资源简介

2024-2025学年山东省淄博市淄川区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、精心选一选（本题共12小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的器请选出称认为唯一正确的选项，涂到答题卡上，每小题4分，计48分）。
1．（4分）在下列式子中的“□”内，填入“+，﹣，×，÷”中的一种符号，其中无论填入哪种符号都能使二次根式有意义的是（　　）
A． B． C． D．
2．（4分）下列四条线段（单位：cm）中，不是成比例线段的是（　　）
A． B．3，6，2，4
C．4，6，5，10 D．
3．（4分）下列各式化简正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．（4分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式错误的是（　　）
A． B． C． D．
5．（4分）方程3x2﹣5x﹣7＝0的两个实数根为x1，x2，下列各式正确的是（　　）
A．x1+x2＝5，x1x2＝﹣7
B．，
C．，
D．，
6．（4分）已知a、b、c为常数，点P（a，c）在第四象限，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
7．（4分）已知k是方程x2+3x﹣2＝0的一个实数根，则代数式的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
8．（4分）随着科技的不断发展和人们对环保的日益重视，新能源汽车越来越受到大家的青睐，某品牌新能源汽车经销商统计了今年第一季度的销售量（如图所示），若该品牌汽车的销售量月平均增长率为x，则根据图中信息，得到x所满足的方程是（　　）
A．200（1+x）2＝242 B．242（1+x）2＝200
C．2（1+x）＝242÷200 D．2x＝242﹣200
9．（4分）如图1，能保证使△ACD与△ABC相似的条件是（　　）
A．AC2＝AD AB B．CD：AD＝BC：AC
C．AC：CD＝AB：BC D．CD2＝AD DB
10．（4分）若菱形两条对角线的长度是方程的两个实数根，则菱形的边长为（　　）
A． B．4 C． D．5
11．（4分）如图，D是△ABC的边BC的中点，F是AD上一点，且AF：FD＝1：2，连接BF并延长，交AC于点E，则AE：CE的值为（　　）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．3：4
12．（4分）如图，已知矩形ABCD中，点E是边AD上的任一点，连接BE，过E作BE的垂线交BC延长线于点F，交边CD于点P，则图中共有相似三角形（　　）
A．6对 B．5对 C．4对 D．3对
二、细心填一填（本题共8小题，满分32分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）。
13．（4分）的算术平方根是 　 　 ．
14．（4分）已知，则的值为 　 　 ．
15．（4分）计算的结果是　 　 ．
16．（4分）已知是方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则c＝ 　 　 ．
17．（4分）如图，在矩形ABCD中，AD＝7，AB＝4，DF平分∠ADC交BC于点F，AF⊥EF，则EF的长为　 　 ．
18．（4分）如图，在长为8cm，宽为6cm的矩形中，截取一个矩形（图中阴影部分所示），使留下的矩形与原矩形相似，则留下的矩形面积为　 　 cm2．
19．（4分）若正数a是关于x的一元二次方程x2﹣7x+m＝0的一个实数根，﹣a是关于x的一元二次方程x2+7x﹣m＝0的一个实数根，则a的值为 　 　 ．
20．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为　 　 ．
三、耐心做一做，相信你能写出正确的解答过程（共70分，注意审题要细心，书写要规范和解答要完整）。
21．（20分）计算：
（1）；
（2）已知，，求的值．
解方程：
（3）3x2﹣5x﹣2＝0；
（4）4x2+12x﹣1147＝0．
22．（20分）（1）如图，AB表示一个窗户的高，AM和BN表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离BC＝1m．已知某一时刻BC在地面的影长CN＝1.5m，AC在地面的影长CM＝4.5m，求窗户的高度．
（2）在国家政策的积极扶持下，环保意识日渐深入人心，新能源汽车的市场需求逐渐上升．某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间发现后，当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价．
23．（10分）如图，将矩形纸片ABCD（AD＞AB）折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边BC，AD相交，设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F．
（1）判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论；
（2）若AB＝3，BC＝9，求线段CE的取值范围．
