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浙江省温州市第十二中集团校2025年九年级素养测试数学试题卷（三模）
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．（2025·温州三模）-2025的绝对值为（　　）
A．2025 B．-2025 C． D．
2．（2025·温州三模）如图，该几何体的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·温州三模）据文化旅游部数据显示，2024年国庆节假期，全国国内出游约1467000000人次，将1467000000个数用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·温州三模）已知扇形的半径为6，圆心角为，则它的面积是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·温州三模）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025·温州三模）如图，与位似，位似中心为点O，OC'：OC=3：4，的面积为9，则面积为（　　）
A．12 B． C．16 D．18
7．（2025·温州三模）小鹿两次购买相同药物的费用均为200元，第二次购买时每盒降价8元，他多买了2盒.设第一次购买时该药品的单价为x（元/盒），则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025·温州三模）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，其面积分别记为，，.若，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．6 B． C．5 D．
9．（2025·温州三模）点，，在反比例函数的图象上，且，则下列判断正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．（2025·温州三模）如图，在正方形ABCD中，将边AB绕点A逆时针旋转至AF，使F点落在正方形ABCD内部，延长BF交的平分线于点H，连结FD交AH于点G，则下列比值是定值的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025·温州三模）因式分解：a2-6a=　 　.
12．（2025·温州三模）方程组的解为　 　.
13．（2025·温州三模）动车组列车的普通坐席位置通常用A，B，C，D，F五个字母表示，其中A，F代表靠窗坐席，小红随机购买了一张动车组列车的普通坐席车票，坐席是靠窗位置的概率为　 　.
14．（2025·温州三模）如图，BD是的直径，点在DB的延长线上，AC是的切线，为切点，连结CO，CD，若，则的度数为　 　．
15．（2025·温州三模）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（3，4），将向右平移一定距离，得到，点F为DE中点，函数的图像经过点C和点F，则k的值是　 　.
16．（2025·温州三模）如图，在菱形ABCD中，，，E是AB边上的一点，，将四边形AEFD沿着EF折叠得到四边形A'D'FE，当三点A'，B，D'在同一条直线上时，　 　°，此时D'F交BC边于点G，CG的长为　 　.
三、解答题（本题有8小题，共72分、解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（2025·温州三模）计算：.
18．（2025·温州三模）先化简，再求值：，其中.
19．（2025·温州三模）如图，在中，，，，点D在BC边上，且，，垂足为E，连结CE
（1）求的值.
（2）求的度数.
20．（2025·温州三模）某校为确保学生安全，开展了“远离溺水·珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛，现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取10名学生的成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x表示），将学生竞赛成绩分为A，B，C三个等级，A：70≤x<80，B：80≤x<90，C：90≤x≤100.下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩为：75，76，85，85，87，87，87，94，96，98.
八年级10名学生的竞赛成绩在B等级中的数据为：82，83，86，89，89.
两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示：
学生 平均数 中位数 众数 方差
七年级 87 86 b 52.4
八年级 87 a 89 62.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a=　 　，b=　 　，m=　 　.
（2）根据以上数据，从统计量角度进行分析：哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）.
（3）该校七年级共有900人参赛，八年级共有850人参赛，请估计该校七、八年级参赛学生中成绩为“优秀”（x≥90）的总共有多少人
21．（2025·温州三模）根据要求作图并证明.
如图，有一张矩形纸片ABCD，AB=6，AD=10.将纸片进行两次折叠，第一次折叠使得点A与点B重合，复原纸片得到折痕EF；第二次经过点B折叠，使点A的对称点A'落在EF上.得到折痕BG，G为折痕与AD的交点.
（1）尺规作图：在图中做出点A'及折痕BG（借助无刻度的直尺和圆规、不写作法，保留作图痕迹）·
（2）连接AA'，A'B，判断△ABA’形状，并证明.
22．（2025·温州三模）在一条笔直的公路上依次有A，B，C三地，小明、小红两人同时出发，小明从B地骑自行车匀速去A地拿东西，停留一段时间后，再以相同的速度匀速前往C地，小红步行匀速从C地至A地，小明、小红两人距C地的距离y（米）与时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）求小明、小红两人的速度.
