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22.3实际问题与二次函数 同步练习2025-2026学年人教版数学九年级上册
一、单选题
1．如图，用一段长为米的篱笆围成一个一边靠墙（墙长不限）的矩形花园，设该矩形花园的一边长为，另一边的长为，矩形的面积为．当在一定范围内变化时，与，与满足的函数关系分别是（　　）
A．一次函数关系，二次函数关系 B．正例函数关系，二次函数关系
C．二次函数关系，正例函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系
2．如图，为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，小花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如图所示．若设矩形小花园边的长为，面积为．则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．某校九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，与篮圈中心的水平距离为，当球出手后水平距离为时，到达最大高度，篮圈距地面，设篮球运行的轨迹为抛物线，如图所示建立的平面直角坐标系．有下列结论：①抛物线的解析时为；②此球不能投中；③若对方队员乙在甲前面处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为，则他能成功拦截．其中正确的个数是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
4．销售某商品，每件进价10元，原售价每件30元，每月可售出80件，若每件售价每上升1元，则每月少售出2件．有下列结论：①售价为10元时，每月总利润最高，为1800元；②售价上升5元时，每月总利润为1750元；③售价为38元和售价为42元时，每月所获总利润相同，其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．若水面下降，则水面宽度增加了（ ）

A． B． C． D．
6．如图，小明从离地面高度为的A处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点C处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，在B处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度的．现在地上摆放一个底面半径为，高为的圆柱形水桶，水桶的最左端距离原点为s米，若要弹力球从B处弹起后落入水桶内，则s的值可能是（　　）

A．3.7 B．4.1 C．5.5 D．5
7．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（　　）
A． B．
C． D．
8．在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（ ）

A．当时，随的增大而减小 B．当时，有最大值
C．当时， D．当时，
二、填空题
9．如图,壮壮同学投掷实心球,出手(点P处)的高度OP是 m,出手后实心球沿一段抛物线运行,到达最高点时,水平距离是5 m,高度是4 m.若实心球落地点为M,则OM=　　　　m.
10．如图，运动员投掷标枪时的运动轨迹可看作抛物线的一部分，以地面所在直线为轴，过最高点且垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．则该标枪运动轨迹的函数关系式为：，已知运动员出手点距离最高点的水平距离为，则该运动员投掷标枪的水平距离为 ．
11．宏海公司对某种海产品进行推广，在网络平台上直播销售．已知该海产品的成本价格为每千克40元．经过调研，当销售单价为每千克60元时，每天能售出500千克．销售单价每降低1元，每天的销售量将增加10千克．若设该种海产品销售单价为每千克元，公司每天直播销售的利润为元，则与的函数关系式为 ．
12．如图，一建筑物外墙上嵌有一排一模一样的垂直于墙壁的钢管，这些钢管的下面有一个一边靠墙的长方体水池，水从钢管流出的水都成抛物线，若以钢管的出水口点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，且抛物线的函数表达式都为．若露在墙壁外面的钢管的长度米（钢管的直径长度忽略不计），钢管离水池水面的高度米．要使钢管中流出的水都落在水池里，那水池宽至少是 米．

13．音乐喷泉（图1）可以使喷水造型随着音乐的节奏起伏变化而变化，某种音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边15m，音乐变化时，抛物线的顶点在直线y＝3x上变动，从而产生一组不同的抛物线（图2），这组抛物线的统一形式为y＝ax2+bx，若要求喷出的抛物线水线不能到岸边，则a的取值范围为 　 　．
14．图1是放在水平桌面上的高脚杯的截面图，杯体呈抛物线状（杯体厚度不计），点C是该抛物线的顶点，是的中点,当高脚杯中装满红酒时，液面，此时最大深度（液面到最低点的距离）为,现将高脚杯绕点F缓缓倾斜倒出部分红酒，当倾斜角时停止，此时液面为，如图2所示，则此时酒杯内红酒的最大深度是 ．
三、解答题
15．如图,某校劳动实践基地用总长为80 m的栅栏,围成一块一边靠墙的矩形实验田,墙长为42 m.栅栏在安装过程中不重叠、无损耗.设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位:m),与墙平行的一边长为y(单位:m),面积为S(单位:m2).
