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甘肃省靖远县第一中学2024-2025学年高一下学期7月期末考试
数学模拟试卷
一、单选题
1．复数（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．某人欲寄出三封信，现有两个邮筒供选择，则三封信都投到同一个邮筒的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．已知三个力，，同时作用于某质点上，若对该质点再施加一个力，该质点恰好达到平衡状态（合力为零），则（ ）
A． B． C． D．
5．已知圆柱的底面半径和高相等，若该圆柱的表面积与某球的表面积相等，则圆柱与球的体积的比值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知一个三角形的三边分别是，，，则此三角形中的最大角为（ ）
A． B． C． D．150°
7．已知平面与平面相交于直线，二面角的大小为，点是平面上的一点，点是直线上的一点，直线与平面所成角的大小为，则直线与直线所成角的大小为（ ）
A． B．
C． D．30°
8．在中，内角，，所对应的边分别为，，．若且，则的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．设，是平面内不共线的两个向量，则下列四组向量中，能作为一组基的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
10．在中，，．若有两个解，则的取值可能为（ ）
A．9 B．8 C．10 D．11
11．如图，在四棱锥中，平面，，，为的中点，，则下列结论正确的是（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．
三、填空题
12．已知，且，则实数 ．
13． ．
14．某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑的成绩（互不影响）在内（称为合格）的概率分别为，，．若对这三名短跑运动员进行一次100米跑测试，恰有两人成绩合格的概率为 ．
四、解答题
15．已知向量，向量．
(1)若向量，求向量的坐标；
(2)若向量在向量上的投影为1，求向量，的夹角的大小．
16．已知是虚数单位，复数．
(1)若，求实数的值；
(2)若在复平面内对应的点在直线的左上方，求的取值范围．
17．如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？
18．排球比赛实行“每球得分制”，即每次发球都完成得分，谁取胜谁就得1分，得分的队拥有发球权，最后先得25分的队获得本局比赛的胜利，若出现比分，要继续比赛至某队领先2分才能取胜，该局比赛结束．甲、乙两队进行一局排球比赛，已知甲队发球时甲队获胜的概率为，乙队发球时甲队获胜的概率为，且各次发球的胜负结果相互独立．若甲、乙两队双方平后，甲队拥有发球权．
(1)当时，求两队共再发3次球都无法结束比赛的概率；
(2)当时，求甲队得26分且取得该局比赛胜利的概率．
19．已知斜三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱与底面所成角的大小为，，且侧面底面．
(1)求二面角的正切值；
(2)求点到平面的距离．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D C B D C B ABD ACD
题号 11
答案 AC
1．D
根据复数的乘方及除法运算规则计算即可.
【详解】.
故选：D.
2．B
根据二倍角的余弦公式计算，结合角的范围即可求解.
【详解】，则，
，可得．
故选：B
3．D
分别求出总的基本事件个数和所求事件包含的基本事件个数，即可求得概率.
【详解】可记三封信为1，2，3，两个邮筒为甲、乙，则
寄出三封信共有8种结果;
三封信投到同一个邮筒有共同投到甲邮筒和共同投到乙邮筒这2种情况.
所以三封信都投到同一个邮筒的概率为.
故选：D.
4．C
先利用向量加法求出合力，然后利用相反向量求出即可.
【详解】由题意，作用在该质点上的三个力，，，
则．
想要该质点恰好达到平衡状态，只需．
故选：C.
5．B
设圆柱底面半径、球的半径分别为,由圆柱与球的表面积公式和体积公式列比例式求解．
【详解】设圆柱底面半径、球的半径分别为,则，
所以，所以．
故选：B.
6．D
先直观确定最大边，再设最大角为，由余弦定理可得.
【详解】一个三角形的三边分别是，为最大边．
设最大角为，由余弦定理可得，
，又，故此三角形中的最大角．
故选：D.
7．C
过点作平面上的投影，过点作于点，连接，，根据线面角、二面角的平面角、异面直线所成的角的定义可求出三个角，然后在直角三角形中化简求解即可.
【详解】如图，过点作平面上的投影，过点作于点，
连接，，则角，即角为直线与平面所成的角，
角，即角为二面角的平面角，
角，即角为直线与直线所成的角．
故，，则，故．
故选：C
8．B
由余弦定理结合条件，得，再由余弦定理结合基本不等式求得的最小值，进而得到的最大值，再求的面积的最大值即可.
