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数学练习卷 6 一、单选题
1 ．已知复数z满足(1 + i3)z = 3 + i5 ，则z = ( )
A ．2 2i B ．1 2i C ．2 + 2i D ．1 + 2i
(
-
→
-
→
)2 ．若向量a (-→) = (1, λ) ，b = (4, λ) ，则“λ = 2”是“a (-→) ⊥ b”的 ( )
A ．必要不充分条件 B ．充要条件
C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件
3 ．某工厂生产 A ，B ，C 三种不同型号的产品，产量之比为 2 ：3 ：5 ．现用分层抽样的方法抽取一个容量 为 n 的样本，若样本中 A 型号的产品有 8 件，则样本容量n = ( )
A ．16 B ．40 C ．80 D ．100
4 ．已知α , β是两个不同的平面，m ，n ，l是三条不同的直线，则下列命题中正确的是 ( )
A ．若m ⊥ α , n ⊥ α , 则m ⊥ n
B ．若m//α , n//α , 则m//n
C ．若α ∩ β = l ，m//α , m//β , 则m//l
D ．若α ∩ β = l ，m α , m ⊥ l ，则m//β
5 ．已知一个正四棱锥的底面边长为 2 ，体积为 ，若该四棱锥的顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积 等于 ( )
A ．9π B ．4π C ． D ．3π
6 ．在△ ABC中角A, B, C所对的边分别为a, b, C ，若a = 1 ，A = 30° , b = x ，则 ( )
A ．当x = 2 时，B = 45° B ．当x > 1 时，△ ABC有两个解
C ．当 0 < x < 1 时，△ ABC只有一个解 D ．对一切x > 0 ，△ ABC都有解
7 ．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f( 2) = 4 ，若函数在 上单调递增，则不
等式f(x) ≤ 2x的解集为 ( )
A ．[ 2,2] B ．( ∞, 2]
C ．[ 2,0] ∪ [2, + ∞) D ．( ∞, 2] ∪ [0,2]
8 ．已知平面向量 ，满足 = 2 ，且|| = 1 ，则 的最 小值为 ( )
A ． B ． 15 C ． D ． 17
(
二、多选题
)9．有一组原样本数据x1, x2, , xn，由这组数据得到新样本数据y1, y2, , yn，其中yi = 2xi + C i = 1,2, , n , C
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为非零常数，则 ( )
A ．新样本数据的平均数是原样本数据的平均数的2 倍
B ．新样本数据的中位数是原样本数据的中位数的 2 倍 C ．新样本数据的标准差是原样本数据的标准差的 2 倍 D ．新样本数据的极差是原样本数据的极差的2 倍
10 ．已知实数a, b满足a > 0, b > 0, a + b = ab ，则下列结论正确的是 ( )
A ．ab ≥ 4 B ．a + 9b ≥ 16
C ．lga + lg4b的最小值为 2lg2 D ．的最大值为 2 2
11 ．已知对任意x, y ∈ R, f = 1 ，则
A ．f (1 = 0 B ．f
C ．f x的图象关于直线对称 D ． = 507
三、填空题
12 ．已知P(A) = 0.6 ，P(B) = 0.5 ，B A ，则P(A ∪ B) = .
13 ．已知菱形ABCD的边长为 2 3 ，∠BAD = 60° , 沿对角线BD将菱形ABCD折起，使得二面角A BD C 为钝二面角，且折后所得四面体ABCD外接球的表面积为 64π , 则二面角A BD C的余弦值为 .
14．如图，三棱锥P ABC的底面ABC的斜二测直观图为△ A' B' C'，已知PB ⊥底面ABC，PB = 4，A' D' = D' C'， A' O' = O' B' = O' D' = 1 ，则三棱锥P ABC外接球的体积V = .
四、解答题
(
-
→
-
→
) (
15
．已知向量
-→
a
，
b
满足：
-→
a
=
1,0
，
b
=
2
.
)若 = 60 , 求
(
-
→
-→
-
→
)(2)若(a (-→) b) ⊥ a (-→) ，求当k为何值时，(ka (-→) b ⊥ a (-→) + 2b) .
(
-
→
-
→
)(3)若 a (-→), b = 60 , 求(a (-→) + b)在a (-→)方向上的投影向量的坐标.
