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四川省泸州市纳溪区九年级2025年中考适应性考试数学试题
1．（2025·纳溪模拟）下列实数中，最大的数是（　　）
A． B．0 C．1 D．2
2．（2025·纳溪模拟）据统计，泸州老窖2024年前三季度实现销售总额243亿元，其中24300000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·纳溪模拟）以下给出的几何体中，从正面看是长方形，从上面看是圆的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·纳溪模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·纳溪模拟）如图，直线，一把含角的直角三角尺按所示位置摆放，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·纳溪模拟）已知点与点关于原点对称，则抛物线的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·纳溪模拟）我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，下列说法正确的是 　　
A．任意一个四边形的中点四边形是菱形
B．任意一个平行四边形的中点四边形是平行四边形
C．对角线相等的四边形的中点四边形是矩形
D．对角线垂直的四边形的中点四边形是正方形
8．（2025·纳溪模拟）春节四部重磅影片《侠之大者》《战火西岐》《哪吒之魔童闹海》《重启未来》，小明从中随机选择两部影片观看，则这两部影片中有《哪吒之魔童闹海》的概率是(　　)
A． B． C． D．
9．（2025·纳溪模拟）若，是方程的两个实数根，则的值为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·纳溪模拟）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为（　　）
A． B． C．3 D．
11．（2025·纳溪模拟）已知抛物线经过点和，且抛物线与轴的另一个交点的横坐标满足，那么的取值可能是（　　）
A． B． C．1 D．
12．（2025·纳溪模拟）如图，正方形的边长是6，E在对角线上，且，过作于，连接并延长交于，交的延长线于．则（　　）
A． B． C． D．
13．（2025·纳溪模拟）的平方根是 　 　．
14．（2025·纳溪模拟）已知，则的值为　 　．
15．（2025·纳溪模拟）关于的不等式组有且只有四个整数解，则的取值范围是　 　．
16．（2025·纳溪模拟）在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若垂线与坐标轴围成矩形的周长的值与面积的值相等，则这个点叫做“和谐点”，已知直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象交于点，且点P是“和谐点”，则的面积为　 　．
17．（2025·纳溪模拟）计算：．
18．（2025·纳溪模拟）如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．
19．（2025·纳溪模拟）化简：．
20．（2025·纳溪模拟）端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗．在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于的整数．为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下：
八年级名学生活动成绩统计表
成绩分
人数
已知八年级名学生活动成绩的中位数为分．请根据以上信息，完成下列问题：
（1）样本中，七年级活动成绩为分的学生数是__________，七年级活动成绩的众数为__________分；
（2）__________，__________；
（3）若认定活动成绩达到分及以上为“优秀”，根据样本数据估计该校七八年级共名学生中本次活动成绩为优秀的学生大约有多少人
21．（2025·纳溪模拟）“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进个甲型头盔和个乙型头盔需要元，购进个甲型头盔和个乙型头盔需要元．
（1）购进个甲型头盔和个乙型头盔分别需要多少元
（2）若该商场准备购进个这两种型号的头盔，总费用不少于但又不超过元，则有几种购货方案
22．（2025·纳溪模拟）如图，某渔船在处测得小岛位于的北偏西方向，小岛位于的北偏东方向．该渔船沿正北方向航行一段时间后到达处，此时测得小岛位于的南偏西方向．且相距15海里，小岛位于的南偏东方向．
（1）求该渔船航行的距离；
（2）求处与小岛之间的距离（结果取整数）．参考数据：，，．
23．（2025·纳溪模拟）如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点和点，其中点的纵坐标是2．
（1）求反比例函数的解析式和点的坐标；
（2）点是反比例函数上的一点，轴交直线于点，若以、P、Q、O为顶点的四边形为平行四边形，求出点的坐标．
24．（2025·纳溪模拟）如图，是的内接三角形，是的直径，点是上的点，且，连接，过点作的切线，交的延长线于点，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）过点作于点，交于点，若，，求的长．
25．（2025·纳溪模拟）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点是线段上的一个动点（不与端点重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当时，求的长；
（3）若以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵2>1>0>-1，
∴最大的数是2.
故答案为：D.
【分析】实数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将用科学记数法表示为，
故答案为：C．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，当n为较大数时，n的值为较大数的整数位数减去1.
3．【答案】D
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：A是球体，从正面看、从上面看，都是圆，故A错误；
B是正方体，从正面看、从上面看，都是正方形，故B错误；
C是圆锥，从正面看是三角形，从上面看是圆且中有一点，故C错误；
D是圆柱，从正面看是长方形，从上面看是圆，故D正确；
故答案为：．
【分析】根据图形的三视图，逐一进行判断即可.
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a4+a4=2a4，所以A不正确；
B、a4.a4=a8，所以B不正确；
C、（a4）4=a16，所以C正确；
D、a8÷a4=a4，所以D不正确。
故答案为：C。
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，以及同底数幂的乘法除法，分别正确计算，即可得出答案。
5．【答案】B
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：将图标记字母，如图所示：
∵，，
∴∠BCE=180°-∠1-∠4=58，
∵直线，
∴∠ABC=∠BCE=58°，
∵，
∴∠2=∠ABC-∠3=28°，
故答案为：B．
【分析】根据已知易得：∠BCE=58°，然后利用平行线的性质可得∠ABC=∠BCE=58°，载利用角的和差关系进行计算即可解答．
6．【答案】A
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：根据题意可知，a-1=-2，b+3=-1；
∴a=-1，b=-2，
∴抛物线的表达式为，
将抛物线的解析式转化为顶点式为，
∴顶点坐标是（-1，4）.