24．（10分）（1）问题再现：
学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”：小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是12﹣x和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求线段AB的长，进而求得的最小值是 　 　 ；
（2）应用
如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，若AE＝8，连接HC，则HC+AB的最小值是 　 　 ；
（3）类比迁移
已知a，b均为正数，且a﹣b＝6，求的最大值．
25．（10分）在直角△ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC边上，连接BE，作∠ACF＝∠CBE交AB于点F，同时点D在BE上，且CD⊥AB．
（1）已知：如图，，．
①求证：△ACF≌△BCD．
②求的值．
（2）若，，则的值是多少（直接写出结果）
2024-2025学年山东省淄博市淄川区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A C D C C A B A A A C
题号 12
答案 A
一、精心选一选（本题共12小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的器请选出称认为唯一正确的选项，涂到答题卡上，每小题4分，计48分）。
1．（4分）在下列式子中的“□”内，填入“+，﹣，×，÷”中的一种符号，其中无论填入哪种符号都能使二次根式有意义的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、，故符合题意；
B、3﹣5＝﹣2＜0，不符合题意；
C、﹣5﹣3＝﹣8＜0，不符合题意；
D、﹣3﹣5＝﹣8＜0，不符合题意；
故选：A．
2．（4分）下列四条线段（单位：cm）中，不是成比例线段的是（　　）
A． B．3，6，2，4
C．4，6，5，10 D．
【解答】解：A、1，故本选项的四条线段，是成比例线段，不符合题意；
B、3×4＝6×2，故本选项的四条线段，是成比例线段，不符合题意；
C、4×10≠6×5，故本选项的四条线段，不是成比例线段，符合题意；
D、22，故本选项的四条线段，是成比例线段，不符合题意．
故选：C．
3．（4分）下列各式化简正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：3，则A不符合题意，
6，则B不符合题意，
，则C不符合题意，
，则D符合题意，
故选：D．
4．（4分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式错误的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵EF∥AB，
∴，
故A不符合题意；
∵，
∴，
故B不符合题意；
∵△EFC∽△ABC，
∴，
假设成立，则，
∴CE＝AE，与已知条件不符，
∴不成立，
故C符合题意；
∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴DE＝BF，
∵△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
∴，
故D不符合题意，
故选：C．
5．（4分）方程3x2﹣5x﹣7＝0的两个实数根为x1，x2，下列各式正确的是（　　）
A．x1+x2＝5，x1x2＝﹣7
B．，
C．，
D．，
【解答】解：根据题意有：，，
故选：C．
6．（4分）已知a、b、c为常数，点P（a，c）在第四象限，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
【解答】解：∵点P（a，c）在第四象限，
∴a＞0，c＜0，
∴ac＜0，
∴方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．
故选：A．
7．（4分）已知k是方程x2+3x﹣2＝0的一个实数根，则代数式的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
【解答】解：∵k是方程x2+3x﹣2＝0的一个实数根，
∴k2+3k﹣2＝0，显然k≠0，两边同时除以k，得：，
∴k2+3k＝2，，
∴，
故选：B．
8．（4分）随着科技的不断发展和人们对环保的日益重视，新能源汽车越来越受到大家的青睐，某品牌新能源汽车经销商统计了今年第一季度的销售量（如图所示），若该品牌汽车的销售量月平均增长率为x，则根据图中信息，得到x所满足的方程是（　　）
A．200（1+x）2＝242 B．242（1+x）2＝200
C．2（1+x）＝242÷200 D．2x＝242﹣200
【解答】解：由题意得：200（1+x）2＝242．
故选：A．
9．（4分）如图1，能保证使△ACD与△ABC相似的条件是（　　）
A．AC2＝AD AB B．CD：AD＝BC：AC
C．AC：CD＝AB：BC D．CD2＝AD DB
【解答】解：∵在△ACD和△ABC中，∠A＝∠A，
∴根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出添加的条件是：，
∴AC2＝AD AB．
故选：A．
