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第1章《有理数》、第2章《有理数的运算》、第3章《实数》复习与检测试卷
全卷共三大题，24小题，满分为120分．
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）年国际数学日的主题是“数学·艺术·创意”，的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
2.（3分）2025年5月11日，大连市成功举办了第35届大连马拉松赛．根据预报名阶段统计，
本届赛事3月17日就达到107400人报名参赛．数据107400用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
（3分）如图，浙教版初中数学课本长度约为，该近似数精确到（ ）
A．百分位 B．十分位 C．个位 D．十位
4．（3分）已知x，y为实数，且，则的值为（ ）
A． B．2 C．4 D．
5．（3分）如图是一个数值转换器，当输入的x的值为81时，输出的y的值是（ ）
A． B．9 C．3 D．
6.（3分）若与是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是（ ）
A．2 B． C．4 D．1
（3分）若当时，代数式的值为k，
则当时，代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
（3分）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点，
将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是（ ）
A．1 B． C．1或 D．1或
（3分）已知a、b、c为非零有理数，若，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．或
（3分）如图，长为y（cm），宽为x（cm）的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，
其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为4cm，
下列说法中正确的有（ ）
①小长方形的较长边为（y﹣12）cm；
②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为（x﹣y+4）cm；
③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；
④当x＝20时，阴影A和阴影B的面积和为定值．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共6小题，每题3分共18分）
11．（3分）﹣64的立方根是 　 　．
12.（3分）若，则 ．
13.（3分）若和是同类项，则 ．
（3分）如图，在数轴上，点A，点B表示的数分别是-8，10，
点P以1.2个单位秒的速度从A出发沿数轴向右运动，
同时点Q以4个单位秒的速度从点B出发沿数轴在B，A之间往返运动．
当点P到达点B时，点Q表示的数是 ．
15（3分）．定义运算：，下面给出了关于这种运算的四个结论：
①；
②；
③若，则；
④若，则．
其中，正确结论的序号是 （填上你认为所有正确结论的序号）．
16（3分）.一列数，，其中，等于1与前一个数的差的倒数，即，
以此类推，则 ， ．
解答题（共8小题，共72分．其中第17、18小题各6分，第19、20小题各8分，
第21、22小题各10分，第23、24小题各12分）
17（6分）．把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“”连接）．
____________________________．
18（6分）．计算：
(2)
19（8分）．已知是的平方根，是的立方根，是的整数部分．
求的值；
(2) 求的平方根．
20（8分）．（1）化简：；
（2）先化简，再求值：，其中，．
（10分）某校体育组需添置一批体育器材，包括足球50个；跳绳条（）．
已知某品牌足球每个统一定价为110元，跳绳每条统一定价为20元．
现有、两家商店提出了各自的优惠方案：
店：买一个足球送一条跳绳；
店：足球和跳绳都打9折．
分别在，两家商店购买，各需付款多少元？（用含的代数式表示，并化简）
当时，
① 通过计算说明此时在哪家商店购买较为合算？
② 你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算共需付款多少元．
22.（10分）如图，A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左边，
，，．

求出a，b的值；
现有一只电子蚂蚁P从点A出发，以3个单位长度/秒的速度向右运动，
同时另一只电子蚂蚁Q从点B出发，以2个单位长度/秒的速度向左运动．
