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数学练习卷 4
一、单选题
(
-
→
-
→
)1 ．设x ∈ R, 向量a (-→) = x, 1 ，b = (4, 2) ，若a (-→)//b ，则x = ( )
A . 2 B ． C ． D ．2
2 ．已知一个矩形较长边长为 2 用斜二测画法画出矩形的直观图是菱形，则直观图的面积为 ( )
A ． B ． 2 C ．2 2 D ．4 2
3 ．将函数fx = sin(wx + φ)的图象向左平移个单位后，与函数gx = cos(wx + φ)的图象重合，则w 的
值可以是 ( )
A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4
4 ．已知两条不同的直线m ，n及三个不同的平面α , β , Y则下列推理正确的是 ( )
A . α ⊥ β, α ∩ β = n ，m ⊥ n m ⊥ β B . α ⊥ Y,β ⊥ Y α ⊥ β
C . α ∩ β = m ，n//α , n//β m//n D ．m ⊥ n ，n ⊥ α m//α
5 ．抛掷两枚质地均匀的硬币，记事件A =“第一枚硬币正面朝上” ，事件B =“第二枚硬币反面朝上” ，事件 C =“两枚硬币都正面朝上” ，事件D =“至少一枚硬币反面朝上”则 ( )
A ．C与D独立 B ．A与B互斥 C ．P D .
6 ．已知样本数据x1, x2, x3, x4, x5 都为正数，其方差 则样本数据的平均数为 ( )
A ．2 B ．2 5 C ．4 D ．4 5
7 . △ ABC的内角A ，B ，C所对的边分别为a ，b ，C ，已知a = 2 ，A = 30° , 若三角形有唯一解，则整数b
构成的集合为 ( )
A ．{3} B ．{1,2} C ．{1,2,4} D ．{1,2,3,4}
8．如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度 厘米由关系式 t = Asin(wt + φ) 确定，其中A > 0 ，w > 0 ， φ < π .小球从最低点出发，经过 2 秒后，第一次回到最低点，则下列说法中 正确的是 ( )
A ． = Asin
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B ．t = 9 秒与t = 秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为 2
C ．当 0 < t < t0 时，若小球有且只有三次到达最高点，则t0 ∈ [5,7]
D ．当 0 < t1 < t2 < 2 时，若t1, t2 时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，则 sin
二、多选题
9 ．已知一组数据 6 ，13 ，14 ，15 ，18 ，13 ，则特征量为 13 的是 ( )
A ．极差 B ．众数 C ．中位数 D ．第 40 百分位数
10 ．已知i 为虚数单位， 以下四个说法中正确的是 ( )
A ．z = i2 + i3 + i4 的虚部为 1
B ．若z是复数，满足(z 1)i = 1 + i ，则z在复平面内对应的点位于第一象限 C ．若z1 、z2 是非零复数，且 z1 = z2 ，则z1 (2) = z2 (2)
D ．若z1 、z2 是非零复数，且z1 (2) = z1z2 ，则z1 = z2
11 ．如图,在棱长为 2 的正方体ABCD A1B1 C1D1 中，M为B1 C1 的中点，则下列说法中正确的是 ( )
A ．若点O为C1D1 的中点，则MO//平面A1DB
B ．连接BM ，则直线BM与平面BDD1B1 成角正弦值为
C ．若点N为线段BC上的动点（包含端点），则MN + DN的最小值为 17
D ．若点Q在侧面正方形ADD1A1 内（包含边界），且MQ ⊥ A1 C ，则点Q的轨迹长度为 2
三、填空题
12 ．在复数范围内方程x2 4x + 5 = 0 的一个根为x0 ，则 x0 = .
13 ．在△ ABC中，已知 则向量-A (-→)在向量-B (-)-→上的投影向量为 .
14 ．已知一个圆台的上、下底面直径分别为 2 、8 ，母线长为 6 ，则在圆台内部放置半径最大的球的表面积
为 .
四、解答题
15 ．某企业进入中学参与学校举办的模拟招聘会，设置了笔试、面试两个环节，先笔试后面试，笔试通过 了才可以进入面试，面试通过后即可录用，李明参加该企业的模拟招聘.