故答案为：．
【分析】根据A、B两点关于原点对称求出a=-1，b=-2，将其代入函数解析式，后转化顶点式，即可求出顶点坐标.
7．【答案】B
【知识点】中点四边形模型
【解析】【解答】选项A，由任意一个四边形的中点四边形是平行四边形可判定选项A错误；
选项B，任意一个平行四边形的中点四边形是平行四边形，选项B正确；
选项C，由对角线相等的四边形的中点四边形是菱形可判定选项C错误；
选项D，由对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形可判定选项D错误.
故答案为：B.
【分析】中点四边形的形状取决于原四边形的对角线的性质：当原四边形的对角线既不相等，也不垂直时，中点四边形的形状为平行四边形；当原四边形的对角线相等时，中点四边形的形状为菱形；当原四边形的对角线垂直时，中点四边形的形状为矩形；当原四边形的对角线互相垂直且相等时，中点四边形的形状为正方形.由此即可解答.
8．【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：设《侠之大者》《战火西岐》《哪吒之魔童闹海》《重启未来》这四部电影分别为A、B、C、D．
列出树状图如下：
由图可知，一共有12种情况，这两部影片中有《哪吒之魔童闹海》的有6种情况，
∴这两部影片中有《哪吒之魔童闹海》的概率是P=．
故答案为：D．
【分析】根据题意画出树状图得到所有可能的结果数，然后找出符合条件的结果数，再根据概率公式进行计算即可．
9．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴原式=2025-2=2023，
故答案为：A
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求得，，再整体代入即可.
10．【答案】C
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：圆的内接正十二边形的面积可以看成12个全等的等腰三角形组成，故等腰三角形的顶角为，设圆的半径为1，如图为其中一个等腰三角形，过点作交于点于点，
∵，
∴，
则，
故正十二边形的面积为，
圆的面积为，
用圆内接正十二边形面积近似估计的面积可得，
故答案为：C．
【分析】先根据圆内接正多边形的性质得到，进而根据含30°角的直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式结合题意即可得到正十二边形的面积，从而即可求解。
11．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线过点（-1，0）和（1，4），代入抛物线得：，
解得：b=2，c=a-2，
由根与系数的关系可得：-1+m=，
∴a=，
又∵2＜m＜3，
∴1＜m-1＜2，
∴-2＜a＜-1，
∴a的取值可能是.
故答案为：B．
【分析】根据题意把点和代入抛物线解析式，求出b=2，c=a-2，由根与系数的关系可得-1+m=，进而求得a=，结合2＜m＜3，即可求出的范围得出结论．
12．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，边长是6，
∴AB=BC=CD=AD，AB∥CD，AD∥BC，BC⊥AG，
∴△CED∽△AEG，△CEM∽△AED，
∴，，
∵，
∴，
∴AG=2CD=12，CM=AD=3，
∴BG=AG-AB=6，
在中，由勾股定理，得：；
故答案为：D．
【分析】根据正方形的性质易得△CED∽△AEG，△CEM∽△AED，根据相似比求出AG、CM的长，进而求出BG的长，再根据勾股定理求出的长即可．
13．【答案】±2
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】解： 的平方根是±2．
故答案为：±2
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
14．【答案】
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：根据绝对值和算数平方根的非负性可知：，，
即a-2=0， b+3=0，
∴a=2，b=-3，
∴a+b=-1，
故答案为：-1．
【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性求得得，，代入即可得出答案.
15．【答案】
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式，得：x＜3，
解不等式，得：，
∵ 关于的不等式组有且只有四个整数解，
∴-2＜a+2≤-1，
∴-4＜a≤-3，
故答案为：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解个数可得答案.
16．【答案】或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵点是“和谐点”，
∴，
解得，
当时，，
把点P的坐标代入一次函数和反比例的解析式得：
∴，，
∴，
∴．
当时，，
∴，，
∴，
．
故答案为：或．
【分析】根据“和谐点”的定义求出m值，即可得到点A的坐标，利用三角形的面积公式计算解答即可．
17．【答案】解：原式=2×+-+1
=+4-+1
=5.
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先算特殊角的三角函数值、负整数股指数幂、绝对值、零次幂再算加减即可．
18．【答案】解∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE．
在△ABF和△DCE中，
∴△ABF≌△DCE，
∴∠A＝∠D．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】由题意推出BF＝CE，根据全等三角形的判定定理SAS，证明△ABF≌△DCE，由全等三角形的性质即可得解．
19．【答案】解：原式=
=
=.
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】先将小括号里的式子进行通分，并把除式进行因式分解，后把除法变成乘法后进行约分化简即可.
20．【答案】（1），；
（2），；
（3）解：七年级活动成绩为优秀的人数为10×（20%+20%）=4，
八年级活动成绩为优秀的人数为3+2=5，
∴该校七八年级本次活动成绩为优秀的学生大约有1200×=540（人），
答：本次活动成绩为优秀的学生大约有人．
【知识点】中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）根据题意可知，七年级活动成绩为分的学生人数=10×（）=1，
根据扇形统计图可知七年级分的学生数的占比为，人数最多，
故七年级活动成绩的众数为分，
故答案为：；；
（2）根据题意可知，八年级学生活动成绩中位数为8.5，
∴将10名八年级学生活动成绩按从大到小的书序排列后，第5个和第6个成绩和=8.5×2=17，
∴第5个和第6个成绩为8分，9分，
∵6分和7分的人数分别为1人，2人，
∴8分的人数a=5-1-2=2，
9分的人数b=10-1-2-2-2=5，
故答案为：，；
【分析】（）根据扇形统计图可得七年级活动成绩为分的学生人数为10×（），再众数的定义即可求出众数；
（）根据中位数的定义，结合提议即可得出第名学生的活动成绩为分，第名学生的活动成绩为分，进而求得，的值，即可求解；
（）用1200乘样本中七八年级优秀的学生所占的百分比即可.