① 运动t秒时电子蚂蚁P表示的数是______，Q表示的数是______（用含t的式子表示）；
② 设两只电子蚂蚁在数轴上的点C相遇，求出点C对应的数是多少？
③ 经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度？
23. （12分）根据背景素材，探索解决问题．
周末小明一家打算去露营基地野餐
素材1 野餐准备计划路线图：家炸鸡店面包店水果店奶茶店露营基地；
素材2 这条路线近似看成东西走向．如果规定向东为正，向西为负，他这天行车里程（单位：）如下：，，，，；
素材3 滴滴车价目表：起步价（不超过时）车费8元，超过时，超出部分每千米车费加价2元，原价消费满10元赠送一张8折优惠券和一张7折优惠券（每种优惠券只能使用一次）．
问题解决
任务1 求露营基地在家的哪个方向，并求出与家的距离；
任务2 计算炸鸡店到面包店所用的车费；
任务3 说说该路线如何正确使用优惠券，使总车费最低，并求出最低总车费．
（12分）如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为a、b，且|a+4|+（b﹣12）2＝0．
动点P从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
设运动时间为t秒（t＞0）．
写出数轴上点A表示的数为 　 　，
点B表示的数为 　 　，
点P表示的数为 　 　（用含t的式子表示）；
动点Q从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，动点M从点B出发，
以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，且点P，Q，M同时出发．
① 当t为何值时，点P、Q两点到点A的距离相等？
② 式子mBQ﹣2MP的值不随时间t的变化而变化，求m的值．
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第1章《有理数》、第2章《有理数的运算》、第3章《实数》复习与检测试卷解答
全卷共三大题，24小题，满分为120分．
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）年国际数学日的主题是“数学·艺术·创意”，的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的关键．根据正数的绝对值等于本身即可求解．
【详解】解：的绝对值是
故选：B．
2.（3分）2025年5月11日，大连市成功举办了第35届大连马拉松赛．根据预报名阶段统计，
本届赛事3月17日就达到107400人报名参赛．数据107400用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：数据107400用科学记数法可表示为．
故选：C．
（3分）如图，浙教版初中数学课本长度约为，该近似数精确到（ ）
A．百分位 B．十分位 C．个位 D．十位
【答案】B
【分析】本题考查了近似数的精确度．熟练掌握近似数的精确度是解题的关键．
根据近似数小数部分的最后一位判断即可．
【详解】解：由题意知，近似数精确到十分位，
故选：B．
4．（3分）已知x，y为实数，且，则的值为（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了非负数的性质，根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可，掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
故选：C．
5．（3分）如图是一个数值转换器，当输入的x的值为81时，输出的y的值是（ ）
A． B．9 C．3 D．
【答案】A
【分析】本题考查了算术平方根，理解题意，按照数值转换器规定的运算计算是解题的关键．根据数值转换器输入x的值，直到输出y的值不是有理数为止．
【详解】解：第一次输入，则，是有理数；
第二次输入，则，是有理数；
第三次输入，则不是有理数，所以输出，
故选：A．
6.（3分）若与是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是（ ）
A．2 B． C．4 D．1
【答案】D
【分析】本题考查平方根，解题的关键是正确理解平方根的定义．根据平方根的性质即可求出答案．
【详解】解：与是同一个数的两个不等的平方根，
∴，
解得：，
∴这个数是，
故选：D．
（3分）若当时，代数式的值为k，
则当时，代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查代数式求值，熟练掌握利用整体法求代数式的值的方法是解题的关键．先将代入中，得出，再将代入中，利用整体法求值即可．
【详解】解：∵当时，代数式的值为k，
∴，
∴，
∴当时，
，
故选C．
（3分）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点，
