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2024-2025学年广东省河源市源城区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.
1．（3分）以下列长度的线段为边，能够组成三角形的是（　　）
A．3，6，9 B．3，5，9 C．2，6，4 D．4，6，9
2．（3分）汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（　　）
A．瓜熟蒂落 B．守株待兔 C．水涨船高 D．水中捞月
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．x2+x＝x3 B．x6÷x3＝x2 C．（x3）4＝x7 D．x3 x4＝x7
4．（3分）在电影《哪吒之魔童降世》中，哪吒的混天绫由一种神奇的纤维制成．科学家研究发现，这种纤维的直径仅有0.000012米．请用科学记数法表示这个直径的正确选项是（　　）
A．1.2×10﹣5 B．1.2×10﹣6 C．0.12×10﹣4 D．120×10﹣7
5．（3分）下列能表示△ABC的边BC上的高的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（3分）如图，点B，F，C，E共线，∠B＝∠E，BF＝EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（　　）
A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥FD
7．（3分）如图，矩形ABCD沿着EF进行折叠，已知使点B落在边AD上的点B'处，点A落在点A'处．∠BFE＝55°，∠CFB'的度数是（　　）
A．70° B．75° C．80° D．85°
8．（3分）升旗仪式上，国旗冉冉上升，下列哪个函数图象能近似地刻画上升的国旗离旗杆顶端的距离与时间的关系（　　）
A． B．
C． D．
9．（3分）从前，一位庄园主把一块长为（a+5）米，宽为（b+6）米（a＞b＞0）的长方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加5米，宽减少5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（　　）
A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定
10．（3分）“一把剪刀蕴神技，一方红纸酿年味”，剪纸是中国传统的民间艺术，是中国的非物质文化遗产，随着社会的发展形成了一定特征的数学文化．如图，小明在剪纸活动中，将一张长方形纸片对折三次后，沿着虚线剪去一个角，再打开后的形状是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
11．（3分）计算　 　 ．
12．（3分）如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，垂足是点O，∠BOC＝140°，则∠DOE＝　 　 ．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是 　 　 ．
14．（3分）如图，AD是△ABC中BC边的中线，点E是AB的中点，连接DE、AD，现随机向△ABC内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率是　 　 ．
15．（3分）在学习综合与实践《设计自己的运算程序》时，小明设计了一个如下运算程序：任意写出一个三位数（三位数字相同的除外），重新排列各位数字，使其组成一个最大的数和一个最小的数，然后用最大的数减去最小的数，得到差．重复这个过程…若以365开始，按照此程序运算2025次后得到的数是　 　 ．
三.解答题（一）：本大题共3小题，16小题8分，17小题7分，18小题6分，共21分。
16．（8分）（1）计算：（a3）3÷（a3 a3）﹣（3a）3；
（2）先化简，再求值：[（x+y）2﹣（x+y）（x﹣y）]÷2y，其中x＝1，y＝2．
17．（7分）如图，点C处有一灯塔，一艘轮船从点A开始按箭头所示方向行驶，当行驶到点B时，轮船到灯塔的距离恰好等于行驶的距离．
（1）请用尺规在图中画出点B的位置；
（2）若∠CAB＝42°，则∠ABC＝　 　 °．
18．（6分）“一人一盔安全守规，一人一戴平安常在”，如表是某厂质检部门对该厂生产的一批头盔质量检测的情况．
抽取的头盔数 500 1000 1500 200 3000 4000
合格品数 491 986 1470 1964 2949 3932
合格品频率 0.982 0.986 0.980 a b 0.983
（1）求出表中a＝　 　 ，b＝　 　 ；
（2）从这批头盔中任意抽取一顶是合格品的概率的估计值是　 　 （精确到0.01）；
