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青海省2025年初中学业水平考试数学试题
(本试卷满分120分，考试时间120分钟)
注意事项：
1.本试卷为试题卷，请将答案写在答题卡上，否则无效。
2.答卷前请将密封线内的项目填写清楚。
一、选择题(本大题共8 小题，每小题3 分，共24 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求).
1. - (-2)的值为
A. B. 2 C. - 2 D.
2.下列图形是轴对称图形的是
3.2025年4 月 19 日，全球首次“人机共跑”半程马拉松在北京开跑.本次比赛全程约21公里，这意味着采用双足步态的人形机器人要完成约 25 万次精密关节运动.将数据“250000”用科学记数法表示为
A. B.
C. D.
4.工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取 OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，即CM=CN，过角尺顶点 C的射线 OC便是∠AOB的平分线，这种做法的依据是
A. AAS B. SAS
C. SSS D. ASA
5.下列计算正确的是
6.我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤.试问各位善算者，多少人分多少银 ”译文：“隔着墙壁听见客人在分银两，不知道有多少人，多少银两.若每人分7两，则还多4两；若每人分9两，则还差8两.请问：有多少客人 分多少银两 ”设客人为x人，银两为y两.根据题意可列方程组为
C. D.
7. 如图, AB是⊙O的直径, ∠CAB=40°, 则∠ADC的度数是
A. 80° B. 50°
C. 40° D. 25°
8.如图，甲、乙两车从A地出发前往B地，在整个行程中，汽车离开A地的路程y(km)与时刻t之间的对应关系如图所示，下列结论错误的是
A. 乙车先到达B地
B. A、B两地相距300km
C. 甲车的平均速度为 100km/h
D.在8：30时，乙车追上甲车
二、填空题 (本大题共8小题，每小题3分，共24分).
9.4的算术平方根是 .
10.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则a+b 0. (填 “＞” “=”或“＜”)
11. 七名同学一分钟排球垫球个数分别为 42, 47, 43, 43, 45, 43, 46. 这组数据的众数是 .
12. 若 是一元二次方程 的一个根，则c的值为 .
13、在平面直角坐标系中，点 )在第三象限，则a的取值范围是 .
14. 如图, 在菱形ABCD中,. , E, F分别为AB, BC的中点, 且. 则菱形 ABCD的面积为 .
15. 如图, 在4 中， 且 3, DB=2, 则 的值是 .
16.下图是谢尔宾斯基地毯图案的形成过程.按此规律下去，第⑥个图形中黑色三角形的个数是 .
三、解答题(本大题共9小题，共72分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤).
17.(6分)计算:
(6分)先化简 再从-2，0，1中选一个合适的数代入求值.
19.(7分) 如图, 直线. 与x轴交于点A(1，0)，与y轴交于点B，与反比例函数 (m为常数， 的图象在第二象限交于点(
(1)求反比例函数的解析式；
(2) 求 的面积.
20. (7分)如图, 在 中，点O，D分别是边AB，BC的中点，过点A作 交DO的延长线于点 E, 连接AD, BE.
(1)求证：四边形AEBD是平行四边形；
(2)若AB=AC, 试判断四边形AEBD的形状; 并证明.
4
21. (6分)数学实践
【问题背景】
中国传统农业智慧遇上现代数学模型.“豇豆不上架，产量少一半”的农谚流传至今，现代科学揭示了其秘密：当支架与地面形成( °夹角时，既能在早春聚热防冻害，又能在盛夏分散强光，就像给豇豆装了智能遮阳篷.
【问题呈现】
用两根竹竿交叉，斜插入地面，交叉点在何处会使支架与地面形成65°夹角
【模型建立】
环节一：数据收集
两根竹竿长度均为 1.8米，插入地下的部分为 0.3米，竹竿与地面接触点间距为 0.6米且与地面所形成的夹角均为(
环节二：数学抽象
如图：已知线段AB与CD交于点O，AB，CD与直线l分别交于点E，F， 求 OE的长度.(结果精确到0.1，参考数据：
【问题总结】
交叉点O 距顶端A的长度即 OA为 m时，支架与地面形成( 夹角，这样更贴合作物的生长规律.
5
22. (8分)如图, 线段AB经过圆心O, 交⊙O于点A, C, AD为⊙O的弦, 连接BD,∠A=∠B=30°.
(1) 求证: 直线 BD是⊙O的切线;
(2) 已知BC=2, 求 的长(结果保留π).