将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是（ ）
A．1 B． C．1或 D．1或
【答案】C
【分析】本题考查了数轴，分类讨论思想是解题的关键．先根据两点间的距离公式求出点A落在对应点表示的数，在利用中点公式求出C点表示的数．
【详解】设是点的对应点，由题意可知点是和的中点
当点在的右侧，，表示的数为，
那么C表示的数为：，
当点在的左侧，，表示的数为，
那么C表示的数为：，
故选：C．
（3分）已知a、b、c为非零有理数，若，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．或
【答案】C
【分析】本题考查了绝对值的化简，利用分类讨论的思想解决问题是关键．根据题意分两种情况求解：若a、b、c中有一个正数，两个负数；若a、b、c中有两个正数，一个负数，根据绝对值的意义分别求解即可．
【详解】解：，
，，，
，
若a、b、c中有一个正数，两个负数，不妨设，，，
；
若a、b、c中有两个正数，一个负数，不妨设，，，
，
的值为，
故选：C．
（3分）如图，长为y（cm），宽为x（cm）的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，
其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为4cm，
下列说法中正确的有（ ）
①小长方形的较长边为（y﹣12）cm；
②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为（x﹣y+4）cm；
③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；
④当x＝20时，阴影A和阴影B的面积和为定值．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用图形求得阴影A，B的长与宽，利用已知条件对每个结论进行逐一判断即可得出结论．
【解答】解：∵小长方形的较短的边长为4cm，
∴阴影A的较长边为（y﹣12）cm，较短边为（x﹣8）cm；
阴影B的较长边为12cm．
∵阴影A的较长边与小长方形的较长边相等，
∴小长方形的较长边为：（y﹣12）cm．小长方形的较短边为：x﹣（y﹣12）＝（x+12﹣y）cm．
∴①正确；
∵阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为：
（x﹣8）+（x+12﹣y）＝2x﹣y+4．
∴②错误；
∵阴影A和阴影B的周长和为：
2×（y﹣12+x﹣8+12+x﹣y+12）
＝2×（2x+4）
＝4x+8，
∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值．
∴③正确；
∴阴影A和阴影B的面积和为：
（y﹣12）（x﹣8）+12（x+12﹣y）
＝xy﹣8y﹣12x+96+12x+144﹣12y
＝xy﹣20y+240，
∵当x＝20时，
xy﹣20y+240＝20y﹣20y+240＝240，
∴当x＝20时，阴影A和阴影B的面积和为定值．
∴④正确．
综上，正确的结论有：①③④，
故选：C．
二、填空题（共6小题，每题3分共18分）
11．（3分）﹣64的立方根是 　 　．
【分析】利用立方根的意义解答即可．
【解答】解：∵（﹣4）3＝﹣64，
∴﹣64的立方根是﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题主要考查了立方根，熟练掌握立方根的意义是解题的关键．
12.（3分）若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．根据非负数的性质列式求出 a 、b 的值,然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：由题意得，
，
．
13.（3分）若和是同类项，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了同类项的定义，解题的关键是根据同类项的定义，正确求出a、b的值，根据同类项的定义：字母相同，相同字母的指数也相同，即可得到答案．
【详解】解：∵与是同类项，
∴
∴，，
∴；
故答案为.
（3分）如图，在数轴上，点A，点B表示的数分别是-8，10，
点P以1.2个单位秒的速度从A出发沿数轴向右运动，
同时点Q以4个单位秒的速度从点B出发沿数轴在B，A之间往返运动．
当点P到达点B时，点Q表示的数是 ．
【答案】1
【分析】本题考查数轴上的动点问题，理解数轴的定义，以及数轴上点的特征和意义是解题关键．
先根据题意确定的长度，以及点P到达点B时，点P、Q运动的时间，从而确定出此时Q点运动路程，即可结合A点的数字求解．
【详解】解：∵点A，点B表示的数分别是，10，
∴，
∵点P以个单位秒的速度从A出发沿数轴向右运动，
∴点P到达点B所用时间是（秒），
∵点Q以4个单位秒的速度从点B出发沿数轴在B，A之间往返运动，
∴Q所运动的路程为，
∴Q运动到A后，又返回到了B，又向A运动了个单位，