（3）如果要出厂49000顶合格的头盔，则该厂估计要生产多少顶头盔？
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分。
19．（9分）高速列车为了方便乘客放置小件物品，在座椅的后方都安装了可折叠的小桌板，将小桌板放下后，桌面与车厢的底部AE平行，从侧面观察得到如图①所示图形，BA⊥AE，垂足为A，CD∥AE，有同学认为在这种情况下，∠ABC与∠BCD的和是个定值，下面是小林同学计算∠ABC+∠BCD的度数的过程，请你将解答过程补充完整．
解：如图②，过点B作BF∥AE，
因为CD∥AE（　 　 ），
所以（　 　 ）∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行），
所以∠BCD+∠CBF＝（　 　 ）°（　 　 ），
因为AB⊥AE（　 　 ），
所以∠EAB＝（　 　 ）°（垂直定义），
因为BF∥AE，
所以（　 　 ）+∠EAB＝180°，
所以∠ABF＝180°﹣90°＝（　 　 ）°，
所以∠ABC+∠BCD＝∠ABF+∠CBF+∠BCD＝（　 　 ）°．
20．（9分）由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能（车速不超过140km/h），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表：
刹车时车速v（km/h） 0 10 20 30 40 50 …
刹车距离s（m） 0 2.5 5 7.5 10 12.5 …
请回答下列问题：
（1）在这个变化过程中，自变量是 　 　 ，因变量是 　 　 ；
（2）当刹车时车速为60km/h时，刹车距离是 　 　 m；
（3）根据上表反映的规律写出该种型号汽车s与v之间的关系式：　 　 ；
（4）该型号汽车在高速公路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为32m，推测刹车时车速是多少？并说明事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？
（相关法规：《道路交通安全法》第七十八条：高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过每小时120公里．）
21．（9分）如图是由边长为1的小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的两个端点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
（1）在图1中以线段AB为边作锐角△ABC（点C在格点上），使其成为轴对称图形（作出一个即可）；
（2）在图2中以线段AB为腰作等腰直角△ABC（作出一个即可），△ABC的面积为 　 　 ；
（3）在图3中的直线l上画出点P，使得PA+PB最短．
解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．（13分）【基础探究】（1）如图1，AD平分∠EAC，AD∥BC，△ABC是等腰三角形吗？为什么？
【形成经验】当角平分线遇上平行线时一般会产生等腰三角形．
【经验应用】（2）如图2，AD∥BC，AD平分∠EAC，CD平分∠ACF，试探究线段AB与线段AD的数量关系，并说明理由．
【拓展提升】（3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，且AE平分∠BAD，请直接写出线段AD、BC和AB之间的数量关系．
23．（14分）综合与探究
【问题情境】在数学综合实践课上，老师让同学们用两张全等的直角三角形纸片进行摆放，使一锐角顶点重合．如图1，已知△ABC≌△DEC，∠ABC＝∠DEC＝90°，连接AD，射线BE与线段AD交于点M，并思考点M是否是线段AD的中点；
【特例探究】（1）勤学小组将它们按照图2的方式摆放，A，E，D三点在同一直线上，此时点E与点M重合，同学们发现点M恰好是线段AD的中点，请你说明理由；
【一般探究】（2）善思小组受勤学小组的启发，发现摆放在一般位置时，点M仍为线段AD的中点，小明写出了他的思路：如图3，以点D为圆心，DE的长为半径作弧交射线BE于点G，则DG＝DE，……，请你按照小明的思路说明点M是线段AD的中点；
【变式探究】（3）智慧小组继续改变△DEC的位置进行探究，且点E始终在直线BC的上方．若∠BAC＝35°，当△ABM是等腰三角形时，请直接写出∠ABM的度数．
2024-2025学年广东省河源市源城区七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D A B C A A A B
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.
