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安徽省安庆市宿松县2024-2025学年七年级下学期期末数学试题
一、单选题
1．下列实数中，无理数是（ ）
A． B． C． D．
2．石墨烯是碳的同素异形体，具有优异的光学、电学、力学特性，单层石墨烯的厚度为，数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法中，错误的是（ ）
A．8的立方根是 B．0的算术平方根是0
C．平方根是 D．立方根等于的实数是
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，，，则x、y、z三者之间关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．下面的约分，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．眼镜是利用了凹透镜能使光发散的特点达到矫正视力的目的．如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．若，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
8．如图，现给出下列条件：①，②，③，④，⑤，其中任选一个条件，能够直接得到的条件有几个？（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
9．已知实数a，b，c满足，，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．观察下列算式：①；②；③；…结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
二、填空题
11．司南是中国古人利用磁铁制作的一种指南工具，如图，司南的形状像一把汤匙，它的长度与最大宽度之比为，若介于两个连续整数n和之间，则n的值是 ．
12．分解因式： ．
13．已知与的两边分别平行，且、的度数分别为，，则的值为 ．
14．在车站开始检票时，有名旅客在候车室等候检票，检票开始后，仍有旅客前来进站，旅客进站按固定速度增加人/分钟，所有的检票口检票也按固定速度为人/分钟．若车站只开2个检票口，则需要20分钟才能把所有等候检票的旅客全部检票完毕；若只开放3个检票口，则需要10分钟才能把所有等候检票的旅客全部检票完毕．
（1）的值为 ．
（2）若要在5分钟内完成检票，减少旅客等待的时间，需要至少开放 个检票口．
三、解答题
15．解方程：．
16．计算：．
17．化简：．
18．先化简，，再从，，，中选择一个合适的值代入求值．
19．观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：________________；
(2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示，为正整数），并说明等式成立的理由．
20．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，三角形的各个顶点均在格点（网格线的交点）上．将三角形向右平移m（）个单位，再向下平移n（）个单位，平移后点C的对应点是点．
(1)______；
(2)画出平移后得到的三角形；
(3)请在直线l上画出所有符合要求的格点P，使得三角形的面积等于三角形的面积．
21．如图，已知，垂足分别为D、F，，试说明：．请补充说明过程，并在括号内填上相应的理由．
解：（已知），
（________），
∴（________），
（________）．
又（已知），
（________），
∴________（________），
（________）．
22．综合与实践
背景 蛟龙去，灵蛇来．中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》以“巳巳如意，生生不息”为主题，引领全球华人迈向生机盎然、充满希望的乙巳蛇年．小明所在的班级，准备开展知识竞赛，需要去商店购买A、B两种款式的蛇年盲盒作为奖品．
素材1 某商店在无促销活动时，A款盲盒比B款盲盒每个贵2元，且用200元购买的A款盲盒与用160元购买的B款盲盒个数相同．
素材2 该商店迎蛇年搞促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）；线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮．
问题解决
任务1 某商店在无促销活动时，求款盲盒和款盲盒的销售单价各是多少元？
任务2 小明计划在促销期间购买、两款盲盒共40个，其中款盲盒个，若在线下商店购买，共需要_____元，若在线上淘宝店购买，共需要_____元．（均用含的代数式表示，并填化简后的结果）
任务3 请你帮小明算一算，在任务2的条件下，购买A款盲盒的个数在什么范围内时，线下购买方式更合算？
23．【阅读理解】
若x满足，求的值． 解：设，， 则，， 所以． （注： ）
【迁移运用】
请仿照上面的方法求解下面问题：