（1）解：根据扇形统计图，七年级活动成绩为分的学生数的占比为，
∴样本中，七年级活动成绩为分的学生数是（人），
根据扇形统计图得出七年级分的学生数的占比为，最多，
∴七年级活动成绩的众数为分，
故答案为：，；
（2）解：将八年级名学生活动成绩从小到大排序后，它的中位数应该是第和第个数据的平均数，
∵八年级名学生活动成绩的中位数为分，
∴第和第个数据的和为，
∴第和第个数据分别为，，
∵分和分的人数为人，人，
∴分的人数为（人），
∴分的人数为（人），
故答案为：，；
（3）解： ∵样本中七年级优秀率为，
∴七年级优秀人数为（人），
∵八年级优秀人数为（人），
∴全校七八年级名学生中“优秀”的人数为人（人），
答：本次活动成绩为优秀的学生大约有人．
21．【答案】（1）设购进个甲型头盔和个乙型头盔分别需要元，元，
由题意得：，
解得，
答：购进个甲型头盔和个乙型头盔分别需要元，元；
（2）解：设购进甲型头盔个，则购进乙型头盔个，
由题意得：，
解得：，
∴共有三种方案，
购进甲型头盔个，购进乙型头盔个，
购进甲型头盔个，购进乙型头盔个，
购进甲型头盔个，购进乙型头盔个．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（）设购进个甲型头盔和个乙型头盔分别需要元，元，根据“ 购进个甲型头盔和个乙型头盔需要元，购进个甲型头盔和个乙型头盔需要元 ”列方程组解答即可；
（）设购进甲型头盔个，根据“ 购进个 ，总费用不少于但又不超过元 ”列不等式组求出m的整数解，得到方案即可.
（1）设购进个甲型头盔和个乙型头盔分别需要元，元，
由题意得：，解得，
答：购进个甲型头盔和个乙型头盔分别需要元，元；
（2）设购进甲型头盔个，则购进乙型头盔个，
由题意得：，
解得：，
∴共有三种方案，
购进甲型头盔个，购进乙型头盔个，
购进甲型头盔个，购进乙型头盔个，
购进甲型头盔个，购进乙型头盔个．
22．【答案】（1）解：∵，
∴∠C=90°，
∵BC=15海里，
∴AB=2BC=30海里，
答：渔船航行的距离为30海里
（2）解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，
在Rt△BDF中，tan∠DBF=，sin∠DBF=，∠DBF=45°，
∴BF==DF，BD==，
在Rt△ADF中，tan∠DAF
处与小岛之间的距离为16海里．
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】本题考查解直角三角形的实际应用：
（1）证明为直角三角形，利用含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可；
（2）过点作，设，分别解，进行求解即可．
（1）
解：由题意，得：，，
∴，
∴；
答：渔船航行的距离为30海里；
（2）
过点作，设，
在中，，
∴，，
在中，，
∴，
∵，
解得：，
∴；
答：处与小岛之间的距离为16海里．
（1）解：由题意，得：，，
∴，
∴；
答：渔船航行的距离为30海里；
（2）过点作，设，
在中，，
∴，，
在中，，
∴，
∵，
解得：，
∴；
答：处与小岛之间的距离为16海里．
23．【答案】（1）解：设C点的坐标是（m，2），
∵一次函数y1=-x+3的图像与反比例函数（x＞0）的图像交于点C和点D，
∴-m+3=2，
解得：m=1，
∴C（1，2），
∴，
解得：k=2，
∴（x＞0），
令，
解得：x=1或x=2，
∴y=-2+3=1，
∴D（2，1）.
（2）解：当y=0时，一次函数=0，
∴x=3，
∴OA=3，
∵轴交直线于点，若以、P、Q、O为顶点的四边形为平行四边形，
∴PQ=OA=3，
∵点P是反比例函数上的一点，
∴设P（m，），
∵PQ∥x轴，
∴yQ=，
∴=-x+3，
解得：xQ=3-，
∵PQ=3，
∴=3，
∴=3，
当=3时，解得：m=，
当=-3时，方程无解，
当m=时，，
当m=时，，
∴点的坐标为或.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；平行四边形的性质；数形结合
【解析】【分析】（1）将C点的坐标代入y1可求出m，再将C点的坐标代入反比例函数解析式即可求解反比例函数解析式，联立两式，求解即可得出答案；
（2）设xp=m，则有yp=，求出xQ=3-，yQ=，根据平行四边形的性质得到PQ=OA=3，可得到=3，即可得出答案.
（1）解：∵点的纵坐标是2．且点在一次函数，
∴，
解得：，
∴，
把代入，得，
解得：，
∴反比例函数的解析式为，
∵一次函数与反比例函数的图象交于点和点，
∴
解得：或，
∴．
（2）解：∵一次函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，
∴令，解得： ；令，解得：，
∴，，
∵点在反比例函数上，
设，且轴交直线于点，
∴点的坐标为，
若以、P、Q、O为顶点的四边形为平行四边形，则分两种情况：
①当为对角线时，对角线的中点与对角线的中点重合，
由中点公式可得：，即，
比较横坐标：，即：，
故此情况不成立；
②当为对角线时，对角线的中点与对角线的中点重合，
由中点公式可得：，即，
比较横坐标：，即：，
解得：或，
∴点的坐标为或.
