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数学练习卷 5
一、单选题
1 ．已知z = (3 + i)(2 i) ，则z的虚部为 ( )
A . i B . 1 C ．7i D ．7
2 ．已知由小到大排列的 4 个数据 1,3,4, a 的极差是它们中位数的 2 倍，则a = ( )
A ．5 B ．6 C ．7 D ．8
3 ．设x ∈ R ，则“x = ”是“cosx = 0”的 ( )
A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
4 ．在平行四边形ABCD中，点E满足 ，则
A ． B .
5 ．已知函数y = x2 + (1 + m)x + 2 在区间( ∞, 4]上单调递减，则实数m 的取值范围是 ( )
A ．( ∞, 9] B ．[3, + ∞) C ．( ∞, 5] D ．[7, + ∞)
6．中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂 势既同，则积不容异” .“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，夹在两个平行平面之间的两个几 何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述 原理在中国被称为祖暅原理.如图，一个上底面边长为 1 ，下底面边长为 2 ，高为 3 3 的正六棱台与一个不 规则几何体满足“幂势既同” ，则该不规则几何体的体积为 ( )
A ．24 B ．24 3 C ．27 3 D .
7 ．已知m + em = e, n + 3n = e ，则 ( )
A ．1 < n < m < e B ．1 < m < n < e
C ．0 < n < m < 1 D ．0 < m < n < 1
8．在△ ABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, C，已知bsinA = acosB, ∠ABC的平分线交AC于点D，且BD = 3 ，则a + 2C的最小值是 ( )
A ．4 B ．6 C ．2 + 2 2 D ．3 + 2 2
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二、多选题
(
-
→
)9 ．已知向量a (-→) = 1,3 , b = ( 2, 1) ，则 ( )
A ． B .
C．a (-→)在b (-→)上的投影向量的模为 D ．a (-→)与b (-→)的夹角为钝角
10 ．已知函数 = sinxcosx cos2x + 则下列说法正确的是 ( )
A ．f x的最小正周期为
B ．f x的图象关于点 , 0)成中心对称
C ．f(x)在区间上单调递增
D ．若f(x)的图象关于直线x = x0对称，则 cos2x0 = ±
11 ．已知函数fx的定义域为R ，且f1 = 0 ，若f(x + y) = f x + fy + 2 ，则 ( )
A ．f 2 = 6 B ．f (1013) = 2024
C ．f x有最大值 D ．函数fx + 2 是奇函数
三、填空题
12 ．已知集合A = { 1,0}, B = {y∣y = 2x, x ∈ A} ，则A ∪ B的所有元素之和为 .
13 ．若函数 的值域为(1, + ∞) ，则实数a 的取值范围为 .
14．一个三棱锥形木料P ABC，其中底面△ ABC是A = 90 , AB = 2dm 的等腰直角三角形，PA ⊥底面ABC，
二面角P BC A的大小为45 , 则三棱锥P ABC的外接球表面积为 dm2 .
四、解答题
15 ．记△ ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, C ，已知a2 + b2 ab = C2 .
(1)求C；
若 sinA = ，求 sinB.
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16 ．如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△ PCD为等边三角形，平面PAC ⊥平面 PCD, CD = 2, AD = 3.
(1)设G, H分别为PB, AC的中点，证明：GH//平面PAD；
(2)求直线AD与平面PAC所成角的正切值.
17 ．某校举办“奋进新征程，建功新时代”知识能力测评，共有 1000 名学生参加，随机抽取了 100 名学生， 记录他们的分数，将数据分成 4 组：[60,70 , 70,80 , 80,90 , 90, 100 ，并整理得到如下频率分布直方图：
(1)用分层随机抽样的方法从[80,90 , 90, 100]这两个区间共抽取 5 名学生，则每个区间分别应抽取多少人？
(2)在（1）的条件下，该校决定在这 5 名学生中随机抽取 2 名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学 生成绩在区间80,90)的概率；
(3)现需根据学生成绩制定评价标准，评定成绩较高的前 70%的学生为良好，请根据频率分布直方图估计良 好的最低分数线.（精确到 1）
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18 ．已知f是定义域上的奇函数，且f1 = 2.
(1)求fx的解析式；
(2)判断并用定义证明fx在区间(0, + ∞)上的单调性；
(3)设函数 = x2 + 2t f 若对任意的x1, x2 ∈ , 1i ， 求实数t 的最
小值.
19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出的，该问题是“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形 的三个顶点的距离之和最小."意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ ABC的三个内角均小于时，使得 ∠A。B = ∠B。C = ∠C。A = 的点。即为费马点；当△ ABC有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为 费马点.试用以上知识解决下面问题： 已知△ ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, C ，且 sin (1)求A；
(2)设点P为△ ABC的费马点，若 ，求b2 + C2 的最小值；
(3)设点P为△ ABC的费马点，PB + PC = tPA ，求实数t 的取值范围.
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《数学练习 5》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A C A D C D AC BCD
题号 11
答案 ABD
1 ．B【详解】Z = (3 + i)(2 i) = 7 i ，则其虚部为 1 ，故选：B.
2．D【详解】由小到大排列的 4 个数据 1，3，4，a，则a ≥ 4，这 4 个数据的极差为a 1，中位数为 因为这 4 个数据的极差是它们中位数的 2 倍，所以a 1 = 2 × , 解得a = 8 ．故选：D.
, 则 cosx = 0 ，故充分性成立， 由 cosx = 0 ，则x = kπ + , k ∈ Z ，无法推出 故必要性不成立，故“x = ”是“cosx = 0”的充分不必要条件，故选：A
4．C【详解】因为ABCD为平行四边形，则有 .故选：C.
5 ．A【详解】 由于二次函数y = x2 + (1 + m)x + 2 的二次项系数为正数，对称轴为直线
其对称轴左侧的图象是下降的 ≥ 4 ，故m ≤ 9 ，因此，实数a 的取值范围是( ∞, 9 .故选：A.
6 ．D【详解】由祖暅原理，该不规则几何体体积与正六棱台体积相等，设该正六棱台的上下底面积分别为
S1, S2 ，高为 , 则S1 = 6 × × 1 × 1 × sin60 = ，S2 = 6 × × 2 × 2 × sin60 = 6 ， = 3
故 .故选：D
7 ．C【详解】构造函数f(x) = x + ex ，g(x) = x + 3x ，所以f(m) = m + em = e ，g(n) = n + 3n = e，
因为y = x, y = ex, y = 3x 均为 R 上增函数，则函数f(x) ，g(x)为增函数. 函数f(x) ，g(x)与函数y = e 的图 象，如下图所示： 由图可知，0 < n < m.又f(1) = 1 + e > f(m) ，g(1) = 1 + 3 > g(n)，
所以m < 1, n < 1.综上，0 < n < m < 1.故选：C
7 题图 8 题图 14 题图
8．D【，故B (详解)】sin如 (A =)图所示 (3ac)o，s△ (由)ABC的 (正弦定)面 (理)积 (得)为 (s)a (B)Cs (s)iin6 (nA)
因为a, C > 0 ， ∴ = 1 . ∴ a + 2C = ≥ 3 + 2 = 3 + 2 .
当且仅当 结合 得 + 1, C = 时等号成立，所以，a + 2C的最小值为 3 + 2 2 .
(
C
：
-→
a
在
-→
b
上的投影向量的模为
，故
C
正确；
)所 (9)．以 (A)C-a→【】=：3 (由)题,2意2 (得), ；B：因为 2,1，
(
D
：
-→
a
与
-→
b
的夹角的余弦值为
所以夹角不是钝角，故
D
错误；
)
(
10
．
BCD
【详解】对
A
，由
f
x
=
sinxcosx
3
cos
2
x
+
sin
2x