(1)直接写出y与x,S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围).
(2)矩形实验田的面积S能达到750 m2吗 如果能,求x的值;如果不能,请说明理由.
(3)当x的值是多少时,矩形实验田的面积S最大 最大面积是多少
16．某商店销售某种商品的进价为每件30元，这种商品在近60天中的日销售价与日销售量的相关信息如下表：
时间：第x（天）
日销售价（元/件） 50
日销售量（件）
（，x为整数）
设该商品的日销售利润为w元．
（1）直接写出w与x的函数关系式__________________；
（2）该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？
17．某班级组织趣味弹弹珠游戏，设计如下：有一个可上下移动的带弹簧的装置，每次将弹簧向左挤压相同距离，松手后弹珠从A点飞出．某组进行试玩，发现弹珠从A点飞出后的路径是抛物线的一部分，A是抛物线的顶点，弹珠飞出后正好从挡板1的顶部B点经过，此时装置距离水平地面的高度为，挡板1到O点的距离为，挡板1的高度为以点O为原点，水平地面为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图1．（研究路径时弹珠的直径忽略不计，弹珠碰到挡板顶点视为可通过）
（1）求弹珠飞出路径对应的抛物线的函数表达式．
（2）将弹珠游戏装置作出调整：如图2，在距离O点处新增高度为的挡板2，挡板1与挡板2之间的区域记为I；在距离O点处新增高度为的挡板3，挡板2与挡板3之间的区域记为Ⅱ．若该弹簧装置向上平移后，弹珠落入Ⅱ区域内，求d的取值范围．
18．综合与实践
某市计划修建一条公路隧道，隧道的截面可以抽象成如图1所示的抛物线，底部宽度为12米，抛物线的最高点C距离的高度为6米，以所在直线为x轴，线段的中垂线为y轴建立平面直角坐标系．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）在隧道修建的过程中，需要搭建如图2所示的支架．四边形，四边形和四边形都是矩形，点E，点F，点Q和点M均在同一直线上，点D，点H，点R，点N都在抛物线上，点G和点P分别在和上，且米，除线段外，这些矩形的其他边都需要用钢材搭建，求需要钢材长度的最大值；
（3）如图3，根据有关部门设计，在隧道两侧的人行道地基宽均为2米，该部门计划在点T正上方和点J正上方之间的抛物线部分设计多列灯，使隧道顶部呈现五彩缤纷的图案．若相邻两列灯的水平距离为米，灯对称分布，请你给出一种符合条件的灯的列数，并说明理由．
参考答案
1．【答案】A
【分析】分别列出与的关系式，与的关系式判断即可.
【详解】解：由题意可得 ，,
∴与成一次函数关系, 与成二次函数关系.
故此题答案为A．
2．【答案】C
【分析】若设矩形小花园边的长为，则，由矩形面积公式代值得到，配方化为顶点式，由二次函数图象与性质分析即可得到答案
【详解】解：若设矩形小花园边的长为，则，
，
，
，
，则抛物线开口向下，
当时，取最大值，为，
故此题答案为C．
3．【答案】B
【分析】先根据待定系数法求二次函数的解析式，然后进行计算比较即可解答．
【详解】解：∵当球出手后水平距离为时，到达最大高度，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴设抛物线的解析式为：，
∵球出手时离地面高，
∴把代入中得：，
解得：，
∴，
故①正确；
当时，，
∴此球能投中，
故②不正确；
当时，，
故③正确；
综上所述：上列结论，正确的个数是2个，
故选B．
4．【答案】C
【分析】设每件商品的实际售价为x元，每月获得的利润为w元，则每件商品的利润为元，销售量为件，据此列出w关于x的函数关系式，再逐一判断即可得到答案．
【详解】解：设每件商品的实际售价为x元，每月获得的利润为w元，
由题意得，
∵，
∴当，即时，w最大，最大值为1800，
∴售价为40元时，每月总利润最高，为1800元，故①错误；
当时， ，
∴售价上升5元时，每月总利润为1750元，故②正确；
当时， ，
当时， ，
∴售价为38元和售价为42元时，每月所获总利润相同，故③正确.