笔试关：有 4 道题，应聘者随机从中选择 2 道，两道题均答对即可通过笔试，否则淘汰不予录用. 已知李明 能答对其中的 3 道题；
面试关：有 2 道题，面试者答对第一道题，则面试通过被企业录用，否则就继续答第二道题，答对第二道
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题则面试通过被企业录用，否则淘汰不予录用. 已知李明答对每道面试题的概率都是 ，两道题能否答对相 互独立.
(1)李明笔试关中能答对的 3 道题记为a1 ，a2 ，a3 ，不能答对的题记为b ，请写出李明参加笔试关所有可能 结果构成的样本空间，并求出李明通过笔试关的概率；
(2)求李明被录用的概率.
16 ．已知△ ABC的内角A ，B ，C所对的边分别为a ，b ，C ，且 2a + C 2bcosC = 0.
(1)求∠B；
(2)若C = 2 ，D为线段AC的中点，且BD = 1 ，求△ ABC的面积.
17 ．为推动习近平新时代中国特色社会主义思想深入人心，促进全社会形成爱读书、读好书、善读书的新 风尚，培育有坚定理想信念、爱党爱国、堪当民族复兴大任的有为青年，某学校举办了读书节活动.现从该 校的 2000 名学生中发放调查问卷，随机调查了 100 名学生一周的课外阅读时间，将统计数据按照0,20)， [20,40) ， … [100, 120 ， 120, 140]组后绘制成如图所示的频率分布直方图（单位：分钟，同一组中的数据 用该组区间的中点值作代表）.
(1)求a 的值，若每周课外阅读时间 60 分钟以上（含 60 分钟）视为达标，试估计该校达标的人数；
(2)估计该校学生每周课外阅读的平均时间；
(3)若样本数据在0,20与 20,40 内的方差分别为 = 3 ，S 计样本数据在0,40内的方差S2 .
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18 ．如图，已知三棱台ABC A1B1 C1 ，底面△ ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形，体积为 ，平 面ABB1A1 ⊥平面ABC ，且AA1 = A1B1 = BB1 =
(1)证明：BC ⊥平面ABB1A1；
(2)求点B到面ACC1A1 的距离；
(3)在线段CC1 上是否存在点F ，使得二面角F AB C的大小为 ，若存在，求出CF的长，若不存在，请说
明理由.
19 ．如图，已知△ ABC ，AB = AC = 2BC = 1 ，且点P是△ ABC的重心.过点P的直线l与线段AB 、AC分别交 于点E 、F.设
(1)求A---→ A--C (-→)的值，并判断是否为定值，若是则求出定值，若不是请说明理由；
(2)若△ AEF的周长为C1 ，△ ABC的周长为C2.设X = λμ , 记f 求f(X)的取值范围.
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《数学练习4》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A B C D C C B BD AD
题号 11
答案 ACD
(
-→
-
→
)1 ．A【详解】 向量a (-→) = x, 1 ，b = (4, — 2) ，由a (-→)//b ，得—2x = 4 ，解得x = — 2.故选：A
2 ．A【详解】如图，A IB IC ID I是矩形的直观图，则A'B' = 1 ，A'D' = 1 ，匕B IA ID I = 45o，
所以△ A IB ID I的高为A'D' sin45o = 1 × 则直观图的面积为 .故选：A.
