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贵阳市第二中学2025学年高二下学期期末模拟考试数学试卷
一、单项选择题．（每题5分，共8题，共40分）
1．已知为自然数集，，，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．已知复数z满足，则|z|=（　　）
A． B．2 C．4 D．8
3．已知向量，，，若，，则向量在方向上的投影为（　　）
A． B． C． D．2
4．过点的直线与圆相交于不同的两点M，N，则线段MN的中点的轨迹是（　　）
A．一个半径为10的圆的一部分 B．一个焦距为10的椭圆的一部分
C．一条过原点的线段 D．一个半径为5的圆的一部分
5． 已知函数的图象如图所示，图象与轴的交点为，与轴的交点为，最高点，且满足．若将的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为，则（　　）
A． B．0 C． D．
6．某市2023年中考体育考试要求考生必须在篮球、足球、排球这三个项目中选择一个项目考试.如果这三个项目该市一初三寝室的四名同学都有人选，则这四名同学所有可能选择的方案为（　　）
A．72 B．36 C．18 D．24
7．曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
8．设正方体的棱长为2，P为正方体表面上一点，且点P到直线的距离与它到平面ABCD的距离相等，记动点P的轨迹为曲线W，则曲线W的周长为（　　）
A． B． C． D．
二、不定项选择题．（每题6分，共3题，共18分，全选对6分，选对但不全得部分分，有选错0分）
9．下列说法错误的是（　　）
A．在两个变量x与y的列联表中，当越大，两个变量有关联的可能性越大
B．若所有样本点都在回归直线方程上，则变量间的相关系数是-1
C．相关系数越接近于0，变量间的线性相关程度越低
D．独立性检验一定能给出明确的结论
10．已知函数，则下列说法正确的是（　　）
A．函数在上单调递减，则
B．当时，若有2个零点，则实数或
C．当时，若，则
D．若直线与曲线有3个不同的交点，，，且，则
11．已知函数，，且，则下列选项正确的是（　　）
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．，
D．，在上有两个不同的零点
三、填空题．（每题5分，共15分）
12．记的内角的对边分别为，若，则　 　.
13．的展开式中，含的项的系数为　 　．
14．有台车床加工同一型号的零件，第台车床加工的次品率为，第台车床加工的次品率为，第台车床加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起，已知第台车床加工的零件数分别占总数的，，，现从中任意选取个零件，则取到的零件是次品的概率为　 　.
四、解答题．（15题13分，16～17题每题15分，18～19题每题17分）
15．已知数列的前n项和为，且．
（1）证明是等比数列，并求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
16．设函数.
（1）讨论的导函数的零点的个数；
（2）证明：当时.
17．如图，在三棱锥中，侧面是正三角形，且垂直于底面，，，
（1）求证：
（2）记二面角的平面角为，求的值.
18．在2024年5月举行的第一届全国全民健身大赛（西南区）篮球项目贵州选拔赛暨2024年贵州省篮球公开赛中，铜仁市代表队凭借出色的技术和顽强拼搏的精神，从全省42支队伍中脱颖而出，闯进决赛．受此影响，铜仁市某校掀起了篮球运动的热潮，在一次篮球训练课上，甲、乙、丙三位同学进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一人．
（1）求2次传球后球在甲手中的概率；
（2）设次传球后球在甲手中的概率为，求证数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（3）现在丁加入传球训练，且甲、乙、丙、丁四人分别站定于如图所示的四点（为正方形的四个顶点），且每次传球时，传球者将球传给相邻同学的概率为，传给对角线上同学的概率为（例如：甲传球给乙或丁的概率都是，传球给丙的概率是；若第一次仍由甲将球传出，则次传球后，试比较球在甲、乙、丙、丁手中概率的大小，并说明理由．
19．已知椭圆，直线经过椭圆的左顶点和下顶点．
（1）求椭圆的方程和离心率；
（2）设过点且斜率不为0的直线交椭圆于两点，直线与直线的交点分别为，线段的中点分别为．若直线经过坐标原点，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】B
3．【答案】A
4．【答案】D
5．【答案】D
6．【答案】B
7．【答案】A
8．【答案】D
9．【答案】B,D
10．【答案】A,B,D
11．【答案】B,C
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）证明：，当时，，解得；
当时，，，相减得到，
即，故是首项为，公比为的等比数列，.
验证时也满足，故.
（2）解：，，
，，
两式相减：，
整理得到：
16．【答案】（1）解：的定义域为，.
当时，，没有零点；
当时，因为单调递增，单调递增，所以在单调递增.又，当b满足且时，，故当时，存在唯一零点.
（2）解：由（1），可设在的唯一零点为，当时，；
当时，.
故在单调递减，在单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为.
由于，所以.
故当时，.
17．【答案】（1）证明： ，侧面 底面 ，
侧面 ，
所以
（2）：由勾股定理得 ，
又 侧面 ，所以 ，则 ，
又 ，取 的中点 ，连 ， ，
则有
， ，所以 即为二面角 的平面角，
在直角三角形 中， ， ， ，所以
18．【答案】（1）解：依题意，传球2次后球在甲手中包括两个基本事件，即：甲乙甲和甲丙甲，
所以传球2次后球在甲手中的概率为.
（2）证明：设第n次传球后球在甲手中的概率为，
则当时，第次传球后球在甲手中的概率为，
第次传球后球不在甲手中的概率为，
显然，若要第n次传球后球在甲手中，
则第次传球后球必定不能在甲手中，
无论此时球在乙或丙的手中，传给甲的概率都是，
则，
则，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
则.
（3）解：设第n次传球后球在甲手中的概率，
球在乙手中的概率，
球在丙手中的概率，
则球在丁手中的概率，
则
，，
，，
所以，且，又
则是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
因为，
所以，
又因为，
且，
所以，
又因为，
则，
若为奇数，
则，
此时，
若为偶数，
则，
此时.
19．【答案】（1）解：因为直线
与坐标轴交点为和，
所以，
由，解得，
所以椭圆的方程为，
其离心率为．
（2）解：由题意，直线的斜率存在，
故设其方程为，点，
由
得，
所以
所以点的横坐标，
纵坐标，
结合直线过坐标原点，
可得直线的方程为，
令，得点的坐标为，
当时，显然点不在轴上，
则直线：，直线：，
令，得点．=，
由线段的中点为，
得，
整理得：
则
化简得，
由，得，
当时，
由题意，点中有一个与点重合（不妨设点与点重合），
点为中点，且，
在中，，
则直线的方程为，
由的中点为，
得，则，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
综上所述，的取值范围为.

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