（2）求小明从A地前往C地过程中y关于x的函数表达式.
（3）请求出经过多少时间后，小明与小红相距600米.
23．（2025·温州三模）已知二次函数y=ax2+bx-8a（a，b是常数，a≠0），其图象过点（2，2）.
（1）用含a的代数式表示b.
（2）当a=1时，
①若-2≤x≤1时，求二次函数的最大值和最小值。
②若x满足m≤x≤m+3时，二次函数的最小值为2，求m的值.
24．（2025·温州三模）如图，AB是的直径，点在上，过点作交AB于点，为上的一点，连接AG交CD的延长线于点，连接CG交AB于点，连接DG，MD.
（1）求证：∠AGC=∠DGF.
（2）设∠MDG=α，∠F=β，∠ACE=γ·
①求证：α=2β.
②若DG=DM，求β和γ的数量关系.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：，
∴2025的绝对值是2025，
故答案为：A.
【分析】根据绝对值的定义进行求解即可.
2．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从上面看到的几何图形为：
故答案为：C.
【分析】根据从上面看到的结合图形解答即可.
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将1467000000用科学记数法表示为
故答案为：D.
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 ， 其中 n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此解答即可.
4．【答案】D
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：扇形面积
故答案为：D.
【分析】把已知数据代入扇形面积公式计算，即可得到答案.
5．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解： 故该项不正确，不符合题意；
故该项不正确，不符合题意；
故该项不正确，不符合题意；
故该项正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法法则进行解题即可.
6．【答案】C
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解： 与 位似，
， 且相似比为4：3，
与 的面积比为16：9，
的面积为9，
的面积为16，
故答案为：D.
【分析】根据位似图形的概念得到 再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可.
7．【答案】C
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设第一次购买时该药品的单价为x元/盒，则第二次购买时该药品的单价为 元/盒，
由题意得：
故答案为：C.
【分析】设第一次购买时该药品的单价为x元/盒，则第二次购买时该药品的单价为 元/盒，根据小鹿两次购买相同药物的费用均为200元，第二次多买了2盒，列出分式方程即可.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：在 中， 由勾股定理得：
即
由图形可知，阴影部分的面积
∴阴影部分的面积
故答案为：B.
【分析】由勾股定理得 根据题意求出 即可解决问题.
9．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：在反比例函数 的图象中， 则函数的图象在第二、四象限，在每个象限y随x的增大而增大，
若 则 且 或 即当 时，
故A错误，B正确；
若 则 且 或
当 时， 当 时，
故C、D错误；
故答案为：B.
【分析】由 可得反比例函数图象在第二四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，根据选项一一分析即可.
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解： 设∠BAF=2x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB= AD， ∠BAD =90°，
∴∠DAF=∠BAD-∠BAF =90°-2x，由旋转的性质可得.AF=AD，
∵BF交∠DAF的平分线于点H，
∴AH⊥DF， DF=2FG，
∴∠H =∠AFB-∠HAF =45°，
∴△HFG是等腰直角三角形，
∴FG=HG，
故答案为：B.
【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，旋转的性质，设∠BAF=2x， 由正方形的性质可得AB= AD， ∠BAD =90°， 则∠DAF=90°-2x， 由旋转的性质可得AF= AB=AD， 则∠AFB=90°-x， 由三线合一定理得到AH⊥DF， DF=2FG，则可证明∠H =45°，则△HFG是等腰直角三角形，进而得到据此可得答案.
11．【答案】a(a-6)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： a2-6a=a(a-6)，
故答案为：a(a-6).
【分析】根据直接提取公因式解答即可.
12．【答案】
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
得， 解得
把 代入②得， 解得 故此方程组的解为 ，
故答案为： .
【分析】先用加减消元法求出x的值，再用代入消元法求出y的值即可.
13．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：小环随机购买了一张动车组列车的普通坐席车票，坐席是靠窗位置的概率为
故答案为：.
【分析】直接根据概率公式求解即可.