3．B【详解】将fx = sin(wx + φ)的图象向左平移个单位长度，得y = sin = sin(wx + φ + 其图象与g(x) = cos(wx + φ)的图象重合，则 + 2kπ , 解得w = 2 + 8k的值 不可能为 1 ，3 ，4 ，可以为 2.故选：B
4 ．C【详解】对于 A ，由α ∩ β = n ，得n C β , 则在β内存在直线垂直于直线n ，又m 丄 n ，于是m可以在β 内，A 错误；对于 B ，α 丄 Y,β 丄 Y ，则α与β可以平行，也可以相交，B 错误；
对于 C ，由于n//α, n//β , 则存在过直线n 的平面σ, δ分别与α, β相交，令交线分别为a, b，
于是a//n//b ，a C α, b 丈 α , 则b//α , 又b C β , α ∩ β = m ，因此b//m ，所以m//n ，C 正确；
对于 D ，m 丄 n ，n 丄 α , 则m C α或m//α , D 错误.故选：C
5 ．D【详解】样本空间Ω = {(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)} ，事件A = {(正,正),(正,反)}，
事件B = {(正,反),(反,反)} ，事件C = {(正,正)} ，事件D = {(正,反),(反,正),(反,反)}， 对于 ，而CD = φ , P = 0 ，C与D不独立，A 错误； 对于 B ，事件A, B可以同时发生，A与B不互斥，B 错误；
对于 ，C 错误；对于 D ，A U B = ，D 正确.故选：D
6 ．C【详解】令样本数据x1, x2, x3, x4, x5 的平均数为 ，则S2 = 2 ，而S2 =
因此x2 = 16 ，又样本数据均为正数，所以x = 4.故选：C
7．C【详解】由正弦定理，得，则 sinB = 由于△ ABC有唯一解，则 sinB = 1 或 sinB ≤ sinA = , 解得b = 4 或 0 < b ≤ 2 ，所以整数b构成的集合为{1,2,4} .故选：C
当 (8)．t 0 (【)时 (解)，】As (由)i—A (小)球，即 (运)inφ (的)期— 1 (T)，= iφ (2)s，则 = Asin = — Acosπt ，故 A 错误；因为h = — Acos9π = A ，h = — Acos 所以t = 9 秒与t = 秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为 = 2 ，故 B 正确；
若 0 < t < t0 ，则 0 < πt < πt0 ，又当 0 < t < t0 时，小球有且只有三次到达最高点， 所以 5π < πt0 ≤ 7π , 解得 5 < t0 ≤ 7 ，即t0 ∈ (5,7] ，故 C 错误；
因为ht = — Acosπt ，令t1 = ， 则 = — Acos = — Acos
满足 0 < t1 < t2 < 2 且t1, t2 时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，此时 sin = sinπ = 0 ，故 D 错误. 9 ．BD【详解】将数据从小到大排列为 6、13 、13 、14 、15 、18 ，所以极差为 18 — 6 = 12 ，众数为 13， 中位数为 = 13.5 ，故 A 、C 错误，B 正确；又 6 × 40% = 2.4 ，所以第 40 百分位数为 13 ，故 D 正确.
10 ．AD【详解】对于 A ，依题意，z = — 1 + ( — i) + 1 = — i ，z的虚部为—1 ，A 正确；
对于 B ，z = + 1 = 1 — i + 1 = 2 — i ，z在复平面内对应的点(2, — 1)位于第二象限，B 错
误；对于 C ，取z1 = 1 + i ，z2 = 1 — i ，满足z1 = z2 = 2 ，而z1 (2) = 2i, z2 (2) = — 2i ，z1 (2) ≠ z2 (2) ，C 错误；
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对于 D ，由Z1 (2) = Z1Z2 ，得Z1 (Z1 — Z2) = 0 ，而Z1 ≠ 0 ，则Z1 = Z2 ，D 正确.故选：AD
11．ACD【详解】对于 A ，四边形BDD1B1 是正方体ABCD — A1 B1 C1D1 的对角面，则四边形BDD1B1 是矩形，
