
（2）如图2，未避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩F处再挂一条长裤（点F在点E的右侧），若∠BAE＝76.1°，求此时该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为多少分米？
（结果保留整数，参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.04）
【答案】（1）解：∵由题可知：在Rt△AGM中，AM＝13分米，MG＝12分米，AG⊥GM，
∴（分米），
∵AB＝19分米，
∴BG＝AB﹣AG＝19﹣5＝14（分米），
∴MN＝BG＝14（分米），
∴该连衣裙MN的长度为14分米
（2）解：如图2，过M作MK⊥AB于K，
∵在Rt△AKM中，AM＝13分米，∠BAM＝76.1°，AK⊥KM，
∴AK＝AM cos76.1°＝13×0.24＝3.12（分米），
∵AB＝19分米，
∴BK＝AB﹣AK＝19﹣3.12＝15.88（分米），
∴BK﹣MN＝15.88﹣14＝1.88≈2（分米），
∴该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为2分米
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）由于可判定四边形ENBG是矩形，则MN=BG，此时可在中直接应用勾股定理即可求得AG=5，则MN=AB-AG即可；
（2）如图所示，过M作MK⊥AB于K，由（1）知MN=14，此时只需求出BK的高度即可得出裙子下端距离地面的高度，由于 ∠BAE＝76.1°， 直接解即可求出AK的长，再计算出BK即可.
25．（2025·湖南）【问题背景】
如图1，在平行四边形纸片ABCD中，过点B作直线l⊥CD于点E，沿直线l将纸片剪开，得到△B1C1E1和四边形ABED，如图2所示．
【动手操作】
现将三角形纸片B1C1E1和四边形纸片ABED进行如下操作（以下操作均能实现）
①将三角形纸片B1C1E1置于四边形纸片ABED内部，使得点B1与点B重合，点E1在线段AB上，延长BC1交线段AD于点F，如图3所示；
②连接CC1，过点C作直线CN⊥CD交射线EE1于点N，如图4所示；
③在边AB上取一点G，分别连接BD，DG，FG，如图5所示．
【问题解决】
请解决下列问题：
（1）如图3，填空：∠A+∠ABF＝ 　 　 °；
（2）如图4，求证：△CNM≌△C1E1M；
（3）如图5，若，∠AGD＝60°，求证：FG∥BD．
【答案】（1）90
（2）证明：∵CN⊥CD，
∴∠CND＝90°，
由题可知∠CE1C1＝∠CEB＝90°，BE＝B1E1，CE＝C1E1，
∵AB∥CD，
∴∠EBE1＝∠CBE＝90°，
∴△EBE1为等腰直角三角形，
∴∠BE1B＝∠BEE1＝45°，
∴∠CEN＝∠CNE＝∠C1E1M＝45°，
∴CN＝CE＝C1E1，
在△CNM和△C1E1M；
，
∴△CNM≌△C1E1M（AAS）
（3）证明：如图，过点D作DP⊥AB垂足为点P，
由题，
设，则，，
∴，
在Rt△ADP中，，
∴，
∵∠AGD＝60°，
∴在Rt△GDP中，，
∴AG＝AP+PG＝2，
∴，即，
∵∠A＝∠A，
∴△AFG∽△ADB，
∴∠AFG＝∠ADB，
∴FG∥BD．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；四边形的综合；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】（1）解：由题可知∠ABF＝∠CBE，
∵BE⊥CD，
∴∠CEB＝90°，
∴∠CBE+∠C＝90°，
在平行四边形ABCD中，∠A＝∠C，
∴∠A+∠ABF＝90°，
故答案为：90；
【分析】（1）由于平行四边形的对角相等，则，由垂直的概念可得与互余，又，等量代换得与互余；
（2）由于平行四边形的对边平行，则，又，则，则，因为，即为等腰直角三角形，则，又因为，即，又对顶角相等，则可利用AAS证明结论成立；
（3）由于，为便于计算，可设，则，，此时可过点D作AB上的高DP构造直角三角形，分别解和可求出和AP，再由勾股定理可得DP，再解可得PG，即AG可得，此时可借助两边对应成比例且夹角相等证明相似于，由相似的性质可得，则同位角相等两直线平行.
