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浙江省山海联盟2025年初学业水平中考试模拟卷（五）数学科试题
1．（2025·浙江模拟）中国人使用负数的历史悠久，两千多年前的秦汉时期就明确记载了负数的概念及其运算规则，-2025的绝对值是（　　）
A．-2025 B．2025 C． D．
2．（2025·浙江模拟）2024年，DeepSeek一V3模型发布，爆火全球，据AI数据统计，截止到2025年2月9日，该应用的下载量超过1.1亿次，周活跃用户达到了9700万.其中数据“9700万”用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·浙江模拟）下列计算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·浙江模拟）下列因式分解中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·浙江模拟）圆圆同学把一个三角形的三条边长都扩大为原来的5倍，得到的新三角形的面积（　　）
A．扩大为原来的5倍 B．扩大为原来的15倍
C．扩大为原来的20倍 D．扩大为原来的25倍
6．（2025·浙江模拟）某校数学探究社团共有40位成员，成员的年龄分布如下表所示.
年龄（岁） 12 13 14 15
频数 x 15-x 10 y
当x取不同的数值时，下列关于成员年龄的统计量不会发生改变的是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．标准差
7．（2025·浙江模拟）已知反比例函数的图象上有两点.若，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·浙江模拟）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列说法正确的是（　　）
A．若OA·OC=OB·OD，则BC//AD B．若OA·BD=OB·AC，则BC//AD
C．若OA·OB=OC·OD，则BC//AD D．若OA·OD=OB·OC，则BC//AD
9．（2025·浙江模拟）已知二次函数，，则下列结论正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．（2025·浙江模拟）如图，圆O的两条直径AB⊥CD，E是半径OD上的一点，延长AE交圆O于点F，连结CF交AB于点G.已知OE：ED=1：3，则OG：GB为（　　）
A．3：1 B．3：2 C．2：1 D．1：1
11．（2025·浙江模拟）计算：=　 　.
12．（2025·浙江模拟）如图，直线a//b，∠1=55°，∠2=40°，则∠3=　 　.
13．（2025·浙江模拟）某校举办“我爱歌唱”比赛，决定从已报名的一名男生和三名女生中选出两名同学担任比赛的主持人，则恰好选出一男一女的概率是：　 　.
14．（2025·浙江模拟）数学经典著作《九章算术》中有一道著名的“引葭（jiā）赴岸”题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐：问水深、葭长各几何？”意思为：如图，有一池塘，底面是边长为一丈（一丈等于十尺）的正方形，池的中央生有一棵芦苇，高出水面一尺，若将芦苇引到池边中点处，正好与岸边齐平，则水深为　 　尺.
15．（2025·浙江模拟）如图，反比例函数与一次函数（k为常数，且）的图象相交于，两点.若将直线AB向上平移个单位长度后，与反比例函数的图象没有交点，则t的取值范围是　 　.
16．（2025·浙江模拟）如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，将△MAB绕点A顺时针方向旋转90°，得到△NAD，连结MN，交对角线AC于点O，交AD于点E.若CM=4，AE=5，则AB=　 　；OM：OE：EN=　 　.
17．（2025·浙江模拟）以下是圆圆同学解不等式的解答过程：
解：去分母，得.
移项，得.
合并同类项，得.
两边都除以，得.
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程.
18．（2025·浙江模拟）已知m=x2-3，n=4x-6.
（1）求2m-3n.
（2）求当x满足什么条件时，2m-3n=2.
19．（2025·浙江模拟）每年的11月21日是世界问候日，核心理念是通过问候，传递善意与友好.某校从以下四个方面：A：问候他人，B：传递善意，C：跨文化交流，D：社交媒体传播，对九（1）班的学生进行了随机抽样调查，了解学生在这四个方面最关注的问题（每人仅需选择一项），以下是学校收集数据后，绘制的不完整的统计图表，根据提供的信息解答下列问题：
关注问题 频数 频率
A 24 a
B 12 0.2
C b 0.1
D 18 c
（1）表中的a= ▲ ；b= ▲ .请补全条形统计图。
（2）如果学校有2000名学生，那么根据题目提供的信息，估计该校最关注“社交媒体传播”的学生有多少人
20．（2025·浙江模拟）如图，在△ABC纸片中，∠BAC=90°，D是斜边BC上一点，将△ACD沿AD折叠，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，已知DF⊥AB.
（1）求证：△DEB∽△FEA.
（2）若D是斜边BC的中点，求证：四边形ACDF是菱形.
21．（2025·浙江模拟）已知反比例函数的图像经过（-3，2），（m，n）两点.
（1）当时，求n的取值范围.
（2）设一次函数，当时，比较与的大小.
22．（2025·浙江模拟）如图，D是平行四边形BCEF的边FE的中点，连结BD并延长，交CE的延长线于点A，连结CF交BD于点H.
（1）求证：AH=2BH.
（2）过点B作BG⊥CE于点G，若G是CE的中点，tan∠BCG=3，求tanA的值.
23．（2025·浙江模拟）已知二次函数，正比例函数.
（1）求证：二次函数的顶点在的图象上.
（2）若函数，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，求m的取值范围.
（3）若点都在（2）中函数y的图象上，且，求n的取值范围（结果用含m的代数式表示）.
24．（2025·浙江模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，O为边AB上一点，以OA为半径作圆O，分别交BC，AB，AC于点D，E，F，已知AD为∠BAC的平分线.
（1）求证：BC与圆O相切.
（2）连结OF，若OF⊥AD，求的值.
（3）若BD=5，CD：AC=1：2，求圆O的周长.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解： 我们把一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值 我们把一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值 我们把一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值把一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值。
∵-2025在数轴上对应的点到原点的距离是2025
∴|-2025|=2025，B正确.
