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福建莆田厢城区2024-2025学年八年级数学下学期期末试卷
一、单选题
1．要使二次根式有意义，的值可以取（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
2．如图，阴影部分是一个正方形，该正方形的面积为（ ）
A．3 B．9 C．16 D．25
3．下列各式运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．菱形和矩形都具有的性质是（ ）
A．四条边都相等 B．四个角都是直角
C．对角线互相平分 D．对角线相等
5．一次函数的图象经过点，且随的增大而增大，则点的坐标不可能是（ ）
A． B． C． D．
6．某校八年级对一次数学测试结果进行统计，八年级1班平均分85分，2班平均分87分，关于以上2个班级所有学生的数学平均分，以下说法一定正确的是（ ）
A．
B．可能大于87
C．若1，2班人数相同，则
D．若1班人数比2班少，则
7．如图，在中，，．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交于点P，交于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线交的延长线于点E，则的长是（ ）
A． B． C． D．
8．为响应“书香校园”建设，某学校组织各班进行图书捐赠活动，各班捐赠图书的数量如图所示．统计数据后，老师发现原本记录为23本的三班，实际捐赠数量应为28本，那么下列关于平均数和中位数的变化情况的叙述中，正确的是（ ）
班级 1 2 3 4 5
原捐赠数量 18 22 23 26 30
A．平均数增加了1，中位数不变 B．平均数增加了1，中位数增加了1
C．平均数增加了5，中位数增加了3 D．平均数增加了1，中位数增加了3
9．已知一次函数图象经过点，且点和点都在第一象限内．下列判断正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
10．在一条沿山而建的游览路线上依次有三处观景台，小方从处徒步前往处，同时小圆从处骑车前往处，到达处后休息1分钟，然后立即折返（折返时间忽略不计）按原路原速前往处，结果小圆比小方早2分钟到达处，两人均匀速运动，如图是两人距处路程（米）与时间（分钟）之间的函数图象．根据上述信息，下列说法错误的是（ ）
A．小方的速度为米/分钟
B．小圆的速度为300米/分钟
C．线段所在直线函数解析式为
D．出发分钟或分钟后，两人之间路程相距200米
二、填空题
11．已知甲、乙两名运动员10次标枪的平均成绩相同，标枪落点如图所示，则方差 （填“”“”或“”）．
12．已知函数不经过第四象限，其中可以是 ．（写出一个即可）
13．已知，则代数式的值为 ．
14．如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是 ．
15．如图将两张长为，宽为的矩形纸条交叉，使其重合部分始终为菱形，则该菱形面识的最大值为 ．
16．如图，四边形是正方形，点是线段延长线上的动点（不与点重合），点是线段延长线上的动点（不与点重合），，连接．给出下面四个结论：①；②；③；④．
上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题
17．计算：
18．已知函数向上平移2个单位后得到，求平移前与之间的函数解析式，并画出平移前函数的图象．
19．如图，点是的中点，．请你写出图中的一个平行四边形，并说明理由．
20．为了解学生艺术鉴赏和实践能力，某校组织开展“艺术学科考试”，随机抽取了100名学生的考试成绩（满分100分）进行分析，得到如下成绩统计表：
分数段
频数 6 30 50 14
(1)根据上表数据，下列结论错误的是（写出所有错误结论的序号）__________．
①众数一定落在分数段 ②中位数一定落在分数段
③平均数一定落在分数段 ④方差一定落在分数段
(2)为提升学生艺术鉴赏和实践能力，如果想确定一个较高的艺术达标成绩目标，你认为达标成绩至少定为多少分合适？说明理由．
21．在中，．若，如图1，根据勾股定理，则．
(1)若是钝角三角形，如图2，请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论．
(2)是否存在三边长为连续整数的钝角三角形？如果存在，请求出钝角三角形的三边长；如果不存在，请说明理由．
22．如图，在中，，点分别是边的中点．连接并延长至点，使得．连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)连接，已知，求的周长．
23．根据以下思考，探索完成任务．
皮克公式的探索与应用
问题 背景 在单位面积为1的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形．
素材1 如图，探索格点多边形的面积时，把多边形分割成小正方形和三角形，分别计算各个面积并相加，可求出多边形的面积．
素材2 奥地利数学家皮克证明格点多边形的面积公式，格点多边形的面积与格点多边形内的格点数和边界上的格点数有关，面积公式可表示为（其中为常数）．
问题解决
任务1 探索皮克公式 在素材2中的两个网格图中，分别画出两个边长不同，且内部只含有4个格点的格点正方形，并根据所画的格点正方形，直接写出应满足的数量关系；
任务2 应用皮克公式 在单位面积为1的正方形网格纸（共110个格点）中，画一个内部有18个格点的格点多边形，满足格点多边形之外的格点数不少于该格点多边形边界上的格点数，求该格点多边形的最大面积．
