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凉山州 2024—2025 学年度下期期末统一检测高二年级试题
数 学
全卷共 4页，满分 150分，考试时间 120分钟。
注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用 0.5 毫米的黑色签字笔填写在答题卡
上，并检查条形码粘贴是否正确。
2. 选择题使用 2B 铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用 0.5 毫米黑色签字笔
书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
3. 考试结束后，将答题卡收回。
第 玉 卷 （选择题 共 58分）
一、单项选择题（共 8个小题，每小题 5分，共 40分.在每小题的选项中，只有一项是符合题目
要求的.）
1援 设集合 A= 嗓 x丨x范围为（银）
A援 (-1,0) B援 (0,1] C援 (-1,0] D援 [-1,0)
2援 若 cos 琢=2sin 琢，则 sin2琢 =（银）
A援 依 姨42 B援 45 C援 依 32 D援 35
3. 设 z= -1i ,则 z =（银）
A援 -i B援 i C援 1 D援 -1
4援 在(x- y )6 的展开式中，x2x y2 的系数为（银）
A援 30 B援 15 C援 -15 D援 -30
5援 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1=1，且 an+1=a1+a2+…+an(n沂N*)，则（银）
A援 a2=2 B援 a =2n-1n C援 S2=2 D援 S =2n-1n
6援 若直线 l:x+y-m=0(m>0)被圆 C:(x-1)2+(y+1)2=4 截得的弦长为 2姨2 ，则 m=（银）
A援 依2 B. 姨2 C. 2 D. 2姨2
7援 已知函数 f(x)=sin(棕x+渍)+姨3 cos(棕x+渍)(棕跃0，渍 约仔2 )的图象关于原点对称，且与直线 y=1 的
所有交点中，最近的两点间的距离为 仔3 ，则下列说法正确的是（银）
A援 f(x)=f(x+仔2 ) B援 f(0)高二数学 第 1 页（共 4 页）
8援 已知函数 f(x)=1n( x -1)+ex+e-x，则使不等式 f(x-1)A援(-肄，-1)胰(2,+肄) B援 (-1,1) C援( -肄,-2)胰(-1,+肄) D援 (-肄，-2)胰(1,+肄)
二、多项选择题（共 3个小题，每小题 6分，共 18分，在每小题给出的选项中，有多个选项符合
题目要求.）
9援 下列命题正确的是（银）
A. x1,x2,x3…xn 是一组样本数据，去掉其中的一个最大数和一个最小数后，剩下的数的中位数
不一定等于原样本的中位数
B援 若事件 A,B 相互独立，且 P(A )>0，P(B)>0，则事件 A,B 不互斥
C援 若随机变量 X~N(0,22)，Y~N(0,32)，则 P( X 臆2)>P( Y 臆2)
D援 若随机变量 X 的方差 D(X)=10，期望 E(X)=4，则随机变量 Y=X2 的期望 E(Y )=16
10援 已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x<0 时，f(x)=(x2-8)ex+8，则（银）
A. f(0)=0
B援 f(x)有两个极值点分别为 x=-2或 x=2
C援 当 x>0时，f(x)=(8-x2)e-x-8
D援若 f(x)臆8，则解集为 蓘-2姨2 ,2姨2 蓡
11援 2 2双曲线 C：xa2 -yb2 =1（a跃0,b>0）的左、右焦点分别为 F1，F2，左、右顶点分别为 A 1, A 2，以 F1F2 为
直径的圆与曲线 C 的一条渐近线交于 M、N 两点，且蚁A 1MA 2= 仔4 ，则下列说法一定正确的
是（银）
A. C 的离心率为姨5 B援蚁MA 2 N= 34仔
C援 MA 1 =姨2 MA 2 D援当 a=姨5 时，四边形 NF1MF2 的面积为 20姨5
第 域 卷 （非选择题 共 92分）
三、解答题（共 3个小题，每小题 5分，共 15分）
12援 已知向量 =(1,-1)，=(-2,1)，若(k + )彝 ，则实数 k= 银 援
13. 已知正实数 m，n，满足 mn=4，则 1m + 1n + 9m+n 的最小值为 银 .
14援 已知抛物线 E:y2=4x 的焦点为 F，过点 F 斜率为姨3 的直线与 E 交于 A,B 两点，过 AB 的
中点 M 作 y 轴的垂线交 E 于 N 点，则 MNAB = 银 .
高二数学 第 2 页（共 4 页）
四、解答题（共 5个大题，共 77分，解答过程写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）
15. (13 分)已知函数 f(x)=1n(x+1)援
（1）求 f(x)在点(1, f(1))处的切线方程；
（2）求 g(x)=ax-f(x),(a沂R)的极值.
16（援 15 分）如图，在圆锥 PO 中，ABCD 为底面圆的内接四边形，对角线 AC 过圆心 O,圆锥母线
长为 2姨2 ,BC=2,蚁ACB=仔3 援
（1）若 AD椅BC，平面 PAD 与平面 PBC 的交线为 l，证明：AD椅l；