10．（4分）若菱形两条对角线的长度是方程的两个实数根，则菱形的边长为（　　）
A． B．4 C． D．5
【解答】解：∵x2﹣3x+4＝0，
∴x＝2或x＝4，
∴该菱形的对角线长分别为2或4，
∴由勾股定理可知：菱形的边长为，
故选：A．
11．（4分）如图，D是△ABC的边BC的中点，F是AD上一点，且AF：FD＝1：2，连接BF并延长，交AC于点E，则AE：CE的值为（　　）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．3：4
【解答】解：如图，过点D作DH∥BE，交AC于H，
则，
∵D是△ABC的边BC的中点，
∴CD＝DB，
∴CH＝HE，
∵DH∥BE，
∴AE：EH＝AF：FD＝1：2，
∴AE：CE＝1：4，
故选：C．
12．（4分）如图，已知矩形ABCD中，点E是边AD上的任一点，连接BE，过E作BE的垂线交BC延长线于点F，交边CD于点P，则图中共有相似三角形（　　）
A．6对 B．5对 C．4对 D．3对
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝∠D＝∠DCB＝90°，
∴∠PCF＝90°，
∵BE⊥EF，
∴∠BEF＝90°，
∴∠ABE+∠AEB＝∠AEB+∠DEP＝90°，
∴∠ABE＝∠DEP，
∵AD∥BC，
∴∠DEP＝∠F，
∴∠ABE＝∠DEP＝∠F，
∴△ABE∽△DEP∽△EFB∽△CFP，
∴图中共有相似三角形有6对，
故选：A．
二、细心填一填（本题共8小题，满分32分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）。
13．（4分）的算术平方根是 　　 ．
【解答】解：，的算术平方根为，
故答案为：．
14．（4分）已知，则的值为 　　 ．
【解答】解：∵，
∴b＝4a，
∴．
故答案为：．
15．（4分）计算的结果是　2　 ．
【解答】解：原式
＝2，
故答案为：2．
16．（4分）已知是方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则c＝ 　1　 ．
【解答】解：将x代入原方程得：（）2﹣4×（）+c＝0，
解得：c＝1．
故答案为：1．
17．（4分）如图，在矩形ABCD中，AD＝7，AB＝4，DF平分∠ADC交BC于点F，AF⊥EF，则EF的长为　5　 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4，∠B＝∠C＝∠ADC＝90°，
∵DF平分∠ADC，
∴∠FDC＝45°，
∴△DFC是等腰直角三角形，
∴CD＝CF＝4，
∴AB＝CF，BF＝7﹣4＝3，
∵AF⊥EF，
∴∠AFB+∠CFE＝90°＝∠AFB+∠BAF，
∴∠BAF＝∠CFE，
∴△ABF≌△FCE（ASA），
∴BF＝CE＝3，
∴EF5，
故答案为：5．
18．（4分）如图，在长为8cm，宽为6cm的矩形中，截取一个矩形（图中阴影部分所示），使留下的矩形与原矩形相似，则留下的矩形面积为　27　 cm2．
【解答】解：
∵矩形ABCD和矩形EFCD相似，
∴，
∴，
解得：DE（cm），
∵DC＝6cm，
∴留下的矩形EFCD的面积为DE×DC6＝27（cm2），
故答案为：27．
19．（4分）若正数a是关于x的一元二次方程x2﹣7x+m＝0的一个实数根，﹣a是关于x的一元二次方程x2+7x﹣m＝0的一个实数根，则a的值为 　7　 ．
【解答】解：∵正数a是关于x的一元二次方程x2﹣7x+m＝0的一个根，
∴a2﹣7a+m＝0①，
∵﹣a关于x的方程一元二次方程x2+7x﹣m＝0的一个根，
∴a2﹣7a﹣m＝0②，
由①②可得m＝0，
∴a2﹣7a＝0，
∴a＝0或a＝7，
∵a是正数，
∴a＝7，
故答案为：7．
20．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为　3　 ．
【解答】解：∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，
∴阴影部分的面积为9＝6，
∴空白部分的面积为9﹣6＝3，
由CE＝DF，BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°，可得△BCE≌△CDF，
∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为3，
∠CBE＝∠DCF，
∵∠DCF+∠BCG＝90°，
∴∠CBG+∠BCG＝90°，即∠BGC＝90°，
设BG＝a，CG＝b，则ab，
又∵a2+b2＝32，
∴a2+2ab+b2＝9+6＝15，
即（a+b）2＝15，
∴a+b，即BG+CG，
∴△BCG的周长3，
故答案为：3．
三、耐心做一做，相信你能写出正确的解答过程（共70分，注意审题要细心，书写要规范和解答要完整）。
21．（20分）计算：
（1）；
（2）已知，，求的值．
解方程：
（3）3x2﹣5x﹣2＝0；
（4）4x2+12x﹣1147＝0．
（3）依据题意，由3x2﹣5x﹣2＝0，则（3x+1）（x﹣2）＝0，进而计算可以得解；
（4）依据题意，由4x2+12x﹣1147＝0，则（2x﹣31）（2x+37）＝0，进而计算可以得解．
【解答】解：（1）
＝（3）（）
＝36
．
（2）由题意，∵，，
∴x﹣y＝222，xy＝（2）（2）＝4﹣3＝1，x+y＝224．
∴．
（3）∵3x2﹣5x﹣2＝0，
∴（3x+1）（x﹣2）＝0．
