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21.2.1 解一元二次方程配方法 暑假自学检测试题
2025年暑假人教版数学九年级上册
一、单选题
1．用配方法解方程，则方程可变形为（ ）
A． B． C． D．
2．用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是( )
A． B． C． D．
3．将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ）
A．，7 B．，7 C．2， D．2，7
4．解下面方程：（1）（x﹣2）2=5，（2）x2﹣3x﹣2=0，（3）x2+x﹣6=0，较适当的方法分别为（　　）
A．（1）直接开平法方（2）因式分解法（3）配方法
B．（1）因式分解法（2）公式法（3）直接开平方法
C．（1）公式法（2）直接开平方法（3）因式分解法
D．（1）直接开平方法（2）公式法（3）因式分解法
5．把方程 x2﹣x﹣5=0，化成（x+m）2=n的形式得（ ）
A．（x﹣ ）2= B．（x﹣ ）2=
C．（x﹣ ）2= D．（x﹣ ）2=
6．若方程的左边是完全平方式，则的值为（ ）
A．16 B． C． D．
7．把方程化成的形式，则的值是（　　）
A．9 B．13 C． D．
二、填空题
8．用配方法将方程变形为，则的值是 ．
9．将代数式化成的形式为 ．
10．把关于x的方程x2-2x+2=0配方成为a（x-2）2+b（x-2）+c=0的形式，得 ．
11．用配方法解一元二次方程时,将它化为的形式,则的值为 ．
12．已知一等腰三角形的一边长为5，另一边长为方程的根，该等腰三角形的周长为 ．
13．如果为实数，且满足，那么 ．
三、解答题
14．如果求的值．
15．关于的方程有两个不相等的实数根，且为非负整数，求的值及此时方程的根．
16．阅读下面的解题过程，求y2+4y+8的最小值．
解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4
∵（y+2）2≥0，即（y+2）2的最小值为0，
∴y2+4y+8的最小值为4．
仿照上面的解答过程，求x2+6x+13的最小值和6﹣a2+2a的最大值．
17．丽丽在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：关于的多项式，由于所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或1时，的值均为4：当，即或0时，的值均为7，于是丽丽给出一个定义：关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称，例如关于对称．
请结合丽丽的思考过程，运用此定义解决下列问题：
(1)多项式关于　 　对称；
(2)若关于x的多项式关于对称，求n的值；
(3)若整式关于对称，求实数a的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 D B A D D D B
1．D
【分析】本题考查了解一元二次方程的配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
方程整理后，利用完全平方公式变形即可得到结果．
【详解】解：方程移项得：，
配方得：，
即．
故选：D
2．B
【分析】将常数项移到右边，两边同时加上一次项系数一半的平方即可．
【详解】解：
故答案选：B．
【点睛】此题考查了解一元二次方程——配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
3．A
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
配方得，即，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了配方法求解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法的过程．
4．D
【详解】（1）形如 的方程，选用直接开平方法较为适当，所以此方程宜用直接开平方法；
（2）当判别式Δ>0且不是有理数的平方数时，宜用公式法求解，此方程，所以宜用公式法求解；
（3）∵ ，∴此方程选用因式分解法比较适当.
故答案选D.
5．D
【详解】方程x2 x 5=0，整理得：x2 3x=15，
配方得：x2 3x+=，即(x )2=，
故选D
6．D
【分析】根据完全平方式的结构，即可得到答案.
【详解】解：∵方程的左边是完全平方式，
∴；
故选择：D.
【点睛】本题考查了完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．属于基础题，熟记公式即可作出正确的选择．
7．B
【分析】本题考查用配方法解一元二次方程、代数式求值，先利用配方法求得，，再代入求解即可．
【详解】解：，
移项得，，
配方得，，
得，，
∴，，
∴，
故选：B．
8．5
【分析】将方程的常数项移到右边，两边都加上4，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【详解】解：x2-4x-1=0，
移项得：x2-4x=1，
配方得：x2-4x+4=5，即（x-2）2=5，
所以m=5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可；
（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．
9．
【分析】利用配方法解答即可．
【详解】==
故答案为．
【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
10．（x-2）2+2（x-2）+2=0．
【分析】此题把x-2看作整体，用配方法可化为（x-2）2+2（x-2）+2=0，即可．
【详解】∵x2-2x+2=x2-4x+4+2x-4+2=（x-2）2+2（x-2）+2，
∴方程x2-2x+2=0配方成为a（x-2）2+b（x-2）+c=0的形式为，
（x-2）2+2（x-2）+2=0，
故答案为（x-2）2+2（x-2）+2=0.
【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，还考查了一个很重要的思想，整体思想．
11．
【分析】本题考查配方法解一元二次方程．熟悉配方法步骤及正确计算是解出本题的关键．
【详解】解:∵,
∴两边同时除以:,
∴移项:,
∴配方: ,
∴整理得:,
∴,
∴,
故答案为:．
12．13或14
【分析】先求出一元二次方程的根，再讨论5是等腰三角形的底还是腰，求出三角形周长．
【详解】解：
，
解得，
若5是等腰三角形的底，则等腰三角形的腰只能是4，此时周长是，
若5是等腰三角形的腰，则等腰三角形的底是4，那么周长是．
故答案是：13或14．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质和解一元二次方程，解题的关键是分类讨论等腰三角形的腰长和底长，需要注意构成三角形的条件．
13．-8
【分析】先根据非负数的性质求出a、b的值，然后代入ab计算即可.
【详解】因为，
所以，，
所以，，
所以．
故答案为-8
【点睛】本题考查了非负数的性质，①非负数有最小值是零；②有限个非负数之和仍然是非负数；③有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零.，初中范围内的非负数有：绝对值，算术平方根和偶次方.
14．．
【分析】将原式化为两个完全平方式,根据0+0式求出x,y,代入求值即可.
【详解】解：，
，，
则；．
．
【点睛】本题考查了二元一次方程的性质,属于简单题,将原式配方是解题关键.
15．．
【分析】由题意得到根的判别式，然后解此不等式得到，再根据为非负整数，得到m的值为0，代入原方程，得到方程为，再解此一元二次方程即可．
【详解】解：根据题意得，
因为方程有两个不相等的实数根，
所以
为非负整数，
此时方程为
．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、解一元二次方程等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键，，一元二次方程有两个不相等的实数根；，一元二次方程有两个相等的实数根；，一元二次方程没有实数根．
16．x2+6x+13的最小值为4,6﹣a2+2a的最大值是7
【分析】利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性解答．
【详解】x2+6x+13
＝x2+6x+9+4
＝（x+3）2+4，
∵（x+3）2≥0，即（x+3）2的最小值为0，
∴x2+6x+13的最小值为4；
6﹣a2+2a
＝﹣a2+2a﹣1+7
＝﹣（a﹣1）2+7，
∵（a﹣1）2≥0，
∴﹣（a﹣1）2≤0，即﹣（a﹣1）2的最大值是0，
∴6﹣a2+2a的最大值是7．
【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式和偶次方的非负性是解题的关键．
17．(1)1
(2)
(3)
【分析】（1）依据题意，读懂题目，仅需配方即可得解；
（2）依据题意，由多项式，又多项式关于对称，从而可以得解；
（3）依据题意，由，进而可以判断得解．
【详解】（1）解：由题意，，
多项式关于对称．
故答案为：1．
（2）解：由题意，多项式，
多项式关于对称．
又多项式关于对称，
．
．
（3）解：由题意，得 ，
关于对称．
又∵关于对称，
．
【点睛】本题考查了配方法的应用和函数的最值问题，能够对多项式进行配方，根据新定义判断出对称轴是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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