1．（3分）以下列长度的线段为边，能够组成三角形的是（　　）
A．3，6，9 B．3，5，9 C．2，6，4 D．4，6，9
【解答】解：A、3+6＝9，错误；
B、3+5＜9，错误；
C、2+4＝6，错误；
D、6+4＞9，正确，
故选：D．
2．（3分）汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（　　）
A．瓜熟蒂落 B．守株待兔 C．水涨船高 D．水中捞月
【解答】解：A．瓜熟蒂落，是必然事件，不符合题意；
B．守株待兔，是随机事件，符合题意；
C．水涨船高，是必然事件，不符合题意；
D．水中捞月，是不可能事件，不符合题意；
故选：B．
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．x2+x＝x3 B．x6÷x3＝x2 C．（x3）4＝x7 D．x3 x4＝x7
【解答】解：A、x2和x不是同类项，不能进行合并，故选项不符合题意；
B、x6÷x3＝x3，原式计算错误，故选项不符合题意；
C、（x3）4＝x12，原式计算错误，故选项不符合题意；
D、x3 x4＝x7，运算计算正确，故选项符合题意．
故选：D．
4．（3分）在电影《哪吒之魔童降世》中，哪吒的混天绫由一种神奇的纤维制成．科学家研究发现，这种纤维的直径仅有0.000012米．请用科学记数法表示这个直径的正确选项是（　　）
A．1.2×10﹣5 B．1.2×10﹣6 C．0.12×10﹣4 D．120×10﹣7
【解答】解：0.000012＝1.2×10﹣5．
故选：A．
5．（3分）下列能表示△ABC的边BC上的高的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：△ABC的边BC上的高为AE，如图，
．
故选：B．
6．（3分）如图，点B，F，C，E共线，∠B＝∠E，BF＝EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（　　）
A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥FD
【解答】解：∵BF＝EC，
∴BF+FC＝EC+FC，
∴BC＝EF，
又∵∠B＝∠E，
∴当添加条件AB＝DE时，△ABC≌△DEF（SAS），故选项A不符合题意；
当添加条件∠A＝∠D时，△ABC≌△DEF（AAS），故选项B不符合题意；
当添加条件AC＝DF时，无法判断△ABC≌△DEF，故选项C符合题意；
当添加条件AC∥FD时，则∠ACB＝∠DFE，故△ABC≌△DEF（ASA），故选项D不符合题意；
故选：C．
7．（3分）如图，矩形ABCD沿着EF进行折叠，已知使点B落在边AD上的点B'处，点A落在点A'处．∠BFE＝55°，∠CFB'的度数是（　　）
A．70° B．75° C．80° D．85°
【解答】解：由折叠可得：∠BFE＝∠B′FE，
∵∠BFE＝55°，
∴∠BFB′＝2∠BFE＝110°，
∴∠CFB'＝180°﹣∠BFB′＝70°．
故选：A．
8．（3分）升旗仪式上，国旗冉冉上升，下列哪个函数图象能近似地刻画上升的国旗离旗杆顶端的距离与时间的关系（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：由题意可知，随着时间的增大，上升的国旗离旗杆顶端的距离越来越小，
故只有选项A符合题意．
故选：A．
9．（3分）从前，一位庄园主把一块长为（a+5）米，宽为（b+6）米（a＞b＞0）的长方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加5米，宽减少5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（　　）
A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定
【解答】解：（a+5）（b+6）
＝ab+6a+5b+30，
（a+5+5）（b+6﹣5）
＝（a+10）（b+1）
＝ab+a+10b+10，
∴（a+5）（b+6）﹣（a+10）（b+1）
＝ab+6a+5b+30﹣ab﹣a﹣10b﹣10
＝5a﹣5b+20
＝5（a﹣b）+20＞0，
∴（a+5）（b+6）＞（a+5+5）（b+6﹣5），
∴张老汉的租地面积会变小，
故选：A．
10．（3分）“一把剪刀蕴神技，一方红纸酿年味”，剪纸是中国传统的民间艺术，是中国的非物质文化遗产，随着社会的发展形成了一定特征的数学文化．如图，小明在剪纸活动中，将一张长方形纸片对折三次后，沿着虚线剪去一个角，再打开后的形状是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：将一张长方形纸片对折三次后，沿着虚线剪去一个角，再打开后的形状是：．
