资源简介

广东省汕头龙湖区2025年九年级数学一模试卷　
1．（2025·龙湖模拟）的相反数是（　　）
A． B． C．2025 D．
2．（2025·龙湖模拟）我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，则它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·龙湖模拟）截至2025年4月3日，动画电影《哪吒之魔童闹海》全球累计票房已破亿元，暂列全球影史票房榜前五．“亿”这个数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·龙湖模拟）如图，直线，一把含角的直角三角尺按所示位置摆放，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·龙湖模拟）计算的结果是（　　）
A．3 B． C．2 D．
6．（2025·龙湖模拟）如图1，以O为位似中心，作出的位似，使与的位似比为2：1．图2和图3分别为珍珍和明明的作法，两人的作法均保证，则下列说法正确的是（　　）
A．只有珍珍正确 B．只有明明正确
C．两个人都正确 D．两个人都不正确
7．（2025·龙湖模拟）如图，在中，，以和为边向两边分别作正方形，面积分别为和．已知，且，则的值为（　　）
A．14 B．10 C．44 D．100
8．（2025·龙湖模拟）不等式组的解集是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·龙湖模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象都经过，结合图象，则不等式的解集是（　　）
A． B．
C．或 D．或
10．（2025·龙湖模拟）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷等，当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示（如十一烷、十二烷等），甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十五烷的化学式为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·龙湖模拟）分解因式： 　 　
12．（2025·龙湖模拟）方程的解是　 　．
13．（2025·龙湖模拟）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示，当溶液密度时，密度计浸在溶液中的高度h为　 　．
14．（2025·龙湖模拟）2024年7月27日，“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”被正式列入《世界遗产名录》．中轴线上的故宫博物院是深受大众喜爱的旅游景点之一，据统计2024年国庆假期共接待观众万人次，2026年国庆假期接待的观众预期达到58万人次，求国庆假期接待观众人次的年平均增长率．设国庆假期接待观众人次的年平均增长率为x，则可列方程为　 　．
15．（2025·龙湖模拟）如图，，是平行四边形的边上的两点，连接，交于点，的面积为，的面积为，四边形的面积为，则图中阴影部分的面积为　 　．
16．（2025·龙湖模拟）计算： ．
17．（2025·龙湖模拟）如图，在中，，，．
（1）利用尺规在上找到一点E，使得（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连接，则的面积为________．
18．（2025·龙湖模拟）列方程解决实际问题：
2024年12月2日，中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》发布官方吉祥物形象“巳（sì）升升”，祝福全球华人在新的一年如意康宁，好事连连.2025蛇年春晚吉祥物的设计是从中华传统文化中寻找的灵感，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，其形象既憨态可掬，又富有古意．
某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元．若顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，则A，B两款吉祥物的单价分别是多少元？
19．（2025·龙湖模拟）某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中只选出一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
类别 A B C D E
节目类型 新闻 体育 动画 娱乐 戏曲
人数 12 30 m 54 9
请你根据以上的信息，回答下列问题：
（1）被调查学生的总数为 人，统计表中m的值为 ，统计图中n的值为 ；
（2）在统计图中，E类所对应扇形的圆心角的度数为 ；
（3）喜爱体育电视节目的学生中有4人（甲、乙、丙、丁）在学校参加体育训练，现要从4个人中选拔两人代表参加市运动会，求出甲丙同时被选中的概率是多少．（用列表法或树状图法求概率）
20．（2025·龙湖模拟）小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征．
（1）若光从真空射入某介质，入射角为，折射角为，且，，求该介质的折射率；
（2）现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出．如图②，已知，，求截面的面积．
21．（2025·龙湖模拟）如图，是的直径，点C在上，是的切线，平分交于点D，交于点F．
（1）求证：．
（2）若，求的长．
22．（2025·龙湖模拟）【知识技能】
（1）如图1，在矩形中，，，点是边的中点，点是边上的一个动点，将沿直线翻折，点落在点处．求证：．
【数学理解】
（2）在（1）的条件下，连接，若，求的最小值．
【拓展延伸】
（3）如图2，在（1）的条件下，若，连接，延长交对角线于点，当时，求的长．
23．（2025·龙湖模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，在第一象限的抛物线上取一点，过点作轴于点，交于点．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）是否存在点，使得和相似？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）是第一象限内抛物线上的动点（不与点重合），过点作轴的垂线交于点，连接，当四边形为菱形时，求点的横坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：-2025的相反数是2025，
故答案为：C ．
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，据此直接得到答案.