26．（2025·湖南）如图，已知二次函数y＝ax（x﹣4）（a≠0）的图象过点A（2，2），连接OA点P（x1，y1），Q（x2，y2），R（x3，y3）是此二次函数图象上的三个动点，且0＜x3＜x1＜x2＜2，过点P作PB∥y轴交线段OA于点B．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）如图1，点C、D在线段OA上，且直线QC、RD都平行于y轴，请你从下列两个命题中选择一个进行解答：
①当PB＞QC时，求证：x1+x2＞2；
②当PB＞RD时，求证：x1+x3＜2；
（3）如图，若，延长PB交x轴于点T，射线QT、TR分别与y轴交于点Q1，R1，连接AP，分别在射线AT、x轴上取点M、N（点N在点T的右侧），且∠AMN＝∠PAO，．记t＝R1Q1﹣ON，试探究：当x为何值时，t有最大值？并求出t的最大值．
【答案】（1）解：把点A（2，2）代入二次函数y＝ax（x﹣4）（a≠0）中，
得﹣4a＝2，故a，
故此二次函数的表达式为y
（2）证明：选择①：由A（2，2）可知直线OA的表达式为y＝x，
由题意可知P（x1，2x1），B（x1，x1），Q（x2，2x2），C（x2，x2），
故PB2x1﹣x1x1，QCx2，
∵PB＞QC，即x1，
整理可得（x2﹣x1）（x2+x1）＞x2﹣x1，由于x2﹣x1＞0，
故（x2+x1）＞1，
即x1+x2＞2；
选择②：同理得R（x3，2x3），D（x3，x3），
故RDx3，
∵PB＞RD，即x1x3，
整理可得（x3﹣x1）（x3+x1）＞x3﹣x1，由于x3﹣x1＜0，
故（x3+x1）＜1，
即x1+x3＜2
（3）解：由待定系数法可求得直线AP的表达式为y＝（1）x+x1，
设直线AP交y轴于点G，如图2所示，
则OG＝x1＝OT，
∵∠GOA＝∠TOA＝45°，
在△GOA和△TOA中，
，
∴△GOA≌△TOA（SAS），
∴∠PAO＝∠TAO，
∵∠AMN＝∠PAO，
∴∠AMN＝∠TAO，
∵AO2MN，
在△TOA和△TNM中，
，
∴△TOA≌△TNM（AAS），
∴TN＝TO＝x1，ON＝2x1，
作QH⊥x轴于点H，
则，
又∵tan∠QTH＝tan∠Q1TO，
即，
∴OQ1＝（）x1．
∵T（x1，0），R（x1，），
∴由待定系数法可得直线RT的表达式为y＝（）x，
即OR1，
∴R1Q1＝OQ1+OR1，
∴t＝R1Q1﹣ON2x1，
故当x1时，t的最大值为．
即当x时，t的最大值为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法直接计算即可；
（2） ① 利用待定系数法可得直线OA是正比例函数，则由函数图象上点的坐标特征结合已知条件可分别设各点P（x1，2x1），B（x1，x1），Q（x2，2x2），C（x2，x2），则线段PB、QC均可表示，由于PB>QC，即有不等式 x1成立，对不等式进行变形得，由于，故结论成立；
②同理得R（x3，2x3），D（x3，x3），则线段RD也可表示，由于PB＞RD ，即可得不等式x1成立，对不等式进行变形得，由于，故结论成立；
（3）由于点P的横坐标已知，则由抛物线上点的坐标特征可得点P的纵坐标，又点A(2，2），则利用待定系数法可求得直线AP的解析式为，则延长AP交y轴于点G，则G（0，x1），又T（x1，0），所以OG=OT，同理可得直线TR的解析式为，则，因为直线平分第一、三象限，则可利用SAS证明，即有，又已知，等量代换得；又由两点距离公式可得，由对顶角相等可利用AAS证明，则可得，则，此时再过点Q作x轴的垂线段QH可构造，解可得，把代入化简得；由于，再解可得，则，再把和代入到中得是关于的二次函数，且二次项系数为负，故有最大值，再利用二次函数的性质求出这个最大值即可.
