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2024-2025学年陕西省西安八十五中八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分。每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）剪纸是中国首批国家级非物质文化遗产，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）已知x＞y，下列不等式成立的是（　　）
A．﹣x＞﹣y B．x+2＜y+2 C．x﹣5＜y﹣5 D．
3．（3分）若分式的值为0，则x的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．4
4．（3分）下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）
A．x2﹣12x+36＝（x﹣6）2
B．x2﹣4＝（x+4）（x﹣4）
C．x（x﹣y）＝x2﹣xy
D．x2﹣y2+1＝（x+y）（x﹣y）+1
5．（3分）使不等式5x+1＜2x+4成立的最大整数解是（　　）
A．﹣1 B．0
C．1 D．以上都不对
6．（3分）如图，四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠FPE＝120°，则∠PFE的度数是（　　）
A．45° B．40° C．30° D．60°
7．（3分）已知a，b，c为△ABC的三边，满足a2﹣b2+ac﹣bc＝0，则△ABC的形状是（　　）
A．直角三角形
B．等腰直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰三角形
8．（3分）如图，在正方形ABCD中，∠DAC的平分线交DC于点E，点P，Q分别是AD，AE上的动点，若DQ+PQ的最小值是2，则正方形ABCD的边长为（　　）
A．1 B． C．2 D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
9．（3分）分解因式：x3﹣6x2+9x＝　 　 ．
10．（3分）一个多边形的内角和比四边形内角和的2倍多180°，这个多边形的边数是　 　 ．
11．（3分）计算：　 　 ．
12．（3分）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转100°，得到△EBD，若点E恰好在AC的延长线上，则∠CED的度数为 　 　 ．
13．（3分）如图， ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，若△ABE的周长为15，则 ABCD的周长为 　 　 ．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝2x和y2＝kx+b（k、b为常数，k≠0）相交于点P（m，1），则不等式2x＞kx+b的解集是 　 　 ．
三、解答题（共8小题，计58分。解答应写出过程）
15．（5分）解不等式组：．
16．（5分）解分式方程：1．
17．（7分）已知：如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．
求证：四边形AECF是平行四边形．
18．（7分）先化简，再求值：设x＝3y，求的值．
19．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．
（1）若∠BAC＝40°，求∠EDA的度数；
（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．
20．（8分）正所谓“道路通达，百业兴旺”，某村决定对村里的部分道路进行整改，将工程交由甲、乙两个工程队来完成．已知甲工程队每天比乙工程队多修0.4km，如果甲工程队修6.4km所用的天数是乙工程队修9.6km所用天数的一半．
（1）求甲，乙两个工程队每天各修路多少km？
（2）现计划再修建长度为24km的道路，由甲、乙两个工程队来完成．若甲队每天所需费用为2.4万元，乙队每天所需费用为1.5万元，求在总费用不超过33.6万元的情况下，至少安排乙工程队施工多少天？
21．（8分）如图，已知直线y1＝kx+b经过点A（﹣6，0），B（﹣1，5），直线y2＝﹣2x+a与直线AB相交于点M，与x轴交于点D，点M的横坐标为﹣3．
（1）根据图象，直接写出当kx+b＜﹣2x+a时，x的取值范围是什么？
（2）求直线AB的表达式和a的值；
（3）若点P在直线AB上，且S△ADP＝9，求点P的坐标．
22．（10分）探究，如图1所示，平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）求证：四边形AEFB与四边形DEFC的周长相等；
（3）直线EF是否将平行四边形ABCD的面积分成二等份？试说明理由．
应用：张大爷家有一块平行四边形的菜园，园中有一口水井P，如图2所示，张大爷计划把菜园平均分成两块分别种植西红柿和茄子，且使两块地共用这口水井，请帮助张大爷把地分开．
2024-2025学年陕西省西安八十五中八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D A A B C D D
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分。每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）剪纸是中国首批国家级非物质文化遗产，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
2．（3分）已知x＞y，下列不等式成立的是（　　）
A．﹣x＞﹣y B．x+2＜y+2 C．x﹣5＜y﹣5 D．
【解答】解：已知x＞y，
两边同时乘以﹣1得﹣x＜﹣y，则A不符合题意，
两边同时加上2得x+2＞y+2，则B不符合题意，
两边同时减去5得x﹣5＞y﹣5，则C不符合题意，