24．【答案】（1）证明：连接OC，BF交AC于点P，如图所示：
∵，
∴∠BAC=∠DAC，
∴∠DAB=∠BAC+∠DAC=2∠BAC，
又∵∠BOC=2∠BAC，
∴∠DAB=∠BOC，
∴AD∥OC，
∵ED是的切线，
∴OC⊥DE，
∴AD⊥DE.
（2）解：∵ED是的切线，
∴∠OCE=90°，
∵ AB是的直径，
∴∠ACB=90°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OCE+∠OCA=∠ACB+∠OAC，
即∠ACE=∠CBE，
又∵∠E=∠E，
∴△ACE∽△CBE（AA），
∴，
∵BE=2，CE=4，
∴，
∴AE=8，
∴AB=AE-BE=6，
∵ AB是的直径，
∴OA=OB=OC==3，
∴OE=OB+BE=5，
∵OC⊥DE，AD⊥DE，
∴OC∥AD，
∴△EOC∽△AED，
∴，
∴，
∴ED=，AD=，
∴CD=ED-CE=-4=，
∵ AB是的直径，
∴∠AFB=90°，
即BF⊥AD，
∴BF∥DE，
∴△ABF∽△AED，
∴，
∴AF·AE=AD·AB，BF·AE=AB·ED，
∴8AF=×6，8BF=6×，
∴AF=，BF=，
∵BF∥DE，
∴△APF∽△ACD，
∴，
∴FP·AD=AF·CD，
∴FP=×，
∴FP=，
在Rt△AFP中，∠FPH+∠CAD=90°，
∵FG⊥AB，
∴∠BAC+∠AHG=90°，
又∵∠AHG=∠FHP，∠BAC=∠CAD，
∴∠FPH=∠FHP，
∴FH=FP=，
∴S△ABF=AB·FC=AF·BF，
∴6×FG=×，
∴FG=，
∴HG=FG-FH=.
【知识点】等腰三角形的判定；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接，由，得∠DAB==2∠BAC=∠BOC，则AD∥OC，再根据切线性质的OC⊥DE，由此即可得出结论；
（2）连接BF交AC于点P，证明△ACE∽△CBE得AE=8，则AB=6，OA=OB=OC=3，OE=5，证明△EOC∽△AED得ED=，AD=，则CD=，再证明△ABF∽△AED得∴AF=，BF=，然后证明△APF∽△ACD得FP=，证明∠FPH=∠FHP，得FH=FP=，再利用三角形的面积公式求得FG=，进而得出HG的长.
（1）证明：连接，，如图所示：
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，
∴，
∵，
∴.
25．【答案】（1）解：根据题意可知： 抛物线与轴交于、两点，
∴把A、B两点代入抛物线解析式得：，
解得：，
∴抛物线解析式为.
（2）解：由（1）可知，抛物线解析式为，
∴C（0，4），
∵B（6，0），
设直线BC为y=kx+b，
∴，
解得：，
∴直线BC为y=x+4，
设P（x，），则E（x，x+4），
∴PE=（）-（x+4）=，DE=x+4，
∵PE=DE，
∴=x+4，
解得：x=2或x=8（不符合题意舍去），
∴P（2，），
∵C（0，4），
∴PC==.
（3）解：根据已知条件，可以分两种情况讨论：
①当∠CPE=∠EDB=90°时，△CPE∽△BDE，
此时，CP∥DB，
∴点C与点P关于抛物线对称，
∵=，
∴抛物线的对称轴是x=2，
又∵C（0，4），
∴P（4，4），D（4，0）.
②当∠PCE=∠EDB=90°，△PCE∽△BDE，
此时，过点P作PG⊥y轴于点G，
则有∠PGC=90°，∠PCG+∠OCB=180°-∠PCE=90°，
∵∠COB=90°，
∴∠OBC+∠OCB=180°-∠COB=90°，
∴∠PCG=∠OBC，
又∵∠COB=∠PGC=90°，
∴△PGC∽△COB（AA），
∴，
设P（x，），
∴，
解得：x=（不符合题意，舍去）或x=0（不符合题意，舍去），
综上所述，点D的坐标为（4，0）.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-相似三角形的存在性问题；数形结合；分类讨论
【解析】【分析】（1）利用待定系数法将A、B两点直接代入即可求解；
（2）根据抛物线解析式可求得，进而求得直线为，然后设，则有，可得，，结合，可得点P的坐标，即可求得PC的长；
（3）根据已知条件可知：∠PEC=∠BED，若 以、、为顶点的三角形与相似， 则可以分为两种情况讨论：①当∠CPE=∠EDB=90°时，△CPE∽△BDE，②当∠PCE=∠EDB=90°，△PCE∽△BDE，即可得出结论.
（1）解：将、代入中，
可得：，
解得：，
即抛物线解析式为：；
（2）解：∵，
当时，，
∴，而，
设直线为，
∴，
解得：，
∴直线为，
设，则，
∴，，
∵，
∴，
解得：，（不符合题意，舍去）
∴，
∵，
∴.