∴Q表示的数是．
故答案为：1．
15（3分）．定义运算：，下面给出了关于这种运算的四个结论：
①；
②；
③若，则；
④若，则．
其中，正确结论的序号是 （填上你认为所有正确结论的序号）．
【答案】①③④
【分析】本题考查新定义下的有理数运算，根据运算法则，分别对每一项进行计算得出正确结果，最后判断出所选的结论：
【详解】解：①，故正确；
②，，故不正确；
③由，故正确；
④由，解得，故正确．
故答案为：①③④．
16（3分）.一列数，，其中，等于1与前一个数的差的倒数，即，
以此类推，则 ， ．
【答案】 /
【分析】本题考查数字的变化类，倒数，有理数的混合运算，解题的关键是找到数列的循环规律．
根据规则：每个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，逐一进行计算找出规律解决问题即可．
【详解】解：∵每一个数都是1与它前面那个数的差的倒数，
，
，
，
…，
我们发现，
每三个为一循环，
，
循环的数为：，
，
，
循环的数为：，
．
故答案为，．
解答题（共8小题，共72分．其中第17、18小题各6分，第19、20小题各8分，
第21、22小题各10分，第23、24小题各12分）
17（6分）．把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“”连接）．
____________________________．
【答案】图见解析，
【分析】本题考查实数与数轴，比较实数大小，先化简各数，然后在数轴上表示出各数，再根据数轴上的数右边的比左边的大，比较大小即可．
【详解】解：，在数轴上表示各数如图：
由图可知：．
18（6分）．计算：
(2)
【答案】
(1)
(2)
【分析】本题考查了有理数的混合运算；
（1）先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答；
（2）先算乘方，再算乘法，后算加减，有括号先算括号里，即可解答．
【详解】（1）解：
（2）解：
19（8分）．已知是的平方根，是的立方根，是的整数部分．
求的值；
(2) 求的平方根．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（）根据平方根、立方根的定义和无理数的估算方法解答即可；
（）把（）所得的值代入代数式，求出代数式的值，再根据平方根的定义即可求解；
本题考查了平方根、立方根及无理数的估算，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】（1）解：∵是的平方根，是的立方根，
∴，，
∴，
∵是的整数部分，，
∴，
（2）解：∵，，，
∴
∴的平方根为．
20（8分）．（1）化简：；
（2）先化简，再求值：，其中，．
【答案】（1）
（2），
【分析】本题主要考查了整式的加减中的化简求值，去括号，合并同类项等知识点，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．
（1）合并同类项即可；
（2）去括号，合并同类项进行化简，再将，代入求值即可．
【详解】解：（1）；
（2）原式
，
当，时，
原式．
（10分）某校体育组需添置一批体育器材，包括足球50个；跳绳条（）．
已知某品牌足球每个统一定价为110元，跳绳每条统一定价为20元．
现有、两家商店提出了各自的优惠方案：
店：买一个足球送一条跳绳；
店：足球和跳绳都打9折．
分别在，两家商店购买，各需付款多少元？（用含的代数式表示，并化简）
当时，
① 通过计算说明此时在哪家商店购买较为合算？
② 你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算共需付款多少元．
【答案】(1)元，元
(2)）①B店；②能，先在A店购买50个足球，送50条跳绳，再在B店购买250条跳绳，10000元
【分析】本题考查列代数式、代数式求值，理解题意并列出代数式是解题的关键．
（1）分别根据“在A店购买需付款＝足球定价×购买足球数量+跳绳定价×（购买跳绳数量﹣50）”和“在B店购买需付款＝折扣×（足球定价×购买足球数量+跳绳定价×购买跳绳数量）”解答即可；
（2）①将分别代入（1）中求得的两个代数式，计算并比较大小即可；
②先在A店购买50个足球，送50条跳绳，再在B店购买250条跳绳并计算总付款即可．
【详解】（1）解：在A店购买需付款（元），
在B店购买需付款（元）．
答：在A店购买需付款元，在B店购买需付款元．
（2）解：①当时，（元），
（元），
∵，
∴在B店购买较为合算．
②先在A店购买50个足球，送50条跳绳，再在B店购买250条跳绳更为省钱．
（元）．
答：先在A店购买50个足球，送50条跳绳，再在B店购买250条跳绳更为省钱，共需付款10000元．
22.（10分）如图，A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左边，
，，．

求出a，b的值；
现有一只电子蚂蚁P从点A出发，以3个单位长度/秒的速度向右运动，
同时另一只电子蚂蚁Q从点B出发，以2个单位长度/秒的速度向左运动．