两边同时除以3得，则D符合题意，
故选：D．
3．（3分）若分式的值为0，则x的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．4
【解答】解：要使分式由分子x2﹣4＝0，解得：x＝±2．
而x＝2时，分母x+2＝2+2＝4≠0；
x＝﹣2时分母x+2＝0，分式没有意义．
所以x＝2．故选：A．
4．（3分）下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）
A．x2﹣12x+36＝（x﹣6）2
B．x2﹣4＝（x+4）（x﹣4）
C．x（x﹣y）＝x2﹣xy
D．x2﹣y2+1＝（x+y）（x﹣y）+1
【解答】解：x2﹣12x+36＝（x﹣6）2符合因式分解的定义，则A符合题意，
x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），则B不符合题意，
x（x﹣y）＝x2﹣xy是乘法运算，则C不符合题意，
x2﹣y2+1＝（x+y）（x﹣y）+1中等号右边不是积的形式，则D不符合题意，
故选：A．
5．（3分）使不等式5x+1＜2x+4成立的最大整数解是（　　）
A．﹣1 B．0
C．1 D．以上都不对
【解答】解：5x+1＜2x+4，
5x﹣2x＜﹣1+4，
3x＜3，
∴x＜1，
则不等式的最大整数解为0，
故选：B．
6．（3分）如图，四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠FPE＝120°，则∠PFE的度数是（　　）
A．45° B．40° C．30° D．60°
【解答】解：∵E，P分别是AB，BD的中点，
∴EP为△ABD的中位线，
∴EPAD，
同理可得：FPBC，
∵AD＝BC，
∴EP＝FP，
∵∠FPE＝120°，
∴∠PFE＝∠PEF（180°﹣120°）＝30°，
故选：C．
7．（3分）已知a，b，c为△ABC的三边，满足a2﹣b2+ac﹣bc＝0，则△ABC的形状是（　　）
A．直角三角形
B．等腰直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰三角形
【解答】解：因为a，b，c为△ABC的三边，
所以a＞0，b＞0，c＞0，
因为a2﹣b2+ac﹣bc＝0，
所以a2﹣b2+ac﹣bc
＝（a+b）（a﹣b）+c（a﹣b）
＝（a﹣b）（a+b+c）
＝0，
因为a＞0，b＞0，c＞0，
所以a+b+c＞0，
所以a﹣b＝0，
所以a＝b，
所以△ABC的形状是等腰三角形．
故选：D．
8．（3分）如图，在正方形ABCD中，∠DAC的平分线交DC于点E，点P，Q分别是AD，AE上的动点，若DQ+PQ的最小值是2，则正方形ABCD的边长为（　　）
A．1 B． C．2 D．
【解答】解：过D作DF⊥AE于F，延长DF交AC于D′，过D′作D′P′⊥AD于P′，D′P′交AE于Q′．
∵DD′⊥AE于F，
∴∠AFD＝∠AFD′＝90°，
∵∠DAC的平分线交DC于点E，
∴∠DAE＝∠CAE，
∵在△DAF与△D′AF中，
，
∴△DAF≌△D′AF（ASA），
∴D′是D关于AE的对称点，AD＝AD′，
∴D′P′即为DQ+PQ的最小值．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAD′＝45°，
∴AP′＝P′D′＝2，
∴在Rt△AP′D′中，
P′D′2+AP′2＝AD′2，AD′2＝8，
∴AD′＝2，AD＝AD′＝2，
∴正方形ABCD的边长为2，
故选：D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
9．（3分）分解因式：x3﹣6x2+9x＝　x（x﹣3）2　 ．
【解答】解：x3﹣6x2+9x
＝x（x2﹣6x+9）
＝x（x﹣3）2，
故答案为：x（x﹣3）2．
10．（3分）一个多边形的内角和比四边形内角和的2倍多180°，这个多边形的边数是　7　 ．
【解答】解：∵四边形内角和为360°，
∴这个多边形内角和为360°×2+180°＝900°，
∵多边形内角和为（n﹣2）×180°，
∴（n﹣2）×180°＝900°，
∴n＝7，
∴这个多边形的边数为：7，
故答案为：7．
11．（3分）计算：　　 ．
【解答】解：原式
，
故答案为：．
12．（3分）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转100°，得到△EBD，若点E恰好在AC的延长线上，则∠CED的度数为 　80°　 ．
【解答】解：由题意得，△ABC≌△EBD，∠ABE＝100°，
∴∠A＝∠BED，AB＝BE，
∴∠A＝∠BEC，
∴∠CED＝∠BEC+∠BED＝80°，
故答案为：80°．
13．（3分）如图， ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，若△ABE的周长为15，则 ABCD的周长为 　30　 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，
∵△ABE的周长为15，
∴AB+BE+AE＝15，
∵OE⊥BD，
∴OE是线段BD的垂直平分线，
∴BE＝ED，
∴AB+BE+AE＝AB+AD＝15，
∴ ABCD的周长＝2（AB+AD）＝2×15＝30，
故答案为：30．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝2x和y2＝kx+b（k、b为常数，k≠0）相交于点P（m，1），则不等式2x＞kx+b的解集是 　x　 ．
【解答】解：将点P（m，1）代入y＝2x，
得2m＝1，
解得m，
∴P（，1），
根据图象，不等2x＞kx+b的解集为x，
故答案为：x．
三、解答题（共8小题，计58分。解答应写出过程）
15．（5分）解不等式组：．
【解答】解：解第一个不等式去括号得2x+5≤3x+6，解得x≥﹣1；
解第二个不等式去分母得3x﹣3＜2x，解得x＜3；
∴不等式组的解集是﹣1≤x＜3．
16．（5分）解分式方程：1．
【解答】解：1，