故答案为：B.
【分析】本题考查绝对值的概念，找到-2025在数轴上对应的点，因为该点到原点的距离为2025，所以可得-2025的绝对值是2025。
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：∵9700万=97000000
∴由科学记数法的表示可得，，C正确.
故答案为：C.
【分析】对于较大的数，为读写方便，可以表示为a（1≤a＜10）与10的幂相乘的积的形式遇到一些较大的数，为读写方便，我们常用带一位整数的数与10 的乘方的，这样的表示方法就是科学记数法。
3．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，不是同类项不能进行合并，A错误；
B、，因此，B正确；
C、，C错误；
D、，D错误.
故答案为：D.
【分析】本题考查整式的乘方运算，与不是同类项，不能进行合并；，考查单项式的除法；积的乘方等于乘方的积的形式，，所以；可以直接进行化简，也可以利用完全平方公式进行化简。
4．【答案】D
【知识点】因式分解的正确性判断
【解析】【解答】解：A、等式右边没有写成几个整式的积的形式，不符合分因式分解的要求，A错误；
B、，右边≠左边，B错误；
C、，C错误；
D、，D正确.
故答案为：D.
【分析】把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫作因式分解。检验因式分解是否正确，只要看等式右边几个整式相乘的积与左边的多项式是否相等。
5．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定-SSS
【解析】【解答】解：∵三角形的三条边都扩大为原来的5倍，令
∴新三角形与原三角形三边对应成比例，即
∴新三角形与原三角形相似，且相似比是5
∴
∴D正确.
故答案为：D.
【分析】本题考查相似三角形的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似，因此新三角形与原三角形相似，相似三角形的面积之比等于相似比的平方，因为新三角形的每条边长均扩大了5倍，可以得到新三角形的面积比原三角形的面积扩大了25倍。
6．【答案】B
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：∵12岁与13岁的成员一共15人，14岁的成员有10人，社团共有40位成员
∴15岁的成员有15人，即y=15
∵x的取值范围是0≤x≤15，且x为整数
∴当x取不同的数值时，平均数、方差、标准差都会发生改变
∴B正确
故答案为：B.
【分析】表格中已将学生年龄进行排序，社团中有40位成员，因此中位数是第20位与第21位学生的年龄，根据表格信息可知，第20位与第21位学生的年龄均为14岁，因此，即使x取不同的数值，中位数不会发生变化。
7．【答案】A
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数
∴该反比例函数图象在第一、三象限，两条曲线关于原点成中心对称，且在每个象限内，y随x的增大而减小
∵图象上有两点且
∴与互为相反数，即点与关于原点成中心对称
∴，A正确.
故答案为：A.
【分析】由已知条件反比例函数图象上有两点且，即与互为相反数，反比例函数图象双曲线是关于原点成中心对称的，关于原点成中心对称的两个点的特点是，若其中一个点为（x，y），则其对称点为（-x，-y），因此可以推得与的数量关系.
8．【答案】C
【知识点】平行线的判定；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：在△AOD与△COB中，
∵OA·OB=OC·OD，即，且∠AOD=∠COB
∴△AOD∽△COB
∴∠OAD=∠OCB
∴BC//AD，C正确.
故答案为：C.
【分析】首先根据两组边对应成比例，且两边的夹角相等，可以推得△AOD∽△COB，由相似三角形的性质定理可得，相似三角形对应角相等，得到一组内错角∠OAD与∠OCB相等，因此可以推出AD//BC.
9．【答案】B
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：令
若，则恒成立，即，无论x取何值，恒有y＜0
①当a=1时，y=(b-a)x-4，该函数图象为一条直线，若b=a，则y=-4＜0；若b≠a，由图象可得必存在y＞0的情况，因此a≠1.
②当a＞1时，的函数图象为一条开口向上的抛物线，且与y轴交于（0，-4），由图象可得必存在y＞0的情况，因此a＞1不成立.
③当a＜1时，的函数图象为一条开口向下的抛物线，若无论x取何值恒有y＜0，则，即，
选项A、若 ，即，假设b=99，a=-1，则，，此时，A错误；
选项B、 若，即-2＜a＜0，-2＜b＜0，a＜b，因此0＜b-a＜2，所以，由于a＜1，则1-a＞0，16(1-a)＞16，此时成立，B正确；
选项C、 若，假设b=100.5，a=0.5，则，，此时，C错误；
选项D、 若， 因此0＜b-a＜2，所以，假设，，此时，D错误.
故答案为：B.
【分析】通过分析选项发现均需要判断，因此可以取一个新函数，若，则恒成立，即无论x取何值，恒有y＜0。接下来需要考虑a与1的数量关系，从而确定的函数图象，分析图象可得，只有当a＜1且，即，时，可能出现y＜0恒成立的情况。最后判断每一个选项中a、b的取值范围是否能得到y＜0恒成立，对于假命题，可以采用举反例的方法，找到一组能验证命题为错误的a、b的值即可，也就是将a、b的值分别代入，若，则命题不成立。若要要验证命题成立，需要通过证明的方法，若，即-2＜a＜0，-2＜b＜0，a＜b，借助a、b在数轴上的位置可得0＜b-a＜2，因此，由于a＜1，则1-a＞0，16(1-a)＞16，此时成立，因此B选项正确。
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定-AA；圆与三角形的综合
【解析】【解答】解：连结BF，过点F作FH⊥CD，垂足为H
∵AB为圆O直径，AB⊥CD
∴△AOE∽△AFB ∴
∵ OE：ED=1：3
∴OE=a，ED=3a，则OD=AO=4a，AE=
∴∴，
∵△AOE∽△FHE ∴∴，
∴
∵△COG∽△CHF ∴∴∴，
∴OG：GB=3：2，B正确
故答案为：B.