故选C．
5．【答案】B
【分析】根据已知建立平面直角坐标系，则可确定顶点坐标为，，再把解析式设为顶点式，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y经过中点O且经过C点，则通过画图可得知O为原点，

由题意得，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，和为的一半，即，抛物线顶点C坐标为，
∴点B的坐标为，
∴这个抛物线的解析式为，
把点B坐标代入到抛物线解析式得，，
∴，
∴抛物线解析式为，
当水面下降，
当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把代入抛物线解析式得出，，
解得， ，
∴水面宽度增加到，
∴比原先的宽度当然是增加了，
故此题答案为B．
6．【答案】B
【分析】根据点A的坐标求出第一次着地前的抛物线解析式，可得到点的坐标，再根据B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，可得到第二次着地前抛物线的解析式，再根据圆柱形的高为，可求出当弹力球恰好砸中筐的最左端、最右端时，s的值，进而得到s的取值范围，从而得到答案．
【详解】解：由题可知，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，且过点，代入解析式中得，
∴，
∴解析式为，
当时，的最大值为，
令，则，
解得或（舍去），
∴，
∵B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的，
∴其最大高度为，
∵弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，
设B处着地后弹起的抛物线解析式为，
将点代入该解析式得，
解得或（舍去），
∴该抛物线的解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点B的坐标为，则点的坐标为，
∵圆柱形的高为，
当时，则，
解得或（舍去），
∴当弹力球恰好砸中筐的最左端时，，
∵筐的底面半径为，直径为，
∴当弹力球恰好砸中筐的最右端时，，
∴，
∴选项B中的满足条件，
故此题答案为B．
7．【答案】B
【分析】根据降价x元，则售价为元，销售量为件，由题意可得等量关系：总销售额为销量售价，根据等量关系列出函数解析式即可．
【详解】解：降价x元，则售价为元，销售量为件，
根据题意得，，
故此题答案为B．
8．【答案】B
【详解】解：A．当时，随的增大先增大、后减小，即A选项错误，不符合题意；
B．由函数图象可知：抛物线的对称轴为，即当时，有最大值，则B选项正确，符合题意；
C．由函数图象可知：当时，，即C选项错误，不符合题意；
D．当时，由图象知，对应的值有两个，即D选项错误，不符合题意．
故选B．
9．【答案】
【详解】以O为坐标原点,OM所在直线为x轴、OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系.由题意得该抛物线的顶点为(5,4),∴设该抛物线的解析式为y=a(x-5)2+4.∵抛物线经过0,,∴a(0-5)2+4=,解得a=-,∴该抛物线的解析式为y=-(x-5)2+4.当y=0时,-(x-5)2+4=0,解得x1=-(舍),x2=,∴OM= m.
10．【答案】
【分析】将代入，得出，结合题意，即可求解．
【详解】解：将代入，
，
解得：（舍去）
又∵运动员出手点距离最高点的水平距离为，
∴该运动员投掷标枪的水平距离为米
11．【答案】
【分析】根据利润利润单价数量即可得到答案．
【详解】解：根据题意得，
．
12．【答案】2.2
【分析】由题意得，令，则，求出，从而得出，由此即可得出答案．
【详解】解：由题意得，
令，则，
∴，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴，
∴，
∴水池宽至少是米.
13．【答案】a
【详解】解：由题意，∵y＝ax2+bx的顶点为（，），抛物线的顶点在直线y＝3x上，
∴3．
∴b＝6．
∵喷出的抛物线水线不能到岸边，出水口离岸边15m，
∴，即：．
∴a．
14．【答案】.