（2）若 AD=2，求平面 PAD 与平面 PBC 所成角的正弦值援
17援（15 分）已知锐角吟ABC的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c，b=1 且 2c-a=2sin(C-仔6 ).
（1）求角 B 的大小；
（2）求吟ABC周长的最大值援
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18援（17 分）某学校食堂每天中午提供 A,B 两种套餐，同学小李第一天午餐时随机选择一种
套餐，如果前一天选择 A 套餐，那么第二天选择 A 套餐的概率为 12 ；如果前一天选择
B 套餐，那么第二天选择 A 套餐的概率为 13 援
（1）该食堂对 A 套餐的菜品种类与品质等方面进行了改善后，调查了学生对 A 套餐的满意
程度情况，统计了 100 名学生的数据，如下表（单位：人）
A 套餐满意度情况 A 套餐改善前 A 套餐改善后 合计
满意 35 40 75
不满意 15 10 25
合计 50 50 100
根据小概率值 琢=0.001 的独立性检验，能否认为学生对 A 套餐的满意程度与套餐的改善
有关？
（2）若 A 套餐拟提供 2 种品类的素菜，n(n逸3,n沂N*)种品类的荤菜，同学小李从这些菜品中
随机选择 4 种菜品，记选择素菜的种数为 X，求 P(X=2)的最大值，并求此时 n 的值援
（3）设同学小李第 n 天选择 B 套餐的概率为 Pn，求Pn援
2
参考数据：x2= ( n(ad-bc)a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ，其中 n=a+b+c+d
琢 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
x琢 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
19援（17 2 2分）设焦点在 x 轴上的椭圆 C:x +ya2 3 =1，M(0,m)，A 是 C 的右顶点援
（1）若离心率 e= 12 ，求椭圆 C 的标准方程；
（2）在（1）的条件下，椭圆 C 上存在一点 P，满足PA =2MP，求 m；
（3）若 AM 的中垂线 l 的斜率为 2，l 与 C 交于 S、T 两点，是否存在这样的椭圆，使得
蚁SMT=仔2 ，若存在求 a的取值，若不存在请说明理由援
高二数学 第 4 页（共 4 页）凉山州 2024—2025 学年度下期期末统一检测
高二数学参考答案
一、单项选择题（共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
选项 C B A B C C D A
二、多项选择题（共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分）
题号 9 10 11
选项 BC AC ABD
三、填空题（共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 3 13. 3 14. 1
2 4
四、解答题（5 个小题，共 77 分，15 题 13 分，16 题、17 题各 15 分，18 题、19 题各 17
分，解答过程需写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）
15.解：(1) f '( x ) 1由题意知 ，则
x 1 ………………1 分
f (1) ln 2, f '(1) 1 ，
2 ………3 分
1
所以在点(1,f(1))处的切线方程为：y ln 2 (x 1),
2 ……4 分
1 1
即：y x ln 2.
2 2 ………………5 分
(2)由题意知 g (x) ax ln(x 1) 的定义域为(-1,+ ),……6 分
g ' (x) a 1则 ,
x 1 …………………………………7 分
所以g (x)在( 1, )上无极值；………………………8 分
1 1
②当a 0时，令g ' (x) a 0,则x 1,
x 1 a …………9 分
x
1,
1 1
1 1 1
1,
a a a
f’(x) 0
f(x) 单调递减 极小值 单调递增
1 1
所以当x 1时, g (x) 为增函数，当-1< x 1 时，g (x) 为减函数,
a a ……10 分
所以 g ( x ) 1在 x 1时，取得极小值 g ( 1 1) 1 a ln a , 无极大值.
a a …11分
综上所述：当a 0时，g(x)在( 1, )上无极值；
当a 0时,g(x)在( 1-1, )上有极小值g( 1) 1 a ln a，无极大值. ………13 分
a
16.解：(1)证明 AD∥BC， AD 平面PBC ,BC 平面PBC………3分
AD∥平面PBC……………5分
平面PAD 平面PBC l………6分
AD∥l.………………7分
(2)由题意知PA PC 2 2,BC AD π 2, ACB ,
3 …………8分
AC 4,AB CD 2 3, ADC π ABC ，PO 2,
2 …………9分
方法一：向量法
ABCD为矩形，因此可建立如图所示空间直角坐标系，过点D平行于PO竖直向上为z轴，
D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2 3,0),C(0,2 3,0),P(1, 3,2),…………10分

