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厦泉五校2024-2025学年高二年级第二学期期末联考
数学科试卷
一、单项选择题（每题5分）
1．已知集合，则( )
A. B. C. D.
2．复数在复平面内对应的点所在的象限为( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3．在中,D在上且,设,,则( )
A. B. C. D.
4．古城赣州最早有五大城门,分别为镇南门,百盛门,涌金门,建春门和西津门,赣州某学校历史兴趣小组决定利用两个周日的时间对五大城门的地理位置及历史意义进行调研.若约定:每个城门只调研一次,且每个周日只调研五大城门中的两大城门或三大城门,则恰好在同一个周日调研百盛门和建春门的概率为( )
A. B. C. D.
5．函数的图像恒过定点A，若点A在直线上，且，则的最小值为( )
A.13 B.16 C. D.28
6．奇函数的定义域为R,若为偶函数,且,则的值为( )
A.2 B.1 C.-1 D.-2
7．函数在上单调递增，且在上恰有三个零点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8．已知函数当时,关于的方程的实数解的个数为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题（每题6分）
9．的展开式中,下列结论正确的是( )
A.展开式共7项 B.x项系数为280
C.所有项的系数之和为2187 D.所有项的二项式系数之和为128
10.将函数的图像沿x轴向右平移个单位长度，得到函数的图像，则下列结论正确的是( )
A.
B.函数的最小正周期为
C.函数的图像关于点中心对称
D.函数在区间内单调递增
11．如图,在棱长为2的正方体中,E为边AD的中点,点P为线段上的动点,设,则( )
A.当时,平面 B.当时,取得最小值,其值为
C.的最小值为 D.当平面CEP时,
三、填空题(每题5分)
12．已知离散型随机变量服从正态分布,且,则__________.
13.已知平面向量、的夹角为，且，，则在方向上的投影向量为_________.（用向量坐标表示）
14．已知函数有唯一零点，则负实数______
四、解答题
15．（本题13分）在内,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.
(1)求角B的值；
(2)若的面积为,,求的周长.
16．（本题15分）某视力研究中心为了解大学生的视力情况，从某大学抽取了60名学生进行视力测试，其中男生与女生的比例为，男生近视的人数占总人数的，男生与女生总近视人数占总人数的.
(1)完成下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为是否近视与性别有关.
近视 不近视 合计
男
女
合计 60
(2)按性别用分层抽样的方法从近视的学生中抽取8人，若从这8人中随机选出2人进行平时用眼情况调查，求选出的2人中女生人数X的分布列和数学期望.
附：.
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
17．（本题15分）如图,在三棱锥中,平面,E、F分别为、的中点,且,,.
(1)证明：平面.
(2)求C到平面的距离.
18．（本题17分）2025年冰雪节来临之际,搭建冰雕主题乐园需要大量的冰块,A,B,C三个工程队负责从冰冻的江中采出尺寸相同的冰块.在雕刻的过程中,有时会导致冰块碎裂,且一旦有裂痕冰块就不能使用了.A,B,C三个工程队所采冰块总数之比为,冰块利用率即所使用冰块数占所采冰块总数的比例分别为0.8,0.6,0.6.在计算以上数值的过程中忽略了少量冰块对计算结果的影响,这种思路可用于整个问题求解的过程中.现在从三个工程队采出的所有冰块中随机抽取冰块,用频率估计概率.
(1)若只取1块,求它是由B队所采的概率;
(2)若抽取2块,其中由A队采出的冰块数记为,求的分布列和数学期望;
(3)假设每年使用的冰块数一样多,已知往年任意一块冰被利用的概率为0.65,那么能否判断今年冰块的利用率有显著提升？你有什么好的建议？
19．（本题17分）已知函数.
（1）若a=1,求函数在x=1处的切线方程
(2)若在上单调递增,求a的取值范围;
(3)若,证明：当时,.（参考数据：）
厦泉五校2024-2025学年高二年级第二学期期末联考
数学科参考答案和评分标准
1．答案：B
解析：有交集定义故选:B
2．答案：A
解析：化简复数，
对于复数，实部，虚部.
因为实部，虚部，
所以复数在复平面内对应的点在第一象限.
故选：A.
3．答案：B
解析：如图,在中,D在上且,所以.
则
.
又因,,所以.
故选：B.
4．答案：A
解析：由题意,每个城门只调研一次,且每个周日只调研五大城门中的两大城门或三大城门,
共有种不同的调研方法,
其中恰好在同一个周日调研百盛门和建春门,可得分为:
①其中一个周日只调研百盛门和建春门,另一个周日调研其他三门,有种方法;
②其中一个周日调研百盛门,建春门和其中另一个门,另一个周日调研剩余的两门,
有种方法,共有种不同的调研方法,
所以恰好在同一个周日调研百盛门和建春门的概率为.
故选:A.
5．答案：B
解析：时,函数值恒为,
函数的图象恒过定点
又点A在直线上,
，，
，
当且仅当时取“=”，
故选B.
6．答案：D
解析：由为偶函数, ,
令,则,即,
因为为奇函数,有,所以,
令,得, ,即函数是周期为4的周期函数,
奇函数中,已知,,
则.
故选：D.