【分析】本题从OE：ED=1：3出发，可以求出△AOE的三边长，连结BF，利用相似三角形的性质或者锐角三角函数可以求出△ABF的三边长，过点F作FH⊥CD，利用△AOE∽△FHE，求出△EFH的边长，再构造相似三角形△COG与△CHF，求出OG的长度，从而得到OG与GB的比值。
11．【答案】5
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：==5.
故答案为：5.
【分析】根据二次根式的基本性质解答即可.
12．【答案】85°
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：
∵直线a//b
∴∠1=∠4=55°，∠2=∠5=40°
∵∠3+∠4+∠5=180°
∴∠3=85°
故答案为：85°.
【分析】本题可以利用平行线的性质定理，得到两直线平行同位角相等，即∠1=∠4，∠2=∠5，再根据平角的意义，计算出∠3的度数。
13．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：利用列表法，得
第1次/
第2次 男 女1 女2 女3
男 / 女1，男 女2，男 女3，男
女1 男，女1 / 女2，女1 女3，女1
女2 男，女2 女1，女2 / 女3，女2
女3 男，女3 女1，女3 女2，女3 /
一共有12种可能性，其中一男一女的情况有6种
∴
故答案为：.
【分析】求简单事件发生的概率时，可以列表或画树状图表示结果，避免重复或遗漏，先确定结果总数n，再确定事件A包含其中的结果数m（m≤n），事件A发生的概率为。
14．【答案】12
【知识点】“引葭赴岸”模型；勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【解答】解：设水深为x尺，芦苇长为（x+1）尺
由题意可列方程，，解得x=12
因此，水深为12尺.
故答案为：12.
【分析】本题根据已知条件，“十尺的池塘中间有一棵芦苇”，得芦苇根部到池边的距离为5尺，“芦苇高出水面一尺”，得水深为x尺，芦苇高度为（x+1）尺，“将芦苇引到池边与岸齐平”，构成一个直角三角形，利用勾股定理便可求出水深。
15．【答案】1＜t＜9
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵反比例函数与一次函数相交于，两点
∴m=-4，n=-4，即A（-4，-1）B（-1，-4）
把A，B代入，得，解得
∴
∵ 将直线AB向上平移个单位长度 ∴y=-x-5+t
∵ 平移后的直线与反比例函数的图象没有交点
∴，化简得，，此时
∴，，解得.
故答案为：.
【分析】因为反比例函数与一次函数相交于，两点，可以通过A、B两点的坐标求出一次函数的函数解析式，将直线AB向上平移t个单位，可得平移后的新直线表达式y=-x-5+t，若平移后的直线与反比例函数的图象没有交点 ，则方程无解，化简得无实数根，，代入得，解出t的取值范围即可。
16．【答案】6；4：5：3
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：过点M作MH⊥AD于点H
∵四边形ABCD为正方形
∴AB=BC
∵CM=4，AE=5，设BM=x
∴BC=AB=AD=4+x，EH=5-x，DE=AD-AE=x-1
∵△NAD由△MAB绕点A顺时针旋转90°得到 ∴
∵MH⊥AD ∴易证得∴∴ ，即 解得
∴AB=4+2=6
∵易证得 ，且CM=4，AE=5
∴
∴OM=4a，OE=5a，ME=OM+OE=9a
∵，且DN=2，MH=6
∴
∴
∴ OM：OE：EN= 4：5：3
故答案为：6；4：5：3.
【分析】（1）由四边形ABCD为正方形，且CM=4，AE=5，若设BM=x，则可用含x的未知数表示正方形的边长，接着尝试构造相似三角形，过点M作MH⊥AD，于是可得，其中的对应边DN与MH，DE与EH均可以用含x的代数式表示，根据相似三角形对应边成比例的性质可以列出方程求解x的值，从而得到AB的长度。
（2）OM与OE是的对应边，由相似三角形的性质可以求得OM与OE的比值，根据第一空已证得，因此可得对应边EN与EM的比值，从而便能求出OM、OE、EN三条线段之间的比值。
17．【答案】解：圆圆的解答过程有错误.
正确的解答过程如下：
去分母，得 .
移项，得 .
合并同类项，得 .
两边都除以 -3，得
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】本题考查解一元一次不等式的基本步骤，去分母时需要将不等式两边每一项都乘以2，再进行移项与合并同类项，最后将x的系数化为1时，不等式两边同除以-3，根据不等式的基本性质不等式要改变符号，即可求出x的取值范围.
18．【答案】（1）解： 2m-3n=2(x2-3)-3(4x-6)
=2x2-6-12x+18
=2x2-12x+12
（2）解：由，
得.
化简， 得.
解得，.
当或时，.
【知识点】整式的加减运算；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）求代数式2m-3n时，需要将m与n整体代入，再进行去括号、合并同类项等步骤化简代数式。去括号时，如果括号前是负号“-”，则要改变括号内每一项的符号。
（2）将2m-3n=2代入2m-3n=2x2-12x+12，选择合适的方法求解一元二次方程即可。
19．【答案】（1）解：0.4；6；补全条形统计图如图
（2）解：由图表得.关注”社交媒体传播”的学生的频率为18÷60=0.3，
∴该校最关注”社交媒体传播”的学生大约有2000×0.3=600（人）
【知识点】频数与频率；条形统计图；用样本的频数估计总体的频数
【解析】【分析】（1）由，根据表格中B类问题已知频数为12人，频率为0.2，可以计算出九（1）班抽样调查选取的总人数，再根据总人数和A类问题的频数求得对应的频率，同时，根据总人数和频率求得C类问题对应的频数，最后将求得的频数补充到条形统计图中。
（2）此题考查用样本估计整体时，根据抽样可得，可以先算出60人中关注“社交媒体传播”的频率，再估计学校2000名学生中关注“社交媒体传播”的人数。
20．【答案】（1）证明：∵，
∴.