24．已知直线经过线段的一个端点，直线经过线段的另一个端点．若直线与交于点，且点不在线段上，则称点为线段的“相伴点”．
(1)线段的两个端点分别为和，则在点中，选择一个是线段的“相伴点”，并说明理由；
(2)是直线上的两个动点．
①点是线段的“相伴点”，且点的纵坐标为6，求点的横坐标；
②正方形的四个顶点的坐标分别为，其中．当点在直线上运动时，生成线段的“相伴点”．若所有线段的“相伴点”中，有且只有1个点在正方形上，求的值．
25．如图，矩形中，，，为边上的动点，连接．过点作于点，的中点为，连接，，．
(1)的度数；
(2)设，的面积为．
用含的代数式表示；
点，分别在，上，且，，连接，．当取最小值时，求的值．
参考答案
1．A
解：∵二次根式有意义，
∴，
解得：，故的值可以取5，
故选：A．
2．B
解：由图可知正方形的边长为，
∴正方形的面积为，
故选：B．
3．C
解：A．根据二次根式加减法则，同类二次根式相加减，系数相加减，根式部分不变．，运算错误；
B．同类二次根式相减，系数相减．，运算错误；
C．根据二次根式乘法法则，．，运算正确；
D．将系数与根式分别运算．，运算错误；
故选C．
4．C
解：A、菱形的四条边都相等，矩形的四条边不一定相等，故A不符合题意；
B、矩形的四个角都是直角，菱形的四个角不一定都是直角，故B不符合题意；
C、菱形对角线互相平分，矩形的对角线互相平分，故C符合题意；
D、菱形的对角线不一定相等，矩形的对角线相等，故D不符合题意；
故选：C．
5．B
解： 当时，，
∴一次函数的图象必经过点，
∵一次函数，随的增大而增大，
∴，则，
∴一次函数的图象经过第一，三，四象限，交x轴于正半轴，交y轴于负半轴，
∴点的坐标可能是，，，
∵在第二象限，
∴点的坐标不可能是．
故选B．
6．C
解：A、两个班的平均数不一定是86分，因为两个班的人数不确定，选项说法错误，不符合题意；
B、因为八年级1班的平均分为85分，八年级2班的平均分为87分，所以两个班的平均分不可能高于87 分，选项说法错误，不符合题意；
C、当1，2班人数相同，为时，两个班的平均数为：（分），选项说法正确，符合题意；
D、若1班的人数为，2班人数为时（），则这两个班的平均分为：，选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
7．B
解：∵由题意可知是的平分线，
∴，
∵四边形是平行四边形，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
8．D
解：原数据：18，22，23，26，30，
平均数：，
中位数：将数据从小到大排列为18，22，23，26，30，中间数为23．
修正后数据：18，22，28，26，30，
平均数：，
中位数：将数据从小到大排列为18，22，26，28，30，中间数为26．
变化比较：
平均数增加：，
中位数增加：，
因此，平均数增加了1，中位数增加了3，
故选D．
9．C
解：∵一次函数图象经过点，且点和点，
∴，
∴，
∴一次函数为：，
如图，当时，
此时，故A不符合题意；
当时，如图，
此时，故B不符合题意；
如图，当时，此时在线段上，不包括端点；
此时，则选项C正确，D错误；
综上，正确答案为C；
故选：C
10．D
解：根据题意可知，，
∴小圆的速度为：（米/分钟），
故选项B正确；
∴小圆从B地到C地用时：（分钟），
∴，
∴，
∴小方的速度为（米/分钟），
故选项A正确；
设线段所在直线函数解析式为，
将、代入，
得，
解得，
∴线段所在直线函数解析式为，
故选项C正确；
由题意可知，相距300米，相距900米，
∵，，
∴直线的解析式为：，
∵，
∴直线的解析式为：，
当时，小方从处徒步前往处，同时小圆从处骑车前往处，即小方、小圆朝相反方向走，
∴令，
解得，
∵当时，小方从处徒步前往处，小圆从处往处骑行，
∴，
解得（不合题意，舍去），
∵当时，小方从继续徒步前往处，小圆从处往处骑行，
∴或，
解得或．
综上，出发分钟或分钟或分钟后，两人之间的路程相距200米，
故选项D错误．
故选：D．
11．
解：由图可知，乙的成绩比甲的成绩更加的集中，
∵甲和乙的平均成绩相同，
∴，
故答案为：．
12．1（答案不唯一）
解：∵函数的图象不经过第四象限，
∴故函数的图象过第一、二、三象限，或者经过第一、三象限且过原点
∴
符合题意的b的值可以为1，
故答案为：1（答案不唯一）．
13．
解：∵，
∴
，
故答案为：．
14．
解：∵一次函数与的图象相交于点，
∴根据函数图象可得关于的不等式的解集是，
故答案为：．
15．
解：由题意可知菱形的高为，则底越长，面积越大．
如图所示，此时底的长达到最大值，
∵四边形是菱形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得：，
即菱形的最大边长：，
∴该菱形面识的最大值为： cm．
故答案为：．
16．①②④
解：如图，设交于点，
∵四边形是正方形，，
∴，，，
∴，
∴，，故②正确；
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故③错误；
∵，，
∴，
即，故④正确；
故答案为：①②④．
17．
解：
．
18．，图见解析
解；∵函数向上平移2个单位后得到，
∴平移前与之间的函数解析式为：，
当时，当时，，
如图，
19．四边形是平行四边形
解：四边形，是平行四边形，理由如下：
∵点是的中点
∴
∵
∴
∵
∴，
∴
∴
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵ ，
∴四边形是平行四边形.