14．【答案】
【知识点】圆周角定理；切线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵AC是⊙O的切线，C为切点，
∴AC⊥OC，
∴∠OCA=90°，
∵∠D=25°，
∴∠AOC=2∠D=50°，
∴∠A=90°-∠AOC=40°，
故答案为：40°．
【分析】先根据切线的性质得∠OCA=90°，从而可得∠AOC=2∠D=50°，再根据直角三角形两个锐角互余求∠A．
15．【答案】6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；用坐标表示平移
【解析】【解答】解：由平移的性质可得AC =OE= BD，
由条件可知OA=CE =4， AB =3.
设AC=OE=BD=a， 则AD=a+3，
∴C(a，4)， D(3+a，4)， E(a，0).
∵点F为DE中点，
∵函数 的图象经过点C和点F，
解得
∴k=6.
故答案为：6.
【分析】由平移的性质可得AC=OE=BD，设AC=OE=BD=a， 则AD=a+3， 则C(a，4)， D(3+a，4)， E(a，0)， 由两点中点坐标公式得到F(3+2a，2)，则由待定系数法可得k=4a=2(3+2a)， 解方程即可得到答案.
16．【答案】120°；
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接BF， 延长AB、 相交于点I，在CB上截取 连接FH， 以 为邻边作平行四边形 连接MH， 如 图：
∵菱形ABCD， ∠A =60°，
三点在同一条直线上，
又∵，
∴，
∴，
为等边三角形，
由折叠得： ，
是平行四边形，
∴BM=BH =4， ∠FMB=∠FD'B=120°，
∴∠BMH=∠BHM，
∵∠BHF=180°-∠CHF =180°-60°=120°
∴∠FMH=∠FMB﹣∠BMH=∠FHB﹣∠BHM =∠FHM
∴FM=FH =2，
∴BD'=FM=2，
∴A'B = A'D'-BD'=AD-BD'=6-2=4，
∵FD∥AE，
∴FD∥A'E，即
设A'E = AE =x， 则BE=6﹣x，
∵DF∥AB，
∴∠DFE=∠IEF，
由折叠知： ∠DFE=∠IFE，
∴∠IFE=∠IEF，
，
解得：
∵ BI∥CF，
解得： ，
∴
故答案为：
【分析】连接BF， 延长AB、. 相交于点I，在CB上截取 连接FH， 以 为邻边作平行四边形 连接MH，先证明 为等边三角形， 得 ，再证明 得到
最后证明 即可求解
17．【答案】解：.
=2-4×-9
=-5
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先运算立方根，负整数指数次幂，代入特殊角的三角函数值，然后加减解答即可.
18．【答案】解：，
当x=5时，原式=
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先根据同分母分式的减法化简，然后代入x的值计算解答即可.
19．【答案】（1）解：如图，做，
则∵，
∴，
（2）解：由勾股定理可知，
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）做，根据余弦的定义求出AH长，然后根据勾股定理求出CH的长，求出正弦解答即可；
（2）根据勾股定理求出BH长，然后根据平行线分线段成比例求出HE，然后根据正切计算解答即可.
20．【答案】（1）87.5；87；30
（2）解：八年级更好，因为：八年级众数89高于七年级众数87，同时八年级中位数大于七年级中位数.
（3）解：900×0.3-850×0.3=525 (人)
【知识点】扇形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）八年级A等级的人数为10×20%=2人，
排列后居于中间的两个数为86和89，故，
七年级数据中87出现次数最多，故b=87，
八年级C等级的百分比为m%=，故c=30，
故答案为：87.5，87，30；
【分析】（1）先求出八年级A等级的人数排列后得到居于中间的两个数求平均解答即可求出a的值；根据七年级中出现次数最多的数求出b；然后求出八年级C等级的百分比求出c即可；
（2）根据中位数，众数，平均数或方差分析解答即可；
（3）运用七、八年级的人数分别乘以“优秀”等级的百分比求和解答即可.
21．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：如图，
∵在AB中垂线EF上
∴
∴
∴为等边三角形
【知识点】等边三角形的判定；尺规作图-垂线
【解析】【分析】(1)以点B为圆心，BA长为半径作弧，交EF于点， 再作 的平分线，交AD于点G，则折痕BG即为所作；
(2)连接利用三边相等证明 是等边三角形即可.