1 / 1湖南省2025年中考真题数学试题
一、选择题（共10小题）
1．（2025·湖南）下列四个数中，最大的数是（　　）
A．3.5 B． C．0 D．﹣1
2．（2025·湖南）武术是我国传统的体育项目．下列武术动作图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·湖南）某校开展了五类社团活动：舞蹈、篮球、口风琴、摄影、戏剧，现从中随机抽取一类社团活动进行展示，则抽中戏剧类社团活动的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·湖南）计算a3 a4的结果是（　　）
A．2a7 B．a7 C．2a4 D．a12
5．（2025·湖南）将分式方程去分母后得到的整式方程为（　　）
A．x+1＝2x B．x+2＝1 C．1＝2x D．x＝2（x+1）
6．（2025·湖南）在平面直角坐标系中，将点P（﹣3，2）向右平移3个单位长度到P1处，则点P1的坐标为（　　）
A．（﹣6，2） B．（0，2）
C．（﹣3，5） D．（﹣3，﹣1）
7．（2025·湖南）下列调查中，适合采用全面调查的是（　　）
A．了解某班同学的跳远成绩
B．了解夏季冷饮市场上冰激凌的质量情况
C．了解全国中学生的身高状况
D．了解某批次汽车的抗撞击能力
8．（2025·湖南）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直平分，AB＝3，则四边形ABCD的周长为（　　）
A．6 B．9 C．12 D．18
9．（2025·湖南）对于反比例函数，下列结论正确的是（　　）
A．在（2，2）在该函数的图象上
B．该函数的图象分别位于第二、第四象限
C．当x＜0时，y随x的增大而增大
D．当x＞0时，y随x的增大而减小
10．（2025·湖南）如图，北京市某处A位于北纬40°（即∠AOC＝40°），东经116°，三沙市海域某处B位于北纬15°（即∠BOC＝15°），东经116°．设地球的半径约为R千米，则在东经116°所在经线圈上的点A和点B之间的劣弧长约为（　　）
A．（千米） B．（千米）
C．（千米） D．（千米）
二、填空题（共8小题）
11．（2025·湖南）如图，一条排水管连续两次转弯后又回到与原来相同的方向，若第一次转弯时∠CAB＝145°，则∠ABD＝　 　 ．
12．（2025·湖南）化简 　 　．
13．（2025·湖南）因式分解：a2+13a＝ 　 　 ．
14．（2025·湖南）约分：　 　 ．
15．（2025·湖南）甲、乙两人在一次100米赛跑比赛中，路程s（米）与时间t（秒）的函数关系如图所示，填 　 　 （“甲”或“乙”先到终点）．
16．（2025·湖南）如图，在△ABC中，BC＝6，点E是AC的中点，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，直线MN交AB于点D，连接DE，则DE的长是 　 　 ．
17．（2025·湖南）如图，图1为传统建筑中的一种窗格，图2为其窗框的示意图，多边形ABCDEFGH为正八边形，连接AC，BD，AC与BD交于点M，∠AMB＝ 　 　 ．
18．（2025·湖南）已知，a，b，c是△ABC的三条边长，记，其中k为整数．
（1）若三角形为等边三角形，则t＝　 　 ；
（2）下列结论正确的是　 　 ．（写出所有正确的结论）
①若k＝2，t＝1，则△ABC为直角三角形；
②若，则5＜t＜11；
③若，a，b，c为三个连续整数，且a＜b＜c，则满足条件的△ABC的个数为7．
三、解答题（共8小题）
19．（2025·湖南）计算：（﹣2025）0+|﹣1|﹣tan45°．
20．（2025·湖南）先化简，再求值：（x+2）（x﹣2）+x（1﹣x），其中x＝6．
21．（2025·湖南）如图，△ABC的顶点A，C在⊙O上，圆心O在边AB上，∠ACB＝120°，BC与⊙O相切于点C，连接OC．
（1）求∠ACO的度数；
（2）求证：AC＝BC．
22．（2025·湖南）同学们准备在劳动课上制作艾草香包，需购买A，B两种香料．已知A种材料的单价比B种材料的单价多3元，且购买4件A种材料与购买6件B种材料的费用相等．
（1）求A种材料和B种材料的单价；
（2）若需购买A种材料和B种材料共50件，且总费用不超过360元，则最多能购买A种材料多少件？
23．（2025·湖南）为了解某校七、八年级学生在某段时间内参加公益活动次数（单位：次）的情况，从这两个年级中各随机抽取20名学生进行调查．已知这两个年级的学生人数均为200人．
对抽取的七年级学生在此段时间内参加公益活动次数的统计结果如下：
平均数 方差
6.2 1.46
