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福建省厦门外国语学校2024-2025学年下学期八年级数学期末试题
一、单选题
1．函数中自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．下列函数中，是的正比例函数的是 （ ）
A． B． C． D．
3．已知关于x的一元二次方程：，则下列根的判别式正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．一组数据3，5，5，7，加入一个数5后，下列各统计量中，发生变化的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
5．如图，用个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为．记这个图形的周长（实线部分）为，则下列整数与最接近的是（ ）
A．14 B．13 C．12 D．11
6．小明用四根长度相同的木条制成了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图①所示的菱形，并测得，接着活动学具成为图②所示的正方形，并测得对角线，则图①中对角线的长为（ ）
A． B． C． D．
7．利用一个平行四边形画菱形，对于以下两种作法，根据画图痕迹可以判断（ ）
A．①②都正确 B．①正确，②不正确
C．①不正确，②正确 D．①②都不正确
8．若不等式的解集是，则下列各点可能在一次函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在矩形中，点是的中点，将矩形沿所在的直线折叠，，的对应点分别为，连接交于点．下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图， ， 以为邻边作， 连接， 则线段长为（ ）
A． B． C． D．3
二、填空题
11．关于x的方程有一个根为，则m的值为 ．
12．若点，在一次函数图象上，则 （填，或）．
13．在一次空气污染指数抽查中， 收集到7天的数据如下：75，70，81，91，92，91，85．则该组数据的中位数是 ．
14．如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边 ()，下列四个说法：①；②;③；④．其中说法正确的结论有 ．(填序号)
15．如图，直角坐标系中，点是x轴上的一个动点，过点P作y轴的平行线，分别与直线，直线交于A，B两点，以为边向右侧作正方形，当点在正方形内部时，t的取值范围是 ．
16．如图， 菱形中， ，，E、F分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为 ．

三、解答题
17．解方程：
(1)
(2)
18．幸福社区推出智能可回收物投放箱，居民投放可回收物可以赚取积分兑换生活用品、其中奖励积分y(分)与投放质量的函数关系如图所示．
(1)当投放质量不超过时，每千克可回收物可以赚取 积分：
(2)求AB段所在直线的函数解析式，并求出投放可回收物时，可以获得多少积分
19．某同学对两块苹果园的优质苹果情况进行调查统计，从这两块苹果园各随机采摘相同个数的苹果，测量每个苹果的直径作为样本数据，苹果直径用x(单位：cm)表示．将所收集的样本数据进行如下分组：
组别 A B C D E
x/ cm
整理样本数据，并绘制甲、乙两块苹果园样本数据的频数分布直方图，部分信息如下：
根据上面图表解答下列问题：
(1)请直接写出乙苹果园样本数据频数分布直方图中 ．
(2)请求出甲苹果园样本直径的平均数；
(3)直接写出乙苹果园样本直径的中位数落在 组；(请填写组别对应的大写字母)
20．如图，在中，点在边上，，点为线段上一点，．求证：．
21．如图，某居民小区有一块四边形空地，小道和把这块空地分成了和三个区域，分别摆放三种不同的花卉．已知米，米，米，米．
(1)求四边形的面积；
(2)小明和小林同时以相同的速度同时从点出发，分别沿和两条不同的路径散步，结果两人同时到达点，求线段的长度．
22．（1）请在所给的平面直角坐标系中，用描点法画出函数 的图象；
（2）请继续完成图形并解答：函数的图象分别与轴，轴交于点，，过点作轴的垂线，在直线上取点，恰使，请求出点的坐标．