22．【答案】（1）解：小明骑自行车速度是：（1200-400）÷2=400（米/分）
小红步行速度是：1200÷12=100（米/分）
（2）解：小明从A地骑自行车到C地的时间为1200÷400=3（分）
将（9，1200)，（12，0)代入y=kx+b
得
y=-400x+4800
（3）解： 情况一：小明从A地到C地的途中，两人相距600米；此时，小明行驶的路程为400x+400，小红行驶的路程为100x ，
根据题意，得，解得；
情况二：小明到达C地后，两人相距600米；此时，小明到达C地，小红行驶的路程为100x，
根据题意，得，解得x=6；
情况三：小明到达C地后，小红超过小明600米；此时，小明到达C地，小红行驶的路程为100x，
根据题意，得 ，解得 ，
答：经过或6或分钟后，小明与小红相距600米 .
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）由图象可得小明从B地到A地， 停留一段时间后，再以相同的速度匀速从A地到C地，行驶的路程为(1200-400)米时，用时2分钟；小红从A地到C地，行驶的路程是1200米，用时12分钟，从而根据速度等于路程除以时间，列式计算即可；
（2）小明从A地到C地的过程是一条直线，因此y关于x的函数关系式为一次函数，根据图象，我们可以得到该段直线上两个坐标点(9，1200)和(12，0)，从而利用待定系数法求解即可；
（3）分类讨论：①小明从A地到C地的途中，两人相距600米；②小明到达C地后，两人相距600米；③小明到达C地后，小红超过小明600米，分别列出方程，求解即可.
23．【答案】（1）解：将(2， 2) 代入y=ax2-bx-8a，得b= 2a-1.
（2）解：①当a=1时，-
∵|-2|≤x≤1
∴当时，；
当时，.
②∵二次函数的最小值为2
∴即
∴或，即或
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】(1)将已知点(2，2)代入二次函数 利用等式性质求解方程，从而得到b用含a的代数式表示的结果。
(2)①先确定此时二次函数的具体表达式，根据二次函数对称轴公式求出对称轴，结合函数开口方向，通过计算对称轴及端点处的函数值，比较大小得出在给定范围内的最大值和最小值；
②根据对称轴与给定范围 的位置关系分三种情况讨论，进而确定在不同情况下取得最小值的点，代入函数解析式列方程求解，再结合每种情况的条件对解进行取舍.
24．【答案】（1）证明：连结AD交CG于H
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB
∴AB为CD中垂线
（2）解：①∵∠AGC=∠DGF，
∴∠AGD=∠CGF，
∵∠GAD=∠GCF， ∠GAD+∠AGD+∠ADG=180°， ∠GCF+∠CGF+∠F=180°，
∴∠ADG=∠F，
∵∠CAG=∠GDF，∠CAG+∠AGC+∠ACG=180°， ∠GDF+∠DGF+∠F=180°，
∴∠ACG=∠F，
∵AB为CD中垂线，
∴∠MCD=∠MDC，
∴∠ACM=∠ADM，
∴∠MDG=∠ADM+∠ADG=2∠F， 即α=2β；
②∵∠ADG=∠ADM=∠F，DG=DM，AD=AD
∴△ADM≌△ADG(SAS)
∴M，G关于AD对称
∴AD⊥MG，即∠MHD=90°
∵∠DCG+∠ADC+∠MHD=180°， ∠DCG+∠ACG=∠ACD
∴α-β-γ=90°， 即2γ-β=90°
【知识点】线段垂直平分线的性质；垂径定理；圆周角定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）连结AD交CG于H，即可得到，然后根据同弧所对的圆周角相等和圆内接四边形的性质得到结论即可；
（2）①根据三角形的内角和得到∠ADG=∠F，∠ACG=∠F，根据垂直平分线可得∠MCD=∠MDC，即可得到∠ACM=∠ADM，然后根据角的和差解答即可；
②先根据SAS证明△ADM≌△ADG得到M，G关于AD对称即可得到AD⊥MG，然后根据三角形的内角和和角的和差得到结论即可.