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16 ． 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，共进行两轮活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．已知甲 每轮猜对的概率为 ，乙每轮猜对的概率为 ，在每轮活动中， 甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不 影响.
(1)求“星队”在两轮活动中共猜对 3 个成语的概率；
(2)求两轮活动结束后， 甲恰好比乙多猜对一个成语的概率.
17 ．为了提高市民的普法意识，某市举行了普法知识竞赛，为了解全市参赛者的成绩情况，从所有参赛者 中随机抽取了 100 人的成绩（均为整数）作为样本，将其整理后分为 6 组，并作出了如图所示的频率分布 直方图（最低 40 分，最高 100 分）.
(1)求频率分布直方图中a 的值，并求出样本中成绩在 60 分以上的人数：
(2)若划定成绩大于或等于第 75 百分位数为“良好”以上等级，请根据直方图，估计全市参赛者的成绩在“良 好”以上等级的范围；
(3)现知道样本中，成绩在“良好”以上等级的平均数为 88 ，方差为 18 ，成绩在[80,90)内的平均数为 86 ，方 差为 2 ，求成绩在[90, 100内的平均数和方差.
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18 ．如图 1 ，等腰梯形ABCD中，AD//BC ，E为AD边上一点，且AB = AE = BE = CD = 2 ，BC = ED = 4， O为BE中点，F为BC中点.将△ ABE沿BE折起到△ A' BE的位置，如图 2 .
(1)证明：CD ⊥平面A' OF；
(2)若A' O ⊥ OF ，求点F到平面A' EC的距离；
(3)试在线段A' D上确定一点G ，使得平面GCE//平面A' OF ，并给出证明.
19 ．在△ ABC内一点P满足∠PAB = ∠PBC = ∠PCA = α , 则称P为△ ABC的布洛卡点，α为布洛卡角．小明 同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索得到许多正确的结论，比如∠APC = π ∠BAC = ∠ABC + ∠ACB， 若下列问题中的点P为△ ABC的布洛卡点，请你和他一起解决如下问题：
当AB = AC = 2 ，且∠BAC = π 时，求 tanα;
(2)角A ，B ，C所对的边分别为a ，b ，C ，∠ABP = ∠PBC = α , 求证：b2 = aC；
(3)在（2）的条件下，若△ ABC的周长为 4 ，试把B (-)--→ B (-)--→表示为b的函数fb ，并求fb的值域.
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《数学练习6》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B C A C D C CD AB
题号 11
答案 AC
4 题图 5 题图 8 题图 13 题图 14 题图
由 z = 3 + i5 可得z = 3 + i，可得z = 1 + 2i.故选：D.
(
-→
-
→
)2 ．C【详解】若λ = 2 ，则 4 λ2 = 0 ，即a (-→) ⊥ b.若a (-→) ⊥ b ，则 4 λ2 = 0 ，解得λ = ± 2.
(
-
→
)故“λ = 2”是“a (-→) ⊥ b”的充分不必要条件，故选：C
3 ．B【详解】根据分层抽样的定义与计算方法，可得 × n = 8 ，可得n = 40.故选：B.
4 ．C【详解】α , β是两个不同的平面，m ，n ，l是三条不同的直线， 对于A ，若m ⊥ α , n ⊥ α , 则由线面垂直的性质得m//n ，故 A 错误； 对于 B ，若m//α , n//α , 则m与n相交、平行或异面，故 B 错误；
对于 C ，若α ∩ β = l ，m//α , m//β , 则由线面平行的性质得m//l ，故 C 正确；
简单证明：如图，m//α , 过m 的一个平面与α交于a ，则m//a 同理，m//n ，则a//n， a α, n α , 则n//α , n β , α ∩ β = l ，则n//l ，所以m//l.
对于 D ，若α ∩ β = l ，m α , m ⊥ l ，则m与β相交，故 D 错误．故选：C .
5 ．A【详解】正四棱锥P ABCD的外接球的球心在它的高PO1 上，
由已知得VP ABCD = × 22 × PO1 = ，得PO1 = 2 ，易知正四棱锥底面外接圆半径AO1 =
球O的半径为R ，由球的性质得 解得 所以球 O 的表面积为S = 4πR2 = 9π .故选：A .
