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21.1 一元二次方程 暑假自学检测试题
2025年暑假人教版数学九年级上册
一、单选题
1．方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．把方程化成一般式的形式，则a、b、c的值分别是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列方程中，①，②，③，④，⑤，一元二次方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．已知关于x的方程（m+4）x2+2x﹣3m＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣4 B．m≠0 C．m≠﹣4 D．m＞﹣4
5．若关于x的方程和有一个相同的实数根，则m的值为（　　）
A． B．2 C． D．6
6．按如图所示的程序运算，如果输出的的值为9，则输入的的值可能是（ ）
A．3 B． C．或8 D．8
7．一元二次方程化成一般式后的值为（ ）
A．3，－10，－4 B．3，－12，－2
C．8，－10，－2 D．8，－12，4
8．如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（ ）
A． B．2022 C．2023 D．2024
9．某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，则第三季度的产值比第一季度的产值增长了（　　）
A．2x% B．1+2x% C．（1+x%）x% D．（2+x%）x%
10．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
二、填空题
11．把方程整理成一般形式是 ．
12．只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，叫做一元二次方程，其一般形式为 ．
13．已知关于的方程的一个根是，则 ．
14．设a为一元二次方程的一个实数根，则 ．
15．若，则 ．
16．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ．
17．已知是方程的一个根，则式子的值为 ．
18．若关于的方程是一元二次方程，则关于的不等式的解集为 ．
三、解答题
19．将一元二次方程化成一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
20．一元二次方程化成一般形式后为，试求，，的值．
21．某中学数学兴趣小组对关于的方程提出了下列问题：
(1)是否存在的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出的值，并解此方程；
(2)是否存在的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B C C C A D D B
1．C
【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．
【详解】A．x2+=1是分式方程，故此选项错误；
B．ax2+bx+c=0（a≠0），故此选项错误；
C．（x+1）（x+2）=1是一元二次方程，故此选项正确；
D．3x2﹣2xy﹣5y=0是二元二次方程，故此选项错误．
故选C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义是解题的关键．
2．D
【分析】先去括号，再移项、合并同类项，化为的形式，再根据对应相等得到a、b、c的值．
【详解】解：去括号得，，
移项得，，
所以a、b、c的值可以分别是1，，6．
故选：D．
【点睛】一元二次方程的一般形式为，为常数，其中a叫二次项系数，b叫一次项系数，c叫常数项．
3．B
【分析】根据一元二次方程的定义解答．
【详解】解：①符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；
②当a=0时不是一元二次方程；
③去括号化简后可得：-x-6=-3，不是一元二次方程；
④分母里含有未知数，为分式方程，不是一元二次方程；
⑤符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；
故选B．
【点睛】本题考查一元二次方程的基础知识，熟练掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程是解题关键．
4．C
【分析】根据一元二次方程的定义即可求出答案．
【详解】由题意可知：m+4≠0，
∴m≠﹣4，
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的定义，本题属于基础题型．
5．C
【分析】本题主要考查了解一元二次方程．联立两方程可得，再由两方程有一个相同的实数根，可得，即可求解．
【详解】解：∵方程和有一个相同的实数根，
∴，
整理得：，
∴，
∵两方程有一个相同的实数根，
∴，，
即，
把代入得：
，
∴
故选：C
6．C
【分析】读懂题意，按照新定义的做法逆算即可．
【详解】解：根据新定义可知，
时，，此时；
时，，此时；
∴符合题意的x为或8；
故选：C．
【点睛】本题考查了方程中的新定义，做题关键是读懂新定义，按新定义的逆运算分情况讨论．
7．A
【分析】通过去括号、移项合并同类项将方程化为一般形式即可得．
【详解】解：，
去括号，得，
移项合并同类项，得，
则化成一般式后的值为，
故选：A．
【点睛】本题考查了整式的乘法与加减法、一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的概念是解题关键．
8．D
【分析】由题意知，，则，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
9．D
【详解】设第一季度的原产值为a，则第二季度的产值为 ，第三季度的产值为 ，则则第三季度的产值比第一季度的产值增长了
故选D.
10．B
【分析】根据一元二次方程的性质，且，即可解出的取值范围.
【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴且，
解得：且，
故答案为B.
【点睛】本题考查一元二次方程成立条件及根的判别式的应用.对于是常数)其中是一元二次方程成立的前提，根的判别式，是判定两个不相等实数根的关键.
11．
【分析】通过移项合并同类项即可得到答案 .
【详解】解：方程整理成一般形式后，得，即．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的一般形式，掌握移项、合并同类项是关键.
12． 一
【分析】本题考查了一元二次方程的定义和它的标准形式，熟练一元一次方程的定义是解题的关键．
根据一元二次方程的定义和标准形式进行填空即可．
【详解】解：根据一元二次方程的定义可知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程，它的一般形式是．
故答案为：一；．
13．1
【分析】根据一元二次方程的根的定义，将代入中，求出a的值即可．
本题考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键．
【详解】解：∵是关于的方程的一个根，
∴，
解得：，
故答案为：1．
14．
【分析】根据a为一元二次方程2x2+3x-2022=0的一个实数根，可以得到2a2+3a的值，从而可以求得所求式子的值．
【详解】∵a为一元二次方程2x2+3x-2022=0的一个实数根，
∴2a2+3a-2022=0，
∴2a2+3a=2022，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意求出所求式子的值，利用整体的数学思想解答．
15．3
【分析】先由可得，再运用分式的减法计算，然后变形将代入即可解答．
【详解】解：∵
∴
∴．
故填：3．
【点睛】本题主要考查了代数式的求值、分式的减法等知识点，灵活对等式进行变形成为解答本题的关键．
16．且
【分析】本题考查一元二次方程根的情况求参数，解题的关键是：熟记一元二次方方程成立的条件．根据方程有两个不相等的实数根得到，且，求解即可，
【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
解得且，
故答案为：且．
17．3
【分析】此题考查了一元二次方程的解和代数式的值，熟练掌握一元二次方程解的定义是解题的关键．由方程根的定义得到，整体代入即可得到答案．
【详解】解：∵m是方程的一个根，
∴，
∴，
∴
．
故答案为：
18．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元一次不等式，解题的关键是根据一元二次方程的定义求出k的值．先根据一元二次方程的定义求出k的值，然后再代入不等式，解不等式即可．
【详解】解：是一元二次方程，
且，
解得：且，
，
原不等式为：，即
∴，
故答案为：．
19．二次项系数为，一次项系数为8，常数项为
【分析】先把变为一般形式，然后得出答案即可．
【详解】解：由得，
∴二次项系数为，一次项系数为8，常数项为．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，形如，把式子化为一元二次方程的一般形式是解题关键．
20．
【分析】先将原式变形为，再列方程组求解即可；
【详解】解：整理得，
则
解得.
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用、解三元一次方程组，正确将原一元二次方程变为一般式是解题的关键.
21．(1)存在，时；时
(2)存在，
【分析】（1）根据一元一次方程的定义，分情况求解即可；
（2）根据一元二次方程的定义，列出式子，求解即可．
【详解】（1）解：存在，由题可知或或时方程能为一元一次方程，
当时，解得，此时程为，解得；
当时，解得，此时方程为，解得．
当时，方程无解；
（2）存在．
根据一元二次方程的定义可得，解得．
【点睛】此题考查了一元二次方程和一元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程和一元一次方程的定义，只含有一个未知数并且未知数的次数为1的整式方程为一元一次方程，只含有一个未知数并且未知数的次数为2的整式方程为一元二次方程．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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