1 / 1浙江省温州市第十二中集团校2025年九年级素养测试数学试题卷（三模）
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．（2025·温州三模）-2025的绝对值为（　　）
A．2025 B．-2025 C． D．
【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：，
∴2025的绝对值是2025，
故答案为：A.
【分析】根据绝对值的定义进行求解即可.
2．（2025·温州三模）如图，该几何体的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从上面看到的几何图形为：
故答案为：C.
【分析】根据从上面看到的结合图形解答即可.
3．（2025·温州三模）据文化旅游部数据显示，2024年国庆节假期，全国国内出游约1467000000人次，将1467000000个数用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将1467000000用科学记数法表示为
故答案为：D.
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 ， 其中 n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此解答即可.
4．（2025·温州三模）已知扇形的半径为6，圆心角为，则它的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：扇形面积
故答案为：D.
【分析】把已知数据代入扇形面积公式计算，即可得到答案.
5．（2025·温州三模）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解： 故该项不正确，不符合题意；
故该项不正确，不符合题意；
故该项不正确，不符合题意；
故该项正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法法则进行解题即可.
6．（2025·温州三模）如图，与位似，位似中心为点O，OC'：OC=3：4，的面积为9，则面积为（　　）
A．12 B． C．16 D．18
【答案】C
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解： 与 位似，
， 且相似比为4：3，
与 的面积比为16：9，
的面积为9，
的面积为16，
故答案为：D.
【分析】根据位似图形的概念得到 再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可.
7．（2025·温州三模）小鹿两次购买相同药物的费用均为200元，第二次购买时每盒降价8元，他多买了2盒.设第一次购买时该药品的单价为x（元/盒），则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设第一次购买时该药品的单价为x元/盒，则第二次购买时该药品的单价为 元/盒，
由题意得：
故答案为：C.
【分析】设第一次购买时该药品的单价为x元/盒，则第二次购买时该药品的单价为 元/盒，根据小鹿两次购买相同药物的费用均为200元，第二次多买了2盒，列出分式方程即可.
8．（2025·温州三模）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，其面积分别记为，，.若，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．6 B． C．5 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：在 中， 由勾股定理得：
即
由图形可知，阴影部分的面积
∴阴影部分的面积
故答案为：B.
【分析】由勾股定理得 根据题意求出 即可解决问题.
9．（2025·温州三模）点，，在反比例函数的图象上，且，则下列判断正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：在反比例函数 的图象中， 则函数的图象在第二、四象限，在每个象限y随x的增大而增大，
若 则 且 或 即当 时，
故A错误，B正确；
若 则 且 或
当 时， 当 时，
故C、D错误；
故答案为：B.
【分析】由 可得反比例函数图象在第二四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，根据选项一一分析即可.
10．（2025·温州三模）如图，在正方形ABCD中，将边AB绕点A逆时针旋转至AF，使F点落在正方形ABCD内部，延长BF交的平分线于点H，连结FD交AH于点G，则下列比值是定值的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解： 设∠BAF=2x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB= AD， ∠BAD =90°，
∴∠DAF=∠BAD-∠BAF =90°-2x，由旋转的性质可得.AF=AD，
∵BF交∠DAF的平分线于点H，
∴AH⊥DF， DF=2FG，
∴∠H =∠AFB-∠HAF =45°，
∴△HFG是等腰直角三角形，
∴FG=HG，
故答案为：B.
【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，旋转的性质，设∠BAF=2x， 由正方形的性质可得AB= AD， ∠BAD =90°， 则∠DAF=90°-2x， 由旋转的性质可得AF= AB=AD， 则∠AFB=90°-x， 由三线合一定理得到AH⊥DF， DF=2FG，则可证明∠H =45°，则△HFG是等腰直角三角形，进而得到据此可得答案.
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025·温州三模）因式分解：a2-6a=　 　.
【答案】a(a-6)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： a2-6a=a(a-6)，
故答案为：a(a-6).
【分析】根据直接提取公因式解答即可.
12．（2025·温州三模）方程组的解为　 　.