2．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：该几何体左边是一个圆柱，从上面看，看到的是一个长方形，该几何体右边下部分是正方体，上部分是圆柱，看到的是一个正方形内里镶嵌一个圆，
即该几何体的俯视图是：．
故答案为：A．
【分析】根据俯视图即从物体的上面观察所得的视图并结合各选项即可判断求解．
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：亿=15500000000，
故答案为：C．
【分析】由题意，先将单位亿元化为元，再根据科学记数法的意义“科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.”即可求解.
4．【答案】C
【知识点】角的运算；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图：
∵，，
∴，
∵直线，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【分析】先根据角的和差得到，然后根据平行线的性质得到，再利用角的和差解答即可．
5．【答案】A
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：；
故选A．
【分析】根据同分母分式加法法则“ 分母不变，分子相加减， ”计算即可．
6．【答案】C
【知识点】作图﹣位似变换；位似图形的性质
【解析】【解答】解：确定位似中心；分别连接并延长位似中心和顶点；根据相似比，确定对应点的位似图形的点；顺次连接各点，得到位视图形；而珍珍和明明画的位似图形，对应边满足比值等于位似比，则珍珍和明明都正确．
故选：C．
【分析】根据位似图形的性质作图即可．
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
故选D．
【分析】根据正方形的面积求出的长，再利用勾股定理求出BC长解答即可．
8．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解①得，
解②得
∴原不等式组的解集为：，
故答案为：B．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再根据不等式组的解集“同大取大、同小取小、大小小大取中间、大大小小无解”可求解.
9．【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数（为常数且）的图象上方时，的取值范围是：或，
∴不等式的解集是或.
故选C．
【分析】借助图象得到一次函数图象在反比例函数图象上方的的取值范围解答即可．
10．【答案】B
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：由图可得，
甲烷的化学式中的C有1个，H有（个），
乙烷的化学式中的C有2个，H有（个），
丙烷的化学式中的C有3个，H有（个），
，
十六烷的化学式中的C有15个，H有（个），
即十五烷的化学式为，
故答案为：B．
【分析】根据图形，可以写出C和H的个数，然后即可发现C和H的变化特点，C的个数是连续的正整数，H的个数是连续偶数，根据这个特点即可求解．
11．【答案】(x-2)2
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】x2-4x+4=（x-2）2
【分析】本题运用完全平方差公式就可以解答了.
12．【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】
x=0，或
解得：
故答案为： .
【分析】解一元二次方程，观察方程适于因式分解法（提公因式法）解方程。
13．【答案】10
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设h关于的函数解析式为，
把代入解析式，得，
h关于的函数解析式为，
当时，，
故答案为：10．
【分析】由题意可得，设，把代入解析式即可求出k的值，再将代入h关于的函数解析式计算即可求解．
14．【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设国庆假期接待观众人次的年平均增长率为x，
根据题意得：
故答案为：
【分析】设国庆假期接待观众人次的年平均增长率为x，利用增长率模型列一元二次方程即可．
15．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：如图，连接．
，
．
的面积为，的面积为，
．
，
的面积为．
的面积为．
又的面积为，的面积为，四边形的面积为，
阴影部分的面积．
故答案为：．
【分析】连接．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得，结合已知可求得三角形的面积，由平行四边形的性质可得S ABCD=2S△BOE，然后根据阴影部分的面积的构成可求解．
16．【答案】解：原式
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】先根据一个数的负指数幂等于正指数幂的倒数，一个不等于零的数的零指数幂为1，一个数的绝对值是非负数，特殊角三角函数值sin60°= ，求出各项的值即可．
17．【答案】（1）解：如图，点E即为所求；
（2）6
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】（2）解：连接，如图：
设，
∵，，
在中，则有，
∴，
∴，
∴的面积．
故答案为：6．
【分析】
（1）作线段的垂直平分线交于点E，连接即可；