同时对抽取的八年级学生的调查数据进行如下统计分析．
【收集数据】从八年级抽取的学生在此段时间内参加公益活动次数如下：
9 8 6 10 8 8 7 3 6 7
7 5 8 4 8 5 7 6 8 6
【整理数据】结果如表：
次数x分组 画记 频数
2＜x≤4 T 2
4＜x≤6 正一 6
6＜x≤8 正正 10
8＜x≤10 　 　
【分析数据】数据的平均数是6.8，方差是2.76．
【解决问题】答下列问题：
（1）请补全频数分布表和频数分布直方图；
（2）请估计该校八年级学生在此段时间内参加公益活动次数超过6次的人数；
（3）请从平均数、方差两个量中任选一个，比较该校七、八年级学生在此段时间内参加公益活动次数的情况．
24．（2025·湖南）如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱AB和CD分别垂直地面水平线l于点B，D，AB＝19分米，CD＞AB．在点A，C之间的晾衣绳上有固定挂钩E，AE＝13分米，一件连衣裙MN挂在点E处（点M与点E重合），且直线MN⊥l．
（1）如图1，当该连衣裙下端点N刚好接触到地面水平线l时，点E到直线AB的距离EG等于12分米，求该连衣裙MN的长度；
（2）如图2，未避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩F处再挂一条长裤（点F在点E的右侧），若∠BAE＝76.1°，求此时该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为多少分米？
（结果保留整数，参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.04）
25．（2025·湖南）【问题背景】
如图1，在平行四边形纸片ABCD中，过点B作直线l⊥CD于点E，沿直线l将纸片剪开，得到△B1C1E1和四边形ABED，如图2所示．
【动手操作】
现将三角形纸片B1C1E1和四边形纸片ABED进行如下操作（以下操作均能实现）
①将三角形纸片B1C1E1置于四边形纸片ABED内部，使得点B1与点B重合，点E1在线段AB上，延长BC1交线段AD于点F，如图3所示；
②连接CC1，过点C作直线CN⊥CD交射线EE1于点N，如图4所示；
③在边AB上取一点G，分别连接BD，DG，FG，如图5所示．
【问题解决】
请解决下列问题：
（1）如图3，填空：∠A+∠ABF＝ 　 　 °；
（2）如图4，求证：△CNM≌△C1E1M；
（3）如图5，若，∠AGD＝60°，求证：FG∥BD．
26．（2025·湖南）如图，已知二次函数y＝ax（x﹣4）（a≠0）的图象过点A（2，2），连接OA点P（x1，y1），Q（x2，y2），R（x3，y3）是此二次函数图象上的三个动点，且0＜x3＜x1＜x2＜2，过点P作PB∥y轴交线段OA于点B．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）如图1，点C、D在线段OA上，且直线QC、RD都平行于y轴，请你从下列两个命题中选择一个进行解答：
①当PB＞QC时，求证：x1+x2＞2；
②当PB＞RD时，求证：x1+x3＜2；
（3）如图，若，延长PB交x轴于点T，射线QT、TR分别与y轴交于点Q1，R1，连接AP，分别在射线AT、x轴上取点M、N（点N在点T的右侧），且∠AMN＝∠PAO，．记t＝R1Q1﹣ON，试探究：当x为何值时，t有最大值？并求出t的最大值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：
3.5最大
故答案为：A.
【分析】正数都大于0，负数都小于0，正数比较大小，绝对大的数字大，反之，负数比较大小，绝对值大的反而小.
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：无论沿那条直线折叠，A、B、D都不能重合，故都不是轴对称图形.
故答案为：C.
【分析】把一个图形沿某条直线折叠后能够完全重合的图形叫轴对称图形，这条直线叫它的对称轴.
3．【答案】D
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：
故答案为：D.
【分析】简单事件的概率直接利用概率公式计算即可.
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】同底数幂的乘法，底数不变，指数相加.
5．【答案】A
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：给方程两边都乘以得：
故答案为：A .