B1D1//BD ，由点O、M分别为C1D1 、B1 C1 的中点，得OM//B1D1//BD ，BD C平面A1DB， MO 丈平面A1DB ，因此MO//平面A1DB ，A 正确；
对于 B ，连接A1 C1 ，则A1 C1 丄 B1D1 ，由BB1 丄平面A1B1 C1D1 ，A1 C1 C平面A1B1 C1D1 ， 得A1 C1 丄 BB1 ，又BB1 ∩ B1D1 = B1, BB1, B1D1 C平面BDD1B1 ，则A1 C1 丄平面BDD1B1， 过M作ME//A1 C1 交B1D1 于E ，连接BE ，于是ME 丄平面BDD1B1，
匕MBE是直线BM与平面BDD1B1 所成的角，ME = A1 C1 = ，BM = sin匕MBE = ，B 错误；
对于 C ，把正方形ABCD与正方形BCC1B1置于同一平面内，且在直线BC两侧， 连接DM ，则MN + DN的最小值为 ，C 正确；
对于 D ，延长MO与A1D1 的延长线交于H ，由MO//B1D1, B1M//D1H ，得B1MHD1 为平行四边形， D1H = B1M = 1 ，取AD中点G ，连接GH交DD1 于F ，连接AD1，
由AG//D1H, AG = D1H ，得四边形AD1HG是平行四边形，GH//AD1 ，F为DD1 的中点， 由CC1 丄平面A1B1 C1D1 ，B1D1 C平面A1B1 C1D1 ，得CC1 丄 B1D1 ，又A1 C1 丄 B1D1，
A1 C1 ∩ CC1 = C1, A1 C1, CC1 C平面A1 CC1 ，则B1D1 丄平面A1 CC1 ，而A1 C C平面A1 CC1， 则A1 C 丄 B1D1 ，同理A1 C 丄 AD1 ，因此A1 C 丄 MO, A1 C 丄 GH ，而MO ∩ GH = H，
MO, GH C平面MGH ，于是A1 C 丄平面MGH ，又A1 C 丄 MQ ，则MQ C平面MGH，
又Q ∈平面ADD1A1 ，因此点Q的轨迹是平面MGH与正方形ADD1A1 相交所得线段GF，
而GF = AD1 = 2 ，所以点Q的轨迹长度为 2 ，D 正确.故选：ACD
12 ． 5【详解】在复数范围内方程x2 — 4x + 5 = 0 的一个根为x0 ，所以x0 = = 2 ± i，
则 x0 = 5.故答案为： 5.
13 ． 因为 ，所以 所以A--C (-→) . A---→ = 0 ，所以A---→ 丄 A--C (-→) ，因为A---→ — A--C (-→) = 2 A---→ , 所以 所以匕ACB =
所以 所以向量-A (-→)在向量-B (-)-→上的投影向量为
故答案为：
14．【详解】圆台轴截面等腰梯形ABCD的两腰AD, BC延长线交于点E ，等腰△ ABE即为圆台母线延长线
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交点为顶点，圆台下底面为底的圆锥的轴截面，
由 ，而AD = 6 ，解得ED = 2 ，则AE = BE = 8 ，即△ ABE为正三角形，
正△ ABE的高为 4 3，正△ CDE的高为 3，因此等腰梯形ABCD的高为 3 3，正△ ABE的内切圆半径 , 显然 2r < 3 因此等腰梯形ABCD内的最大圆为正△ ABE的内切圆，此圆即为圆台内部放 置的半径最大的球被平面ABCD所截的大圆，则在圆台内部放置半径最大的球的半径为 表面积为
4πr2 = 故答案为：
15 ．【详解】（1）样本空间Ω = {a1 a2, a1 a3, a2 a3, a1 b, a2 b, a3 b} ，有 6 个样本点，
李明通过笔试关的事件A = {a1 a2, a1 a3, a2 a3} ，共 3 个样本点，所以李明通过笔试关的概率
（2）依题意，李明通过面试关的事件为B ，则P(B) = + (1 ) × = ，
李明被录用的事件为AB ，P 所以李明被录用的概率为 .
因为 2a + C 2bcosC = 0，且 cosC = ，则 2a + C = 2bcosC = 2b × , 即 2a2 + aC = a2 + b2 C2 a2 + C2 b2 = aC，
(
4
-
B
-
-→
2
，即
2
2
+
a
2
+
2
×
2
×
a
×

1
2
=
4
×
1
2

a
2

2a =
0
，解得
a
=
2
或
a
=
0
(
舍
)
，
)又（2 (因)）为因a为 (2)为线段AC的 (C2 b2 = 2)a中 (C)c点 (o)s
因为 cosB = , 且B ∈ , 则 sinB = 所以S = aCsinB = × 2 × 2 × .
