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河南省南阳市宛城区等2地2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若复数满足，则（ ）
A．2 B． C．3 D．5
2．已知向量满足，且，则向量的夹角是（ ）
A． B． C． D．
3．已知是一条直线，是两个不同的平面，且，则“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知某扇形的周长是24，面积为36，则该扇形的圆心角（正角）的弧度数是（ ）
A．2 B．1 C． D．
5．设函数，则函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
6．若函数的最小正周期为，且函数在区间上单调递增，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．设函数，若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，当时，，则a的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．e D．﹒
二、多选题
9．下列说法中，正确的是（ ）
A．集合和表示同一个集合
B．函数的单调增区间为
C．若，则用a，b表示
D．已知是定义在上的奇函数，当时，，则当时，
10．下列函数是奇函数，且满足对任意，都有的是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（ ）
A．过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积为
B．存在点，使得平面平面
C．当在线段上运动时，三棱锥的体积不变
D．的最小值为
三、填空题
12．已知幂函数在上单调递增，且，请写出一个满足条件的的值为 ．
13．函数的单调递增区间为 ．
14．已知，且，则的最大值是 .
四、解答题
15．已知复数，为虚数单位，为的共轭复数.
(1)若，求复数；
(2)证明：；
(3)设在复平面上对应的向量分别为，若，求的值.
16．（1）求值：.
（2）在锐角三角形ABC中，，求的值.
17．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
问题：在中，角的对边分别为，且 ，求的面积．
18．已知二次函数满足.
(1)求函数的解析式；
(2)若，，求的最小值.
19．对于函数，若存在实数k，使得等式对定义域中每一个实数x都成立，则称函数为型函数．
(1)若函数（且）是型函数，求a的值；
(2)已知函数的定义域为，恒大于0，且是型函数，当时，．
①若，求的解析式；
②若对任意的恒成立，求m的取值范围．
河南省南阳市宛城区等2地2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B A D B C D BC BD
题号 11
答案 ACD
1．D
【详解】，
.
故选：D.
2．B
【详解】因为，且，
所以，即，解得，
所以，又，所以.
故选：B
3．B
【详解】由，得在平面内有一条直线与平行，
又，所以，所以；
由，得或.
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：B.
4．A
【详解】设扇形的半径为r，所对弧长为l，则有解得故．
故选：A
5．D
【详解】解：依题意，，则，解得，
即函数的定义域为，
显然函数在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递减，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调递减区间为．
故选：D
6．B
【详解】解：由题意知，解得，所以，
令，，解得，，
当时，可得在上单调递增，
又函数在区间上单调递增，所以，
即m的取值范围是．
故选：B
7．C
【详解】记函数的最小正周期为，则，可得．
又，且，
又，所以函数的一个对称中心为，
函数的一条对称轴为，又，
，解得．
故选：C
8．D
【详解】当时，，在上递增，且；
当时，在上递增，且，
所以在R上递增，
令，
当时，，
当时，，
所以恒成立，
因为，即，
即，
所以，即，
令，,则在上递增，
所以，
则，即，所以a的最小值为.
故选：D
9．BC
【详解】对于A，集合中元素为数，集合为点，可知表示的不是同一个集合，所以A选项错误；
对于B，根据解得函数的定义域为，
令则，
为二次函数，开口向下，对称轴为，
所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
函数为增函数，根据复合函数的单调性可知函数的单调增间为，所以B选项正确；
对于C，因为，，根据对数的换底公式可得，所以C选项正确；
对于D，因为当时，，可令，则，所以 ，
又因为是定义在上的奇函数，所以与题干结果不符，所以D选项错误；
故选：BC.
10．BD
【详解】对任意，都有，
则在上单调递增,所以是在上单调递增的奇函数.
对于A，函数定义域为，
，不是奇函数，A错误；
对于B，与在上都为增函数，故在上为增函数，
，所以是在上单调递增的奇函数，B正确；
对于C，，易知在上单调递减，C错误；
对于D，函数定义域为，
函数在上是增函数，函数在定义域内是增函数，
所以在上单调递增，
，
所以是奇函数，D正确.
故选：BD
11．ACD
【详解】对于A，∵正方体的对面互相平行，
∴过三点的平面截正方体的对面所得截线互相平行，
又∵为线段的中点，∴截面交BC于其中点G，
连接，则四边形即为所求截面，显然为等腰梯形，
且，
梯形的高，
面积为，故A正确；
过与平面平行的直线都在过与平面平行的平面内，
易知过与平面平行的平面截正方体的截面为如图所示1的六边形，其各顶点都是正方体的相应棱的中点，
由于不在平面内，∴平面与直线平行，
∴平面与线段没有公共点，故B错误；
∵，平面，不在平面内，
∴平面，
又∵，∴到平面AD1C的距离为定值，又∵的面积为定值，
∴当在线段上运动时，三棱锥的体积不变，故C正确；
将矩形展开到与等腰直角三角形在同一平面内，如图2所示，
，
当共线时取等号，故D正确.
故选：ACD.
12．（答案不唯一．满足即可）
【详解】当时,幂函数在上单调递增，
又，满足题意.
故答案为：（答案不唯一．满足即可）
13．（开区间也给分）
【详解】令,解得，
令，则，
由于，故，
故单调递增区间为：，
故答案为：
14．
【详解】因为，所以
因为，所以，即.
当且仅当，即时，等号成立.
所以的最大值是.
故答案为：.
15．(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）因为，所以，所以，解得，
所以；
（2）由知，，又，
所以，得证；
（3）因为在复平面上对应的向量为，
在复平面上对应的向量为，
所以，故，又，所以.
16．（1）1；（2）
【详解】（1）
.
（2）由已知A，B，C均为锐角，
由，得，
∴，
∴，
又，∴.
又，故，
，故，
∴.
从而.
17．选择见解析；．
【详解】解：若选择条件①，由余弦定理知．
又，得．
由及正弦定理，得．
将和代入，解得，
所以，
所以．
若选择条件②，由正弦定理，得，
所以．
由，得，
由，解得．
又，得
由余弦定理，得．
由及正弦定理，得．
将和代入，
解得，
所以，
所以
若选择条件③，由正弦定理得，
又因为，
所以，即．
又因为，所以．
由余弦定理，得．
由及正弦定理，得．
将和代入，
解得，
所以，
所以．
18．(1)
(2)
【详解】（1）设，
因为
，
所以，解得，所以.
（2），.
当时，在上单调递增，；
当时，；
当时，在上单调递减，.
综上，.
19．(1)
(2)①；②
【详解】（1）因为函数（且）是型函数，
所以对定义域中每一个实数x都成立，即，
又且，所以．
（2）①因为是型函数，所以，
当时，，又，所以；
令，得，
所以，
又当时，，
所以，
解得，
所以当时，；
当时，，
所以．
综上，
②因为是型函数，所以，
当时，，又，所以，满足；
当时，恒成立，
令，则当时，恒成立，所以恒成立，
而函数在上单调递增，则，当且仅当时取等号，所以；
当时，，
则，
由，得，
令，则当时，，
又，则只需时，恒成立，即恒成立，
又，当且仅当时取等号，所以，
综上，m的取值范围是．

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