【答案】
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
得， 解得
把 代入②得， 解得 故此方程组的解为 ，
故答案为： .
【分析】先用加减消元法求出x的值，再用代入消元法求出y的值即可.
13．（2025·温州三模）动车组列车的普通坐席位置通常用A，B，C，D，F五个字母表示，其中A，F代表靠窗坐席，小红随机购买了一张动车组列车的普通坐席车票，坐席是靠窗位置的概率为　 　.
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：小环随机购买了一张动车组列车的普通坐席车票，坐席是靠窗位置的概率为
故答案为：.
【分析】直接根据概率公式求解即可.
14．（2025·温州三模）如图，BD是的直径，点在DB的延长线上，AC是的切线，为切点，连结CO，CD，若，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】圆周角定理；切线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵AC是⊙O的切线，C为切点，
∴AC⊥OC，
∴∠OCA=90°，
∵∠D=25°，
∴∠AOC=2∠D=50°，
∴∠A=90°-∠AOC=40°，
故答案为：40°．
【分析】先根据切线的性质得∠OCA=90°，从而可得∠AOC=2∠D=50°，再根据直角三角形两个锐角互余求∠A．
15．（2025·温州三模）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（3，4），将向右平移一定距离，得到，点F为DE中点，函数的图像经过点C和点F，则k的值是　 　.
【答案】6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；用坐标表示平移
【解析】【解答】解：由平移的性质可得AC =OE= BD，
由条件可知OA=CE =4， AB =3.
设AC=OE=BD=a， 则AD=a+3，
∴C(a，4)， D(3+a，4)， E(a，0).
∵点F为DE中点，
∵函数 的图象经过点C和点F，
解得
∴k=6.
故答案为：6.
【分析】由平移的性质可得AC=OE=BD，设AC=OE=BD=a， 则AD=a+3， 则C(a，4)， D(3+a，4)， E(a，0)， 由两点中点坐标公式得到F(3+2a，2)，则由待定系数法可得k=4a=2(3+2a)， 解方程即可得到答案.
16．（2025·温州三模）如图，在菱形ABCD中，，，E是AB边上的一点，，将四边形AEFD沿着EF折叠得到四边形A'D'FE，当三点A'，B，D'在同一条直线上时，　 　°，此时D'F交BC边于点G，CG的长为　 　.
【答案】120°；
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接BF， 延长AB、 相交于点I，在CB上截取 连接FH， 以 为邻边作平行四边形 连接MH， 如 图：
∵菱形ABCD， ∠A =60°，
三点在同一条直线上，
又∵，
∴，
∴，
为等边三角形，
由折叠得： ，
是平行四边形，
∴BM=BH =4， ∠FMB=∠FD'B=120°，
∴∠BMH=∠BHM，
∵∠BHF=180°-∠CHF =180°-60°=120°
∴∠FMH=∠FMB﹣∠BMH=∠FHB﹣∠BHM =∠FHM
∴FM=FH =2，
∴BD'=FM=2，
∴A'B = A'D'-BD'=AD-BD'=6-2=4，
∵FD∥AE，
∴FD∥A'E，即
设A'E = AE =x， 则BE=6﹣x，
∵DF∥AB，
∴∠DFE=∠IEF，
由折叠知： ∠DFE=∠IFE，
∴∠IFE=∠IEF，
，
解得：
∵ BI∥CF，
解得： ，
∴
故答案为：
【分析】连接BF， 延长AB、. 相交于点I，在CB上截取 连接FH， 以 为邻边作平行四边形 连接MH，先证明 为等边三角形， 得 ，再证明 得到
最后证明 即可求解
三、解答题（本题有8小题，共72分、解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（2025·温州三模）计算：.
【答案】解：.
=2-4×-9
=-5
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先运算立方根，负整数指数次幂，代入特殊角的三角函数值，然后加减解答即可.
18．（2025·温州三模）先化简，再求值：，其中.
【答案】解：，
当x=5时，原式=
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先根据同分母分式的减法化简，然后代入x的值计算解答即可.
19．（2025·温州三模）如图，在中，，，，点D在BC边上，且，，垂足为E，连结CE
（1）求的值.