（3）解：∵，，
∴当时，，如图，
∴，
∴关于抛物线对称轴对称，
∵的对称轴为直线，，
∴，，
当时，则，如图，过作轴于，
∴，
∴，
∴，设，
∴，
∴，
解得：，，（都不符合题意，舍去）
综上：.
1 / 1四川省泸州市纳溪区九年级2025年中考适应性考试数学试题
1．（2025·纳溪模拟）下列实数中，最大的数是（　　）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵2>1>0>-1，
∴最大的数是2.
故答案为：D.
【分析】实数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可.
2．（2025·纳溪模拟）据统计，泸州老窖2024年前三季度实现销售总额243亿元，其中24300000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将用科学记数法表示为，
故答案为：C．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，当n为较大数时，n的值为较大数的整数位数减去1.
3．（2025·纳溪模拟）以下给出的几何体中，从正面看是长方形，从上面看是圆的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：A是球体，从正面看、从上面看，都是圆，故A错误；
B是正方体，从正面看、从上面看，都是正方形，故B错误；
C是圆锥，从正面看是三角形，从上面看是圆且中有一点，故C错误；
D是圆柱，从正面看是长方形，从上面看是圆，故D正确；
故答案为：．
【分析】根据图形的三视图，逐一进行判断即可.
4．（2025·纳溪模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a4+a4=2a4，所以A不正确；
B、a4.a4=a8，所以B不正确；
C、（a4）4=a16，所以C正确；
D、a8÷a4=a4，所以D不正确。
故答案为：C。
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，以及同底数幂的乘法除法，分别正确计算，即可得出答案。
5．（2025·纳溪模拟）如图，直线，一把含角的直角三角尺按所示位置摆放，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：将图标记字母，如图所示：
∵，，
∴∠BCE=180°-∠1-∠4=58，
∵直线，
∴∠ABC=∠BCE=58°，
∵，
∴∠2=∠ABC-∠3=28°，
故答案为：B．
【分析】根据已知易得：∠BCE=58°，然后利用平行线的性质可得∠ABC=∠BCE=58°，载利用角的和差关系进行计算即可解答．
6．（2025·纳溪模拟）已知点与点关于原点对称，则抛物线的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：根据题意可知，a-1=-2，b+3=-1；
∴a=-1，b=-2，
∴抛物线的表达式为，
将抛物线的解析式转化为顶点式为，
∴顶点坐标是（-1，4）.
故答案为：．
【分析】根据A、B两点关于原点对称求出a=-1，b=-2，将其代入函数解析式，后转化顶点式，即可求出顶点坐标.
7．（2025·纳溪模拟）我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，下列说法正确的是 　　
A．任意一个四边形的中点四边形是菱形
B．任意一个平行四边形的中点四边形是平行四边形
C．对角线相等的四边形的中点四边形是矩形
D．对角线垂直的四边形的中点四边形是正方形
【答案】B
【知识点】中点四边形模型
【解析】【解答】选项A，由任意一个四边形的中点四边形是平行四边形可判定选项A错误；
选项B，任意一个平行四边形的中点四边形是平行四边形，选项B正确；
选项C，由对角线相等的四边形的中点四边形是菱形可判定选项C错误；
选项D，由对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形可判定选项D错误.
故答案为：B.
【分析】中点四边形的形状取决于原四边形的对角线的性质：当原四边形的对角线既不相等，也不垂直时，中点四边形的形状为平行四边形；当原四边形的对角线相等时，中点四边形的形状为菱形；当原四边形的对角线垂直时，中点四边形的形状为矩形；当原四边形的对角线互相垂直且相等时，中点四边形的形状为正方形.由此即可解答.
8．（2025·纳溪模拟）春节四部重磅影片《侠之大者》《战火西岐》《哪吒之魔童闹海》《重启未来》，小明从中随机选择两部影片观看，则这两部影片中有《哪吒之魔童闹海》的概率是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：设《侠之大者》《战火西岐》《哪吒之魔童闹海》《重启未来》这四部电影分别为A、B、C、D．
列出树状图如下：
由图可知，一共有12种情况，这两部影片中有《哪吒之魔童闹海》的有6种情况，
∴这两部影片中有《哪吒之魔童闹海》的概率是P=．
故答案为：D．
【分析】根据题意画出树状图得到所有可能的结果数，然后找出符合条件的结果数，再根据概率公式进行计算即可．
9．（2025·纳溪模拟）若，是方程的两个实数根，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴原式=2025-2=2023，
故答案为：A
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求得，，再整体代入即可.
10．（2025·纳溪模拟）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为（　　）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：圆的内接正十二边形的面积可以看成12个全等的等腰三角形组成，故等腰三角形的顶角为，设圆的半径为1，如图为其中一个等腰三角形，过点作交于点于点，
∵，
∴，
则，
故正十二边形的面积为，
圆的面积为，
用圆内接正十二边形面积近似估计的面积可得，
故答案为：C．
【分析】先根据圆内接正多边形的性质得到，进而根据含30°角的直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式结合题意即可得到正十二边形的面积，从而即可求解。
11．（2025·纳溪模拟）已知抛物线经过点和，且抛物线与轴的另一个交点的横坐标满足，那么的取值可能是（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线过点（-1，0）和（1，4），代入抛物线得：，
解得：b=2，c=a-2，
由根与系数的关系可得：-1+m=，
∴a=，
又∵2＜m＜3，
∴1＜m-1＜2，
∴-2＜a＜-1，
∴a的取值可能是.
