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2024-2025学年度春季学期长阳二中
高二期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．已知函数，则的值为（ ）
A．-1 B．3 C．8 D．16
2．已知随机变量，则（ ）
A． B． C． D．2
3．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率和
温度（单位：）的关系，在个不同的温度条件下进行
种子发芽实验，由实验数据得到下面
的散点图：由此散点图，在至之间，下面四个
回归方程类型中最适宜作为发芽率和温度的回归方程类型的是（ ）
A． B． C． D．
4．一个袋子中有个红球和个白球，这些小球除颜色外没有其他差异从中不放回地抽取个球，
每次只取个设事件“第一次抽到红球”，“第二次抽到红球”，则概率是（ ）
A． B． C． D．
5．展开式中的常数项为（ ）
A．-20 B．20 C．-15 D．15
6．若函数在上存在极值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．设随机变量，，这两个正态分布
密度曲线如图，下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知是定义在上的函数的导函数，且，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．若，则正整数的值是1或6
10．下列有关线性回归分析的问题中，正确的是（ ）
A．回归直线至少经过点、、、、中的一个点
B．若线性回归方程为，则当变量增加个单位时，平均增加个单位
C．两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于
D．对具有线性相关关系的变量、，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是
11．下列命题中，正确的是（ ）
A．已知随机变量X服从二项分布，若，则
B．已知随机变量X服从正态分布，若，则
C．已知，，，则
D．已知，，，则
三、填空题
12．从甲、乙、丙、丁四位家长中选三人对某小学附近的三个路口维护交通，每个路口安排一人，
则不同的安排方法有 种.
13．某校高三年级进行了一次高考模拟测试，这次测试的数学成绩，且，
规定这次测试的数学成绩高于120分为优秀．若该校有1200名高三学生参加测试，则数学成绩
为优秀的人数是 ．
14．某学校物理兴趣小组有6个男生，4个女生，历史兴趣小组有3个男生，5个女生，先从
两个兴趣小组中随机选取一个兴趣小组，再从所取的兴趣小组中随机抽取一个学生，
则该学生是男生的概率是 ．
四、解答题
15．（本题13分）.已知是函数的导函数，且．
(1) 求；
(2) 求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积．
16．（本题15分).某班有名班干部，其中男生人，女生人，任选人参加学校的义务劳动．
（1）求男生甲或女生乙被选中的概率；
（2）设“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件，求和．
17．（本题15分).随着生活节奏的加快 生活质量的提升，越来越多的居民倾向于生活用品的方便智能.
如图是根据2016—2020年全国居民每百户家用汽车拥有量
（单位：辆）与全国居民人均可支配收入（单位：万元）
绘制的散点图.
由图可知，可以用线性回归模型拟合与的关系，
求关于的线性回归方程；（过程和结果保留两位小数）
已知2020年全国居民人均可支配收入为32189元，若从2020年开始，以后每年全国居民人均可
支配收入均以6%的速度增长，预计哪一年全国居民每百户家用汽车拥有量可以达到50辆.
参考数据：
2.82 32.56 0.46 5.27
，，.
参考公式：回归方程中，.
18．（本题17分).，，
，这组公式被
称为积化和差公式，最早正式发表于16世纪天文学家乌尔索斯1588年出版的《天文学基础》一
书中.在历史上，对数出现之前，积化和差公式被用来将乘除运算化为加减运算.在现代工程中，
积化和差的重要应用在于求解傅里叶级数.为了解学生掌握该组公式的情况，在高一、高三两个
年级中随机抽取了100名学生进行考查，其中高三年级的学生占，其他相关数据如下表：
合格 不合格 合计
高三年级的学生 54
高一年级的学生 16
合计 100
请完成2×2列联表，依据小概率值的独立性检验，分析“对公式的掌握情况”与“学生所在
年级”是否有关？
以频率估计概率,从该校高一年级学生中抽取3名学生,记合格的人数为,求的分布列和数学期望.