【分析】以为原点，则顶点，过且平行底面的直线为轴，垂直底面的直线为轴建立直角坐标系，在抛物线上取一点，使，则将高脚杯绕点F缓缓倾斜倒出部分红酒，当倾斜角时停止，此时液面为，则此时酒杯内红酒的最大深度就是在直线下方的抛物线上的点到直线的最大值，据此求解即可．
【详解】解：以为原点，则顶点，过且平行底面的直线为轴，垂直底面的直线为轴建立直角坐标系，在抛物线上取一点，使，直线交轴于，过作轴于，在直线下方的抛物线任取一点，过作轴交于，交于，过作交于，
∵高脚杯中装满红酒时，液面，此时最大深度（液面到最低点的距离）为，
∴轴，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
设直线解析式为，
把，代入得，解得，
∴直线解析式为，
∵抛物线顶点，
∴设抛物线解析式为，
把代入得，解得，
∴抛物线解析式为，
∵轴，，
∴设，则，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴当时，取最大值，
∴将高脚杯绕点F缓缓倾斜倒出部分红酒，当倾斜角时停止，此时液面为，如图2所示，则此时酒杯内红酒的最大深度是.
15．【答案】见详解
【详解】(1)∵栅栏总长为80 m,
∴x+y+x=80,∴y=80-2x,
S=y·x=(80-2x)x=-2x2+80x.
(2)能.
令S=750,则-2x2+80x=750,即x2-40x+375=0,
解得x1=25,x2=15.
∵墙长为42 m,∴0<80-2x≤42,
解得19≤x<40,∴x=25.
(3)S=-2x2+80x=-2(x-20)2+800,
∵-2<0,19≤x<40,
∴当x=20时,矩形实验田的面积S最大,最大面积为800 m2.
16．【答案】（1）
（2）该商品在第26天的日销售利润最大，最大日销售利润是1296元
【分析】（1）根据利润=单个利润×数量可进行求解；
（2）由（1）分别求出两种情况下的最大利润，然后问题可求解．
【详解】（1）解：由题意得：
当时，则；
当时，则；
∴；
（2）解：当时，；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，（元）．
当时，，随增大而减小，
∴当时，（元）．
∵，
∴该商品在第26天的日销售利润最大，最大日销售利润是1296元．
17．【答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据题意得：根据题意得：抛物线顶点坐标为，点，可设抛物线的函数表达式为，把点代入求解，即可解题；
（2）根据题意得：挡板2顶端的坐标为，挡板3顶端的坐标为，设该弹簧装置向上平移后的抛物线的函数表达式为，分别把点和代入，求出c的值，再根据该弹簧装置向上平移后，弹珠落入Ⅱ区域内，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：根据题意得：抛物线顶点坐标为，点，
可设抛物线的函数表达式为，
把点代入得：，
解得：，
∴弹珠飞出路径对应的抛物线的函数表达式为；
（2）解：根据题意得：挡板2顶端的坐标为，挡板3顶端的坐标为，
设该弹簧装置向上平移后的抛物线的函数表达式为，
把点代入得：
，解得：，
把点代入得：
，解得：，
∵该弹簧装置向上平移后，弹珠落入Ⅱ区域内，
∴．
18．【答案】（1）
（2）需要钢材长度的最大值为米；
（3）符合条件的灯的列数为或，理由见详解
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设，得到，根据二次函数的性质求最值即可；
（3）相邻两列灯的水平距离为米，灯对称分布，据此进行分类讨论解答即可．
【详解】（1）解：由题意可得，抛物线的最高点为，
设抛物线解析式为,
把代入得到，，
解得，
∴；
（2）解：设，
则由已知及抛物线的对称性可知，，，，,，
∴，
米，米，
设搭建支架需要钢材的长度为米，
∴，
∵，
∴当时， 取得最大值为，
即需要钢材长度的最大值为米；
（3）符合条件的灯的列数为或，理由如下：
由已知可知，（米），米，
∵相邻两列灯的水平距离为米，灯对称分布，
∴若顶部C处安装一列灯,则的两旁还可以各安装（列）
此时安装灯的列数为（列），
若顶部C处不安装灯,则最顶部的两列灯应该在的两侧，且与的水平距离都为米，
此时安装灯的列数为（列），
综上可知， 符合条件的灯的列数为或
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