=
sin
最
)
小正周期 = π , A 错；对 B ，由f = sin 即 , 0)是对称中心，B 对；
对 C ，由x ∈ [0, ，则 2x , 显然f在区间[0, 上单调递增，C 对；
对 D ，由题意 2x0 = kπ + 2x0 = kπ + ，故 cos2x0 = ± , D 对.故选：BCD.
11 ．ABD【详解】对于 A：因为f(x + y) = f x + fy + 2 且f1 = 0，
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令x = y = 0，则f0 = f 0 + f0 + 2，解得f0 = 2 ， 令x = 1, y = 1，则f2 = f 1 + f1 + 2 = 2， 令x = 2 ，y= 2 ，则f0 = f 2 + f 2 + 2 ，解得f 2 = 6 ，故 A 正确；
所以 (对于)f (B)1 (：)013 (令y) 1f，1013 (可得)f 1 (1)0 12 (=)f f (+)1 (f)01 (1)2+ 1 (f)01 (x)1 + ，f (x)3 (+)1 f ( )2 (f)x +=f2 f1 +
f (1) = 1012 × 2 + 0 = 2024 ，故 B 正确；
对于 C ：令x = x1, y = x2 x1 ，且x1 < x2 ，则f(x1 + x2 x1) = f x1 + f(x2 x1) + 2，
可得fx2 fx1 = f (x2 x1) + 2，若x > 0 时，f x > 2 时，f x2 fx1 > 0 ，此时函数fx为单调 递增函数；若x < 0 时，f x < 2 时，f x2 fx1 < 0 ，此时函数fx为单调递减函数，所以函数fx 不一定有最大值，故 C 错误；对于 D：令y = x，可得f0 = f x + f x + 2，可得fx + 2 + f x + 2 = 0 ，即fx + 2 = f x) + 2 ，所以函数fx + 2 是奇函数，故 D 正确；故选：ABD.
12 . 3【详解】由题知，B = { 2,0}，所以A ∪ B = { 2, 1,0}，所以A ∪ B的所有元素之和为 2 1 + 0 = 3. 13 ．a > 1【详解】当x > 2 时，f(x) = log2x ，此时f(x) > log22 = 1 ，因为函数f(x)的值域为(1, + ∞)，
所以当x ≤ 2 时，有3a x > 1 恒成立，即3a 1 > x在x ≤ 2 时恒成立，所以3a 1 > 2 ，解得a > 1.
14 ．10π【详解】由△ ABC是A = 90 , AB = 2dm 的等腰直角三角形，取BC的中点为E ，则AE ⊥ BC ，AE = 2dm 又因为PA ⊥底面ABC，BC, AE 底面ABC，所以PA ⊥ BC，PA ⊥ AE，又因为PA ∩ AE = A，PA, AE 平面PAE ，所以BC ⊥平面PAE ，又因为PE 平面PAE ，所以BC ⊥ PE ，即∠AEP就是二面角P BC A的平 面角，因为二面角P BC A的大小为45 , 所以∠AEP = 45° , 又因为AE = 2dm，PA ⊥ AE，所以PA = AE = 2dm ，由于这个四面体是直角四面体，它可以补形为一个长方体，从而可得它的外接球半径R满足：2R =
AP2 + AB2 +AC2 = 2 + 4 + 4 = 10则三棱锥P ABC的外接球表面积为：S = 4πR2 = 4π
10π(dm)故答案为：10π .
15 ．【详解】（1）因为a2 + b2 ab = c2 ，由余弦定理 cosC = 因为C ∈ 0,π , 所以C =
因为 sinA = < sinC = 由正弦定理可得a < c ，所以A < C = 所以 cosA =
所以 sinB = sinπ A + C = sinA + C) = sinAcosC + cosAsinC = × + × = .
16 ．【详解】（1）连接BD ，因为底面ABCD为平行四边形，H为AC的中点， 所以BD ∩ AC = H ，且H为BD的中点， 由G为PB的中点，所以GH//PA，
