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陕西省榆林市2024-2025学年高一下学期过程性评价质量检测数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若i为虚数单位，则（ ）
A．2 B． C． D．
2．样本数据：77，79，81，81，83，87，89，91的分位数为（ ）
A．81 B．82 C．83 D．87
3．已知正方形ABCD的边长为，按照斜二测画法作出它的直观图，直观图面积为，则正方形ABCD的面积为（ ）
A． B．16 C． D．8
4．设是两条直线，是两个平面，已知，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
6．已知向量，若，则（ ）
A．-7 B．-3 C．3 D．7
7．在中，．将分别绕直角边，直角边和斜边旋转一周，所得旋转体的体积依次为，，，则（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，已知直三棱柱中，，则线段上的动点到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．对于两个复数，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．某工厂加工一批零件，为了检测加工质量，工厂随机抽取了10个零件进行尺寸的误差检测，若这10个零件的尺寸的误差都不超过2，则认为该批零件合格.下列选项中，一定可以判断这批零件合格的是（ ）
A．误差的平均数为1，极差为1 B．误差的平均数为1，众数为1
C．误差的平均数为1，方差为0.6 D．误差的平均数为1，方差为0.01
11．在正方体中，在线段上，则（ ）
A．当为中点时，AE与所成角的正切值是
B．AE与平面所成角为定值
C．三棱锥的体积为定值
D．的最小值为
三、填空题
12．甲、乙两名射手射击同一目标，且命中目标与否相互独立，已知甲、乙击中目标的概率分别为0.8和0.7，若他们各射击一次，则目标被击中的概率是 .
13．某地区为了解高中学生双休自主学习情况，从甲校抽取了一个容量为100的样本，并算得样本的平均值为6，方差为5，从乙校抽取了一个容量为200的样本，并算得样本的平均值为9，方差为8，若将这两个样本合并成一个容量为300的新样本，则新样本的平均值为 ，方差为 .
14．已知正四面体内切球的半径为，外接球的半径为，则 .
四、解答题
15．为坐标原点，设平面向量.
(1)若，求的值；
(2)若是直线OM上的一个动点，当取最小值时，求的坐标.
16．树人中学为了完善学生综合评价体系，一次校考中使用等级赋分，规则如下：先按照考生原始分从高到低，按比例划定A，B，C，D，E共五个等级，其中，等级排名占比等级排名占比等级排名占比等级排名占比等级排名占比.现随机抽取100名学生的原始成绩进行分析，绘制了如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中的值；
(2)估计这100名学生的原始成绩的平均值（每组数据取区间中点值为代表）；
(3)用样本估计总体的方法，若学生甲原始成绩为72分，则他赋分后的等级是什么？说明理由.
17．2024年6月，国家卫健委等16部门联合印发《“体重管理年”活动实施方案》，启动为期三年的“体重管理年”活动.力争通过三年左右时间，实现体重管理支持性环境广泛建立，显著提升全民体重管理意识和技能，并改善部分人群体重异常状况.今年全国两会期间，“体重管理”成为全民关注的热点.小张父母根据自己的体重情况，积极响应政策，每天通过有氧运动进行体重管理下列数据记录了他俩5月1日至5日的锻炼时间（单位：分钟），父亲这5日的锻炼数据为：42，41，44，43，40；母亲这5日的锻炼数据为：42，39，43，45，44，从他俩这五天的锻炼数据中各随机抽取1个.
(1)求所抽取数据中父亲比母亲段炼时间多的概率；
(2)若事件：父亲锻炼时间为41，事件：父母锻炼时间之和为85，判断事件A、B是否独立，并通过推理运算说明.
18．三角形中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知 ，点D 是的中点，点E 在线段上，且，线段与线段交于点M.
(1)求角B的大小;
(2)若，求的值；
(3)若点G是三角形的重心，求 的最小值.
19．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在阳马中，侧棱底面ABCD，且，过棱PC的中点作于点，连接DE，DF，BD，BE.
(1)证明：平面BDE；
(2)试判断四面体BDEF是否为鳖臑，并证明你的结论；
(3)若平面DEF与平面ABCD所成二面角的正切值为，求BC的长.
陕西省榆林市2024-2025学年高一下学期过程性评价质量检测数学试卷参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B A B C D C ABD AD
题号 11
答案 ACD
1．D
【详解】由复数，可得.
故选：D.
2．B
【详解】样本数据符合从小到大的排序，，第四个数与第五个数的平均值为82.
故选：B.
3．B
【详解】
利用斜二测画法得到直观图，则，
过点作轴于点，则，
所以平行四边形的面积为，解得，正方形ABCD的面积为16.
故选：B.
4．A
【详解】由，，可得．又因为，所以，即满足充分性．
由，，，知直线可以在平面内，如下图，
不能得到“”的结论，不满足必要性．
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
5．B
【详解】设圆锥的母线为，即侧面展开图的半径为
又圆锥的底面半径为1，则侧面展开图的弧长为，
又侧面展开图是半圆，则，则
所以该圆锥的侧面积为
故选：B
6．C
【详解】因为，所以，得.