DA (2,0,0),DP (1, 3,2),CB (2,0,0),CP (1, 3,2),…………11分

设平面PAB 的法向量为m ,平面PBC 的法向量为 n.…………12分

DA m 0 CB n 0
则 m (0, 2, 3),

n (0,2, 3),
DP m 0 CP n 0 …………13分

cos m,n 1
7………………14分
PAB 4 3 平面 与平面PBC所成角的正弦值为 .
7 …………15分
方法二：几何法：
过点P分别向AD、BC引垂线，垂足分别为M、N，连接MN ,………10分
由(1)知AD∥l，所以PM l,PN l,…………11分
MPN为平面PAB与平面PBC所成角的平面角，…………12分
PM PN 7,MN 2 3,……………………13分
PM 2 PN 2 MN 2 1
根据余弦定理得：cos MPN ,………14分
2 PM PN 7
PAB PBC 4 3 平面 与平面 所成角的正弦值为 .…………15分
7
17.解:(1)由b 1及2c a 2sin(C π )得：2c a 2bsin(C π ),
6 6 ……1分
π
结合正弦定理得：2sinC sin A 2sin B sin(C ),
6 …………2分
因为A B C π,且VABC为锐角三角形，…………3分
所以：2sinC sin(B C) 2sin B sin(C π ),
6 …………4分
即：2sinC sinC cosB 3 sin B sinC,…………5分
1
因此： cosB 3 sin B π sin(B ) 1,
2 2 6 …………6分
B π故： ；
3 ………………7分
(2)由余弦定理知：b2 a2 c2 2accos B，…………8分
1 a2 c2 ac (a c)2 3ac (a c)2 3 a c
2
1
即： - 2 2
= (a c) ，
4 ……10分
所以：a c 2，……………………13分
因此：VABC周长为a b c 3，即周长最大值为3.………………15分
18.解(1)零假设H0 :学生对套餐的满意程度与套餐的优化相互独立.…………2分
2 100(35 10 15 40)
2 4
1.33………………4 分
50 50 75 25 3
Q 2 1.33 10.828 0.001……………………5 分
没有充分理由证明H0不成立，即学生对套餐的满意程度与套餐的优化无关.…6分
2 2
(2) C C由题意知:小李同学选择荤菜种数 X = 2 的概率为:P (X =2)= 2 n
C 4 …8分n 2
C 2C 2
Q P(X =2)= 2 n 3 4 12 12
C 4 n 1 n 2 n2 3n 2 3 2 1 ……10分n 2 n 2 4
由于 n (n 3,n N*)，所以P(X 3=2)在 n =3 处取得最大值 .…………12分
5
(3)同学小李第n 天选择套餐B 的概率为Pn ,则
第n-1 天选择套餐B 的概率为Pn 1 ，n 2,…………13分
P 1 1 1 1n (1 )(1 Pn 1) (1 )Pn 1 P2 3 6 n 1
，n 2
2 …………14分
P 3 1 P 3n

5 6 n 1 5 ………………15分
n 1 P 1当 时， 1 ,
P 3 1 1所以 n 是以 为首项， 为公比的等比数列,2 5 ……16分 10 6
P 3 1 1
n 1

因此 n .……………………17分5 10 6
2 2
19 x y．解:（1）由题意知，C : 2 1 a 3 ，则b2 3，…………1 分a 3
e c 1离心率 .………………2 分
a 2
根据 a2 b2 c2得： a2 4，………………3 分
x2 y2
所以椭圆 C 标准方程为： 1.…………4 分
4 3
（2）由题意 A(2,0),M (0,m)， P(xP , yP )…………5 分
2 xP 2xP
由 PA 2MP得， y 2y 2m，………………6 分 P p
P(2 , 2m
2 2
解得 ) x y，代入 1，…………7分
3 3 4 3
1 4m2
得 1，解得m 6 .………………8分
9 27
1
（3）由线段 AM 的中垂线 l的斜率为 2，所以直线 AM 的斜率为 ，……9 分
2
m 0 1 a
则 ，解得m ，
0 a 2 2
由 A(a,0),M (0,
a ) a a得 AM 中点坐标为 ( , )，……………………10 分
2 2 4
故直线 l : y 2x
3 a 3 ，显然直线 l过椭圆内点 ( a,0)，
4 8
故直线与椭圆恒有两不同交点，
设 S (x1, y1),T (x2 , y2) ，
y 2x 3 a
由 4 消 y得 (4a2 3)x2 3a3x
9
a4 3a2 0，
3x2 a2 y2 3a2 16
9 a4 3a23
由韦达定理得 x x 3a1 2 2 ,x1x
16 ，…………12 分
4a 3 2 4a2 3
π a
因为 SMT ，则MS MT 0，且M (0, )，2 2
则有 x1x2 (y
a)(y a1 2 ) 0，………………14 分2 2
x x 2x 5a 2x 5a 5 25所以 1 2 1

2 5x1x2 a(x
2
4 4 2 1
x2 ) a 0 ，…………15 分
1 6
9 4
即5 a 3a
2 5a 3a3 25 a
2 4a2 3 0 2 33，解得 a 3或 a2 0 (舍去)，…16 分
16 2 16 5
SMT π a 165故存在这样的椭圆，使得 ，2
.…………………………17 分
5

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