23.(10分)为了让学生体验青海民俗文化，某学校开设了特色艺术实践课程，课程分别是：A.五谷画，B.彩陶，C.剪纸，D.排灯.现学校要了解学生最感兴趣的课程情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查(每位学生必选且只能选一个课程)，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图：
根据以上提供的信息，解答下列问题：
(1)此次被调查的学生总人数为 ；扇形统计图中
(2)补全条形统计图；
(3)该校有1600人，请你估计该校对课程D感兴趣的学生有多少名
(4)甲、乙两名同学从A、B、C、D四个课程中任选一个，用树状图或列表法求两人恰好选到同一个课程的概率.
6
24.(11分)在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A，B两点，点B的坐标为(1,0), 点 C(2,5)在抛物线上.
(1)求抛物线的解析式；
(2) ①求点A的坐标;
②当y＜0时，根据图象直接写出x的取值范围 ；
(3)连接AC交y轴于点D，在y轴上是否存在点 P，使 是以AC为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由.
25.(11分)活动与探究
解码蜜蜂的“家”——为什么蜂房是正六边形的
蜜蜂的“集体宿舍”是由多个正六边形密铺在一起的，这些密铺的正六边形使得蜂房之间没有空隙，一点儿也不浪费空间.这是数学中的密铺(或镶嵌)问题.平面图形的密铺(或镶嵌)是指用形状、大小完全相同的一种或多种平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片.
探究一：若只用一种正多边形，哪些正多边形可以密铺
平面图形 每个内角度数 能否整除 能否密铺
正三角形 60° 360°÷60°=6 能
正方形 ① ② 能
正五边形 108° 不能
正六边形 120° 能
正七边形 900° 7 不能
正八边形 135° ③ ④
… … …
(1) 请补全上述表格① ; ② ; ③ ; ④ .7
探究二：在能密铺的正多边形中，哪种形状最省材料
数学视角：蜜蜂的身体可近似看成圆柱，若圆柱底面半径为1，当蜂房恰好容纳一只蜜蜂即正多边形的内切圆半径均为1时，比较正三角形，正方形和正六边形周长的大小.
观察图1，发现⊙O是正三角形ABC的内切圆，与AC切于点D，( , 在Rt△ADO中, . 则 的周长为(
(2) 如图2, 正方形ABCD的周长为 ;
(3)如图3，求出正六边形的周长(写出求解过程).
探究三：在能密铺的正多边形中，哪种形状可以使蜜蜂的活动空间最大
数学视角：假设蜜蜂建造蜂房的材料总量即周长一定，比较正三角形、正方形和正六边形面积的大小.
(4)若正多边形的周长都为12，则正三角形的面积为 ；
正方形的面积为 ；正六边形的面积为 .
【得出结论】
综上所述：在相同条件下，正六边形结构最省材料，能使蜜蜂的活动空间最大，是建造蜂房的最优方案.
8
青海省2025 年初中学业水平考试
数学试题参考答案及评分标准
说明：
①本解答的解证题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考察内容参考评分标准制定相应的评分细则.
②注意，解证题评分采用累积评分制，解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累积分数.
一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求).
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C A C D D B C
二、填空题 (本大题共8小题，每小题3分，共24分).
9. 2 10. ＞ 11. 43 12. 3
13. a＜-1 14. 12 15. 16. 3 或243 (两个答案均可得分)
三、解答题(本大题共9小题，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤).
17.(6分)解:
………………4分
………………………………………………………………6分
18.(6分)化简:
解：
…………1分
·2分
·3分
=a-2 …………………………………………………………………………….4分
求值：情况①：把a=0代入 情况②:把a=1 代入
原式=0-2 原式=1-2
=-2 =-1…………………………………6 分
备注：情况①或情况②写上均可得分。
1
19. (7分)
解:(1)把点A(1,0)代入y=-x+b中
得0=-1+b
b=1……………………………………………1分
∴一次函数解析式为y=-x+1
把点C(-1,a)代入y=-x+1中
得a=1+1=2
∴点C的坐标为(-1,2)……………………2分
把C(-1,2)代入 中，
得 …………………3分
∴反比例函数解析式为 (或写成 ·4分
(2)过C点作 CH⊥y轴于点H,
∵C(-1,2) ∴CH=1……………………………………………… ·5分
把x=0代入y=-x+1得, y=1.
∴B(0,1) ∴OB=1…………………………………………… ·6分
…………………… ·7分
此题可用其他方法，根据学生作答给分.