故答案为：B．
【分析】根据题意把点和代入抛物线解析式，求出b=2，c=a-2，由根与系数的关系可得-1+m=，进而求得a=，结合2＜m＜3，即可求出的范围得出结论．
12．（2025·纳溪模拟）如图，正方形的边长是6，E在对角线上，且，过作于，连接并延长交于，交的延长线于．则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，边长是6，
∴AB=BC=CD=AD，AB∥CD，AD∥BC，BC⊥AG，
∴△CED∽△AEG，△CEM∽△AED，
∴，，
∵，
∴，
∴AG=2CD=12，CM=AD=3，
∴BG=AG-AB=6，
在中，由勾股定理，得：；
故答案为：D．
【分析】根据正方形的性质易得△CED∽△AEG，△CEM∽△AED，根据相似比求出AG、CM的长，进而求出BG的长，再根据勾股定理求出的长即可．
13．（2025·纳溪模拟）的平方根是 　 　．
【答案】±2
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】解： 的平方根是±2．
故答案为：±2
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
14．（2025·纳溪模拟）已知，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：根据绝对值和算数平方根的非负性可知：，，
即a-2=0， b+3=0，
∴a=2，b=-3，
∴a+b=-1，
故答案为：-1．
【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性求得得，，代入即可得出答案.
15．（2025·纳溪模拟）关于的不等式组有且只有四个整数解，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式，得：x＜3，
解不等式，得：，
∵ 关于的不等式组有且只有四个整数解，
∴-2＜a+2≤-1，
∴-4＜a≤-3，
故答案为：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解个数可得答案.
16．（2025·纳溪模拟）在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若垂线与坐标轴围成矩形的周长的值与面积的值相等，则这个点叫做“和谐点”，已知直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象交于点，且点P是“和谐点”，则的面积为　 　．
【答案】或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵点是“和谐点”，
∴，
解得，
当时，，
把点P的坐标代入一次函数和反比例的解析式得：
∴，，
∴，
∴．
当时，，
∴，，
∴，
．
故答案为：或．
【分析】根据“和谐点”的定义求出m值，即可得到点A的坐标，利用三角形的面积公式计算解答即可．
17．（2025·纳溪模拟）计算：．
【答案】解：原式=2×+-+1
=+4-+1
=5.
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先算特殊角的三角函数值、负整数股指数幂、绝对值、零次幂再算加减即可．
18．（2025·纳溪模拟）如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．
【答案】解∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE．
在△ABF和△DCE中，
∴△ABF≌△DCE，
∴∠A＝∠D．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】由题意推出BF＝CE，根据全等三角形的判定定理SAS，证明△ABF≌△DCE，由全等三角形的性质即可得解．
19．（2025·纳溪模拟）化简：．
【答案】解：原式=
=
=.
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】先将小括号里的式子进行通分，并把除式进行因式分解，后把除法变成乘法后进行约分化简即可.
20．（2025·纳溪模拟）端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗．在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于的整数．为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下：
八年级名学生活动成绩统计表
成绩分
人数
已知八年级名学生活动成绩的中位数为分．请根据以上信息，完成下列问题：
（1）样本中，七年级活动成绩为分的学生数是__________，七年级活动成绩的众数为__________分；
（2）__________，__________；
（3）若认定活动成绩达到分及以上为“优秀”，根据样本数据估计该校七八年级共名学生中本次活动成绩为优秀的学生大约有多少人
【答案】（1），；
（2），；
（3）解：七年级活动成绩为优秀的人数为10×（20%+20%）=4，
八年级活动成绩为优秀的人数为3+2=5，
∴该校七八年级本次活动成绩为优秀的学生大约有1200×=540（人），
答：本次活动成绩为优秀的学生大约有人．
【知识点】中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）根据题意可知，七年级活动成绩为分的学生人数=10×（）=1，
根据扇形统计图可知七年级分的学生数的占比为，人数最多，
故七年级活动成绩的众数为分，
故答案为：；；
（2）根据题意可知，八年级学生活动成绩中位数为8.5，
∴将10名八年级学生活动成绩按从大到小的书序排列后，第5个和第6个成绩和=8.5×2=17，
∴第5个和第6个成绩为8分，9分，
∵6分和7分的人数分别为1人，2人，
∴8分的人数a=5-1-2=2，
9分的人数b=10-1-2-2-2=5，
故答案为：，；
【分析】（）根据扇形统计图可得七年级活动成绩为分的学生人数为10×（），再众数的定义即可求出众数；
（）根据中位数的定义，结合提议即可得出第名学生的活动成绩为分，第名学生的活动成绩为分，进而求得，的值，即可求解；
（）用1200乘样本中七八年级优秀的学生所占的百分比即可.