方程两边乘（x﹣2）2得：x（x﹣2）﹣（x﹣2）2＝4，
解得：x＝4，
检验：当x＝4时，（x﹣2）2≠0．
所以原方程的解为x＝4．
17．（7分）已知：如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．
求证：四边形AECF是平行四边形．
【解答】证明：在平行四边形ABCD中，
∵AE，CF分别为△ABD与△BCD的高，
∴AE＝CF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
18．（7分）先化简，再求值：设x＝3y，求的值．
【解答】解：
，
∵x＝3y，
∴原式．
19．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．
（1）若∠BAC＝40°，求∠EDA的度数；
（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．
【解答】（1）解：∵∠BAC＝40°，AD平分∠BAC，
∴∠EAD∠BAC＝20°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°，
∴∠EDA＝90°﹣20°＝70°．
（2）证明：∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°＝∠ACB，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠DAC，
在△AED和△ACD中，
，
∴△AED≌△ACD（AAS），
∴AE＝AC，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥CE，AD平分线段EC，
即直线AD是线段CE的垂直平分线．
20．（8分）正所谓“道路通达，百业兴旺”，某村决定对村里的部分道路进行整改，将工程交由甲、乙两个工程队来完成．已知甲工程队每天比乙工程队多修0.4km，如果甲工程队修6.4km所用的天数是乙工程队修9.6km所用天数的一半．
（1）求甲，乙两个工程队每天各修路多少km？
（2）现计划再修建长度为24km的道路，由甲、乙两个工程队来完成．若甲队每天所需费用为2.4万元，乙队每天所需费用为1.5万元，求在总费用不超过33.6万元的情况下，至少安排乙工程队施工多少天？
【解答】解：（1）设乙工程队每天修路x km，则甲工程队每天修路（x+0.4）km，
根据题意得：，
解得：x＝1.2，
经检验，x＝1.2是所列方程的解，且符合题意，
∴x+0.4＝1.2+0.4＝1.6．
答：甲工程队每天修路1.6km，乙工程队每天修路1.2km；
（2）设安排乙工程队施工m天，则安排甲工程队施工天，
根据题意得：2.41.5m≤33.6，
解得：m≥8，
∴m的最小值为8．
答：至少安排乙工程队施工8天．
21．（8分）如图，已知直线y1＝kx+b经过点A（﹣6，0），B（﹣1，5），直线y2＝﹣2x+a与直线AB相交于点M，与x轴交于点D，点M的横坐标为﹣3．
（1）根据图象，直接写出当kx+b＜﹣2x+a时，x的取值范围是什么？
（2）求直线AB的表达式和a的值；
（3）若点P在直线AB上，且S△ADP＝9，求点P的坐标．
【解答】解：（1）由图象可知，当kx+b＜﹣2x+a时，
x的取值范围为x＜﹣3；
（2）由条件可得，
解得，
∴直线AB的表达式为y1＝x+6，
把x＝﹣3代入y1＝x+6，
得y＝3，
∴点M的坐标为（﹣3，3），
把（﹣3，3）代入y2＝﹣2x+a，
得a＝﹣3．
（3）设P（m，m+6），
把y＝0代入y2＝﹣2x﹣3得，x，
∴D（，0），
∵A（﹣6，0），
∴AD，
∴S△ADPAD |yP|＝9，
∴|m+6|＝9，
解得m＝﹣2或﹣10．
∴P（﹣2，4）或（﹣10，﹣4）．
22．（10分）探究，如图1所示，平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）求证：四边形AEFB与四边形DEFC的周长相等；
（3）直线EF是否将平行四边形ABCD的面积分成二等份？试说明理由．
应用：张大爷家有一块平行四边形的菜园，园中有一口水井P，如图2所示，张大爷计划把菜园平均分成两块分别种植西红柿和茄子，且使两块地共用这口水井，请帮助张大爷把地分开．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO，
在△EDO和△FBO中，
，
∴△EDO≌△FBO（ASA），
∴OE＝OF；
（2）由（1）知：△EDO≌△FBO，
∴DE＝BF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△EAO和△FCO中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF，
∴AE+BF＝CF+DE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∴AE+BF+AB+EF＝CF+DE+CD+EF，
即四边形AEFB与四边形DEFC的周长相等；
（3）直线EF是将平行四边形ABCD的面积分成二等份，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，OC＝OA，
在△DOC和△BOA中，
，
∴△DOC≌△BOA（SAS），
∴S△DOC＝S△BOA，
∵△EDO≌△FBO，△AOE≌△COF，
∴S△EDO＝S△FBO，S△AOE＝S△COF，
∴S△DOC+S△EDO+S△COF＝S△BOA+S△FBO+S△AOE，
即四边形AEFB与四边形DEFC的面积相等，
∴直线EF是将平行四边形ABCD的面积分成二等份，
应用：连接AC、BD交于O，作直线OP交CD、AB于E、F，如图：
由（2）（3）可知，四边形AFED和四边形BFEC的周长和面积均相等，
∴把平行四边形的菜园平均分成两块分别种植西红柿和茄子，且使两块地共用这口水井，则图中EF把平行四边形分成的两部分，符合题意．

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