（2）设，在Rt△ABE中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程求出x的值，由线段的和差BE=BC-CE求出BE的值，然后根据S△ABE=AB·BE计算即可求解．
（1）解：如图，点E即为所求；
（2）解：连接，如图：
设，
∵，，
在中，则有，
∴，
∴，
∴的面积．
故答案为：6．
18．【答案】解：设一个B款吉祥物的售价为x元，则一个A款吉祥物的售价为元．
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合实际意义，
∴．
答：每个B款吉祥物的售价为60元，每个A款吉祥物的售价为80元．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】
设一个B款吉祥物的售价为x元，则一个A款吉祥物的售价为元，根据题中的相等关系"顾客花800元购买A款吉祥物的数量=花600元购买B款吉祥物的数量"列出关于x的分式方程，解这个分式方程并检验即可求解．
19．【答案】（1）150，45，36
（2）21.6°
（3）解：画树状图，如图所示：
共有12种等可能的结果，其中甲丙同时被选中的结果有2种，
∴甲丙同时被选中的概率为＝．
【知识点】统计表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：被调查的学生总数为：30÷20%＝150（人），
则m＝150﹣（12＋30＋9＋54）＝45，n%＝54÷150×100%＝36%，
∴n＝36，
故答案为：150，45，36；
（2）解：E类所对应扇形的圆心角的度数为360°×＝21.6°，
故答案为：21.6°；
【分析】（1）用B类别人数除以占比得到被调查学生的总数，然后用总人数减去喜爱其它类型的人数得到m值，再求出喜爱娱乐节目的占比即可求出n；
（2）用360°乘以E类别人数占比解答即可；
（3）画树状图得到所有等可能结果数，找出符合条件的结果数，根据概率公式解答．
（1）解：被调查的学生总数为：30÷20%＝150（人），
则m＝150﹣（12＋30＋9＋54）＝45，n%＝54÷150×100%＝36%，
∴n＝36，
故答案为：150，45，36；
（2）解：E类所对应扇形的圆心角的度数为360°×＝21.6°，
故答案为：21.6°；
（3）解：画树状图，如图所示：
共有12种等可能的结果，其中甲丙同时被选中的结果有2种，
∴甲丙同时被选中的概率为＝．
20．【答案】（1）∵，∴如图，
设，则，
由勾股定理得，，
∴，
又∵，
∴，
∴折射率为：．
（2）解：根据折射率与（1）的材料相同，可得折射率为，
∵，
∴，
∴．
∵四边形是矩形，点O是中点，
∴，，
又∵，
∴，
在中，设，，
由勾股定理得，，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴截面的面积为：．
【知识点】勾股定理；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）根据余弦的定义设，则，利用勾股定理求出a的值，根据正弦的定义解答即可；
（2）根据折射率得到，即可求出，在中，设，，利用勾股定理求出DC长，再根据正切解答即可．
（1）∵，
∴如图，
设，则，由勾股定理得，，
∴，
又∵，
∴，
∴折射率为：．
（2）根据折射率与（1）的材料相同，可得折射率为，
∵，
∴，
∴．
∵四边形是矩形，点O是中点，
∴，，
又∵，
∴，
在中，设，，
由勾股定理得，，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴截面的面积为：．
21．【答案】（1）证明：如图，由BE平分∠ABC，
是的直径，
是的切线
．
（2）解：如图，过点作于点，
平分
，
设，则
在中
解得
当时，，不合题意，舍去
，
即CD的长为．

【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得，根据对顶角相等可得，由直径所对的圆周角是直角可得，由切线的性质“圆的切线垂直于经过切点的半径”可得，然后根据等角的余角相等可得，再根据等角对等边即可求解；
（2）过点作于点，根据锐角三角函数可得，结合已知设，则，在中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程求出x的值，然后根据DC=DG=3x即可求解．
（1）如图，由BE平分∠ABC，
是的直径，
是的切线
．
（2）如图，过点作于点，
平分
，
设，则
在中
解得
当时，，不合题意，舍去
，
即CD的长为．
22．【答案】（1）证明：∵是的中点，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，
∴．
（2）如图，连接，，
∵，
∴在以为直径，为圆心的圆上运动，
∴当在上时，的值最小．
∵，，
∴，则，
∴的最小值为；
（3）在矩形中，，，
∴四边形是正方形，
如图，过点作于点，
∵是正方形的对角线，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
则，
∵，
由（2）可得是的直径，在上，则，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∴，
∴，则．
∴．
【知识点】圆周角定理；四边形的综合；已知正切值求边长
【解析】【分析】（1）根据折叠的性质和等边对等角以及三角形内角和定理可得，然后根据平行线的判定"内错角相等，两直线平行"即可求解；
（2）连接，，结合已知可得在以为直径，为圆心的圆上运动，当在上时，的值最小．在Rt△PBC中，用勾股定理求得的长，然后结合线段的和差即可求解；