① 运动t秒时电子蚂蚁P表示的数是______，Q表示的数是______（用含t的式子表示）；
② 设两只电子蚂蚁在数轴上的点C相遇，求出点C对应的数是多少？
③ 经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度？
【答案】(1)a的值是，b的值是90；
(2)①，；②50；③16秒或24秒
【分析】（1）根据题意可得，根据可得b的值，本题得以解决；
（2）①根据题意及点A和B表示的数即可求解；②根据题意可列方程，求解得到t的值，即可求得C点坐标；③分为相遇前和相遇后两种情况讨论列方程求解．
【详解】（1）解：∵A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左边，，，，
∴，，
即a的值是，b的值是90；
（2）①运动t秒时电子蚂蚁P表示的数是，Q表示的数是，
故答案为：，；
②由题意可得，相遇时P和Q两点表示的数字相同，
∴，
解得：，
点C对应的数是：，
即点C对应的数为：50；
③设相遇前，经过m秒时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度，
解得；
设相遇后，经过n秒时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度，
解得；
由上可得，经过16秒或24秒的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度．
23. （12分）根据背景素材，探索解决问题．
周末小明一家打算去露营基地野餐
素材1 野餐准备计划路线图：家炸鸡店面包店水果店奶茶店露营基地；
素材2 这条路线近似看成东西走向．如果规定向东为正，向西为负，他这天行车里程（单位：）如下：，，，，；
素材3 滴滴车价目表：起步价（不超过时）车费8元，超过时，超出部分每千米车费加价2元，原价消费满10元赠送一张8折优惠券和一张7折优惠券（每种优惠券只能使用一次）．
问题解决
任务1 求露营基地在家的哪个方向，并求出与家的距离；
任务2 计算炸鸡店到面包店所用的车费；
任务3 说说该路线如何正确使用优惠券，使总车费最低，并求出最低总车费．
【答案】任务1：西边，11.5千米；任务2：14元；任务3：水果店到奶茶店用8折券，
奶茶店到露营基地用7折券，共用车费57.8元
【分析】本题考查了有理数加减和混合运算的实际应用，掌握有理数的运算法则是解题的关键．
任务1：根据正负数的意义列出算式计算即可求解；
任务2：根据题意列出算式计算即可求解；
任务3：根据题意，面包店到水果店用8折券，奶茶店到露营基地用7折券，总车费最省，列出算式计算即可求解．
【详解】解：任务1：，
答：露营基地在家的西边处；
任务2：（元），
答：炸鸡店到面包店所需费用14元；
任务三：因为（元），（元），
所以元）
答：水果店到奶茶店用8折券，奶茶店到露营基地用7折券，共用车费57.8元．
（12分）如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为a、b，且|a+4|+（b﹣12）2＝0．
动点P从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
设运动时间为t秒（t＞0）．
写出数轴上点A表示的数为 　 　，
点B表示的数为 　 　，
点P表示的数为 　 　（用含t的式子表示）；
动点Q从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，动点M从点B出发，
以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，且点P，Q，M同时出发．
① 当t为何值时，点P、Q两点到点A的距离相等？
② 式子mBQ﹣2MP的值不随时间t的变化而变化，求m的值．
【分析】（1）利用非负数的性质列等式，求a、b的值，再利用速度乘以时间列代数式表示点P；
（2）①根据距离相等分两种情况列方程求解；
②根据题意列方程，与t无关，比较关于t的系数，求出m的值．
【解答】解：（1）∵数轴上两点A、B对应的数分别为a、b，且|a+4|+（b﹣12）2＝0，
∴a+4＝0，b﹣12＝0，
∴a＝﹣4，b＝12，
∴点A、B表示的数分别为﹣4、12，
∴点P表示的数为12﹣5t，
故答案为：﹣4，12，12﹣5t；
（2）①点P、Q到点A的距离相等，有两个时间点，
点P在点Q的右边时，即PA＝QA，
3t＝12+4﹣5t，
解得：t＝2，
点P和点Q重合，即BP﹣16＝AQ，
5t﹣16＝3t，
解得：t＝8，
∴当t的值为2或8时，点P、Q两点到点A的距离相等；
②根据题意可知，BQ＝16+3t，2MP＝2（t+5t）＝12t，
∴mBQ﹣2MP
＝m（16+3t）﹣12t
＝16m+3mt﹣12t，
∵式子mBQ﹣2MP的值不随时间t的变化而变化，
∴3m＝12，
∴m＝4，
∴m的值为4．
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