故选：C
7．D
【详解】设，，，则，
以边所在直线为轴，将三角形旋转一周所得旋转体的体积为，
所形成的几何体为圆锥，此圆锥的底面半径为，高为，则，
以边所在直线为轴，将三角形旋转一周所得旋转体的体积为，
所形成的几何体为圆锥，此圆锥的底面半径为，高为，则，
以边所在直线为轴，将三角形旋转一周所得旋转体的体积为，
所形成的几何体为两个圆锥拼接而成的组合体，设两个圆锥的底面圆圆心为，
由等面积法可得，即圆锥的底面圆的半径为，
所以，，
所以，，
所以，，
故选：D.
8．C
【详解】如图过点作，垂足为，过作，垂足为，
因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，又平面，
所以，又，，，平面，
所以平面，因为平面，所以，
又，，，平面，
所以平面，又平面，
所以，因为，，，平面，
所以平面，因为平面，
所以，故为点到直线的距离，
因为，，所以，
设，，则，又，
所以，又为直角三角形，，
所以，
因为平面，又平面，
所以，所以为直角三角形，，
所以，
所以，又，
所以当时，取最小值，最小值为，
所以线段上的动点到直线的距离的最小值为，
故选：C.
9．ABD
【详解】因为，所以A正确；
，所以B正确；
，，即.所以C错误；
.所以D正确.
故选：ABD.
10．AD
【详解】对于A，由题由选项得误差的平均值，因为，故A正确；
对于B，若数据为0，0，0，0，1，1，1，1，1，5，则，且众数为1，故B错误；
对于C，若数据为0，0，1，1，1，1，1，1，1，3，则，故C错误；
对于D，假设有一个数，
则正确.
故选：AD.
11．ACD
【详解】
当为中点时，取CD中点，连结EG，AG，则即为AE与所成角.
因为平面平面ABCD，所以，而，故正确；
点到平面的距离为2，设AE与平面所成角为，则，不是定值，B错误；
为定值，C正确；
由已知，都是等边为的等边三角形，将它们展开为一个平面图形，
当为中点时，AE和均取得最小值，
所以的最小值为，D正确.
故选：ACD.
12．0.94
【详解】记“甲、乙击中目标的事件”分别为A，B.则，两人都没有击中的概率，
所以目标被击中的概率为.
故答案为：0.94.
13． 8 9
【详解】.
故答案为：8；9.
14．3
【详解】解法1：设内切球心为，底面中心为，连接，由正四面体的性质可得点在上，
设正四面体的棱长为，高为，因为，所以.
在中，，解得：，故.
解法2：设底面中心为，连接，，并延长交球面于点，连接，
设正四面体的棱长为，高为，因为，
所以，在中，由射影定理可得，代入可得，故.
解法3：正四面体的外接球和内切球的球心重合，，故.
故答案为：3.
15．(1)
(2)
【详解】（1）因为，
，
所以；
（2）设，
，
，
则，
所以，当时，最小，此时，.
16．(1)
(2)71
(3)等级，理由见解析
【详解】（1），得；
（2）；
（3），
由题等级排名占比等级排名占比等级排名占比，且，故72分为等级.
17．(1)
(2)事件A、B不独立，答案见解析
【详解】（1）记事件“抽取数据父亲锻炼时间比母亲锻炼的时间多”，从父母俩这五天的数据中各随机抽取1个，样本空间，，共有25个样本点， ，共有8个样本点.
所以.即抽取数据父亲锻炼时间比母亲锻炼时间多的概率为.
（2）事件A、B不独立，理由如下：
由题意，得，
共有4个样本点，所以.
“父亲锻炼时间为41且父母锻炼时间之和为85”，
所以
，
即，所以事件A、B不独立.
18．(1)；
(2)；
(3).
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理可得，整理得，
故，
因为，所以.
（2）如图，
由题意可得，
因为三点共线，故可设 ，
又因三点共线，故，
所以，故.
（3）因为
所以，
因为，所以，
于是，两边平方化简得：
，当且仅当时取等号，
所以，即.
所以的最小值为.
19．(1)证明见解析
(2)四面体BDEF为鳖臑，证明见解析
(3)1
【详解】（1）连结AC交BD于，连结OE，
因为为的中点，为的中点，
所以，
因为平面， 平面，
所以平面；
（2）四面体BDEF为鳖臑.
因为底面，平面，所以，
因为，平面，所以平面，
而平面，所以.
因为为PC的中点，所以.
，平面PBC，所以平面PBC，
因为平面PBC，所以和是直角三角形，
因为，平面，所以平面和是直角三角形，四面体BDEF为鳖臑.
（3）如图，延长BC与FE交于点，则平面平面
由（2）可知：平面DEF，所以.
因为，平面PBD，所以平面PBD，
因为平面PBD，所以，即：即为平面DEF与平面DEF与平面ABCD所成二面角，
因为，所以，
因为，所以.

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