（3）过点作于点，勾股定理求得，根据，则，设，则，，根据得出，即可得出，根据线段的和差计算即可求解．
23．【答案】（1）解：令，则，
解得：；
令，则
∴，
把，代入，得：
解得：
∴这条抛物线所对应的函数表达式为：；
（2）解：存在点，使得和相似．
设点，则，，
∴，，，，
∵和相似，
∴或
①如图1，当时，
∴
∴点纵坐标为6
∴，解得：或
∴
②如图2，当时，
过B作于H
∴
∴
∴
∴，
解得：（舍去）或
∴
综上可得，点的坐标为或．
（3）如图3，∵四边形为菱形
∴，，
设点，，，
∴，
∴，即
∵
∴，即或
∵，
∴，
∴
过点作于
∴
∴
∴，即
∴
∵
∴
∴
解得：（不合题意，舍去）或，
∴
答：点的横坐标为.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；解直角三角形—边角关系；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）由题意，分别令y=0、x=0可出A、B两点的坐标，然后用待定系数法即可求解；
（2）由对顶角的性质性质知，若存在和相似，则有和两种情况，然后分情况讨论，根据相似三角形的性质求解即可；
（3）设点，，，，则，，根据菱形的性质得出，可求出，过点作于，可得，利用等角的余弦值相等得出，求出，根据菱形的性质得出，解方程求出m的值即可．
（1）解：令，则，则；令，则
∴，
把，代入，得：
解得：
∴这条抛物线所对应的函数表达式为：；
（2）解：存在点，使得和相似．
设点，则，，
∴，，，，
∵和相似，
∴或
①如图1，当时，
∴
∴点纵坐标为6
∴，解得：或
∴
②如图2，当时，
过B作于H
∴
∴
∴
∴，解得：（舍去）或
∴
综上所述，点的坐标为或．
（3）如图3，∵四边形为菱形
∴，，
设点，，，
∴，
∴，即
∵
∴，即或
∵，
∴，
∴
过点作于
∴
∴
∴，即
∴
∵
∴
∴
解得：（不合题意，舍去）或
故
答：点的横坐标为
1 / 1广东省汕头龙湖区2025年九年级数学一模试卷　
1．（2025·龙湖模拟）的相反数是（　　）
A． B． C．2025 D．
【答案】C
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：-2025的相反数是2025，
故答案为：C ．
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，据此直接得到答案.
2．（2025·龙湖模拟）我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，则它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：该几何体左边是一个圆柱，从上面看，看到的是一个长方形，该几何体右边下部分是正方体，上部分是圆柱，看到的是一个正方形内里镶嵌一个圆，
即该几何体的俯视图是：．
故答案为：A．
【分析】根据俯视图即从物体的上面观察所得的视图并结合各选项即可判断求解．
3．（2025·龙湖模拟）截至2025年4月3日，动画电影《哪吒之魔童闹海》全球累计票房已破亿元，暂列全球影史票房榜前五．“亿”这个数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：亿=15500000000，
故答案为：C．
【分析】由题意，先将单位亿元化为元，再根据科学记数法的意义“科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.”即可求解.
4．（2025·龙湖模拟）如图，直线，一把含角的直角三角尺按所示位置摆放，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图：
∵，，
∴，
∵直线，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【分析】先根据角的和差得到，然后根据平行线的性质得到，再利用角的和差解答即可．
5．（2025·龙湖模拟）计算的结果是（　　）
A．3 B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：；
故选A．
【分析】根据同分母分式加法法则“ 分母不变，分子相加减， ”计算即可．
6．（2025·龙湖模拟）如图1，以O为位似中心，作出的位似，使与的位似比为2：1．图2和图3分别为珍珍和明明的作法，两人的作法均保证，则下列说法正确的是（　　）
A．只有珍珍正确 B．只有明明正确
C．两个人都正确 D．两个人都不正确
【答案】C
【知识点】作图﹣位似变换；位似图形的性质
【解析】【解答】解：确定位似中心；分别连接并延长位似中心和顶点；根据相似比，确定对应点的位似图形的点；顺次连接各点，得到位视图形；而珍珍和明明画的位似图形，对应边满足比值等于位似比，则珍珍和明明都正确．
故选：C．
【分析】根据位似图形的性质作图即可．
7．（2025·龙湖模拟）如图，在中，，以和为边向两边分别作正方形，面积分别为和．已知，且，则的值为（　　）
A．14 B．10 C．44 D．100
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
故选D．
【分析】根据正方形的面积求出的长，再利用勾股定理求出BC长解答即可．
8．（2025·龙湖模拟）不等式组的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解①得，
解②得
∴原不等式组的解集为：，
故答案为：B．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再根据不等式组的解集“同大取大、同小取小、大小小大取中间、大大小小无解”可求解.