【详解】在中，
又∵，∴
故，
∵,∴,
所以，当且仅当时取等号，
所以的面积的最大值为．
故选：B.
9．ABD
根据基底的概念只需要判断各选项的向量是否共线即可.
【详解】不共线的向量可以作为一组基，所以不能作为一组基的便是共线向量，
对于A，因为，所以和不共线，可以作为基底；
对于B，因为，所以和不共线，可以作为基底；
对于C，因为，所以和共线，不可以作为基底；
对于D，因为，所以和不共线，可以作为基底．
故选：ABD．
10．ACD
根据有两个解，可得，解不等式即可得解.
【详解】在中，，，
因为有两个解，所以，
即，故，结合选项可知ACD符合题意．
故选：ACD
11．AC
由题意可得，由线面平行的判定定理可判断A，应用线面垂直判定定理可证得平面，即可判定B，C，假设，结合线面垂直的判定定理与性质可判断D.
【详解】因为，，所以为等腰直角三角形，，
因为，则，又，所以为等腰直角三角形，
所以，所以，
所以，又平面，平面，
所以平面，故选项A正确；
因为平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，
因为，则，又为的中点，所以，
因为平面，所以平面，
因为过一点作直线的垂面有且只有一个，所以与平面不垂直，
故选项不正确，选项C正确；
因为与平面不垂直，且，
所以不垂直（否则平面，不合题意）.
因为平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以，
假设，又平面，所以平面，
因为平面，所以，与不垂直矛盾，
所以不垂直，故选项D不正确．
故选：AC.
12．
利用平面向量的线性运算求解.
【详解】，
，
．
故答案为：.
13．
由，利用两角和的正切公式变形即可得解.
【详解】，
，
．
故答案为：.
14．
利用相互独立事件概率的乘法公式和互斥事件概率的加法公式进行计算求解.
【详解】设甲、乙、丙三人100米跑的成绩在内分别为事件A、B、C，由题意可知：
,,,
则甲、乙、丙三人恰有2人合格得概率为：
故答案为:.
15．(1)或
(2)
（1）根据向量模的坐标形式及向量垂直的坐标公式列方程计算即可；
（2）根据数量积的几何意义得，进而利用数量积的夹角公式求解即可.
【详解】（1）设，由得，
因为，向量，所以，
解得或所以或．
（2）设向量，的夹角为，
根据投影的定义知，在的投影为，即，
所以，又，所以，所以向量，的夹角的大小为．
16．(1)
(2)．
（1）根据复数为实数列式求解即可，注意去掉增根．
（2）结合复数的几何意义和点的坐标特征列不等式，解一元二次不等式即可．
【详解】（1）因为，所以，则，解得或．
又因为，所以，所以．
（2）由在复平面内对应的点在直线的左上方，
得，即，
所以或，所以实数的取值范围是.
17．救援船到达D点需要1小时．
【详解】
海里
又海里
中，由余弦定理得,
海里，则需要的时间
答：救援船到达D点需要1小时
18．(1)
(2)
（1）结合题意，由独立事件的乘法公式可得；
（2）分甲先赢后输，再连赢两局和甲先输再连赢三局的概率两种情况由独立事件的乘法公式可得.
【详解】（1）后两队前发2次球就没有结束比赛的话，那么两队的第3次发球也无法结束比赛，
故概率．
（2）当时，甲、乙两队先打成，后甲连赢两局，甲队得26分且取得该局比赛的胜利，
当甲先赢后输，再连赢两局的概率，
当甲先输再连赢三局的概率，
故甲队得26分且取得该局比赛胜利的概率．
19．(1)．
(2)．
【详解】（1）如图，过点作，垂足为，连接，
∵侧面底面，侧面底面，侧面，
底面，
为与底面的所成角，即，
∵，∴，
∵是正三角形，，
∴，，，，
侧面底面，侧面底面，底面，
所以侧面，∵侧面，.
过点作，连接，因为，平面，
所以平面，因为平面，所以，
是二面角的平面角．
在中，，，所以，
二面角的正切值为．
（2）设点到平面的距离为.
过点作，垂足为．
由（1）知平面，平面，，
∵平面，
平面，是点到平面的距离，即．
在中，，
．
设点，到平面的距离分别为，
连接与相交于点，则是的中点，则．
又是的中点，，
所以则点到平面的距离．

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