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明德教育集团八年级期末考试
八年级数学试卷24－25学年第二学期
时量：120分钟 满分：120分
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．在下列数据6，5，7，5，8，6，6中，众数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．下列图象中，不能表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．关于x的函数y＝ax2是二次函数，则a应满足的条件是（ ）
A．a≠1 B．a＝1 C．a≠0 D．a＝0
4．抛物线y＝（x－1）2+5的顶点坐标为（ ）
A．（－1，5） B．（－1，－5） C．（1，5） D．（1，－5）
5．下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．AB2+BC2＝AC2 B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．AB＝3，AC＝4，BC＝5 D．∠A－∠B＝∠C
6．已知抛物线y＝－（x+1）2+3，下列结论中错误的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线x＝－1
C．当x＝－1时，y取最大值3 D．当x>－1时，y随x的增大而增大
7．下面四个命题，其中真命题是（ ）
A．矩形的对角线互相垂直 B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C．菱形的对角线相等且互相垂直 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
8．已知函数y＝kx的图象经过二、四象限，则k的取值范围是（ ）
A．k<0 B．k>0 C．k<1 D．k>1
9．《九章算术》中记载一道“折竹抵地”的问题，其大意是：如图，一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ）
A．x2+62＝（10－x）2 B．x2－102＝（6+x）2 C．62＝102－x2 D．x2＝（10+x）2
10．已知二次函数与的图象均过点A（4，0）和坐标原点O，这两个函数在0≤x≤4时形成的封闭图象如图所示，P为线段OA的中点，过点P且与x轴不重合的直线与封闭图象交于B、C两点.给出下列结论：①b＝2；②PB＝PC；③以O、A、B、C为顶点的四边形可以为正方形；④若点B的横坐标为1，点Q在y轴上（Q、B、C三点不共线），则△BCQ周长的最小值为．其中，所有正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．将抛物线y＝x2向右平移3个单位长度，那么平移后所得的抛物线的解析式为______．
12．甲参加某商场员工招聘，通过计算机、语言表达和商品知识三项测试，成绩分别为：80、90、94，若相应分别按20%、30%、50%的比例计算成绩，则甲的综合得分为______分．
13．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是线段AO、BO的中点，若CD＝8cm，则EF的长为______cm．
14．若关于x的一元二次方程x2－2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为______．
15．函数y＝kx与y＝6－x的图象如图所示，则k＝______．
16．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点，连接AE，把△ABE沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为______．
三、解答题（本大题共9个小题．第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答题写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：
18．解方程：
19．已知一次函数图象经过点A（2，4），B（－3，14）两点，与x轴、y轴分别交于M、N两点．
（1）求此一次函数解析式．
（2）求△MON的面积．
20．Deepseek可以为初中生提供高效的学习工具和资源，帮助其更好地理解和掌握知识，激发学生的自主学习兴趣．某学校开展“Deepseek”使用技巧培训活动，为了解学生的使用水平，教务处从全校学生中随机抽取部分学生进行测试（成绩为百分制，用表示），成绩80分以上（含80分）的为优秀等级，将数据整理为如下不完整的统计图表：
DeepSeek使用技巧测试成绩频数分布表
组别 分数段 频数
A 5
B m
C 10
D 20
组学生的成绩：81，81，82，86，87，88，88，88，89，89．
根据以上信息解决下列问题：
（1）本次调查样本容量为___________；
（2）表格中的m为___________，本次调查数据的中位数为___________；
（3）请估计全校1800名受训学生中成绩达到优秀等级的人数．
21．如图，在四边形中，，，∠ABD＝90o，E为的中点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接，若，，求△ACD的面积．
22．已知某抛物线的解析式为y＝x2－4ax+2a+1，a为实数．
（1）若该抛物线经过点（5，8），求此抛物线的顶点坐标．
（2）如果当2a－3≤x≤2a+1时，y的最大值为4，求a的值．
23．2024年2月16日至2月25日，世界乒乓球团体锦标赛在韩国釜山举行，吉祥物“Chopy”和“Loopy”成为本次世乒赛的“显眼包”，某电商直播间在2月初以每套300元的成本价购进若干吉祥物玩偶进行销售．
（1）吉祥物玩偶的标价为每套400元，经过两次降价后的价格为每套324元，并且两次降价的百分率相同，求吉祥物玩偶每次降价的百分率；
（2）在（1）的条件下，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于4020元．问该电商第一次降价后至少要售出吉祥物玩偶多少套？
24．阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数．
定义：两根都为整数的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）称为“友好方程”，代数式4ac-b2的值为该“友好方程”的“超强代码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程px2+qx+r=0（p≠0）也为“友好方程”，其“超强代码”记为，当满足时，则称一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）是一元二次方程px2+qx+r=0（p≠0）的“最佳搭子方程”．
（1）“友好方程”的“超强代码”是________；
（2）关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“友好方程”，请求出该方程的“超强代码”；
（3）若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数，且m≠n）的“最佳搭子方程”，且的一个根是的一个根的2倍，求m和n的值.