【分析】给方程两边同时乘以各分母的最简公分母即可化分式方程为整式方程.
6．【答案】B
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】点的坐标平移规律，右加左减，上加下减.
7．【答案】A
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、适合全面调查；
B、由于市场了冰激凌的数量太大且全面调查具有破坏性，故适合抽查；
C、由于全面中学生的数量太大难以操作，故适合抽查；
D、由于全面调查具有破坏性，故适合抽查；
故答案为：A.
【分析】当样本容量太大难以操作且调查具有破坏性时不适宜进行全面调查.
8．【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：互相平分
四边形ABCD是平行四边形
是菱形
四边形ABCD的周长
故答案为：C.
【分析】由于对角线互相垂直平分的四边形是菱形，而菱形的四条边相等，即四边形ABCD的周长等于边长AB的4倍.
9．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：
，双曲线的两个分支分别在第一、三象限，且在每一个分支内，都随的增大而减小.
故答案为：D.
【分析】对于反比例函数，当时，双曲线的两个分支分别在第一、三象限，且在每一个分支内都随的增大而减小；而当时，双曲线的两个分支分别在第二、四象限，且在每一个分支内都随的增大而增大；另由反比例函数图象上点的坐标特征知.
10．【答案】C
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】由于弧AB所对的圆周角可求，扇形AOB的半径已知，可直接应用弧长公式计算即可.
11．【答案】145°
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：
故答案为：145°.
【分析】两直线平行，内错角相等.
12．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：=== 。
故答案为： .
【分析】根据二次根式乘法法则的逆用即可化简。
13．【答案】a（a+13）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
故答案为：a（a+13）.
【分析】直接提公因式a即可.
14．【答案】x2
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：
故答案为：x2.
【分析】由于分母是分子的一个因式，直接约去分母即可.
15．【答案】甲
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：
甲先到达终点
故答案为：甲.
【分析】观察图象得，甲比乙提前2秒到达终点.
16．【答案】3
【知识点】尺规作图-垂直平分线；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：垂直平分BA
是AB中点
是AC中点
是的中位线
故答案为：3.
【分析】由基本尺规作图过程知MN垂直平分AB，即D是AB中点，又E是AC中点，则DE是的中位线，则DE等于AB的一半.
17．【答案】45°
【知识点】三角形内角和定理；多边形的外角和公式；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：多边形ABCDEFGH是正八边形
故答案为：45°.
【分析】由正八边形的各边相等，各内角都等于135°，则利用等腰三角形的内角和可得，再利用三角形的外角性质即可.
18．【答案】（1）2
（2）①②
【知识点】整式的加减运算；等边三角形的性质；勾股定理的逆定理；一元一次不等式组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）是等边三角形
（2） ①若k＝2，t＝1， 则
是直角三角形
②若
则
，解得：
，解得：
，即
③若，a，b，c为三个连续整数，且a＜b＜c，
，解得
，解得
故满足条件的的值有6个，即满足条件的的个数为6个
故答案为：①②.
【分析】（1）由于等边三角形的三边相等，则，而1的任意次幂都等于1，故；
（2） ①若k＝2，t＝1，则，即三边恰好满足勾股定理，故结论正确；
②若，则，此时借助三角形三边关系定理可确定边的取值范围为，代入计算得，故结论正确；
③若，a，b，c为三个连续整数，且a＜b＜c，则，由三边关系定理可得，再结合已知可得，解得，即，则满足条件的的个数为6个，故结论错误.
19．【答案】解：原式＝1+1﹣1
＝2﹣1
＝1
【知识点】求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】实数的混合运算，先分别计算0次幂、有理数的绝对值和特殊角的三角函数值，再分别进行加减运算即可.
20．【答案】解：（x+2）（x﹣2）+x（1﹣x）
＝x2﹣4+x﹣x2
＝x﹣4，
当x＝6时，原式＝6﹣4＝2
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】整式的化简求值，先利用平方差公式和乘法分配律求出多项式的积，再去括号并合并同类项，最后再代入字母的值进行计算即可.