又GH 平面PAD ，PA 平面PAD ，所以GH//平面PAD；
（2）取PC的中点N ，连接DN ，因为△ PCD为等边三角形，所以DN ⊥ PC， 因为平面PAC ⊥平面PCD ，平面PAC ∩平面PCD = PC ，DN 平面PCD，
所以DN ⊥平面PAC ，连接AN ，所以∠DAN为直线AD与平面PAC所成角， 因为△ PCD为等边三角形，CD = 2 ，所以DN =
又AN 平面PAC ，故DN ⊥ AN ，在 Rt △ AND中，因为AD = 3，
所以 ，所以 tan∠DAN =
所以直线AD与平面PAC所成角的正切值为 .
17 ．【详解】（1）依题意，设区间[80,90)中应抽x人，区间[90, 100]中应抽y人，得 成绩在[80,90)区间样本中的学生人数为：0.045 × 10 × 100 = 45；
成绩在[90, 100]区间样本中的学生人数为：0.03 × 10 × 100 = 30；所以 ，解得x = 3, y = 2，
所以区间[80,90)中应抽 3 人，区间[90, 100]中应抽 2 人.
（2） 由（1）得，不妨记区间[80,90)中 3 人为a, b, c ，区间[90, 100]中 2 人为m, n， 则从中抽取 2 名学生（注意分先后）的基本事件为
ab, ac, am, an, ba, bc, bm, bn, ca, cb, cm, cn, ma, mb, mc, mn, na, nb, nc, nm共 20 件，
答案第6页，共 8页
其中第二个交流分享的学生成绩在区间[90, 100]（记为事件A）的基本事件为 ab, ac, ba, bc, ca, cb, ma, mb, mc, na, nb, nc共 12 件，
故 即第二个交流分享的学生成绩在区间80,90的概率为 .
（3）由频率分布直方图易得，[90, 100] 的频率为 0.03 × 10 = 0.3，[80,90)的频率为 0.045 × 10 + 0.3 = 0.75，
所以成绩良好的最低分数线落在区间[80,90)中，不妨记为x0， 故(90 x0) × 0.045 + 0.3 = 0.7 ，解得x0 ≈ 81.111 ≈ 81，
所以成绩良好的最低分数线为 81.
因为f是定义域上的奇函数，且f1 = 2 ，所以f 1 = f(1) = 2，
所以 解得 即 经检验，f(x)是奇函数，满足题意，所以f
函数f在 上单调递减，在(1, + ∞)上单调递增，
证明如下：任取x1, x2 ∈ (0, + ∞) ，且x1 < x2，
则fx1 fx2 = x1 + x2 + = x1 x2(1 = x1 x2()，
当x1, x2 ∈ (0, 1) ，且x1 < x2 ，则x1 x2 < 0 ，0 < x1x2 < 1 ， ∴x1x2 1 < 0， ∴f(x1) f(x2) > 0 ，即fx1 > fx2 ，所以函数f(x)在(0, 1)上单调递减.
当x1, x2 ∈ (1, + ∞) ，且x1 < x2 ，则x1 x2 < 0 ，x1x2 > 1 ， ∴x1x2 1 > 0， ∴f(x1) f(x2) < 0 ，即fx1 < fx2 ，所以函数f(x)在(1, + ∞)上单调递增.
（3） 由题意知 = x2 + 2 2t
因为函数 (则y = Z2)Z (tZ)2 2 (2)，tZ 2（对称轴方程 (可知函数)Z 为 (=)Z (x)，, 1I上单调递减，
∴函数y = Z2 2tZ 2 在 2, 上单调递增，当Z = 2 时，y = Z2 2tZ 2 取得最小值，ymin = 4t + 2； 当时，y = Z2 2tZ 2 取得最大值，ymax = 5t + ．所以 min = 4t + 2 ， max = 5t + 又因为对任意的 x1 ，x2 ∈ [ , 1都有 x1 x2 ≤ 恒成立max min ≤
即 5t + ，解得t ≥ , 又∵t < 0，所以t 的取值范围是 则实数t 的最小值为 .
因为 sin ，又A ∈ 所以 所以 所以
由 所以三角形ABC的三个角都小于 则由费马点定义可知：∠APB = ∠BPC = ∠APC =
(
则
-
P
-
-
A
-→