6 ．C【详解】因为a = 1 ，A = 30° , b = x ，所以由正弦定理 即 sinB = 当时 sinB = ，又 30° < B < 150° , 所以B = 45°或B = 135° , 故 A 错误；
当x = 4 时 sinB = 2 ，又 0 < sinB ≤ 1 ，此时△ ABC无解，故 B 、D 错误；
当 0 < x < 1 时b < a ，则B < A ，又 sinB = ，此时B只有一解，即△ ABC只有一个解，故 C 正确； 7 ．D【详解】f(x)是定义域为R的奇函数定义域为 ∞, 0 ∪ 0, + ∞ , 故是偶函数，
又gx在(0, + ∞)上单调递增，故gx在( ∞, 0)上单调递减，
f(x)是定义域为R的奇函数，f( 2) = 4 ，故f2 = f 2 = 4 ，故g
当x > 0 时，fx ≤ 2x ≤ 2 g x ≤ 2 g x ≤ g 2，而gx在 0, + ∞)上单调递增，故x ∈ (0,2；
其中g 2 = g 2 = 2 ，当x < 0 时，f x ≤ 2x ≥ 2 g x ≥ 2 g x ≥ g 2， 而gx在( ∞, 0)上单调递减，故x ∈ ( ∞, 2]； 当x = 0 时，f 0 = 0 ，满足不等式.
综上，x ∈ ( ∞, 2 ∪ 0,2] ．故选：D .
(
----→
-
---→
-→
---
→
)8 ．C【详解】建立如图所示的直角坐标系：依题意设MO = a (-→) = 2,0 ，NO = b = 0,2 ，OC = C (-→) = x, y，
M 2,0 ，N(0, 2 ，则 a (-→) + b (-→) + C (-→) = 1 x + 22 + y + 22 = 1 ，故 C 在以D( 2, 2)为圆心，半径为
(
因此
△
DCN
△
DEC
，
∴
=
2
，故
=
2
EC
，
)1 的圆上，如 图，取点E 则 = 2 ，且∠CDE = ∠NDC，
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由于 ，当 E ，M，C 三点共线且点 C 在线段ME上时，等号取到， 因此 .故选:C.
9 ．CD 对于 A：设 ，则 + C ，且C ≠ 0 ，错误；
对于 B ：设原样本数据的中位数为xi ，则新样本数据的中位数为yi = 2xi + C ，且C ≠ 0 ，错误；
对于 C ：由Dy = 22D x + D C = 4Dx ，知新样本数据的标准差是原样本数据的标准差的2 倍，正确； 对于 D：设原样本数据的极差为xmax — xmin，则新样本数据的极差为ymax — ymin = (2xmax + C — 2xmin + C) = 2 (xmax — xmin) ，正确.故选：CD
10 ．AB【详解】对于 A：因为a > 0 ，b > 0 ，a + b = ab ，所以a + b ≥ 2 ab ，即ab ≥ 2 ab， 解得ab ≥ 4（当a = b = 2 时取等号），故 A 正确；
对于 B ：由a + b = ab，得 = 1，所以a + 9b = a + 9b = 10 + ≥ 10 + 2 = 16（当 a = 4 ，时取等号），故 B 正确；
对于 C ：lga + lg4b = lg4ab ≥ lg16 = 4lg2（当a = b = 2 时取等号），故 C 错误；
因为 = 1 + 2 ，又 0 < ，
(
2
)所以 ≤ 1 + 2 = 2 ，所以（当a = b = 2 时取等号），故 D 错误．故选：AB 11 ．AC【详解】 由题意得任意x, y ∈ R ，f 且
令x = y = 0 ，则f 则f0 = 0 .
令x = y = 则 = 0 ，故 A 正确.
令 则 ，所以f的图象关于直线对称，故 C 正确.
令y = — x ，则f ，结合 C 选项，得 0 = f 所
以有fx + f—x = 0 ，则fx为奇函数.
又因为fx的图象关于直线对称，所以f是以 2 为周期的函数，所以f = — 1， 故 B 错误.
令x = y = 1 ，则f = 506 ×
故 D 错误．故选：AC .