21．【答案】（1）解：∵BC与⊙O相切于点C，
∴OC⊥CB，
∴∠OCB＝90°，
∴∠ACO＝∠ACB﹣∠OCB＝120°﹣90°＝30°
（2）证明：∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO＝30°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
∴∠A＝∠B，
∴AC＝BC
【知识点】等腰三角形的判定；切线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）由于切线垂直于过切点的半径，因此，则；
（2）由于半径相等，则，再由三角形内角和可得，则等角对等边可得AC=BC.
22．【答案】（1）解：设A种材料的单价为x元，则B种材料的单价为（x﹣3）元，
由题意得：4x＝6（x﹣3），
解得：x＝9，
∴x﹣3＝6，
答：A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元
（2）解：设能购买A种材料m件，则能购买B种材料（50﹣m）件，
由题意得：9m+6（50﹣m）≤360，
解得：m≤20，
答：最多能购买A种材料20件
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A种材料的单价为x元，则B种材料的单价为（x﹣3）元，由相等关系“ 购买4件A种材料与购买6件B种材料的费用相等 ”列方程并求解即可；
（2）设能购买A种材料m件，则能购买B种材料（50﹣m）件，由不等关系“ 总费用不超过360元 ”列不等式并求解即可.
23．【答案】（1）解：由题意得：“8＜x≤10”的频数为：20﹣2﹣6﹣10＝2，
补全频数分布表和频数分布直方图如下：
结果如表：
次数x分组 画记 频数
2＜x≤4 T 2
4＜x≤6 正一 6
6＜x≤8 正正 10
8＜x≤10 T 2
（2）解：200120（人），
答：估计该校八年级学生在此段时间内参加公益活动次数超过6次的人数为120人
（3）解：选八年级，理由如下：
因为八年级学生参加公益活动次数的平均数比七年级大，所以选八年级．（答案不唯一）
【知识点】用样本估计总体；条形统计图；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】（1）由题意知八年级共抽取20名学生且把成绩分为四组，其中前三组人数已知，则用样本容量分别减去前面三组的频数可得到第四组频数，再补全直方图即可；
（2）用八年级总人数乘以样本中超过6次的人数占比即可；
（3）平均数是衡量一组数据集中趋势的量，由于八年级的平均次数高于七年级的平均次数，故选择八年级；方差是衡量一组数据稳定性的量，方差越小数据越稳定，也可求出八年级的方差并与七年级进行比较，再选择方差值小的年级.
24．【答案】（1）解：∵由题可知：在Rt△AGM中，AM＝13分米，MG＝12分米，AG⊥GM，
∴（分米），
∵AB＝19分米，
∴BG＝AB﹣AG＝19﹣5＝14（分米），
∴MN＝BG＝14（分米），
∴该连衣裙MN的长度为14分米
（2）解：如图2，过M作MK⊥AB于K，
∵在Rt△AKM中，AM＝13分米，∠BAM＝76.1°，AK⊥KM，
∴AK＝AM cos76.1°＝13×0.24＝3.12（分米），
∵AB＝19分米，
∴BK＝AB﹣AK＝19﹣3.12＝15.88（分米），
∴BK﹣MN＝15.88﹣14＝1.88≈2（分米），
∴该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为2分米
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）由于可判定四边形ENBG是矩形，则MN=BG，此时可在中直接应用勾股定理即可求得AG=5，则MN=AB-AG即可；
（2）如图所示，过M作MK⊥AB于K，由（1）知MN=14，此时只需求出BK的高度即可得出裙子下端距离地面的高度，由于 ∠BAE＝76.1°， 直接解即可求出AK的长，再计算出BK即可.