（2）求的度数.
【答案】（1）解：如图，做，
则∵，
∴，
（2）解：由勾股定理可知，
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）做，根据余弦的定义求出AH长，然后根据勾股定理求出CH的长，求出正弦解答即可；
（2）根据勾股定理求出BH长，然后根据平行线分线段成比例求出HE，然后根据正切计算解答即可.
20．（2025·温州三模）某校为确保学生安全，开展了“远离溺水·珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛，现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取10名学生的成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x表示），将学生竞赛成绩分为A，B，C三个等级，A：70≤x<80，B：80≤x<90，C：90≤x≤100.下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩为：75，76，85，85，87，87，87，94，96，98.
八年级10名学生的竞赛成绩在B等级中的数据为：82，83，86，89，89.
两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示：
学生 平均数 中位数 众数 方差
七年级 87 86 b 52.4
八年级 87 a 89 62.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a=　 　，b=　 　，m=　 　.
（2）根据以上数据，从统计量角度进行分析：哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）.
（3）该校七年级共有900人参赛，八年级共有850人参赛，请估计该校七、八年级参赛学生中成绩为“优秀”（x≥90）的总共有多少人
【答案】（1）87.5；87；30
（2）解：八年级更好，因为：八年级众数89高于七年级众数87，同时八年级中位数大于七年级中位数.
（3）解：900×0.3-850×0.3=525 (人)
【知识点】扇形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）八年级A等级的人数为10×20%=2人，
排列后居于中间的两个数为86和89，故，
七年级数据中87出现次数最多，故b=87，
八年级C等级的百分比为m%=，故c=30，
故答案为：87.5，87，30；
【分析】（1）先求出八年级A等级的人数排列后得到居于中间的两个数求平均解答即可求出a的值；根据七年级中出现次数最多的数求出b；然后求出八年级C等级的百分比求出c即可；
（2）根据中位数，众数，平均数或方差分析解答即可；
（3）运用七、八年级的人数分别乘以“优秀”等级的百分比求和解答即可.
21．（2025·温州三模）根据要求作图并证明.
如图，有一张矩形纸片ABCD，AB=6，AD=10.将纸片进行两次折叠，第一次折叠使得点A与点B重合，复原纸片得到折痕EF；第二次经过点B折叠，使点A的对称点A'落在EF上.得到折痕BG，G为折痕与AD的交点.
（1）尺规作图：在图中做出点A'及折痕BG（借助无刻度的直尺和圆规、不写作法，保留作图痕迹）·
（2）连接AA'，A'B，判断△ABA’形状，并证明.
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：如图，
∵在AB中垂线EF上
∴
∴
∴为等边三角形
【知识点】等边三角形的判定；尺规作图-垂线
【解析】【分析】(1)以点B为圆心，BA长为半径作弧，交EF于点， 再作 的平分线，交AD于点G，则折痕BG即为所作；
(2)连接利用三边相等证明 是等边三角形即可.
22．（2025·温州三模）在一条笔直的公路上依次有A，B，C三地，小明、小红两人同时出发，小明从B地骑自行车匀速去A地拿东西，停留一段时间后，再以相同的速度匀速前往C地，小红步行匀速从C地至A地，小明、小红两人距C地的距离y（米）与时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）求小明、小红两人的速度.
（2）求小明从A地前往C地过程中y关于x的函数表达式.
（3）请求出经过多少时间后，小明与小红相距600米.
【答案】（1）解：小明骑自行车速度是：（1200-400）÷2=400（米/分）
小红步行速度是：1200÷12=100（米/分）
（2）解：小明从A地骑自行车到C地的时间为1200÷400=3（分）
将（9，1200)，（12，0)代入y=kx+b
得
y=-400x+4800
（3）解： 情况一：小明从A地到C地的途中，两人相距600米；此时，小明行驶的路程为400x+400，小红行驶的路程为100x ，
根据题意，得，解得；
情况二：小明到达C地后，两人相距600米；此时，小明到达C地，小红行驶的路程为100x，
根据题意，得，解得x=6；
情况三：小明到达C地后，小红超过小明600米；此时，小明到达C地，小红行驶的路程为100x，
根据题意，得 ，解得 ，
答：经过或6或分钟后，小明与小红相距600米 .