12 ．0.6/【详解】 由B 三 A ，可得A ∩ B = B ，所以P(A ∩ B = P B) = 0.5，
所以P(A U B) = P A + P B — P (A ∩ B) = 0.5 + 0.6 — 0.5 = 0.6.故答案为：0.6 13 ． — 【详解】如图，设 O 为四面体 ABCD 外接球的球心，半径为 R，
令O1 ，O2 分别为正△ ABD和正△ CBD的外心，则 4πR2 = 64π , : R = 4 ，: OO1 丄平面 ABD ，OO2 丄平面 CBD.则AB 丄 OO1, AB 丄 OO2, OO1 ∩ OO2 = O ，于是AB 丄平面OO1 O2，平面OO1 O2 交 BD 点于 E ，连接O1E， O2E ，则AB 丄 O1E, AB 丄 O2E ，因此匕O1EO2 为二面角A — BD — C的平面角.
设其大小为θ , “ EC = = 3 ，: EO2 = 1 ，O2 C = 2 ，: OO2 = 连接OE ，则OE = ，: cos，: cosθ = 2cos2 — 1 = — 故答案为： 14 ．36π【详解】 由题意可知，O' D' //B' C', O'D' = B' C' = 1 ，所以B' C' = 2，
则在△ ABC中，AB 丄 BC ，BC = 4 ，AB = 2 ，三棱锥P — ABC中，PB = 4 ，PB 丄底面ABC，
则可将三棱锥P — ABC补成相邻三侧棱分别为 2 ，4 ，4 的长方体，则长方体的体对角线长即为外接球的直 径，所以外接球半径为 所以三棱锥P — ABC外接球的体积V = π × 33 = 36π .
15．【详解】（1）因为a (-→) = 1,0 = 60o，所以a (→) — 2b (→) . a (→) + b (→) = a (→)2 — a (→) . b (→) — 2b (→)2 = a (→) 2 — a (→) .
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(
=
0
，则
)由ika (-→) b (-→) ⊥ a (-→) + 2b (-→) ，得 a (→) + 2b (→) tk a (→) b (→)) = ka (→)2 2b (→)2 + 2k 1a (→) b (→) = k 8 + 2k 1 = 3k
(
-
→
-
→
) (
9
=
0
，解得
k
=
3
，所以当
k
=
3
时，
(
k
-→
a

b
⊥
-→
a
+
2b
)
.
) 1,0, = 2,0,.
16 ．【详解】（1）设A1 ，A2 分别表示甲两轮猜对 1 个，2 个成语的事件，B1 ，B2 分别表示乙两轮猜对 1 个，
2 个成语的事件，根据独立事件的性质，可得P
, 设A =“两轮活动星对猜对 3 个成语” ，则A = A1B2 ∪ A2B1，
所以PA = P A1B2 + P A2B1 = P A1P B2 + P A2P B1 ，= × + × = ， 因此“星队”在两轮活动中共猜对 3 个成语的概率为 .
（2）设B0 表示乙两轮都没猜对的事件 设事件B =“两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜
对一个成语”则B = A1B0 + A2B1
P B = P (A1B0 + A2 B1 = P A1B0 + P A2B1 = P A1P B0 + P A2P B1 = × + × = .
17 ．【详解】（1）在频率分布直方图中，所有直方图面积之和为 1，
可得(0.004 + 0.006 + 4 + 0.018 + 0.03 + 0.034) × 10 = 1 ，解得a = 0.008，
由图可知，样本中成绩在 60 分以上的人数为 100 (0.004 + 0.008) × 10 × 100 = 88 人. （2）前三个矩形面积之和为(0.004 + 0.008 + 0.034) × 10 = 0.46，
前四个矩形面积之和为 0.46 + 0.030 × 10 = 0.76 ，设第 75 百分位数为m ，则m ∈ (70,80)，
由百分位数的定义可得 0.46 + (m 70 × 0.03 = 0.75 ，解得m = ≈ 80， 因此，全市参赛者的成绩在“良好”以上等级的范围为[80, 100] .
（3）成绩在80,90 内占成绩在80, 100 的比例为 成绩在i90, 100 内占成绩在80, 100 的比例
设成绩在[90, 100内的平均数和方差分别为x 、S2，
由分层随机抽样的平均数公式可得 × 86 + = 88 ，解得x = 94，
由分层随机抽样的方差公式可得86 8894 88 = 18 ，解得S2 = 18. 故成绩在90, 100 内的平均数为 94 ，方差为 18.