9．（2025·龙湖模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象都经过，结合图象，则不等式的解集是（　　）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数（为常数且）的图象上方时，的取值范围是：或，
∴不等式的解集是或.
故选C．
【分析】借助图象得到一次函数图象在反比例函数图象上方的的取值范围解答即可．
10．（2025·龙湖模拟）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷等，当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示（如十一烷、十二烷等），甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十五烷的化学式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：由图可得，
甲烷的化学式中的C有1个，H有（个），
乙烷的化学式中的C有2个，H有（个），
丙烷的化学式中的C有3个，H有（个），
，
十六烷的化学式中的C有15个，H有（个），
即十五烷的化学式为，
故答案为：B．
【分析】根据图形，可以写出C和H的个数，然后即可发现C和H的变化特点，C的个数是连续的正整数，H的个数是连续偶数，根据这个特点即可求解．
11．（2025·龙湖模拟）分解因式： 　 　
【答案】(x-2)2
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】x2-4x+4=（x-2）2
【分析】本题运用完全平方差公式就可以解答了.
12．（2025·龙湖模拟）方程的解是　 　．
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】
x=0，或
解得：
故答案为： .
【分析】解一元二次方程，观察方程适于因式分解法（提公因式法）解方程。
13．（2025·龙湖模拟）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示，当溶液密度时，密度计浸在溶液中的高度h为　 　．
【答案】10
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设h关于的函数解析式为，
把代入解析式，得，
h关于的函数解析式为，
当时，，
故答案为：10．
【分析】由题意可得，设，把代入解析式即可求出k的值，再将代入h关于的函数解析式计算即可求解．
14．（2025·龙湖模拟）2024年7月27日，“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”被正式列入《世界遗产名录》．中轴线上的故宫博物院是深受大众喜爱的旅游景点之一，据统计2024年国庆假期共接待观众万人次，2026年国庆假期接待的观众预期达到58万人次，求国庆假期接待观众人次的年平均增长率．设国庆假期接待观众人次的年平均增长率为x，则可列方程为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设国庆假期接待观众人次的年平均增长率为x，
根据题意得：
故答案为：
【分析】设国庆假期接待观众人次的年平均增长率为x，利用增长率模型列一元二次方程即可．
15．（2025·龙湖模拟）如图，，是平行四边形的边上的两点，连接，交于点，的面积为，的面积为，四边形的面积为，则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：如图，连接．
，
．
的面积为，的面积为，
．
，
的面积为．
的面积为．
又的面积为，的面积为，四边形的面积为，
阴影部分的面积．
故答案为：．
【分析】连接．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得，结合已知可求得三角形的面积，由平行四边形的性质可得S ABCD=2S△BOE，然后根据阴影部分的面积的构成可求解．
16．（2025·龙湖模拟）计算： ．
【答案】解：原式
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】先根据一个数的负指数幂等于正指数幂的倒数，一个不等于零的数的零指数幂为1，一个数的绝对值是非负数，特殊角三角函数值sin60°= ，求出各项的值即可．
17．（2025·龙湖模拟）如图，在中，，，．
（1）利用尺规在上找到一点E，使得（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连接，则的面积为________．
【答案】（1）解：如图，点E即为所求；
（2）6
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】（2）解：连接，如图：
设，
∵，，
在中，则有，
∴，
∴，
∴的面积．
故答案为：6．
【分析】
（1）作线段的垂直平分线交于点E，连接即可；
（2）设，在Rt△ABE中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程求出x的值，由线段的和差BE=BC-CE求出BE的值，然后根据S△ABE=AB·BE计算即可求解．
