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山西省大同市2024-2025学年高一下学期期末教学质量监测数学试题
一、单选题
1．设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．复数（为虚数单位），则=（ ）
A． B． C． D．
3．已知点，，若点与，共线，则实数（ ）
A． B．13 C．12 D．
4．若一组样本数据为，，，另一组样本数据，，的方差为8，则，，这组数据的方差为（ ）
A．4 B．2 C．6 D．8
5．为了弘扬体育精神，学校组织秋季运动会，在一项比赛中，学生甲进行了8组投篮，得分分别为10，8，a，8，7，9，6，8，如果学生甲的平均得分为8分，那么这组数据的75百分位数为（ ）
A．8 B．9 C．8.5 D．9.5
6．如图，在边长为2的等边三角形中，点为中线的三等分点靠近点，点为的中点，则 （ ）

A． B． C． D．
7．某社区计划在一块空地上种植花卉，已知这块空地是面积为1800平方米的矩形，为了方便居民观赏，在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为2米的人行通道，则种植花卉区域的面积的最大值是（ ）
A．1208平方米 B．1448平方米 C．1568平方米 D．1698平方米
8．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为
A． B． C． D．
二、多选题
9．将颜色分别为红、绿、白、蓝的4个小球随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人一个，则（ ）
A．事件“甲分得红球”与事件“乙分得白球”是互斥不对立事件
B．事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”是互斥不对立事件
C．事件“甲分得绿球，乙分得蓝球”的对立事件是“丙分得白球，丁分得红球”
D．当事件“甲分得红球”的对立事件发生时，事件“乙分得红球”发生的概率是
10．已知函数（），下列说法正确的是（ ）
A．当时，函数的值域为
B．当时，函数有最小值没有最大值
C．当时，函数在区间上单调递增
D．当时，函数的值域为
11．已知，是单位向量，且，若向量满足，则下列选项正确的是（ ）
A． B．与的夹角为
C．在上的投影向量的模为 D．在上的投影向量为
三、填空题
12．某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动．在了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为10的样本，并算得样本的平均数为5；乙同学抽取了一个容量为8的样本，并算得样本的平均数为6．若甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本，则合在一起后的样本平均数为 ．（精确到0.1）
13．乒乓球比赛一般是11分制，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方平后，甲先发球，两人又打了个球该局比赛结束．则事件“且甲获胜”的概率为 ．
14．如图，正四棱柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则在正四棱柱中，异面直线和所成的角的大小为 ．
四、解答题
15．已知函数.
(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；
(2)求函数在区间上的值域.
16．统计局就某地居民的月收入（单位：元）情况调查了10000人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图（如图），每个分组包括左端点不包括右端点，如第一组表示月收入在内．
(1)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中用分层随机抽样的方法抽出100人进行下一步分析，则月收入在内的应抽取多少人？
(2)估计该地居民的月收入的中位数；
(3)假设同组中的数据用该组区间的中点值代替，估计该地居民月收入的平均数．
17．已知在中，，．
(1)求；
(2)设，求边上的高．
18．如图，四棱锥S -ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．
（1）求证：AC⊥SD；
（2）若SD⊥平面PAC，求平面PAC与平面ACD的夹角大小；
（3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．
19．对于给定的正整数n，记集合，其中元素称为一个n维向量．特别地，称为零向量．设，，，定义加法和数乘：，．对一组向量，，…，（，），若存在一组不全为零的实数，，…，，使得，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关．
(1)对，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由．
①，；②，，；③，，，．
(2)已知向量，，线性无关，判断向量，，是线性相关还是线性无关，并说明理由．
(3)已知个向量，，…，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明下列结论：
①如果存在等式（，），则这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零；
②如果两个等式，（，，）同时成立，其中，则．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D D B C B C D BD AD
题号 11
答案 ACD
1．A
由题意可得的值，然后计算即可.
【详解】由题意可得，则.
故选：A.
2．D
先将复数化成的形式，再利用复数模的计算公式求值即可.
【详解】，
.
故选：D.
3．D
根据向量的共线满足的坐标关系即可求解.
【详解】由，可得，，
故共线，可得，解得，
故选：D
4．B
根据方差的性质即可求解.
【详解】设，，这组数据的方差为，则，得，
故选：B
5．C
由平均数求出的值，将这组数据从小到大的顺序排列，由百分位数的定义即可求解.
【详解】由题意可得：，解得：，
将这组数据从小到大的顺序排列为，
因为为整数，
所以这组数据的75百分位数为，
故选：C.
6．B
由已知可推得，，，进而根据平面向量数量积的运算求解即可得出结果.
【详解】由已知，，，，
所以.
由已知是的中点，所以，
，.
所以，
所以，.
故选：B.
7．C
设米，则可表示出种植花卉区域的面积，结合基本不等式即可求得答案.
【详解】设米,，
则种植花卉区域的面积．
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
则，即当米，米时，
种植花卉区域的面积取得最大值，最大值是1568平方米,
故选：C
8．D
先证得平面，再求得，从而得为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.
【详解】解法一:为边长为2的等边三角形，为正三棱锥，
，又，分别为、中点，
，，又，平面，平面，，为正方体一部分，，即 ，故选D．
解法二:
设，分别为中点，
，且，为边长为2的等边三角形，
又
中余弦定理，作于，，
为中点，，，
，，又，两两垂直，，，，故选D.