18．【详解】（1）在等腰梯形ABCD中，AD//BC，BC = ED = 4，则四边形BCDE是平行四边形，则BE//CD， 因为AB = AE = BE = CD = 2，所以△ ABE为等边三角形，则∠BAE = 60 因为O为BE中点，所以BE ⊥ A' O，
连接EC (在等腰)梯，在△ (形AB)BEC (CD中)中，，由余弦定理可EC2 (可得∠BAE = ∠CDE) BE cos∠EBC = 12，
则EC = 2 3 ，所以BE2 + EC2 = 16 = BC2 ，则BE ⊥ EC .
因为O 、F分别是BE 、BC中点，所以OF//EC ，所以OF ⊥ BE， 从而可得OF ⊥ CD ，CD ⊥ A' O，
因为A' O ∩ OF = O ，A' O 、OF 平面A' OF ，所以CD ⊥平面A' OF；
（2） 由（1）可知OF//EC ，因OF 平面A' EC ，EC 平面A' EC ，则OF//平面A' EC， 所以点F到平面A' EC的距离即为点O到平面A' EC的距离，
因为O是BE中点，所以点F到平面A' EC的距离等于点B到平面A' EC的距离的一半. 取A' E的中点为H ，连接BH，
因为△ A' BE为等边三角形，所以BH ⊥ A'E，
由（1）知EC ⊥ BE ，因为A'O ⊥ OF ，而OF//EC ，则EC ⊥ A' O，
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又因为BE ∩ A'O = O，BE、A'O C平面A'BE，所以EC 丄平面A'BE， 因为BH C平面A'BE，所以EC 丄 BH，
又因为EC ∩ A'E = E，EC、A'E C平面A'EC，所以BH 丄平面A'EC， 因为△ A'BE是等边三角形，边长为 2，故BH =
所以点B到平面A'EC的距离为 3， 故点F到平面A'EC的距离为；
设DF ∩ CE = M，则 在AD上取点 ，从而GM//A'F，
连接EG，因为A'F 丈平面GEC，GM C平面GEC，所以A'F//平面GEC，
又由（1）可知，OF//EC，OF 丈平面GEC，GM C平面GEC， 则OF//平面GEC，
又因为A'F ∩ OF = F，A'F, OF C平面A'OF，所以平面GCE//平面A'OF， 故 G 为线段A'D上靠近A' 的三等分点时，平面GCE//平面A'OF.
当AB = AC = 2，且匕BAC = π 时，得匕ABC = 匕ACB =
由余弦定理，得BC2 = AB2 + AC2 — 2AB . ACcosA = 22 + 22 — 2 × 2 × 2 × = 12，所以BC = 2， 又匕PAB = 匕PBC = 匕PCA = α , 所以匕PCB = — α , 匕BPC =
在△ BPC中， 由正弦定理得 解得sinα , 比如匕APC = π — 匕BAC = 在△ APC中， 由正弦定理得 解得
所以sinα , 解得 tanα =
（2） 由匕ABP = 匕PBC = α , 则匕APB = π — 2α = π — 匕ABC，
在△ ABP中， 由正弦定理得 解得
在△ APC中，匕APC = π — 匕BAC，由正弦定理得 ，得 由 ，即bsin匕ABC = csin匕BAC. 由正弦定理，可得b2 = ac.
（3） 由题意有b2 = ac，a + b + c = 4，则 = ac . cosB = ac . a2 — b2 + c 2 2 — 2ac — b22 — 3b2 =— b2 — 4b + 8 = — 2 + 12，
所以fb =— b + 22 + 12，因为a + c = 4 — b ≥ 2 ac = 2b，解得b ≤ ,
又由三角形边的关系知—b < c — a < b，则(c — a)2 < b2 ，即(c + a)2 — 4ac < b2
(4 — b)2 — 4b2 < b2 ，整理得b2 + 2b — 4 > 0，解得b > 5 — 1，即b ∈ ( 5 — 1, ，
而b ∈ ( 5 — 1, 时，f b)单调递减，f( 5 — 1) = 6 — 2 5， ，所以f的值域为
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