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2024至2025学年度春季学期长阳二中
高一年级数学学科期末考试试卷
命题人： 分值：150分 考试时间： 120分钟
一、单项选择题（本大题共8小题，满分40分，请将正确答案序号填涂在答题卡相应位置）
1．复数中i为虚数单位，且i 2 = -1，则1+i 10=（ ）
A．2 B．1+i C．1-i D．0
2．下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（ ）
A． y=x2 B． y=sin x
C． y=cos x D． y=tan x
3．已知向量，，满足：，=2，且，则为（ ）
A． B．2 C．12 D．4
4．已知圆锥的底面周长为，侧面积为，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（ ）
A．若, a⊥α，b⊥β，则a⊥b
B．若a//b，，a， 则
C．若，a，b，则ab
D．若=a，b//a，b，则b//
6．已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主
对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对
四居室满意的人数分别为
A．240，18
B．200，20
C．240，20
D．200，18
7．如图，已知△ABC是边长为4的等边三角形，点D满足，E为的中点，
若 则λ等于（ ）
A．
B．
C．
D.
8．在锐角△中，角所对的边分别为a, b, c，若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题（本大题共3小题，满分18分，每小题6分，全对得6分，部分对得部分分，选错不得分）
9．已知复数（i是虚数单位），则下列命题中正确的是（ ）
A． B．z在复平面上对应点在第二象限
C． D．
10．下列各式中，值为的是（ ）
A． B．
C. D．
11．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面BDC1于点M，
则下列结论正确的是（ ）
A．O、M、C1三点共线
B．A1C⊥平面BDC1
C．直线A1C与直线DD1是相交关系
D．二面角B-DC1-D1的平面角的余弦值为
三、填空题（本大题共3小题，满分15分，请将最终结果填写在答题卡对应处）
12．向量，单位向量与向量方向相反，则向量 .
13．如图是函数的图像的一部分，
则此函数的解析式为 ．
14．已知四棱锥P-ABCD的5个顶点都在球O的球面上，
且PA⊥平面ABCD,PA=AB=BC=4，CD=3,AD=7,
则球O的表面积为 ．
四、解答题（本大题共5小题，满分77分，请将必要解答过程填写在答题卡对应位置）
15．(本题满分13分)已知点，，
(1) 若A，B，C三点共线，求实数k的值；
(2) 若四边形ABCD为矩形，求向量与夹角的余弦值．
16．(本题满分15分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，满足，
.
(1) 求A及△ABC的周长；
(2) 求△ABC的面积．
17．(本题满分15分)在2025年联考结束后，某学校
为了解高三学生的联考情况，随机抽取了100名
学生的联考数学成绩作为样本，并按照分数段
分组，绘制了如图所示的频率分布直方图.
(1) 求出图中a的值并估计本次考试及格率（“及格率”指得分为90分及以上的学生所占比例）；
(2) 估计该校学生联考数学成绩的第80百分位数；
(3) 估计该校学生联考数学成绩的众数、平均数.
18．(本题满分17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AB//DC,
AD=DC=AP=2,AB=1，点E为棱PC的中点.
(1) 证明：BE//平面PAD；
(2) 证明：PD⊥BE；
(3) 求直线AP与平面ABE所成角的大小.
19．(本题满分17分)已知
(1) 求f(x)的最小正周期；
(2) 若函数在区间上恰有两个零点x1，x2
① 求m的取值范围；
② 求x1+x2的值.
2024至2025学年度春季学期长阳二中
高一年级数学学科期末考试参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D B A C C A B A ACD ABC ABD
12．
13．
14．
15．(1) (2)
【详解】
（1）因为A，B，C三点共线，所以，共线，即,
又，， 。。。。。。。。。。。2分
则有，所以； 。。。。。。。。。。。5分
（2）设，因为四边形ABCD为矩形，所以，，
又，，， 。。。。。。7分
得,
则，，， 。。。。。。。。。。。10分
则，，则，
综上，向量与夹角的余弦值为. 。。。。。。。。。。。13分
16．(1) (2)
【详解】
（1）因，则，
由余弦定理得，，
因，则. 。。。。。。。。。。。4分
又因为，由正弦定理
得，又 ，∴.
所以△ABC的周长为2+. 。。。。。。。。。。。。。8分
（2）由得，， 。。。。。。。。。。。10分
由（1），所以，得， 。。。。。。。。。。。12分
故. 。。。。。。。。。。。15分
17．(1)， (2)120分 (3)众数估计值为100分，平均数估计值为分
【详解】
（1）由频率分布直方图的性质，
可得，解得. 。。。。。。。。。。。3分
所以及格率为. 。。。。。。。。。。。5分
（2）得分在110分以下的学生所占比例为，
得分在130分以下的学生所占比例为，
所以第80百分位数位于内， 。。。。。。。。。。。7分
由，估计第80百分位数为120分. 。。。。。。。。。。。10分
（3）由图可得，众数估计值为100分. 。。。。。。。。。。。12分
平均数估计值为（分）. 。。。15分
18．(1) 见详解 (2) 见详解 (3)
【详解】
（1）如图，取中点，连接，
由于分别为的中点，故，且，
又，可得，且，
故四边形为平行四边形， 。。。。。。。。。。。5分
所以，又因为平面平面，
所以平面. 。。。。。。。。。。。6分
（2）因为底面底面，
又平面，
平面.
又平面.
为的中点，，
又 平面，
平面，又∴BE平面ABE,
∴PD⊥BE. 。。。。。。。。。。。12分
(可以利用AM//BE,则（3）要证明PD⊥平面ABE)
（3）由(2)知PD⊥平面ABE,
直线在平面内的射影为直线，
故为直线与平面所成的角， 。。。。。。。。。。。14分
由底面底面可得，，
∴PAD为等腰直角三角形，且平分，
，
所以直线AP与平面ABE所成的角为. 。。。。。。。。。。。17分
19．(1) (2) ①或 ②
【详解】
（1）
， 。。。。。。。。。。。5分
∴f(x)的最小正周期为T=为所求. 。。。。。。。。。。。6分
（2）①令，其中x与t是一一对应的，
当时，，
，
所以，如图，
要使在区间上恰有两个零点
等价于的图象与直线y=m在有两个交点，
所以要使在区间上恰有两个零点，
的取值范围为或； 。。。。。。。。。。。13分
②设是函数的两个零点（即），
由正弦函数图象对称性可知，
即，所以. 。。。。。。。。。。。17分
注：答案仅供参考，解答题斟酌给分及扣分；其它解答方式自行处理.
答案第4页，共4页

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