25．【答案】（1）90
（2）证明：∵CN⊥CD，
∴∠CND＝90°，
由题可知∠CE1C1＝∠CEB＝90°，BE＝B1E1，CE＝C1E1，
∵AB∥CD，
∴∠EBE1＝∠CBE＝90°，
∴△EBE1为等腰直角三角形，
∴∠BE1B＝∠BEE1＝45°，
∴∠CEN＝∠CNE＝∠C1E1M＝45°，
∴CN＝CE＝C1E1，
在△CNM和△C1E1M；
，
∴△CNM≌△C1E1M（AAS）
（3）证明：如图，过点D作DP⊥AB垂足为点P，
由题，
设，则，，
∴，
在Rt△ADP中，，
∴，
∵∠AGD＝60°，
∴在Rt△GDP中，，
∴AG＝AP+PG＝2，
∴，即，
∵∠A＝∠A，
∴△AFG∽△ADB，
∴∠AFG＝∠ADB，
∴FG∥BD．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；四边形的综合；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】（1）解：由题可知∠ABF＝∠CBE，
∵BE⊥CD，
∴∠CEB＝90°，
∴∠CBE+∠C＝90°，
在平行四边形ABCD中，∠A＝∠C，
∴∠A+∠ABF＝90°，
故答案为：90；
【分析】（1）由于平行四边形的对角相等，则，由垂直的概念可得与互余，又，等量代换得与互余；
（2）由于平行四边形的对边平行，则，又，则，则，因为，即为等腰直角三角形，则，又因为，即，又对顶角相等，则可利用AAS证明结论成立；
（3）由于，为便于计算，可设，则，，此时可过点D作AB上的高DP构造直角三角形，分别解和可求出和AP，再由勾股定理可得DP，再解可得PG，即AG可得，此时可借助两边对应成比例且夹角相等证明相似于，由相似的性质可得，则同位角相等两直线平行.
26．【答案】（1）解：把点A（2，2）代入二次函数y＝ax（x﹣4）（a≠0）中，
得﹣4a＝2，故a，
故此二次函数的表达式为y
（2）证明：选择①：由A（2，2）可知直线OA的表达式为y＝x，
由题意可知P（x1，2x1），B（x1，x1），Q（x2，2x2），C（x2，x2），
故PB2x1﹣x1x1，QCx2，
∵PB＞QC，即x1，
整理可得（x2﹣x1）（x2+x1）＞x2﹣x1，由于x2﹣x1＞0，
故（x2+x1）＞1，
即x1+x2＞2；
选择②：同理得R（x3，2x3），D（x3，x3），
故RDx3，
∵PB＞RD，即x1x3，
整理可得（x3﹣x1）（x3+x1）＞x3﹣x1，由于x3﹣x1＜0，
故（x3+x1）＜1，
即x1+x3＜2
（3）解：由待定系数法可求得直线AP的表达式为y＝（1）x+x1，
设直线AP交y轴于点G，如图2所示，
则OG＝x1＝OT，
∵∠GOA＝∠TOA＝45°，
在△GOA和△TOA中，
，
∴△GOA≌△TOA（SAS），
∴∠PAO＝∠TAO，
∵∠AMN＝∠PAO，
∴∠AMN＝∠TAO，
∵AO2MN，
在△TOA和△TNM中，
，
∴△TOA≌△TNM（AAS），
∴TN＝TO＝x1，ON＝2x1，
作QH⊥x轴于点H，
则，
又∵tan∠QTH＝tan∠Q1TO，
即，
∴OQ1＝（）x1．
∵T（x1，0），R（x1，），
∴由待定系数法可得直线RT的表达式为y＝（）x，
即OR1，
∴R1Q1＝OQ1+OR1，
∴t＝R1Q1﹣ON2x1，
故当x1时，t的最大值为．
即当x时，t的最大值为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法直接计算即可；
（2） ① 利用待定系数法可得直线OA是正比例函数，则由函数图象上点的坐标特征结合已知条件可分别设各点P（x1，2x1），B（x1，x1），Q（x2，2x2），C（x2，x2），则线段PB、QC均可表示，由于PB>QC，即有不等式 x1成立，对不等式进行变形得，由于，故结论成立；
②同理得R（x3，2x3），D（x3，x3），则线段RD也可表示，由于PB＞RD ，即可得不等式x1成立，对不等式进行变形得，由于，故结论成立；
（3）由于点P的横坐标已知，则由抛物线上点的坐标特征可得点P的纵坐标，又点A(2，2），则利用待定系数法可求得直线AP的解析式为，则延长AP交y轴于点G，则G（0，x1），又T（x1，0），所以OG=OT，同理可得直线TR的解析式为，则，因为直线平分第一、三象限，则可利用SAS证明，即有，又已知，等量代换得；又由两点距离公式可得，由对顶角相等可利用AAS证明，则可得，则，此时再过点Q作x轴的垂线段QH可构造，解可得，把代入化简得；由于，再解可得，则，再把和代入到中得是关于的二次函数，且二次项系数为负，故有最大值，再利用二次函数的性质求出这个最大值即可.
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