7．答案：D
解析：由，，，
可得，
所以函数的单调递增区间为，，
因为函数在上单调递增，
所以，
所以，所以，
由，，，
可得，，
所以函数的零点的集合为，，
因为函数在上恰有三个零点，
所以，，
所以，
所以，
所以的取值范围为.
故选：D.
8．答案：C
解析：
9．答案：BCD
解析：选项A：因为,所以展开式共有8项,故A错误,
选项B：展开式的常数项为,故B正确,
选项C：令,则所有项的系数和为,故C正确,
选项D：所有项的二项式系数和为,故D正确,
故选：BCD．
10．答案：ABD
解析：将函数的图像沿x轴向右平移个单位长度，
得到函数，所以选项A正确，
对于选项B，因为的最小正周期为，所以选项B正确，
对于选项C，因为，
所以函数的图像不关于点中心对称，故选项C错误，
对于选项D，由，
得到，
所以的增区间为，
令，得到一个增区间为，
又，所以选项D正确，
故选：ABD.
11．答案：BC
解析：在棱长为2的正方体中,建立如图所示的空间直角坐标系,
,,,,,,
,,则点,
对于A,,,,而,,
显然,,即是平面的一个法向量,
而,因此不平行于平面,即直线与平面不平行,A错误；
对于B,,
则,
因此当时,取得最小值,B正确；
对于C,,,
于是,
当且仅当时取等号,C正确；
对于D,取的中点F,连接,,,如图,
因为E为边AD的中点,则,当平面CEP时,平面,
连接,连接,连接,显然平面平面,
因此,,平面,平面,则平面,
即有,而,所以,D错误.
故选：BC.
12．答案：0.936
解析：
13.答案：
解析：因为，
所以，
因为平面向量、的夹角为，且，
则在方向上的投影向量为
.
故答案为：.
答案：-3
【解析】注意到直线是和的对称轴，故是函数的对称轴，
若函数有唯一零点，零点必在处取得，所以 ，又,解得.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)由,得
由正弦定理,得.
.
.
又,
.
又,
.
又,
.
(2)由(1)知,
①
又,故,
,②
又,
由①②,得,故,
,
故,周长为.
16．答案：(1)表格见解析，无关；
(2)分布列见解析，.
解析：（1）由题意，男生与女生的人数之比是，
所以男生有人，女生有人，
男生近视的人数占总人数的，所以有人，
男生中不近视的人数为15人，男生与女生总的近视人数占总人数的，
所以总的近视人数为，则女生中近视的人数为人.
可得如下列联表：
近视 不近视 合计
男 25 15 40
女 15 5 20
合计 40 20 60
零假设为：性别与近视情况独立，即性别因素与学生近视情况无关；
所以，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即性别因素与学生近视情况无关.
（2）男生与女生总的近视的学生一共有40人，其中男生近视人数是25人，女生近视人数是15人，从中抽取8人，抽到的男生人数 女生人数分别为：
，.
所以从这8人中随机抽取2人，其中女生人数X的所有可能取值为0，1，2.
，，，
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
即.
17．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)因为E、F分别为、的中点,所以为的中位线,
所以,,因为,所以；
在中,,,,所以,
所以,即；
因为平面,平面,所以；
又平面,平面,,所以平面.
(2)由(1)可知、、两两垂直,
建立如图所示分别以、、为x、y、z轴的空间直角坐标系,
,,,,
,,,
设平面的法向量为,则有,
即,令,则,,所以,
设C到平面的距离为d,则.
18．答案：(1)
(2)分布列见解析,
(3)不能,建议见解析
解析：(1)由题意知,冰块之间是没有差异的,所以,从三个工程队采出的所有冰块
中随机抽取一块抽到每一块冰的可能性可以看作是相等的.
因为A,B,C三个工程队所采冰块总量之比为,
所以若只取1块,它是B队所采的概率为.
(2)据题意知在计算过程中可以忽略少量冰块对计算结果的影响,
即可以将“从三个工程队采出的所有冰块中随机抽取”看作是有放回的抽取.
设事件A,B,C分别表示随机抽取的一块冰是由A,B,C二个队分別采回的,
与(1)同理可求得若只取1块,则,
由B,C两队所采的概率为.
依题意可知的取值为0,1,2,且.
所以,
,
,
所以的分布列为：
0 1 2
P
数学期望.
(3)设事件D表示冰块被利用,由(2)知,.
所以,,.
又
,即今年冰块的利用率约为0.67.
可见,今年冰块的利用率比往年提升了约.
但依据该数据还不能判断今年冰块的利用率有显著提升.若要判断提升是否显著,
可以进一步查阅数据,构造相关统计量再进行判断.
.
19．答案：(1)
(2)证明见解析
解析：(1)由题意可知,对任意的,,则,
令,其中,则,
当时,,此时函数单调递减,
当时,,此时函数单调递增,
所以,,,解得,
因此,实数a的取值范围是.
(2)证明：因为,先证明,即可证得原不等式成立,
构造函数,其中,则,
,令,则,
当时,,此时函数单调递减,
当时,,此时函数单调递增,
因为,,
所以,存在,使得,
当时,,此时函数单调递增,
当时,,此时函数单调递减,
当时,,此时函数单调递减,
故当时,,
当时,,此时函数单调递增,则,
故对任意的,,即,
因为,故对任意的,则,即.

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