故选：B．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
11．（3分）计算　1　 ．
【解答】解：2﹣1＝1，
故答案为：1．
12．（3分）如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，垂足是点O，∠BOC＝140°，则∠DOE＝　50°　 ．
【解答】解：∵直线AB、CD相交于点O，
∴∠BOC＝∠AOD＝140°，
又∵OE⊥AB，
∴∠DOE＝140°﹣90°＝50°，
故答案为：50°．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是 　15　 ．
【解答】解：如图，作DE⊥AB于E，
由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC＝3，
∴△ABD的面积AB×DE10×3＝15，
故答案为：15．
14．（3分）如图，AD是△ABC中BC边的中线，点E是AB的中点，连接DE、AD，现随机向△ABC内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率是　　 ．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD＝AC，
∴S△ABD＝S△ADCS△ABC，
∵G是AB的中点，
∴AG＝BG＝AB，
∴S△BDGS△ABDS△ABC，
∴针尖落在阴影区域的概率是，
故答案为：．
15．（3分）在学习综合与实践《设计自己的运算程序》时，小明设计了一个如下运算程序：任意写出一个三位数（三位数字相同的除外），重新排列各位数字，使其组成一个最大的数和一个最小的数，然后用最大的数减去最小的数，得到差．重复这个过程…若以365开始，按照此程序运算2025次后得到的数是　495　 ．
【解答】解：第1次运算：653﹣356＝297；
第2次运算：972﹣279＝693；
第3次运算：963﹣369＝594；
第4次运算：954﹣459＝495；
第5次运算：954﹣459＝495；
…；
∴按照此程序运算2025次后得到的数是：495，
故答案为：495．
三.解答题（一）：本大题共3小题，16小题8分，17小题7分，18小题6分，共21分。
16．（8分）（1）计算：（a3）3÷（a3 a3）﹣（3a）3；
（2）先化简，再求值：[（x+y）2﹣（x+y）（x﹣y）]÷2y，其中x＝1，y＝2．
【解答】解：（1）（a3）3÷（a3 a3）﹣（3a）3
＝a9÷a6﹣27a3
＝a3﹣27a3
＝﹣26a3．
（2）原式＝[x2+y2+2xy﹣x2+y2]÷2y
＝（2y2+2xy）÷2y
＝x+y，
当x＝1，y＝2时，
原式＝1+2＝3．
17．（7分）如图，点C处有一灯塔，一艘轮船从点A开始按箭头所示方向行驶，当行驶到点B时，轮船到灯塔的距离恰好等于行驶的距离．
（1）请用尺规在图中画出点B的位置；
（2）若∠CAB＝42°，则∠ABC＝　96　 °．
【解答】解：（1）如图，点B即为所求；
（2）由作图可知BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝42°，
∴∠ABC＝180°﹣42°﹣42°＝96°．
故答案为：96．
18．（6分）“一人一盔安全守规，一人一戴平安常在”，如表是某厂质检部门对该厂生产的一批头盔质量检测的情况．
抽取的头盔数 500 1000 1500 200 3000 4000
合格品数 491 986 1470 1964 2949 3932
合格品频率 0.982 0.986 0.980 a b 0.983
（1）求出表中a＝　0.982　 ，b＝　0.983　 ；
（2）从这批头盔中任意抽取一顶是合格品的概率的估计值是　0.98　 （精确到0.01）；
（3）如果要出厂49000顶合格的头盔，则该厂估计要生产多少顶头盔？
【解答】解：（1）根据表中数据计算可得：
a＝1964÷2000＝0.982，b＝2949÷3000＝0.983；
（2）随着抽取的头盔数量不断增大，任意抽取一个是合格的频率在0.98附近波动，
故任意抽取的一顶是合格品的概率估计值是0.98；
（3）用样本数据估计总体可得49000÷0.98＝50000（顶）．
答：该厂估计要生产50000顶头盔．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分。