∵.
∴，∴.
又由折叠可知，
∴.
又∵，
∴
（2）证明：∵D是斜边BC的中点，
∴AD=CD=BD
∵由（1）得，∴AF//CB
又∵，∴AC//DF
∴四边形ACDF为平行四边形
∵折叠 ∴∴AC=AF
四边形ACDF是菱形
【知识点】菱形的判定；平行线的判定与性质的应用-折叠问题；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）由直角三角形的性质定理，可得直角三角形的两个锐角互余，因此，根据 DF⊥AB ，由垂直的意义可得，同角的余角相等，因此，由折叠可得，所以根据三角形相似的判定定理，求得.
（2）根据平行线的判定定理，由可得AF//CB，再利用同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，可得AC//DF，因此可以证明四边形ACDF为平行四边形，因为△AFD是由△ACD翻折得到，所以AC=AF，一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可证明四边形ACDF是菱形.
21．【答案】（1）解：∵反比例函数的图象经过点(-3，2).
∴.
∴的函数表达式为.
∵.
∴图象位于第二、四象限，
在图象所在的每个象限内，y随x的增大而增大，
∴当时，
（2）解：由 可知，
直线经过点 (-3，2).
∵ 与 函数图象的一个交点为 (-3，2).
又 ∵， ∴ 随 x 的增大而减小.
∴ 当 时，；
当 时，；
当 时，
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）由反比例函数的图像经过（-3，2），可求出k的值，，因此可以判断该反比例函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，当时，利用函数图象可得，。
（2）对一次函数进行化简，可以发现，不管a取何值，该函数图象总经过（-3，2）。由已知条件可得，反比例函数与一次函数的一个交点即为（-3，2），当x＜0时，当 时，当 ； 时，；当 时，。
22．【答案】（1）证明：∵D是FE的中点，
∴DF=DE.
∵四边形BCEF是平行四边形.
∴BF//AC.
∴，.
∴.
∴.
∵BF//AC
∴.
∴.
∴
（2）解：∵G是CE的中点，
∴EC=2EG=2CG.
设EG=CG=x， 则FB=EC=2x.
∵.
∴BG=3CG=3x.
∴AE=BF=CE.
∴AE=2x，AG=AE+EG=3x，
∴AG=BG.
又∵BGCE，
∴是等腰直角三角形.
，
【知识点】求特殊角的三角函数值；正切的概念；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质定理以及已知条件“D为EF的中点”，可以证得，因此，即AC=2BF，又因为BF//AC，易证得，由相似三角形对应边成比例，可得相似比为，因此可以证得 AH=2BH .
（2）根据G是CE的中点，可得CE=2CG，由（1）得CE=EA，所以CA=4CG，GA=3CG，又根据 BG⊥CE ，tan∠BCG=3 ，得BG=3CG，△ABG为等腰直角三角形，∠A=45°，因此.
23．【答案】（1）证明：∵.
∴顶点坐标为.
∴该函数图象的顶点在直线上
（2）解：∵，
∴对称轴为直线.
∴当时，y随x的增大而减小；
当时，y随x的增大而增大.
∵当时，y随x的增大而减小；
当时，y随x的增大而增大.
∴，则
（3）解：∵，
且点M，N都在函数y的图象上.
∴.
.
∴，
∴.
令，转化为求当在直线上方时，n的取值范围.
当时，
.
∴或.
又∵，
∴或
【知识点】列二次函数关系式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）可以用顶点坐标公式，也可以用配方法将二次函数一般式转化为顶点式，求得二次函数的顶点坐标，再将顶点的横坐标代入正比例函数中，恰好等于顶点的纵坐标，即可证明二次函数的顶点在的图象上 .
（2）由，得到新函数，可以求出该函数图象的对称轴，因为当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，所以对称轴，解得。
（3）已知点都在（2）中函数y的图象上，得，，因为，所以，可以将这个不等式转化为w关于n的函数的函数值大于6时，n的取值范围，可以发现此二次函数图象开口向上，当w=6时，即，化简得，解得或，因此若，则或.
24．【答案】（1）证明：如图1.连结OD.
图1
平分 ，
又 是圆 的半径．
与圆O相切
（2）解：∵，
∴.
∴，，
∴.
∴.
（3）解：如图，连结DE.过点D作DT⊥AB于点T.
是直径． ．
设 ，则 ．
圆 的周长为
【知识点】垂径定理；圆周角定理；切线的判定；圆的综合题
【解析】【分析】（1）连结OD，由角平分线的意义得，，又因为OD=OA，所以，因此可以推得，则，根据已知条件∠C=90° ，得∠ODC=90 °，即可证得BC与圆O相切。
（2）由OF⊥AD， AD为∠BAC的平分线 ，根据垂径定理和圆周角定理可得，所以，，则∠B=30°，因此△BDA是等腰三角形，所以，△ACD的面积为，△ABD的面积为，因此。
（3）要求圆O的周长，需要求出圆O的半径，根据AE是圆O的直径，可得，因为∠C=90°，，所以由，可得，因此可以利用边长关系求得直径AE，设，则，又因为过点D作DT⊥AB，所以DT：AT=1：2，因此，因为半径为，所以，可得，解得，从而可以算出圆O的半径为，便能求出圆O的周长。
1 / 1浙江省山海联盟2025年初学业水平中考试模拟卷（五）数学科试题
1．（2025·浙江模拟）中国人使用负数的历史悠久，两千多年前的秦汉时期就明确记载了负数的概念及其运算规则，-2025的绝对值是（　　）
A．-2025 B．2025 C． D．
【答案】B
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解： 我们把一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值 我们把一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值 我们把一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值把一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值。
∵-2025在数轴上对应的点到原点的距离是2025
∴|-2025|=2025，B正确.