20．(1)①③④
(2)80分，见解析
（1）解：虽然分数段在的频数最多，但不代表众数在这个分数段内，故①错误；
由于抽取了100名学生，则中位数为50，51人成绩的平均数，由统计表可得前两个分数段有36人，第三个分数段50人，因此中位数一定落在分数段，故②正确；
由于每个分数段的具体成绩不知道，则平均数具体落在哪一个分数段不确定，故③错误；
方差的单位是原数据的平方，而分数段的单位为分，无直接关联，故④错误，
故答案为：①③④；
（2）解：达标成绩至少定为80分合适，理由如下：
因为中位数落在这个分数段，定为80分可以确保超过一半的学生达标，且体现较高水平．
21．(1)，证明见解析
(2)存在三边长为连续整数的钝角三角形，三边长分别为2，3，4．
（1）解：，证明过程如下：
过点作的延长线于点，如图所示：
不妨设，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
，
；
（2）解：存在，三边为2，3，4，理由如下:
假设存在三边长为连续整数的钝角三角形，不妨设这个钝角三角形的最短边为，那么另外两边分别为和，
那么有，
，
由（1）的结论可知，，
，
，
或，
，
或，
又，
，
当时，，，
综上，存在三边长为连续整数的钝角三角形，三边长分别为2，3，4．
22．(1)见详解
(2)
（1）证明：∵、分别是边、的中点，
∴是 的中位线，，
∴，
∵，
∴，即，
又 ∵，，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵，，
∴，
由（1）可得，，，四边形是菱形，
∴，，
∴，
过点F作交的延长线于点H，连接，
则，
∴，
∴，
∴，
∴的周长．
23．任务1：；任务2：40
解：任务1：如图，在正方形的内部有4个格点，在正方形的边上有12个格点，且其面积为
如图，在正方形的内部有4个格点，在正方形的边上有4个格点，且其面积为，
∴ ，
解得，
∴；
任务2：∵该多边形内部有18个格点，
∴，
∴，
∴S随b的增大而增大，
∵共110个格点，
∴该多边形外部的格点数为个，
∵格点多边形之外的格点数不少于该格点多边形边界上的格点数，
∴，
∴，
∴当时， 有最大值，最大值为．
24．(1)是线段的“相伴点”，理由见解析
(2)①或；②或．
（1）解：是线段的“相伴点”，理由如下：
当直线经过点，直线经过点时，则，
∴直线的解析式为，直线的解析式为，
联立，解得，
∴此时直线与直线的交点坐标为，
∵线段的两个端点分别为和，
∴此时直线与直线的交点在线段m上，不符合题意；
同理可得当直线经过点，直线经过点时，
直线与直线的交点坐标为，
∵不在线段m上，
∴是线段的“相伴点”；
（2）解：①∵是直线上的两个动点，
∴，
∴，，
当直线经过点，直线经过点时，则，，
∴，，
∴直线的解析式为，直线的解析式为，
在中，当时，，
在中，当时，，
∵点是线段的“相伴点”，且点的纵坐标为6，
∴，
解得，
∴，
∴；
当直线经过点，直线经过点时，则，，
∴，，
∴直线的解析式为，直线的解析式为，
在中，当时，，
在中，当时，，
∵点是线段的“相伴点”，且点的纵坐标为6，
∴，
解得，
∴，
∴；
综上所述，点N的坐标为或；
②由①可得当直线经过点，直线经过点时， 直线的解析式为，直线的解析式为，
联立，解得，
∴线段的“相伴点”的坐标为，
∴线段的“相伴点”在直线上运动，
∵所有线段的“相伴点”中，有且只有1个点在正方形上，
∴正方形与直线有且只有一个交点，
如图所示，当直线恰好经过点C时符合题意，
∴，
解得；
当直线经过点，直线经过点时，则直线的解析式为，直线的解析式为，
联立，解得，
∴∴线段的“相伴点”的坐标为，
∴线段的“相伴点”在直线上运动，
∵所有线段的“相伴点”中，有且只有1个点在正方形上，
∴正方形与直线有且只有一个交点，
如图所示，当直线恰好经过点E时符合题意，
∴，
解得；
综上所述，的值为或．
25．(1)；
(2)；．
（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，，
∴，，
∴；
（2）解：如图，过作于点，则，
∵，，
∴，，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴的面积，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
由（）得，
∴，
∴；
如图，取中点，连接，
∵为中点，
∴，，
∴，
作点关于的对称点，连接，连接，
∴，
∵为中点，，
∴，
∴，
∵，
∴当三点共线时，最小，即最小，如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴．

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