（1）解：如图，点E即为所求；
（2）解：连接，如图：
设，
∵，，
在中，则有，
∴，
∴，
∴的面积．
故答案为：6．
18．（2025·龙湖模拟）列方程解决实际问题：
2024年12月2日，中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》发布官方吉祥物形象“巳（sì）升升”，祝福全球华人在新的一年如意康宁，好事连连.2025蛇年春晚吉祥物的设计是从中华传统文化中寻找的灵感，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，其形象既憨态可掬，又富有古意．
某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元．若顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，则A，B两款吉祥物的单价分别是多少元？
【答案】解：设一个B款吉祥物的售价为x元，则一个A款吉祥物的售价为元．
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合实际意义，
∴．
答：每个B款吉祥物的售价为60元，每个A款吉祥物的售价为80元．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】
设一个B款吉祥物的售价为x元，则一个A款吉祥物的售价为元，根据题中的相等关系"顾客花800元购买A款吉祥物的数量=花600元购买B款吉祥物的数量"列出关于x的分式方程，解这个分式方程并检验即可求解．
19．（2025·龙湖模拟）某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中只选出一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
类别 A B C D E
节目类型 新闻 体育 动画 娱乐 戏曲
人数 12 30 m 54 9
请你根据以上的信息，回答下列问题：
（1）被调查学生的总数为 人，统计表中m的值为 ，统计图中n的值为 ；
（2）在统计图中，E类所对应扇形的圆心角的度数为 ；
（3）喜爱体育电视节目的学生中有4人（甲、乙、丙、丁）在学校参加体育训练，现要从4个人中选拔两人代表参加市运动会，求出甲丙同时被选中的概率是多少．（用列表法或树状图法求概率）
【答案】（1）150，45，36
（2）21.6°
（3）解：画树状图，如图所示：
共有12种等可能的结果，其中甲丙同时被选中的结果有2种，
∴甲丙同时被选中的概率为＝．
【知识点】统计表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：被调查的学生总数为：30÷20%＝150（人），
则m＝150﹣（12＋30＋9＋54）＝45，n%＝54÷150×100%＝36%，
∴n＝36，
故答案为：150，45，36；
（2）解：E类所对应扇形的圆心角的度数为360°×＝21.6°，
故答案为：21.6°；
【分析】（1）用B类别人数除以占比得到被调查学生的总数，然后用总人数减去喜爱其它类型的人数得到m值，再求出喜爱娱乐节目的占比即可求出n；
（2）用360°乘以E类别人数占比解答即可；
（3）画树状图得到所有等可能结果数，找出符合条件的结果数，根据概率公式解答．
（1）解：被调查的学生总数为：30÷20%＝150（人），
则m＝150﹣（12＋30＋9＋54）＝45，n%＝54÷150×100%＝36%，
∴n＝36，
故答案为：150，45，36；
（2）解：E类所对应扇形的圆心角的度数为360°×＝21.6°，
故答案为：21.6°；
（3）解：画树状图，如图所示：
共有12种等可能的结果，其中甲丙同时被选中的结果有2种，
∴甲丙同时被选中的概率为＝．
20．（2025·龙湖模拟）小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征．
（1）若光从真空射入某介质，入射角为，折射角为，且，，求该介质的折射率；
（2）现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出．如图②，已知，，求截面的面积．
【答案】（1）∵，∴如图，
设，则，
由勾股定理得，，
∴，
又∵，
∴，
∴折射率为：．
（2）解：根据折射率与（1）的材料相同，可得折射率为，
∵，
∴，
∴．
∵四边形是矩形，点O是中点，
∴，，
又∵，
∴，
在中，设，，
由勾股定理得，，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴截面的面积为：．
【知识点】勾股定理；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）根据余弦的定义设，则，利用勾股定理求出a的值，根据正弦的定义解答即可；
（2）根据折射率得到，即可求出，在中，设，，利用勾股定理求出DC长，再根据正切解答即可．
（1）∵，
∴如图，
设，则，由勾股定理得，，
∴，
又∵，
∴，
∴折射率为：．
（2）根据折射率与（1）的材料相同，可得折射率为，
∵，
∴，
∴．
∵四边形是矩形，点O是中点，
∴，，
又∵，
∴，
在中，设，，
由勾股定理得，，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴截面的面积为：．