∴x或x＝2．
（4）∵4x2+12x﹣1147＝0，
∴（2x﹣31）（2x+37）＝0．
∴x或x．
22．（20分）（1）如图，AB表示一个窗户的高，AM和BN表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离BC＝1m．已知某一时刻BC在地面的影长CN＝1.5m，AC在地面的影长CM＝4.5m，求窗户的高度．
（2）在国家政策的积极扶持下，环保意识日渐深入人心，新能源汽车的市场需求逐渐上升．某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间发现后，当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价．
【解答】解：（1）∵BN∥AM，
∴∠CBN＝∠A，∠CNB＝∠M，
∴△CBN∽△CAM，
∴，
∴，
解得：CA＝3（m），
∴AB＝3﹣1＝2（m），
答：窗户的高度为2m；
（2）解：设下调后每辆汽车的售价y万元，每辆汽车的销售利润为（y﹣15）万元时，
（8）（y﹣15）＝96，
整理可得：y2﹣44y+483＝0，解得：y1＝21，y2＝23，
因为要尽量让利顾客，所以y＝21．
答：下调后每辆汽车的售价为21万元．
23．（10分）如图，将矩形纸片ABCD（AD＞AB）折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边BC，AD相交，设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F．
（1）判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论；
（2）若AB＝3，BC＝9，求线段CE的取值范围．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠GFE＝∠FEC，
∵图形翻折后点G与点C重合，EF为折线，
∴∠GEF＝∠FEC，
∴∠GFE＝∠FEG，
∴GF＝GE，
∵图形翻折后EC与GE完全重合，
∴EG＝EC，
∴GF＝EC，
∴四边形CEGF为平行四边形，
∴四边形CEGF为菱形；
（2）由（1）得四边形CEGF是菱形，当点F与D重合时，EC的值最小，
此时CE＝CD＝AB＝3．
如图2，当G与A重合时，CE取最大值，
由折叠的性质得AE＝CE，
∵∠B＝90°，
∴AE2＝AB2+BE2，即CE2＝32+（9﹣CE）2，
∴CE＝5，
∴线段CE的取值范围3≤CE≤5．
24．（10分）（1）问题再现：
学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”：小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是12﹣x和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求线段AB的长，进而求得的最小值是 　13　 ；
（2）应用
如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，若AE＝8，连接HC，则HC+AB的最小值是 　　 ；
（3）类比迁移
已知a，b均为正数，且a﹣b＝6，求的最大值．
【解答】解：（1）如图，AC＝2+3＝5，BC＝x+12﹣x＝12，
由勾股定理，得AB13，
∴的最小值是 13，
故答案为：13；
（2）如图，
设这4个全等直角三角形的短边为x，则AH＝x，HG＝8﹣x，
由勾股定理，得AB，
由勾股定理，得HC，
则HC+AB，
构造图形如下：
∵MN＝GH＝8，NH＝8，∠MNH＝∠GHN＝90°，
设NP＝x，则PH＝8﹣x，
可得MPAB，PGHC，
∴HC+AB＝MP+PG≥MG，
∴HC+AB的最小值为MG的长，
过点M作MQ⊥GH交GH延长线于Q，则MN∥QH，MQ∥HN，
∴QM＝HN＝8，QH＝MN＝8，
∴QG＝16，
由勾股定理MG，
∴HC+AB的最小值为，
故答案为：；
（3）模仿（1）可知，构造图形如下：
矩形AEBF中，CD⊥BE于C，AF＝2，BF＝a，BC＝1，CD＝b，
在Rt△ABF中，由勾股定理，得AB，
在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD，
∴AB﹣BD，
即的值最大，就是AB﹣BD的值最大，
∵AB﹣BD≤AD，
∴AB﹣BD的最大值为AD，
过点D作DG⊥AE于点G，
则AG＝AE﹣GE＝FB﹣CD＝a﹣b＝6，DG＝CE＝BE﹣BC＝AF﹣BC＝2﹣1＝1，
在Rt△ADG中，由勾股定理，得AD，
故的最大值为．
25．（10分）在直角△ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC边上，连接BE，作∠ACF＝∠CBE交AB于点F，同时点D在BE上，且CD⊥AB．
（1）已知：如图，，．
①求证：△ACF≌△BCD．
②求的值．
（2）若，，则的值是多少（直接写出结果）
【解答】证明：（1）①∵∠ACB＝90°，，CG⊥AB，
由等腰三角形的三线合一的性质可得：CD是∠ACB的角平分线，∠BCD＝45°，
在△CAF与△BCD中，
，
∴△ACF≌△BCD；
②由①可知：∠AFC＝∠CDB，
∴∠CFB＝∠CDE，
∵∠CBF＝∠ECD＝45°，
∴△CDE∽△BFC，
∴；
（2）∵，
∵，，
∴．

展开更多......

收起↑