17．【详解】（1）由频率分布直方图，得 20(0.0025 + 0.005 + 0.0125 + X + 0.0075 + 0.005 + 0.0025) = 1，
所以a = 0.015；阅读时间达标的频率为 20(0.015 + 0.0075 + 0.005 + 0.0025) = 0.6， 估计该校阅读时间达标的人数为 2000 × 0.6 = 1200.
（2）一周的课外阅读时间在[0,20), [20,40), [40,60), [60,80), [80, 100), [100, 120), [120, 140] 内的频率依次为：0.05,0.1,0.25,0.3,0.15,0.1,0.05，
X = 0.05 × 10 + 0.1 × 30 + 0.25 × 50 + 0.3 × 70 + 0.15 × 90 + 0.1 × 110 + 0.05 × 130 = 68， 所以估计该校学生每周课外阅读的平均时间为 68 分钟.
（3）样本数据在[0,20与 20,40)内的平均数分别为 10,30， 则样本数据在0,40 内的平均数为0.05×10+0. 1×30 = 70，
所以样本数据在0,40 内的方差 = 91.
18 ．【详解】（1）在三棱台ABC A1B1 C1 中，平面ABB1A1 ⊥平面ABC ，AB ⊥ BC， 而平面ABB1A1 ∩平面ABC = AB ，BC 平面ABC ，所以BC ⊥平面ABB1A1 .
（2） 由棱台性质知：延长AA1, BB1, CC1 交于一点P，
由A1B1 = AB ，得S△ABC = 4S△A1B1C1 ，点P到平面ABC的距离为到平面A1B1 C1 距离的 2 倍，则VP ABC = 8VP A1B1C1 ，于是VP ABC = VABC A1B1C1 = ，由BC ⊥平面ABB1A1 ，得BC为点C到平面PAB
的距离，又A1B1 //AB ，则A1 是PA的中点，PA1 = AA1 = A1B1 = PB1 ，即△ PA1B1 为正三角形，△ PAB为
, 解得X = 2，
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AB = BC = PA = PB = 4 ，由PB C平面PAB ，得BC 丄 PB ，AC = PC = 4 2，
S△PAC = ，设点B到平面ACC1A1 的距离为d， 由VP —ABC = VB —PAC ，得S△PAC . d = 解得：
即点B到平面ACC1A1 的距离为
（3） 由BC 丄平面ABB1A1 ，BC C平面ABC ，得平面ABC 丄平面PAB ，取AB中点N ，连接PN，
在正△ PAB中，PN 丄 AB ，而平面ABC ∩平面PAB = AB ，则PN 丄平面ABC ，而CN C平面ABC， 则PN 丄 CN ，又PN C平面PNC ，则平面PNC 丄平面ABC ，作FE 丄 CN于E，
平面PNC ∩平面ABC = CN ，则FE 丄平面ABC ，FE//PN ，而AB C平面ABC ，则AB 丄 FE，
作ED 丄 AB于D ，连接FD ，DE ∩ FE = E ，DE, FE C平面DEF ，则AB 丄平面DEF， 而FD C平面DEF ，于是AB 丄 FD ，匕FDE即二面角F — AB — C的平面角，
设 知：PN = 2，CN = 由 得 t，EN = t ，由DE//BC ，得DE = . BC = × 4 = 4 — 2t，
若存在F使得二面角F — AB — C的大小为 ，则 tan匕FDE = tan 解得 < CC1 = 2 所以存在满足题意的点F ，CF =
19 ．【详解】（1） 已知△ ABC ，AB = AC = 2BC = 1 ，所以 cos匕BAC =
因为 ，则
因为点P是△ ABC的重心，所以， 因为P, E, F在直线l上，所以
设x = λμ , 由 得 = 3 ，所以λ + μ = 3λμ = 3x
因为 0 < λ ≤ 1,0 < μ ≤ 1 ， ≥ 1, ≥ 1 ，又因为 则 因为 所以
因为 所以当 = 时，λμ的最小值为：，当 = 1 或 2 时，λμ的最大值为，所以x = λμ ∈ 因为y1 = 9x2 — x 的对称轴为 所以在上单调递增，又因为y2 = x在 , 上也是单调递增， 所以x在 上单调递增，
所以当min = ，当x = max = 所以f(x)的取值范围为
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