故答案为：B.
【分析】本题考查绝对值的概念，找到-2025在数轴上对应的点，因为该点到原点的距离为2025，所以可得-2025的绝对值是2025。
2．（2025·浙江模拟）2024年，DeepSeek一V3模型发布，爆火全球，据AI数据统计，截止到2025年2月9日，该应用的下载量超过1.1亿次，周活跃用户达到了9700万.其中数据“9700万”用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：∵9700万=97000000
∴由科学记数法的表示可得，，C正确.
故答案为：C.
【分析】对于较大的数，为读写方便，可以表示为a（1≤a＜10）与10的幂相乘的积的形式遇到一些较大的数，为读写方便，我们常用带一位整数的数与10 的乘方的，这样的表示方法就是科学记数法。
3．（2025·浙江模拟）下列计算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，不是同类项不能进行合并，A错误；
B、，因此，B正确；
C、，C错误；
D、，D错误.
故答案为：D.
【分析】本题考查整式的乘方运算，与不是同类项，不能进行合并；，考查单项式的除法；积的乘方等于乘方的积的形式，，所以；可以直接进行化简，也可以利用完全平方公式进行化简。
4．（2025·浙江模拟）下列因式分解中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的正确性判断
【解析】【解答】解：A、等式右边没有写成几个整式的积的形式，不符合分因式分解的要求，A错误；
B、，右边≠左边，B错误；
C、，C错误；
D、，D正确.
故答案为：D.
【分析】把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫作因式分解。检验因式分解是否正确，只要看等式右边几个整式相乘的积与左边的多项式是否相等。
5．（2025·浙江模拟）圆圆同学把一个三角形的三条边长都扩大为原来的5倍，得到的新三角形的面积（　　）
A．扩大为原来的5倍 B．扩大为原来的15倍
C．扩大为原来的20倍 D．扩大为原来的25倍
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定-SSS
【解析】【解答】解：∵三角形的三条边都扩大为原来的5倍，令
∴新三角形与原三角形三边对应成比例，即
∴新三角形与原三角形相似，且相似比是5
∴
∴D正确.
故答案为：D.
【分析】本题考查相似三角形的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似，因此新三角形与原三角形相似，相似三角形的面积之比等于相似比的平方，因为新三角形的每条边长均扩大了5倍，可以得到新三角形的面积比原三角形的面积扩大了25倍。
6．（2025·浙江模拟）某校数学探究社团共有40位成员，成员的年龄分布如下表所示.
年龄（岁） 12 13 14 15
频数 x 15-x 10 y
当x取不同的数值时，下列关于成员年龄的统计量不会发生改变的是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．标准差
【答案】B
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：∵12岁与13岁的成员一共15人，14岁的成员有10人，社团共有40位成员
∴15岁的成员有15人，即y=15
∵x的取值范围是0≤x≤15，且x为整数
∴当x取不同的数值时，平均数、方差、标准差都会发生改变
∴B正确
故答案为：B.
【分析】表格中已将学生年龄进行排序，社团中有40位成员，因此中位数是第20位与第21位学生的年龄，根据表格信息可知，第20位与第21位学生的年龄均为14岁，因此，即使x取不同的数值，中位数不会发生变化。
7．（2025·浙江模拟）已知反比例函数的图象上有两点.若，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数
∴该反比例函数图象在第一、三象限，两条曲线关于原点成中心对称，且在每个象限内，y随x的增大而减小
∵图象上有两点且
∴与互为相反数，即点与关于原点成中心对称
∴，A正确.
故答案为：A.
【分析】由已知条件反比例函数图象上有两点且，即与互为相反数，反比例函数图象双曲线是关于原点成中心对称的，关于原点成中心对称的两个点的特点是，若其中一个点为（x，y），则其对称点为（-x，-y），因此可以推得与的数量关系.
8．（2025·浙江模拟）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列说法正确的是（　　）
A．若OA·OC=OB·OD，则BC//AD B．若OA·BD=OB·AC，则BC//AD
C．若OA·OB=OC·OD，则BC//AD D．若OA·OD=OB·OC，则BC//AD
【答案】C
【知识点】平行线的判定；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：在△AOD与△COB中，
∵OA·OB=OC·OD，即，且∠AOD=∠COB
∴△AOD∽△COB
∴∠OAD=∠OCB
∴BC//AD，C正确.
故答案为：C.
【分析】首先根据两组边对应成比例，且两边的夹角相等，可以推得△AOD∽△COB，由相似三角形的性质定理可得，相似三角形对应角相等，得到一组内错角∠OAD与∠OCB相等，因此可以推出AD//BC.
9．（2025·浙江模拟）已知二次函数，，则下列结论正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：令
若，则恒成立，即，无论x取何值，恒有y＜0
①当a=1时，y=(b-a)x-4，该函数图象为一条直线，若b=a，则y=-4＜0；若b≠a，由图象可得必存在y＞0的情况，因此a≠1.
②当a＞1时，的函数图象为一条开口向上的抛物线，且与y轴交于（0，-4），由图象可得必存在y＞0的情况，因此a＞1不成立.