-
P
-
-→
+
-
P
-
-→

-
P
-
-→
C
+
-
P
-
-→
C

-
P
-
-
A
-→
=
xy


+
yZ


)
+
xZ


=

,
)得 (设)A整理得xy (PB+ S △BP)bc (BC)，
(
又
，所以

,
所以
bc
=
2
，
)
所以b2 + c2 ≥ 2bc = 4 ，当且仅当b = c = 时取等号， 所以b2 + c2 的最小值为 4；
由 所以三角形ABC的三个角都小于， 故由点P为△ ABC的费马点得∠APB = ∠BPC = ∠APC = ，
设PB = mPA,PC = nPA, PA = x, m > 0, n > 0, x > 0， 则由PB + PC = tPA得m + n = t；
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由余弦定理得AB2 = x2 + m2x2 2mx2 cos = m2 + m + 1)x2，
BC2 = m2x2 + n2x2 2mnx2 cos = m2 + n2 + mn)x2，
故由AC2 + AB2 = BC2 得(n2 + n + 1)x2 + (m2 + m + 1)x2 = (m2 + n2 + mn)x2，
即m + n + 2 = mn ，而m > 0, n > 0 ，故m + n + 2 = mn ≤
当且仅当m = n ，结合m + n + 2 = mn ，解得m = n = 1 + 3时，等号成立， 又m + n = t ，即有t2 4t 8 ≥ 0 ，解得t ≥ 2 + 2 3或t ≤ 2 2 3（舍去）， 故实数t 的取值范围为2 + 2 3, + ∞) .
答案第 8页，共 8页

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