9．BD
【详解】事件“甲分得红球”与事件“乙分得白球”可以同时发生，不是互斥事件，A错误；
事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”不能同时发生，是互斥事件，除了甲分得红球或者乙分得红球以外，丙或者丁也可以分得红球，B正确；
事件“甲分得绿球，乙分得蓝球”与事件“丙分得白球，丁分得红球”可以同时发生，不是对立事件，C错误；
事件“甲分得红球”的对立事件是“甲没有分得红球”，因此乙、丙、丁三人中有一个人分得红球，事件“乙分得红球”发生的概率是，D正确.
故选：BD
10．AD
根据基本不等式，结合奇函数的性质即可求解A，根据对勾函数以及函数的单调性和奇偶性，即可求解BCD.
【详解】对于A， 时，，当，当且仅当取到等号，
由于，故为奇函数，故当，
因此函数的值域为，故A正确，
对于B，当时，，由于函数均在单调递增函数，
故为单调递增函数，故在内无最大值也无最小值，
结合，故为奇函数，因此在也无最大值和最小值，故B错误，
对于C ， 当时，，函数，故在单调递减，在单调递增函数，故C错误，
对于D，由B可知，当时，为单调递增函数，且为奇函数，因此函数的值域为，D正确，
故选：AD
11．ACD
根据模长公式即可求解A，根据夹角公式即可求解B，根据投影以及投影向量的计算公式即可求解CD.
【详解】对于A, ,故A正确，
对于B, ，故B错误，
对于C , 在上的投影向量的模为，故C正确，
对于D, 在上的投影向量为，故D正确，
故选：ACD
12．5.4
根据平均数的计算公式即可求解.
【详解】由题意可知合在一起的样本平均数为，
故答案为：5.4
13．0.1/
通过题意推导出所包含的事件为“前两球甲乙各得1分，后两球均为甲得分”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果．
【详解】由题意可知，包含的事件为“前两球甲乙各得1分，后两球均为甲得分”
所以
故答案为：0.1
14．/
作出四棱柱，即可求出异面直线AK和LM所成的角的大小
【详解】由题意，
还原正四棱柱的直观图，如图所示，取的中点，中点，中点，连接相关线段如下图所示，
∴//
由几何知识得，四边形是平行四边形，//
∴，
所以或其补角为异面直线AK和LM所成的角．
由题知，，则有，所以，
即异面直线AK和LM所成的角为．
故答案为：
15．(1)最小正周期为，单调递减区间为
(2)
（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式为，利用正弦型函数的周期公式可求出函数的最小正周期，利用正弦型函数的单调性可求得函数的单调递减区间；
（2）由求出的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求出函数在区间上的值域.
【详解】（1）解：因为
，
所以，函数的最小正周期为，
由可得，
所以，函数的单调递减区间为.
（2）解：当时，，则，
因此，函数在区间上的值域为.
16．(1)25
(2)3900
(3)3900
（1）根据频率之和为1求解，即可根据抽样比求解，
（2）根据中位数的计算公式即可求解.
（3）根据平均数的计算公式即可求解.
【详解】（1）因为，
所以，
月收入在的频率为0.25，
所以分层抽样抽出100人中月收入在的人数为；
（2）收入在的频率是，
收入在的频率是，
所以样本数据的中位数在，
且为（元）
（3）
（元）
所以平均数为3900元.
17．(1)
(2)
（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；
（2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根据等面积法求解即可.
【详解】（1），
，即，
又，
，
，
，
即，所以，
.
（2）由于为锐角，所以，
由，
由正弦定理，，可得，
，
.
18．（1）证明见解析；（2）30°；（3）存在，SE∶EC＝2∶1.
（1）由题设知，连，设交于于，由题意知平面.以为坐标原点，，，分别为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，求得向量与，结合数量积即可证明AC⊥SD；
（2）分别求出平面与平面ACD的一个法向量，求法向量的夹角余弦值，即可求出结果；
（3）要使平面，只需与平面的法向量垂直即可，结合（2）中求出的平面的一个法向量，即可求解．
【详解】（1）证明：连接BD，设AC交BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD．以O为坐标原点，，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz如图．
设底面边长为a，则高SO＝a．
于是S，D，C
＝，＝，
∵·＝0，故OC⊥SD，从而AC⊥SD．
（2）由题设知，平面PAC的一个法向量＝，平面DAC的一个法向量＝，设所求角为，则cos＝＝，∴平面PAC与平面DAC的夹角为30°．
（3）在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC．由（2）知是平面PAC的一个法向量，
且＝，＝．
设＝t，则＝＋＝＋t
＝而·＝0 t＝，
即当SE∶EC＝2∶1时
⊥，而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC．
19．(1)①线性相关，②线性相关，③线性相关
(2)向量，，线性无关，理由见解析
(3)证明见解析
（1）根据定义逐一判断即可；
（2）设，则，然后由条件得到即可；
（3）①如果某个，，然后证明都等于0即可；
②由可得，然后代入证明即可.
【详解】（1）对于①，设，则可得，所以线性相关；
对于②，设，则可得，所以，
所以线性相关；
对于③，设，则可得，
可取符合该方程，所以线性相关；
（2）设，则
因为向量，，线性无关，所以，解得
所以向量，，线性无关
（3）证明：①，如果某个，
则
因为任意个都线性无关，所以都等于0
所以这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零
②因为，所以全不为零
所以由可得
代入可得
所以
所以，，
所以

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