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）由图象可得小明从B地到A地， 停留一段时间后，再以相同的速度匀速从A地到C地，行驶的路程为(1200-400)米时，用时2分钟；小红从A地到C地，行驶的路程是1200米，用时12分钟，从而根据速度等于路程除以时间，列式计算即可；
（2）小明从A地到C地的过程是一条直线，因此y关于x的函数关系式为一次函数，根据图象，我们可以得到该段直线上两个坐标点(9，1200)和(12，0)，从而利用待定系数法求解即可；
（3）分类讨论：①小明从A地到C地的途中，两人相距600米；②小明到达C地后，两人相距600米；③小明到达C地后，小红超过小明600米，分别列出方程，求解即可.
23．（2025·温州三模）已知二次函数y=ax2+bx-8a（a，b是常数，a≠0），其图象过点（2，2）.
（1）用含a的代数式表示b.
（2）当a=1时，
①若-2≤x≤1时，求二次函数的最大值和最小值。
②若x满足m≤x≤m+3时，二次函数的最小值为2，求m的值.
【答案】（1）解：将(2， 2) 代入y=ax2-bx-8a，得b= 2a-1.
（2）解：①当a=1时，-
∵|-2|≤x≤1
∴当时，；
当时，.
②∵二次函数的最小值为2
∴即
∴或，即或
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】(1)将已知点(2，2)代入二次函数 利用等式性质求解方程，从而得到b用含a的代数式表示的结果。
(2)①先确定此时二次函数的具体表达式，根据二次函数对称轴公式求出对称轴，结合函数开口方向，通过计算对称轴及端点处的函数值，比较大小得出在给定范围内的最大值和最小值；
②根据对称轴与给定范围 的位置关系分三种情况讨论，进而确定在不同情况下取得最小值的点，代入函数解析式列方程求解，再结合每种情况的条件对解进行取舍.
24．（2025·温州三模）如图，AB是的直径，点在上，过点作交AB于点，为上的一点，连接AG交CD的延长线于点，连接CG交AB于点，连接DG，MD.
（1）求证：∠AGC=∠DGF.
（2）设∠MDG=α，∠F=β，∠ACE=γ·
①求证：α=2β.
②若DG=DM，求β和γ的数量关系.
【答案】（1）证明：连结AD交CG于H
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB
∴AB为CD中垂线
（2）解：①∵∠AGC=∠DGF，
∴∠AGD=∠CGF，
∵∠GAD=∠GCF， ∠GAD+∠AGD+∠ADG=180°， ∠GCF+∠CGF+∠F=180°，
∴∠ADG=∠F，
∵∠CAG=∠GDF，∠CAG+∠AGC+∠ACG=180°， ∠GDF+∠DGF+∠F=180°，
∴∠ACG=∠F，
∵AB为CD中垂线，
∴∠MCD=∠MDC，
∴∠ACM=∠ADM，
∴∠MDG=∠ADM+∠ADG=2∠F， 即α=2β；
②∵∠ADG=∠ADM=∠F，DG=DM，AD=AD
∴△ADM≌△ADG(SAS)
∴M，G关于AD对称
∴AD⊥MG，即∠MHD=90°
∵∠DCG+∠ADC+∠MHD=180°， ∠DCG+∠ACG=∠ACD
∴α-β-γ=90°， 即2γ-β=90°
【知识点】线段垂直平分线的性质；垂径定理；圆周角定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）连结AD交CG于H，即可得到，然后根据同弧所对的圆周角相等和圆内接四边形的性质得到结论即可；
（2）①根据三角形的内角和得到∠ADG=∠F，∠ACG=∠F，根据垂直平分线可得∠MCD=∠MDC，即可得到∠ACM=∠ADM，然后根据角的和差解答即可；
②先根据SAS证明△ADM≌△ADG得到M，G关于AD对称即可得到AD⊥MG，然后根据三角形的内角和和角的和差得到结论即可.
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