（1）解：根据扇形统计图，七年级活动成绩为分的学生数的占比为，
∴样本中，七年级活动成绩为分的学生数是（人），
根据扇形统计图得出七年级分的学生数的占比为，最多，
∴七年级活动成绩的众数为分，
故答案为：，；
（2）解：将八年级名学生活动成绩从小到大排序后，它的中位数应该是第和第个数据的平均数，
∵八年级名学生活动成绩的中位数为分，
∴第和第个数据的和为，
∴第和第个数据分别为，，
∵分和分的人数为人，人，
∴分的人数为（人），
∴分的人数为（人），
故答案为：，；
（3）解： ∵样本中七年级优秀率为，
∴七年级优秀人数为（人），
∵八年级优秀人数为（人），
∴全校七八年级名学生中“优秀”的人数为人（人），
答：本次活动成绩为优秀的学生大约有人．
21．（2025·纳溪模拟）“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进个甲型头盔和个乙型头盔需要元，购进个甲型头盔和个乙型头盔需要元．
（1）购进个甲型头盔和个乙型头盔分别需要多少元
（2）若该商场准备购进个这两种型号的头盔，总费用不少于但又不超过元，则有几种购货方案
【答案】（1）设购进个甲型头盔和个乙型头盔分别需要元，元，
由题意得：，
解得，
答：购进个甲型头盔和个乙型头盔分别需要元，元；
（2）解：设购进甲型头盔个，则购进乙型头盔个，
由题意得：，
解得：，
∴共有三种方案，
购进甲型头盔个，购进乙型头盔个，
购进甲型头盔个，购进乙型头盔个，
购进甲型头盔个，购进乙型头盔个．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（）设购进个甲型头盔和个乙型头盔分别需要元，元，根据“ 购进个甲型头盔和个乙型头盔需要元，购进个甲型头盔和个乙型头盔需要元 ”列方程组解答即可；
（）设购进甲型头盔个，根据“ 购进个 ，总费用不少于但又不超过元 ”列不等式组求出m的整数解，得到方案即可.
（1）设购进个甲型头盔和个乙型头盔分别需要元，元，
由题意得：，解得，
答：购进个甲型头盔和个乙型头盔分别需要元，元；
（2）设购进甲型头盔个，则购进乙型头盔个，
由题意得：，
解得：，
∴共有三种方案，
购进甲型头盔个，购进乙型头盔个，
购进甲型头盔个，购进乙型头盔个，
购进甲型头盔个，购进乙型头盔个．
22．（2025·纳溪模拟）如图，某渔船在处测得小岛位于的北偏西方向，小岛位于的北偏东方向．该渔船沿正北方向航行一段时间后到达处，此时测得小岛位于的南偏西方向．且相距15海里，小岛位于的南偏东方向．
（1）求该渔船航行的距离；
（2）求处与小岛之间的距离（结果取整数）．参考数据：，，．
【答案】（1）解：∵，
∴∠C=90°，
∵BC=15海里，
∴AB=2BC=30海里，
答：渔船航行的距离为30海里
（2）解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，
在Rt△BDF中，tan∠DBF=，sin∠DBF=，∠DBF=45°，
∴BF==DF，BD==，
在Rt△ADF中，tan∠DAF
处与小岛之间的距离为16海里．
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】本题考查解直角三角形的实际应用：
（1）证明为直角三角形，利用含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可；
（2）过点作，设，分别解，进行求解即可．
（1）
解：由题意，得：，，
∴，
∴；
答：渔船航行的距离为30海里；
（2）
过点作，设，
在中，，
∴，，
在中，，
∴，
∵，
解得：，
∴；
答：处与小岛之间的距离为16海里．
（1）解：由题意，得：，，
∴，
∴；
答：渔船航行的距离为30海里；
（2）过点作，设，
在中，，
∴，，
在中，，
∴，
∵，
解得：，
∴；
答：处与小岛之间的距离为16海里．
23．（2025·纳溪模拟）如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点和点，其中点的纵坐标是2．
（1）求反比例函数的解析式和点的坐标；
（2）点是反比例函数上的一点，轴交直线于点，若以、P、Q、O为顶点的四边形为平行四边形，求出点的坐标．
【答案】（1）解：设C点的坐标是（m，2），
∵一次函数y1=-x+3的图像与反比例函数（x＞0）的图像交于点C和点D，
∴-m+3=2，
解得：m=1，
∴C（1，2），
∴，
解得：k=2，
∴（x＞0），
令，
解得：x=1或x=2，
∴y=-2+3=1，
∴D（2，1）.
（2）解：当y=0时，一次函数=0，
∴x=3，
∴OA=3，
∵轴交直线于点，若以、P、Q、O为顶点的四边形为平行四边形，
∴PQ=OA=3，
∵点P是反比例函数上的一点，
∴设P（m，），
∵PQ∥x轴，
∴yQ=，
∴=-x+3，
解得：xQ=3-，
∵PQ=3，
∴=3，
∴=3，
当=3时，解得：m=，
当=-3时，方程无解，
当m=时，，
当m=时，，
∴点的坐标为或.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；平行四边形的性质；数形结合
【解析】【分析】（1）将C点的坐标代入y1可求出m，再将C点的坐标代入反比例函数解析式即可求解反比例函数解析式，联立两式，求解即可得出答案；
（2）设xp=m，则有yp=，求出xQ=3-，yQ=，根据平行四边形的性质得到PQ=OA=3，可得到=3，即可得出答案.
（1）解：∵点的纵坐标是2．且点在一次函数，
∴，
解得：，
∴，
把代入，得，
解得：，
∴反比例函数的解析式为，
∵一次函数与反比例函数的图象交于点和点，
∴
解得：或，
∴．
（2）解：∵一次函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，
∴令，解得： ；令，解得：，
∴，，
∵点在反比例函数上，
设，且轴交直线于点，
∴点的坐标为，
若以、P、Q、O为顶点的四边形为平行四边形，则分两种情况：
①当为对角线时，对角线的中点与对角线的中点重合，
由中点公式可得：，即，
比较横坐标：，即：，
故此情况不成立；
②当为对角线时，对角线的中点与对角线的中点重合，
由中点公式可得：，即，
比较横坐标：，即：，
解得：或，
∴点的坐标为或.