25．在数学探究性学习中经常会用到从特殊到一般、类比化归等数学思想和方法，如下是一个具体的探究性学习案例，请完善整个探究过程.
问题呈现：过点C（a，b）的直线y＝kx+c（k、c为常数且k≠0）分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于点A和B，探究并说明是定值.
（1）特例探究，如图1，过点C（4，4）的直线y＝－2x+12（k、c为常数且k≠0）分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于点A和B，则点A的坐标为______，点B的坐标为______，的值为______；
（2）一般证明：
①a＝4，b＝6时，直接写出＝______；
②求出的值；
（3）如图2，已知H（－4，0），T（0，2），点M在x轴的正半轴上，过点M且不与y轴平行的直线l交直线HT于第一象限点N，若总有，请探究：直线l是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果否，请说明理由．
明德集团24-25学年度第二学期八年级数学期末试卷答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C C B D B A A D
二、填空题
11．y=（x-3）2 12．90 13．4 14．1 15．2 16．3或6
三、解答题
17．解：原式＝-2＋+2+1＝1+．
18．解：（1）x1=2，x2=-2．
（2）x1=2+，x2=2-．
19．（1）解：设直线的解析式为，
将点A（2，4），B（-3，14）代入得，，
解得，∴．
（2）由（1）得，令，得y=8，
令，得x=4，∴M（4，0），N（0，8），
∴OM=4，ON=8，∴S△MON=．
20．解：（1）本次抽样调查样本容量为．
（2），
∵排序后，中位数为第25、26个数的平均数，，，
∴第25、26个数在C组，
C组数据从小到大为：81，81，82，86，87，88，88，88，89，89，
∴第25、26个数为87，88，
∴中位数为．
（3），
即估计全校1800名受训学生中成绩达到优秀等级的人数为1080人．
21．证明：（1）∵∠ABD=90o，E为的中点，∴；
∵，即，∴；
∵，∴四边形是平行四边形；
∵，∴四边形是菱形；
（2）∵四边形是菱形，∴；
∵，∴；
∵点E是的中点，∴AD=2DE=4；
在中，由勾股定理得，
∴S△ACD=．
22．（1）解：∵抛物线经过点，
∴，解得，
∴抛物线解析式为，
∴此抛物线的顶点坐标为．
（2）解：∵抛物线解析式为y=x2-4ax+2a+1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴离对称轴越远，函数值越大，
∵，且当时，的最大值为4，
∴当时，，
∴（2a-3）2-4a（2a-3）+2a+1=4，
整理得：，∴或，
故的值为或．
23．解：（1）设每次降价的百分率为，
依题意得：，
解得：，或（舍去）．
答：每次降价的百分率为；
（2）设第一次降价后售出吉祥物玩偶件，则第二次降价后售出吉祥物玩偶件，
第一次降价后的单件利润为：（元/件）；
第二次降价后的单件利润为：（元/件）．
依题意得：，解得：，
即为使两次降价销售的总利润不少于4020元，第一次降价后至少要售出吉祥物玩偶45件．
24．解：（1）“友好方程”的“超级代码”是：；
（2）∵是“友好方程”，
∴且为完全平方数，
∵，∴，
∴=36或49或64，∴或或，
∵为整数，∴，
将代入原方程，则，
∴，
∴方程的“超级代码”为；
（3）方程①：的“超级代码”为：
，
由得：
方程②：的“超级代码”为：
，
由得：
∵是的“最佳搭子方程”，
∴，
即，
整理得，，
∵，均为正整数且，
∴，∴，即，
又∵方程①的一个解是方程②的一个解的2倍，
∴①当时，得：，，
②当时，，，（舍），
③当时，得：（舍），
综上所述：，．
25．解：（1）解：当，则y=12；当，则-2x+12=0，解得x=6，
，解得，
∵直线y=-2x+12分别交轴和轴于点和，
∴点、的坐标分别为：（6，0）、（0，12），∴AO=6，OB=12，
则．
（2）解：①当，则；当，则，解得，
∵直线分别交轴和轴于点和，
∴点、的坐标分别为：、，
∴，，
将点的坐标代入一次函数表达式得：，
∴当，时，，∴，
∴，
故答案为：1；
②由①知，，，，
则；
（3）解：设直线的表达式为：，
则，解得，∴，
设直线的表达式为：，
联立上述两式得：，
解得：，则点，
由点、的坐标得，，则，
同（2）可求点，则，
，即，
解得：，则，
当时，，即直线过定点．

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