20.(7分)
(1)证明：情况①∵点O为AB的中点
∴OA=OB……………………………………………………………………1分
∵ AE∥BC
∴∠EAO=∠OBD
∠AEO=∠BDO ………………2分
在△AEO和△BDO中
∴△AEO≌△BDO(AAS)……………………………………………………3分
∴AE=BD
∵AE∥BD
∴四边形AEBD 是平行四边形...................................4分
2
情况②∵点O为AB 的中点
∴OA=OB………………………………………………………………………1分
∵AE∥BC
∴∠AEO=∠BDO ……………………………………………………………2分
在△AEO和△BDO中
∴△AEO≌△BDO(AAS)……………………………………………………3分
∴OE=OD
∵OA=OB
∴四边形AEBD是平行四边形 4分
情况③点O，D分别是边AB，BC的中点
∴OD∥AC……………………………………………………………………1分
∵AE∥BC
∴四边形AEDC是平行四边形……………………………………………2分
∴AE=DC
∵点D 是边 BC的中点
∴BD=CD
∴AE=BD
且AE∥BC
∴四边形AEBD 是平行四边形 4分
备注：本题中全等的证明方法有：AAS、ASA(结合学生答题评判)
(2)证明: 当AB=AC时, 四边形AEBD是矩形……………………………………5分
理由如下：
情况①∵AB=AC, 点D是BC边上的中点
∴AD⊥BC 即∠ADB=90°…………………………………………………6分
∵由(1)得四边形 AEBD 是平行四边形
∴四边形AEBD是矩形 7分
情况②∵点D，O分别是边BC，AB的中点
∴OD∥AC即DE∥AC
∵AE∥BC
∴四边形 AEDC是平行四边形
∴AC=DE
∵AB=AC
∴AB=DE……………………………………………………………………6分
∵由 (1)得四边形AEBD是平行四边形
∴四边形AEBD 是矩形………………………………………………….7分
3
21.(6分)过O点作OH⊥EF , 垂足为H………………………………………………………1分
∴OE=OF
………………3分
在 中,∠OEF=65°
…5分
问题总结: OA=0.8m…………………………………………………………………6分
22.(8分)情况①:
(1) 证明: 连接OD
∴∠ADB=180°-∠A-∠B=120°……………1分
∵OA=OD
∴∠A=∠ODA=30°……………………………2分
∴OD⊥BD… ………………………………………………………………3分
且 OD是⊙O的半径
∴直线BD是⊙O 的切线……………………………………………………………….4分
(2)在Rt△DOB中, ∠ODB=90°,∠B=30°
设OD=OC=r
解得r=2· …………………………………………………………………6分
∵∠DOB=∠A+∠ODA=30°+30°=60°或
∵∠DOB=180°-∠ODB-∠B=60°……………………………………………………7分
………………………………………………………………….8分
情况②：
连接OD
∵OA=OD
∴∠A=∠ODA=30°……………………………………………………………………1分
∵∠DOB=∠A+∠ODA=30°+30°=60°………………………………………2分
∴∠ODB=180°-∠DOB-∠B=180°-60°-30°=90°
∴OD⊥BD………………………………………………………………………..3分
且 OD是⊙O的半径
∴直线BD是⊙O 的切线………………………………………………………..4分
(2)在 Rt△DOB中, ∠ODB=90°, ∠B=30°
设OD=OC=r
解得r=2 …………………………………………………………6分
∵由 (1) 得∠DOB=60°
…8分
23.(10分)
(1) 160 2分20
(2)如图所示，条形统计图已补全…………………·4分
(3)解: 人 …5分
答：估计该校对 D感兴趣的学生有400人……6分
(4)情况①：列表格
甲乙 A B C D
A AA BA CA DA
B AB BB CB DB
C AC BC CC DC
D AD BD CD DD
如树状图所示，共有 16种等可能结果，而出现甲、乙两人恰好选到同一课程的有4种: AA, BB, CC, DD.………………………………………………………8分
∴P(甲、乙两人恰好选到同一课程) …………………………………10分
情况②：画树状图
如树状图所示，共有 16 种等可能结果，而出现甲、乙两人恰好选到同一课程的有4种: AA, BB, CC, DD.………………………………………………………8分
∴P(甲、乙两人恰好选到同一课程) ……………………………..10分
5
24.(11分)
解:(1) 将B(1,0)、C(2,5)代入
…………………………………….…2分
得 …3 分
∴抛物线的解析式为. .. …… ……4分
(2) ①当y=0时,
得
∴A(-3,0)· …………………………..………………6分
②-3＜x＜1…………………………………………………7分
(3) 存在, P (0,7), P (0,-3)..………………………………11分
备注：每写出一个正确P点坐标得2分
25.(11分)
(1) 每空 1分
①90°
④不能…………………………………………………..4分
(2)8…………………………………………………………………………………………5分
(3) 解: 如图,
⊙O为正六边形的内切圆与 CD切于点M，连接OM，OD
∴OM⊥CD且(
在Rt△MOD中, ∠OMD=90°, ∠ODM=60°
…………………………………………..8分
(4) 每空1分
9 6 ·………………………………………11 分
6

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