(1)若满足，求的值；
(2)如图，已知正方形的边长为x，E，F分别是，上的点，且，，长方形的面积是35，分别以，为边作正方形和正方形，求阴影部分的面积．
参考答案
1．B
解：A、是有理数，故选项不符合题意；
B、是无理数，故选项符合题意；
C、，是有理数，故不符合题意；
D、是有理数，故选项不符合题意．
故选：B．
2．B
解：依题意，数据用科学记数法表示为，
故选：B
3．A
解：A、8的立方根是2，原说法错误，故此选项符合题意；
B、0的算术平方根是0，原说法正确，故此选项不符合题意；
C、，9的平方根是，原说法正确，故此选项不符合题意；
D、立方根等于的实数是，原说法正确，故此选项不符合题意．
故选：A．
4．B
解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项正确，符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、和不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意；
故选：B
5．D
解：∵，，，
∴
∴
∴
故选：D．
6．C
解：A、，故A选项不符合题意；
B、，故B选项不符合题意；
C、，故C选项符合题意；
D、已经为最简形式，故D选项不符合题意．
故选：C．
7．A
解：根据题意得：，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴．
故选：A
8．C
解：∵，∴，故①不符合题意；
∵，∴，故②符合题意；
∵，∴，故③符合题意；
∵，∴，故④不符合题意；
∵，∴，故⑤符合题意；
综上，正确的结论是②③⑤，共3个；
故答案为：C．
9．D
解：∵，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴
，
综上所述，，，
故选：D．
10．B
解：∵①，
②，
③，
…，
，
．
，，，，，，的乘方运算，其末位数字分别为，，，，每个为一组，依次循环．
，
的末位数字为，
的末位数字为，
即的计算结果的末位数字为．
故选：B．
11．4
解：，
，即，
，
无理数的值介于两个连续整数和之间，
，
故答案为4．
12．
解：
故答案为：．
13．或/41或23
解：如图1，
∵的两边与的两边分别平行，
∴，
∴，
即，
解得；
如图2，
∵的两边与的两边分别平行，
∴，，
∴
∴
解得，
故答案为：或．
14． 20 5
解：根据题意，得 ，
得，
解得，
将代入①，得，
解得，
即．
故答案为：20；
（2）解：设 5 分钟内完成检票，需要至少开放个检票口，
根据题意，得，
把代入得，
，
，
解得．
∵为正整数，
∴最小为 5 ．
答：至少开放 5 个检票口．
故答案为：5．
15．无解
解：在方程两边同时乘，得：，
去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
解得：，
检验：把代入，得：，
∴是原方程的增根，
∴分式方程无解．
16．
解：
．
17．
解：原式
．
18．，
解：
，
，，，
可以取，此时原式．
19．(1)
(2)猜想第个等式为，理由见解析
（1）解：按照以上规律，可写出第6个等式为：．
故答案为：；
（2）猜想第个等式为．
理由：左边
，
∴左边右边，
∴等式成立．
20．(1)2
(2)图见详解
(3)图见详解
（1）解：根据题意可知，点先向右平移三个单位，则，再向下平移一个单位，即，到达点；
故．
（2）解：即为所求．
（3）解：根据题意可知：因为点到的距离为 2在直线上找到与距离为 2 的点即可；图中即为所求．
21．垂直的定义；同位角相等，两直线平行 ；；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
解：（已知），
（垂直的定义），
∴（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补）．
又（已知），
（同角的补角相等），
∴（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等； ；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
22．任务1：A款盲盒的销售单价为元，B款盲盒的销售单价为元
任务2：；
任务3：购买A款盲盒的数量在范围内时，线下购买方式更合算
解：任务1：设A款盲盒销售单价为元，B款盲盒单价为元，
根据题意得，解并检验得，
B款盲盒单价元
答：该商店在无促销活动时，A款盲盒单价为元，B款盲盒单价为元；
任务2：若在线下商店购买，共需要元，
若在线上淘宝店购买，共需要元；
任务3：由题意可得，
解得：，
答：购买A款盲盒的数量在范围内时，线下购买方式更合算．
23．(1)6
(2)24
（1）解：设，则，
由得，
由得，，
，
即；
（2）解：因为正方形的边长为．
所以，
所以．
而，
所以阴影部分的面积．
设，
则，
所以，
因为，所以，
从而，
所以．
即阴影部分的面积是24．

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