③当a＜1时，的函数图象为一条开口向下的抛物线，若无论x取何值恒有y＜0，则，即，
选项A、若 ，即，假设b=99，a=-1，则，，此时，A错误；
选项B、 若，即-2＜a＜0，-2＜b＜0，a＜b，因此0＜b-a＜2，所以，由于a＜1，则1-a＞0，16(1-a)＞16，此时成立，B正确；
选项C、 若，假设b=100.5，a=0.5，则，，此时，C错误；
选项D、 若， 因此0＜b-a＜2，所以，假设，，此时，D错误.
故答案为：B.
【分析】通过分析选项发现均需要判断，因此可以取一个新函数，若，则恒成立，即无论x取何值，恒有y＜0。接下来需要考虑a与1的数量关系，从而确定的函数图象，分析图象可得，只有当a＜1且，即，时，可能出现y＜0恒成立的情况。最后判断每一个选项中a、b的取值范围是否能得到y＜0恒成立，对于假命题，可以采用举反例的方法，找到一组能验证命题为错误的a、b的值即可，也就是将a、b的值分别代入，若，则命题不成立。若要要验证命题成立，需要通过证明的方法，若，即-2＜a＜0，-2＜b＜0，a＜b，借助a、b在数轴上的位置可得0＜b-a＜2，因此，由于a＜1，则1-a＞0，16(1-a)＞16，此时成立，因此B选项正确。
10．（2025·浙江模拟）如图，圆O的两条直径AB⊥CD，E是半径OD上的一点，延长AE交圆O于点F，连结CF交AB于点G.已知OE：ED=1：3，则OG：GB为（　　）
A．3：1 B．3：2 C．2：1 D．1：1
【答案】B
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定-AA；圆与三角形的综合
【解析】【解答】解：连结BF，过点F作FH⊥CD，垂足为H
∵AB为圆O直径，AB⊥CD
∴△AOE∽△AFB ∴
∵ OE：ED=1：3
∴OE=a，ED=3a，则OD=AO=4a，AE=
∴∴，
∵△AOE∽△FHE ∴∴，
∴
∵△COG∽△CHF ∴∴∴，
∴OG：GB=3：2，B正确
故答案为：B.
【分析】本题从OE：ED=1：3出发，可以求出△AOE的三边长，连结BF，利用相似三角形的性质或者锐角三角函数可以求出△ABF的三边长，过点F作FH⊥CD，利用△AOE∽△FHE，求出△EFH的边长，再构造相似三角形△COG与△CHF，求出OG的长度，从而得到OG与GB的比值。
11．（2025·浙江模拟）计算：=　 　.
【答案】5
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：==5.
故答案为：5.
【分析】根据二次根式的基本性质解答即可.
12．（2025·浙江模拟）如图，直线a//b，∠1=55°，∠2=40°，则∠3=　 　.
【答案】85°
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：
∵直线a//b
∴∠1=∠4=55°，∠2=∠5=40°
∵∠3+∠4+∠5=180°
∴∠3=85°
故答案为：85°.
【分析】本题可以利用平行线的性质定理，得到两直线平行同位角相等，即∠1=∠4，∠2=∠5，再根据平角的意义，计算出∠3的度数。
13．（2025·浙江模拟）某校举办“我爱歌唱”比赛，决定从已报名的一名男生和三名女生中选出两名同学担任比赛的主持人，则恰好选出一男一女的概率是：　 　.
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：利用列表法，得
第1次/
第2次 男 女1 女2 女3
男 / 女1，男 女2，男 女3，男
女1 男，女1 / 女2，女1 女3，女1
女2 男，女2 女1，女2 / 女3，女2
女3 男，女3 女1，女3 女2，女3 /
一共有12种可能性，其中一男一女的情况有6种
∴
故答案为：.
【分析】求简单事件发生的概率时，可以列表或画树状图表示结果，避免重复或遗漏，先确定结果总数n，再确定事件A包含其中的结果数m（m≤n），事件A发生的概率为。
14．（2025·浙江模拟）数学经典著作《九章算术》中有一道著名的“引葭（jiā）赴岸”题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐：问水深、葭长各几何？”意思为：如图，有一池塘，底面是边长为一丈（一丈等于十尺）的正方形，池的中央生有一棵芦苇，高出水面一尺，若将芦苇引到池边中点处，正好与岸边齐平，则水深为　 　尺.
【答案】12
【知识点】“引葭赴岸”模型；勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【解答】解：设水深为x尺，芦苇长为（x+1）尺
由题意可列方程，，解得x=12
因此，水深为12尺.
故答案为：12.
【分析】本题根据已知条件，“十尺的池塘中间有一棵芦苇”，得芦苇根部到池边的距离为5尺，“芦苇高出水面一尺”，得水深为x尺，芦苇高度为（x+1）尺，“将芦苇引到池边与岸齐平”，构成一个直角三角形，利用勾股定理便可求出水深。
15．（2025·浙江模拟）如图，反比例函数与一次函数（k为常数，且）的图象相交于，两点.若将直线AB向上平移个单位长度后，与反比例函数的图象没有交点，则t的取值范围是　 　.
【答案】1＜t＜9
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵反比例函数与一次函数相交于，两点
∴m=-4，n=-4，即A（-4，-1）B（-1，-4）
把A，B代入，得，解得
∴
∵ 将直线AB向上平移个单位长度 ∴y=-x-5+t
∵ 平移后的直线与反比例函数的图象没有交点
∴，化简得，，此时
∴，，解得.
故答案为：.