19．（9分）高速列车为了方便乘客放置小件物品，在座椅的后方都安装了可折叠的小桌板，将小桌板放下后，桌面与车厢的底部AE平行，从侧面观察得到如图①所示图形，BA⊥AE，垂足为A，CD∥AE，有同学认为在这种情况下，∠ABC与∠BCD的和是个定值，下面是小林同学计算∠ABC+∠BCD的度数的过程，请你将解答过程补充完整．
解：如图②，过点B作BF∥AE，
因为CD∥AE（　已知　 ），
所以（　BF　 ）∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行），
所以∠BCD+∠CBF＝（　180　 ）°（　两直线平行，同旁内角互补　 ），
因为AB⊥AE（　已知　 ），
所以∠EAB＝（　90　 ）°（垂直定义），
因为BF∥AE，
所以（　∠ABF　 ）+∠EAB＝180°，
所以∠ABF＝180°﹣90°＝（　90　 ）°，
所以∠ABC+∠BCD＝∠ABF+∠CBF+∠BCD＝（　270　 ）°．
【解答】解：如图②，过点B作BF∥AE，
因为CD∥AE（已知），
所以BF∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行），
所以∠BCD+∠CBF＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
因为AB⊥AE（已知），
所以∠EAB＝90°（垂直定义），
因为BF∥AE，
所以∠ABF+∠EAB＝180°，
所以∠ABF＝180°﹣90°＝90°，
所以∠ABC+∠BCD＝∠ABF+∠CBF+∠BCD＝270°．
故答案为：已知；BF；180；两直线平行，同旁内角互补；已知；90；∠ABF；90；270．
20．（9分）由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能（车速不超过140km/h），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表：
刹车时车速v（km/h） 0 10 20 30 40 50 …
刹车距离s（m） 0 2.5 5 7.5 10 12.5 …
请回答下列问题：
（1）在这个变化过程中，自变量是 　刹车时车速　 ，因变量是 　刹车距离　 ；
（2）当刹车时车速为60km/h时，刹车距离是 　15　 m；
（3）根据上表反映的规律写出该种型号汽车s与v之间的关系式：　s＝0.25v（v≥0）　 ；
（4）该型号汽车在高速公路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为32m，推测刹车时车速是多少？并说明事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？
（相关法规：《道路交通安全法》第七十八条：高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过每小时120公里．）
【解答】解：（1）由题意得，自变量是刹车时车速，因变量是刹车距离．
故答案为：刹车时车速；刹车距离；
（2）当刹车时车速为60km/h时，刹车距离是15m；
故答案为：15；
（3）由表格可知，刹车时车速每增加10km/h，刹车距离增加2.5m，
∴y与x之间的关系式为：s＝0.25v（v≥0），
故答案为：s＝0.25v（v≥0）；
（4）当s＝32时，32＝0.25v，
∴v＝128，
∵120＜128，
答：推测刹车时车速是128km/h，所以事故发生时，汽车是超速行驶．
21．（9分）如图是由边长为1的小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的两个端点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
（1）在图1中以线段AB为边作锐角△ABC（点C在格点上），使其成为轴对称图形（作出一个即可）；
（2）在图2中以线段AB为腰作等腰直角△ABC（作出一个即可），△ABC的面积为 　5　 ；
（3）在图3中的直线l上画出点P，使得PA+PB最短．
【解答】解：（1）如图1，任意一个C点即可（答案不唯一）：
；
（2）如图2，任意一个C点即可（答案不唯一）；
S△ABC＝3×41×31×32×4＝5，
故答案为：5；
（3）如图3，P点为所求；
．
解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．（13分）【基础探究】（1）如图1，AD平分∠EAC，AD∥BC，△ABC是等腰三角形吗？为什么？
【形成经验】当角平分线遇上平行线时一般会产生等腰三角形．
【经验应用】（2）如图2，AD∥BC，AD平分∠EAC，CD平分∠ACF，试探究线段AB与线段AD的数量关系，并说明理由．