24．（2025·纳溪模拟）如图，是的内接三角形，是的直径，点是上的点，且，连接，过点作的切线，交的延长线于点，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）过点作于点，交于点，若，，求的长．
【答案】（1）证明：连接OC，BF交AC于点P，如图所示：
∵，
∴∠BAC=∠DAC，
∴∠DAB=∠BAC+∠DAC=2∠BAC，
又∵∠BOC=2∠BAC，
∴∠DAB=∠BOC，
∴AD∥OC，
∵ED是的切线，
∴OC⊥DE，
∴AD⊥DE.
（2）解：∵ED是的切线，
∴∠OCE=90°，
∵ AB是的直径，
∴∠ACB=90°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OCE+∠OCA=∠ACB+∠OAC，
即∠ACE=∠CBE，
又∵∠E=∠E，
∴△ACE∽△CBE（AA），
∴，
∵BE=2，CE=4，
∴，
∴AE=8，
∴AB=AE-BE=6，
∵ AB是的直径，
∴OA=OB=OC==3，
∴OE=OB+BE=5，
∵OC⊥DE，AD⊥DE，
∴OC∥AD，
∴△EOC∽△AED，
∴，
∴，
∴ED=，AD=，
∴CD=ED-CE=-4=，
∵ AB是的直径，
∴∠AFB=90°，
即BF⊥AD，
∴BF∥DE，
∴△ABF∽△AED，
∴，
∴AF·AE=AD·AB，BF·AE=AB·ED，
∴8AF=×6，8BF=6×，
∴AF=，BF=，
∵BF∥DE，
∴△APF∽△ACD，
∴，
∴FP·AD=AF·CD，
∴FP=×，
∴FP=，
在Rt△AFP中，∠FPH+∠CAD=90°，
∵FG⊥AB，
∴∠BAC+∠AHG=90°，
又∵∠AHG=∠FHP，∠BAC=∠CAD，
∴∠FPH=∠FHP，
∴FH=FP=，
∴S△ABF=AB·FC=AF·BF，
∴6×FG=×，
∴FG=，
∴HG=FG-FH=.
【知识点】等腰三角形的判定；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接，由，得∠DAB==2∠BAC=∠BOC，则AD∥OC，再根据切线性质的OC⊥DE，由此即可得出结论；
（2）连接BF交AC于点P，证明△ACE∽△CBE得AE=8，则AB=6，OA=OB=OC=3，OE=5，证明△EOC∽△AED得ED=，AD=，则CD=，再证明△ABF∽△AED得∴AF=，BF=，然后证明△APF∽△ACD得FP=，证明∠FPH=∠FHP，得FH=FP=，再利用三角形的面积公式求得FG=，进而得出HG的长.
（1）证明：连接，，如图所示：
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，
∴，
∵，
∴.
25．（2025·纳溪模拟）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点是线段上的一个动点（不与端点重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当时，求的长；
（3）若以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
【答案】（1）解：根据题意可知： 抛物线与轴交于、两点，
∴把A、B两点代入抛物线解析式得：，
解得：，
∴抛物线解析式为.
（2）解：由（1）可知，抛物线解析式为，
∴C（0，4），
∵B（6，0），
设直线BC为y=kx+b，
∴，
解得：，
∴直线BC为y=x+4，
设P（x，），则E（x，x+4），
∴PE=（）-（x+4）=，DE=x+4，
∵PE=DE，
∴=x+4，
解得：x=2或x=8（不符合题意舍去），
∴P（2，），
∵C（0，4），
∴PC==.
（3）解：根据已知条件，可以分两种情况讨论：
①当∠CPE=∠EDB=90°时，△CPE∽△BDE，
此时，CP∥DB，
∴点C与点P关于抛物线对称，
∵=，
∴抛物线的对称轴是x=2，
又∵C（0，4），
∴P（4，4），D（4，0）.
②当∠PCE=∠EDB=90°，△PCE∽△BDE，
此时，过点P作PG⊥y轴于点G，
则有∠PGC=90°，∠PCG+∠OCB=180°-∠PCE=90°，
∵∠COB=90°，
∴∠OBC+∠OCB=180°-∠COB=90°，
∴∠PCG=∠OBC，
又∵∠COB=∠PGC=90°，
∴△PGC∽△COB（AA），
∴，
设P（x，），
∴，
解得：x=（不符合题意，舍去）或x=0（不符合题意，舍去），
综上所述，点D的坐标为（4，0）.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-相似三角形的存在性问题；数形结合；分类讨论
【解析】【分析】（1）利用待定系数法将A、B两点直接代入即可求解；
（2）根据抛物线解析式可求得，进而求得直线为，然后设，则有，可得，，结合，可得点P的坐标，即可求得PC的长；
（3）根据已知条件可知：∠PEC=∠BED，若 以、、为顶点的三角形与相似， 则可以分为两种情况讨论：①当∠CPE=∠EDB=90°时，△CPE∽△BDE，②当∠PCE=∠EDB=90°，△PCE∽△BDE，即可得出结论.
（1）解：将、代入中，
可得：，
解得：，
即抛物线解析式为：；
（2）解：∵，
当时，，
∴，而，
设直线为，
∴，
解得：，
∴直线为，
设，则，
∴，，
∵，
∴，
解得：，（不符合题意，舍去）
∴，
∵，
∴.
（3）解：∵，，
∴当时，，如图，
∴，
∴关于抛物线对称轴对称，
∵的对称轴为直线，，
∴，，
当时，则，如图，过作轴于，
∴，
∴，
∴，设，
∴，
∴，
解得：，，（都不符合题意，舍去）
综上：.
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