【分析】因为反比例函数与一次函数相交于，两点，可以通过A、B两点的坐标求出一次函数的函数解析式，将直线AB向上平移t个单位，可得平移后的新直线表达式y=-x-5+t，若平移后的直线与反比例函数的图象没有交点 ，则方程无解，化简得无实数根，，代入得，解出t的取值范围即可。
16．（2025·浙江模拟）如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，将△MAB绕点A顺时针方向旋转90°，得到△NAD，连结MN，交对角线AC于点O，交AD于点E.若CM=4，AE=5，则AB=　 　；OM：OE：EN=　 　.
【答案】6；4：5：3
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：过点M作MH⊥AD于点H
∵四边形ABCD为正方形
∴AB=BC
∵CM=4，AE=5，设BM=x
∴BC=AB=AD=4+x，EH=5-x，DE=AD-AE=x-1
∵△NAD由△MAB绕点A顺时针旋转90°得到 ∴
∵MH⊥AD ∴易证得∴∴ ，即 解得
∴AB=4+2=6
∵易证得 ，且CM=4，AE=5
∴
∴OM=4a，OE=5a，ME=OM+OE=9a
∵，且DN=2，MH=6
∴
∴
∴ OM：OE：EN= 4：5：3
故答案为：6；4：5：3.
【分析】（1）由四边形ABCD为正方形，且CM=4，AE=5，若设BM=x，则可用含x的未知数表示正方形的边长，接着尝试构造相似三角形，过点M作MH⊥AD，于是可得，其中的对应边DN与MH，DE与EH均可以用含x的代数式表示，根据相似三角形对应边成比例的性质可以列出方程求解x的值，从而得到AB的长度。
（2）OM与OE是的对应边，由相似三角形的性质可以求得OM与OE的比值，根据第一空已证得，因此可得对应边EN与EM的比值，从而便能求出OM、OE、EN三条线段之间的比值。
17．（2025·浙江模拟）以下是圆圆同学解不等式的解答过程：
解：去分母，得.
移项，得.
合并同类项，得.
两边都除以，得.
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程.
【答案】解：圆圆的解答过程有错误.
正确的解答过程如下：
去分母，得 .
移项，得 .
合并同类项，得 .
两边都除以 -3，得
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】本题考查解一元一次不等式的基本步骤，去分母时需要将不等式两边每一项都乘以2，再进行移项与合并同类项，最后将x的系数化为1时，不等式两边同除以-3，根据不等式的基本性质不等式要改变符号，即可求出x的取值范围.
18．（2025·浙江模拟）已知m=x2-3，n=4x-6.
（1）求2m-3n.
（2）求当x满足什么条件时，2m-3n=2.
【答案】（1）解： 2m-3n=2(x2-3)-3(4x-6)
=2x2-6-12x+18
=2x2-12x+12
（2）解：由，
得.
化简， 得.
解得，.
当或时，.
【知识点】整式的加减运算；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）求代数式2m-3n时，需要将m与n整体代入，再进行去括号、合并同类项等步骤化简代数式。去括号时，如果括号前是负号“-”，则要改变括号内每一项的符号。
（2）将2m-3n=2代入2m-3n=2x2-12x+12，选择合适的方法求解一元二次方程即可。
19．（2025·浙江模拟）每年的11月21日是世界问候日，核心理念是通过问候，传递善意与友好.某校从以下四个方面：A：问候他人，B：传递善意，C：跨文化交流，D：社交媒体传播，对九（1）班的学生进行了随机抽样调查，了解学生在这四个方面最关注的问题（每人仅需选择一项），以下是学校收集数据后，绘制的不完整的统计图表，根据提供的信息解答下列问题：
关注问题 频数 频率
A 24 a
B 12 0.2
C b 0.1
D 18 c
（1）表中的a= ▲ ；b= ▲ .请补全条形统计图。
（2）如果学校有2000名学生，那么根据题目提供的信息，估计该校最关注“社交媒体传播”的学生有多少人
【答案】（1）解：0.4；6；补全条形统计图如图
（2）解：由图表得.关注”社交媒体传播”的学生的频率为18÷60=0.3，
∴该校最关注”社交媒体传播”的学生大约有2000×0.3=600（人）
【知识点】频数与频率；条形统计图；用样本的频数估计总体的频数
【解析】【分析】（1）由，根据表格中B类问题已知频数为12人，频率为0.2，可以计算出九（1）班抽样调查选取的总人数，再根据总人数和A类问题的频数求得对应的频率，同时，根据总人数和频率求得C类问题对应的频数，最后将求得的频数补充到条形统计图中。
（2）此题考查用样本估计整体时，根据抽样可得，可以先算出60人中关注“社交媒体传播”的频率，再估计学校2000名学生中关注“社交媒体传播”的人数。
20．（2025·浙江模拟）如图，在△ABC纸片中，∠BAC=90°，D是斜边BC上一点，将△ACD沿AD折叠，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，已知DF⊥AB.
（1）求证：△DEB∽△FEA.
（2）若D是斜边BC的中点，求证：四边形ACDF是菱形.
【答案】（1）证明：∵，
∴.
∵.
∴，∴.
又由折叠可知，
∴.
又∵，
∴
（2）证明：∵D是斜边BC的中点，
∴AD=CD=BD
∵由（1）得，∴AF//CB
又∵，∴AC//DF
∴四边形ACDF为平行四边形
∵折叠 ∴∴AC=AF
四边形ACDF是菱形
【知识点】菱形的判定；平行线的判定与性质的应用-折叠问题；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）由直角三角形的性质定理，可得直角三角形的两个锐角互余，因此，根据 DF⊥AB ，由垂直的意义可得，同角的余角相等，因此，由折叠可得，所以根据三角形相似的判定定理，求得.