【拓展提升】（3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，且AE平分∠BAD，请直接写出线段AD、BC和AB之间的数量关系．
【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形，理由如下：
∵AD平分∠EAC，
∴∠1＝∠2，
∵AD∥BC，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠C，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）线段AB与线段AD的数量关系是：AB＝AD，理由如下：
∵AD平分∠EAC，AD∥BC，
由（1）可知：AB＝AC，
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠DCF，
∵CD平分∠ACF，
∴∠DCA＝∠DCF，
∴∠D＝∠DCA，
∴AD＝AC，
∴AB＝AD；
（3）线段AD、BC和AB之间的数量关系是：AD+BC＝AB，理由如下：
延长AE交BC的延长线于点H，如图所示：
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠ECH，∠DAE＝∠H，
∵点E为CD的中点，
∴DE＝CE，
在△ADE和△HCE中，
，
∴△ADE≌△HCE（AAS），
∴AD＝CH，
∴AD+BC＝AD+CH＝BH，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE，
又∵∠DAE＝∠H，
∴∠H＝∠BAE，
∴BH＝AB，
∴AD+BC＝AB．
23．（14分）综合与探究
【问题情境】在数学综合实践课上，老师让同学们用两张全等的直角三角形纸片进行摆放，使一锐角顶点重合．如图1，已知△ABC≌△DEC，∠ABC＝∠DEC＝90°，连接AD，射线BE与线段AD交于点M，并思考点M是否是线段AD的中点；
【特例探究】（1）勤学小组将它们按照图2的方式摆放，A，E，D三点在同一直线上，此时点E与点M重合，同学们发现点M恰好是线段AD的中点，请你说明理由；
【一般探究】（2）善思小组受勤学小组的启发，发现摆放在一般位置时，点M仍为线段AD的中点，小明写出了他的思路：如图3，以点D为圆心，DE的长为半径作弧交射线BE于点G，则DG＝DE，……，请你按照小明的思路说明点M是线段AD的中点；
【变式探究】（3）智慧小组继续改变△DEC的位置进行探究，且点E始终在直线BC的上方．若∠BAC＝35°，当△ABM是等腰三角形时，请直接写出∠ABM的度数．
【解答】解：（1）理由：∵△ABC≌△DEC，∠ABC＝∠DEC＝90°，
∴AC＝CD，∠AMC＝∠DMC＝90°，
在Rt△ACM与Rt△DCM中，
，
∴Rt△ACM≌Rt△DCM（HL），
∴AM＝CM，
∴点M恰好是线段AD的中点；
（2）∵△ABC≌△DEC，∠ABC＝∠DEC＝90°，
∴DE＝AB，BC＝CE，
∴∠CBE＝∠CEB，
∵∠ABE+∠CBE＝∠CEB+∠DEG＝90°，
∴∠ABE＝∠DEG，
∵DE＝DG，
∴∠DEG＝∠DGE，AB＝DG，
∴∠DGE＝∠ABE，
∵∠AMB＝∠DMG，
∴△ABM≌△DGM（AAS），
∴AM＝DM，
∴点M是线段AD的中点；
（3）∵△ABC≌△DEC，∠ABC＝∠DEC＝90°，
∴∠CDE＝∠BAC＝35°，∠ACB＝∠DCE＝90°﹣35°＝55°，
①当AB＝AM时，△ABM是等腰三角形，
∴∠ABM＝∠AMB，
由（2）知，AM＝DM，
∴DE＝DM，
点E，M重合，
∴AC垂直平分BE，
∴∠BAM＝2∠BAC＝70，
∴∠ABM＝∠AMB＝55°，
当AM＝BM时，△ABM是等腰三角形，如图，
连接BD，
由（2）知，AM＝DM，
∴BMAD，
∴∠ABD＝90°，
∴点B，C，D三点共线，
∵∠BAC＝35°，
∴∠CDE＝∠BAC＝35°，
∴∠ACB＝∠DCE＝55°，
∵BC＝EC，
∴∠CBE＝∠CEB，
∴62.5°；
当AB＝BM时，△ABM是等腰三角形，如图，
∴∠BAM＝∠BMA，
设∠ABM＝α，
∴∠CBE＝90°﹣α，
∵AC＝CD，BC＝CE，∠BCE＝∠ACD，
∴∠CAD＝∠CBE＝90°﹣α，
∵∠BAM＝∠BMA（180°﹣α），
∴（180°﹣α）＝35°+90°﹣α，
∴α＝70°，
∴∠ABM＝70°，
综上所述，∠ABM的度数为55°或62.5°或70°．

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