21．（2025·龙湖模拟）如图，是的直径，点C在上，是的切线，平分交于点D，交于点F．
（1）求证：．
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：如图，由BE平分∠ABC，
是的直径，
是的切线
．
（2）解：如图，过点作于点，
平分
，
设，则
在中
解得
当时，，不合题意，舍去
，
即CD的长为．

【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得，根据对顶角相等可得，由直径所对的圆周角是直角可得，由切线的性质“圆的切线垂直于经过切点的半径”可得，然后根据等角的余角相等可得，再根据等角对等边即可求解；
（2）过点作于点，根据锐角三角函数可得，结合已知设，则，在中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程求出x的值，然后根据DC=DG=3x即可求解．
（1）如图，由BE平分∠ABC，
是的直径，
是的切线
．
（2）如图，过点作于点，
平分
，
设，则
在中
解得
当时，，不合题意，舍去
，
即CD的长为．
22．（2025·龙湖模拟）【知识技能】
（1）如图1，在矩形中，，，点是边的中点，点是边上的一个动点，将沿直线翻折，点落在点处．求证：．
【数学理解】
（2）在（1）的条件下，连接，若，求的最小值．
【拓展延伸】
（3）如图2，在（1）的条件下，若，连接，延长交对角线于点，当时，求的长．
【答案】（1）证明：∵是的中点，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，
∴．
（2）如图，连接，，
∵，
∴在以为直径，为圆心的圆上运动，
∴当在上时，的值最小．
∵，，
∴，则，
∴的最小值为；
（3）在矩形中，，，
∴四边形是正方形，
如图，过点作于点，
∵是正方形的对角线，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
则，
∵，
由（2）可得是的直径，在上，则，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∴，
∴，则．
∴．
【知识点】圆周角定理；四边形的综合；已知正切值求边长
【解析】【分析】（1）根据折叠的性质和等边对等角以及三角形内角和定理可得，然后根据平行线的判定"内错角相等，两直线平行"即可求解；
（2）连接，，结合已知可得在以为直径，为圆心的圆上运动，当在上时，的值最小．在Rt△PBC中，用勾股定理求得的长，然后结合线段的和差即可求解；
（3）过点作于点，勾股定理求得，根据，则，设，则，，根据得出，即可得出，根据线段的和差计算即可求解．
23．（2025·龙湖模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，在第一象限的抛物线上取一点，过点作轴于点，交于点．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）是否存在点，使得和相似？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）是第一象限内抛物线上的动点（不与点重合），过点作轴的垂线交于点，连接，当四边形为菱形时，求点的横坐标．
【答案】（1）解：令，则，
解得：；
令，则
∴，
把，代入，得：
解得：
∴这条抛物线所对应的函数表达式为：；
（2）解：存在点，使得和相似．
设点，则，，
∴，，，，
∵和相似，
∴或
①如图1，当时，
∴
∴点纵坐标为6
∴，解得：或
∴
②如图2，当时，
过B作于H
∴
∴
∴
∴，
解得：（舍去）或
∴
综上可得，点的坐标为或．
（3）如图3，∵四边形为菱形
∴，，
设点，，，
∴，
∴，即
∵
∴，即或
∵，
∴，
∴
过点作于
∴
∴
∴，即
∴
∵
∴
∴
解得：（不合题意，舍去）或，
∴
答：点的横坐标为.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；解直角三角形—边角关系；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）由题意，分别令y=0、x=0可出A、B两点的坐标，然后用待定系数法即可求解；
（2）由对顶角的性质性质知，若存在和相似，则有和两种情况，然后分情况讨论，根据相似三角形的性质求解即可；
（3）设点，，，，则，，根据菱形的性质得出，可求出，过点作于，可得，利用等角的余弦值相等得出，求出，根据菱形的性质得出，解方程求出m的值即可．
（1）解：令，则，则；令，则
∴，
把，代入，得：
解得：
∴这条抛物线所对应的函数表达式为：；
（2）解：存在点，使得和相似．
设点，则，，
∴，，，，
∵和相似，
∴或
①如图1，当时，
∴
∴点纵坐标为6
∴，解得：或
∴
②如图2，当时，
过B作于H
∴
∴
∴
∴，解得：（舍去）或
∴
综上所述，点的坐标为或．
（3）如图3，∵四边形为菱形
∴，，
设点，，，
∴，
∴，即
∵
∴，即或
∵，
∴，
∴
过点作于
∴
∴
∴，即
∴
∵
∴
∴
解得：（不合题意，舍去）或
故
答：点的横坐标为
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