23．如图， 矩形， 点E 在边上．
(1)尺规作图：请在线段上作出点 F，使得 ；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)在（1）的条件下，若，
①设，请用含x的代数式表示(不用写自变量x的取值范围)
②请写出线段与的数量关系，并说明理由．
24．如图，平面直角坐标系中有菱形，点 点 C，D在第三象限内．
(1)如图1， 若点 求菱形的面积；
(2)如图2， 若 M为的中点．
①求点 D 到直线的距离；
②若N为边上一动点 (不与点O重合)，将 沿直线折叠，点O的对应点为点E，连接，当 是以为腰的等腰三角形时，画出示意图并求直线的解析式．
参考答案
1．B
解：由题意得，，
解得．
故选：B．
2．D
解：∵，，不符合正比例函数的定义，是正比例函数，
∴只有选项符合题意，
故选：．
3．D
解：对于方程，其二次项系数为1，一次项系数为，常数项为，，
故选：D．
4．C
解：原数据：3，5，5，7
平均数：
中位数：排序后为3，5，5，7，中位数为
方差：
众数：出现次数最多的数为5．
新数据：3，5，5，5，7
平均数：（未变）
中位数：排序后为3，5，5，5，7，中位数为5（未变）
方差：（变小）
众数：出现次数最多的数仍为5（未变）．
综上，方差发生变化，
故选：C．
5．B
解：每一个直角三角形都有一条直角边长为，如图所示，
∴左起第一个直角三角形的斜边长为，
第二个直角三角形的斜边长为，
第三个直角三角形的斜边长为，
第四个直角三角形的斜边长为，
，
∴第九个直角三角形的斜边长为，
∴这个图形的周长（实线部分）为，
∵，，
∴，即，
∴，
∴最接近的是13，
故选：B ．
6．C
在图2正方形中，
∵，
∴，
∵，
∴，
在图1菱形中，连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
故选：C．
7．B
解：在作法①中，如图：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
由作图可知垂直平分，
则，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，①正确；
在作法①中，如图：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，即，
由作图可知，
则，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵不一定相等，则不一定相等，
∴不能判定 四边形是菱形，②不正确；
故选：B．
8．D
解：，
，
又不等式的解集是，
，，
即，
结合一次函数解析式可得，
此时一定在该函数图象上，
选项，将代入解析式可得，结合可解得，与已知矛盾，选项错误；
选项，将代入解析式可得，结合可解得，与已知矛盾，选项错误；
选项，将代入解析式可得，结合可解得，与已知矛盾，选项错误；
选项，将代入解析式可得，结合可解得，符合，选项正确．
故选：．
9．D
解：连接，设为直线上一点，
∵在矩形中，点是的中点，
∴，
∵折叠，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；故选项D正确；
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
在中，，
∴，故选项错误；
∵，故选项A错误；
∵，
∴，
∵为的一个外角，
∴，
∵，，
∴，
∴，即：；故选项B错误；
故选D．
10．A
解：连接交于点O，取的中点M，连接，
由条件可知，，，
是的中位线，
，
，
，
，
，
故选：A
11．
解：∵关于x的方程．有一个根为，
∴，
解得：．
故答案为：．
12．
解：∵点，在正比例函数图象上，
∴将点，代入得：，
∴，
故答案为：．
13．85
解：把这组数据按照从小到大的顺序排列为70，75，81，85，91，91，92，处在最中间的数据为85，
∴这组数据的中位数为85，
故答案为：85．
14．①
解：根据题意，得，，
∵，
∴，
∴，
故．
故①正确；②错误；③错误；④错误；
故答案为：①．
15．或
解：当轴，点是轴正半轴上的一个动点，
，，
，
点C的横坐标为，
点在正方形内部，
，且，
解得或，
故答案为：或．
16．
解：∵菱形中， ，，
∴，，
过点B作，且截取，
则，
连接，
∴，
∵，
∴，

∴，
∵，
∴，
故当A，E，T三点共线时，取得最小值，最小值为的长，
∵，
∴，
故最小值为，
故答案为：．
17．(1)，
(2)
（1）解：∵,
在这里，
∴，
解得，．
（2）解：∵，
∴，
解得．
18．(1)10
(2)；350
（1）当投放质量不超过10 kg时，由，可知每千克可回收物可以赚取10积分．
（2）设AB段所在直线的函数解析式为，
代入，，可得，
解得，
，
当时，，
答：AB段所在直线的函数解析式为，当投放可回收物时，可以获得350积分．
19．(1)50
(2)
(3)C
（1）解：根据题意，甲的样本容量为，
故，
故答案为：50．
（2）解：根据题意，得．
（3）解：根据题意，得中位数是第100个和101个数据的平均数，
结合已知，得，
故一定落在C组．
故答案为：C．
20．见解析
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∴．
又∵，，
∴．
∴．
∴．
21．(1)平方米
(2)线段的长度为米
（1）解：∵米，米
∴米
∵
∴是直角三角形，且
∴四边形的面积为平方米
（2）解：由（1）可得是直角三角形，
依题意，米，
设米，则米
在中，
∴
解得：，即线段的长度为米．
22．（1）图见解析；（2）图见解析，
解：（1）列表得：
描点、连线得：

（2）如图，过点作交于点，点坐标为，连接，

由题意知，，，
，，
，
，，
，
，
，
点坐标为，，，
，，
在与中，，
，
，，
轴，
，
设直线为，
直线经过，，
可得，解得，
直线为，
点在直线上且在直线，
，
，
．
23．(1)见解析
(2)①；②，理由见解析
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：①∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即；
②，理由如下：
如图所示，延长到G，使得，连接，
设，则，
由①可得，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
24．(1)
(2)①；②或
（1）解：如图，作于点H，
∵
∴，
∴
∵菱形，
∴
∵
∴
∴（正值舍去）
∴
∴菱形的面积为：
（2）①作
∵，
∴
∴
∴．
∵菱形
∴
∴点 D 到直线的距离为
②（Ⅰ）当时，连接，作于H，于G，
∵四边形是菱形，，，
∴，，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴， ，
∴，
∵M为边的中点，
∴，，
∵折叠，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴D、E、N三点共线，
作于点P，于点Q，则四边形是矩形，
∴，
设，则，，
∴，
∵，
∴
解得，
∴
∴
设直线解析式为，
则，解得，
∴；
（Ⅱ）当点E与点A重合时，此时折痕与垂直，所以N与C重合，满足，
由（Ⅰ）知，
∴直线的解析式为；
（Ⅲ）由（Ⅱ）图可知，此时满足，
∴此种情况和（Ⅱ）一样．
综上，直线解析式为或．

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