（2）根据平行线的判定定理，由可得AF//CB，再利用同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，可得AC//DF，因此可以证明四边形ACDF为平行四边形，因为△AFD是由△ACD翻折得到，所以AC=AF，一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可证明四边形ACDF是菱形.
21．（2025·浙江模拟）已知反比例函数的图像经过（-3，2），（m，n）两点.
（1）当时，求n的取值范围.
（2）设一次函数，当时，比较与的大小.
【答案】（1）解：∵反比例函数的图象经过点(-3，2).
∴.
∴的函数表达式为.
∵.
∴图象位于第二、四象限，
在图象所在的每个象限内，y随x的增大而增大，
∴当时，
（2）解：由 可知，
直线经过点 (-3，2).
∵ 与 函数图象的一个交点为 (-3，2).
又 ∵， ∴ 随 x 的增大而减小.
∴ 当 时，；
当 时，；
当 时，
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）由反比例函数的图像经过（-3，2），可求出k的值，，因此可以判断该反比例函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，当时，利用函数图象可得，。
（2）对一次函数进行化简，可以发现，不管a取何值，该函数图象总经过（-3，2）。由已知条件可得，反比例函数与一次函数的一个交点即为（-3，2），当x＜0时，当 时，当 ； 时，；当 时，。
22．（2025·浙江模拟）如图，D是平行四边形BCEF的边FE的中点，连结BD并延长，交CE的延长线于点A，连结CF交BD于点H.
（1）求证：AH=2BH.
（2）过点B作BG⊥CE于点G，若G是CE的中点，tan∠BCG=3，求tanA的值.
【答案】（1）证明：∵D是FE的中点，
∴DF=DE.
∵四边形BCEF是平行四边形.
∴BF//AC.
∴，.
∴.
∴.
∵BF//AC
∴.
∴.
∴
（2）解：∵G是CE的中点，
∴EC=2EG=2CG.
设EG=CG=x， 则FB=EC=2x.
∵.
∴BG=3CG=3x.
∴AE=BF=CE.
∴AE=2x，AG=AE+EG=3x，
∴AG=BG.
又∵BGCE，
∴是等腰直角三角形.
，
【知识点】求特殊角的三角函数值；正切的概念；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质定理以及已知条件“D为EF的中点”，可以证得，因此，即AC=2BF，又因为BF//AC，易证得，由相似三角形对应边成比例，可得相似比为，因此可以证得 AH=2BH .
（2）根据G是CE的中点，可得CE=2CG，由（1）得CE=EA，所以CA=4CG，GA=3CG，又根据 BG⊥CE ，tan∠BCG=3 ，得BG=3CG，△ABG为等腰直角三角形，∠A=45°，因此.
23．（2025·浙江模拟）已知二次函数，正比例函数.
（1）求证：二次函数的顶点在的图象上.
（2）若函数，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，求m的取值范围.
（3）若点都在（2）中函数y的图象上，且，求n的取值范围（结果用含m的代数式表示）.
【答案】（1）证明：∵.
∴顶点坐标为.
∴该函数图象的顶点在直线上
（2）解：∵，
∴对称轴为直线.
∴当时，y随x的增大而减小；
当时，y随x的增大而增大.
∵当时，y随x的增大而减小；
当时，y随x的增大而增大.
∴，则
（3）解：∵，
且点M，N都在函数y的图象上.
∴.
.
∴，
∴.
令，转化为求当在直线上方时，n的取值范围.
当时，
.
∴或.
又∵，
∴或
【知识点】列二次函数关系式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）可以用顶点坐标公式，也可以用配方法将二次函数一般式转化为顶点式，求得二次函数的顶点坐标，再将顶点的横坐标代入正比例函数中，恰好等于顶点的纵坐标，即可证明二次函数的顶点在的图象上 .
（2）由，得到新函数，可以求出该函数图象的对称轴，因为当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，所以对称轴，解得。
（3）已知点都在（2）中函数y的图象上，得，，因为，所以，可以将这个不等式转化为w关于n的函数的函数值大于6时，n的取值范围，可以发现此二次函数图象开口向上，当w=6时，即，化简得，解得或，因此若，则或.
24．（2025·浙江模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，O为边AB上一点，以OA为半径作圆O，分别交BC，AB，AC于点D，E，F，已知AD为∠BAC的平分线.
（1）求证：BC与圆O相切.
（2）连结OF，若OF⊥AD，求的值.
（3）若BD=5，CD：AC=1：2，求圆O的周长.
【答案】（1）证明：如图1.连结OD.
图1
平分 ，
又 是圆 的半径．
与圆O相切
（2）解：∵，
∴.
∴，，
∴.
∴.
（3）解：如图，连结DE.过点D作DT⊥AB于点T.
是直径． ．
设 ，则 ．
圆 的周长为
【知识点】垂径定理；圆周角定理；切线的判定；圆的综合题
【解析】【分析】（1）连结OD，由角平分线的意义得，，又因为OD=OA，所以，因此可以推得，则，根据已知条件∠C=90° ，得∠ODC=90 °，即可证得BC与圆O相切。
（2）由OF⊥AD， AD为∠BAC的平分线 ，根据垂径定理和圆周角定理可得，所以，，则∠B=30°，因此△BDA是等腰三角形，所以，△ACD的面积为，△ABD的面积为，因此。
（3）要求圆O的周长，需要求出圆O的半径，根据AE是圆O的直径，可得，因为∠C=90°，，所以由，可得，因此可以利用边长关系求得直径AE，设，则，又因为过点D作DT⊥AB，所以DT：AT=1：2，因此，因为半径为，所以，可得，解得，从而可以算出圆O的半径为，便能求出圆O的周长。
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