附：，
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
19．（本题17分).已知函数．
(1)当时，取得极值，求的解析式；
(2)在（1）的条件下，求函数的单调区间及极值；
(3)若时，不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
《2024-2025学年度第二学期高二期末考试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D A A B D A ACD BD
题号 11
答案 ACD
12． 13．120 14．
15．(1) (2)2
【详解】（1）由题可知，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1分
令，则，解得．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分
因为，所以．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分
（2）由（1）可知，，
则所求的切线方程为，即，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分
所以该切线与坐标轴的交点为和，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分
则所求三角形的面积为．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。13分
16．（1）；（2），．
【详解】（1）某班从名班干部(男生人、女生人)中任选人参加学校的义务劳动，总的选法有种，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分
男生甲或女生乙都没有被选中的选法：
则男生甲或女生乙被选中的选法有种，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分
∴男生甲或女生乙被选中的概率为；。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分
（2）总的选法有种，男生甲被选中的选法有种，
∴，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。9分
男生甲被选中、女生乙也被选中选法有种，∴，。。。。。。。。。。。12分
∴在男生甲被选中的前提下，女生乙也被选中的概率为．。。。。。15分
17．(1)；
(2)预计2026年全国居民每百户家用汽车拥有量可以达到50辆.
【详解】（1）解： ，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分
，
（=0.25是对的，）。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分
所以关于的线性回归方程为.
（2）解：由，得.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分
因为2020年全国居民人均可支配收入为3.2189万元， 。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分
且，， 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。14分
所以预计2026年全国居民每百户家用汽车拥有量可以达到50辆..。。。。。。。。。。15分
（此问应该列不等式，酌情扣分与给分.）
18．(1)列联表见解析，认为“对公式的掌握情况”与“学生所在年级”有关
(2)分布列见解析，
【详解】（1）由100名学生中高三年级的学生占，可知高三年级的学生有60人，
合格 不合格 合计
高三年级的学生 54 6 60
高一年级的学生 24 16 40
合计 78 22 100
高一年级的学生有40人.
补充完整的列联表，如下：
。。。。。。。。。。。。。。。。。2分
提出零假设：“对公式的掌握情况”与“学生所在年级”无关. 。。。。。。。。。。。。。。..。。。3分
根据列联表中的数据，
得. 。。。。。。。。。。。。。。。。。6分
根据小概率值的独立性检验，我们推断H 不成立，
即认为“对公式的掌握情况”与“学生所在年级”有关，
此推断犯错误的概率不大于0.001. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分
（2）由（1）得，高一年级的学生对公式的掌握情况合格的频率为.。。。。。9分
依题意，得，
则，，
，.。。。。。。。。。。。。。。。。。。13分
所以的分布列为
0 1 2 3
。。。。。。。。。。。。。。。。。15分
. 。。。。。。。。。。。。。。。。17分
19．(1)
(2)单调递增区间为，，单调递减区间为，
的极大值为，极小值为-2．(3)．
【详解】（1），，。。。。。。。。。。。。。。。。。1分
当时，取得极值，
，解得：， 。。。。。。。。。。。。。。。。。3分
的解析式为． 。。。。。。。。。。。。。。。。。4分
（2）当时，，则函数定义域为，。。。。。。。。。。5分
，令，解得：， 。。。。6分
当变化时，的变化情况如下表：
1
+ 0 － 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
当时，有极大值，当时，有极小值，
的单调递增区间为，；单调递减区间为，
的极大值为，极小值为-2． 。。。。。。。。。。。。。。。。。11分
（用不等式论述的也可以；单调区间回答如答案，否则酌情扣分）
（3）当时，在上恒成立，
即在区间恒成立． 。。。。。。。。。。。。。。。。。13分
设，，则， 令，解得，。。。。。14分
当变化时，，的变化情况如下表：
－ 0 +
单调递减 极小值 单调递增
。。。。。。。。。。。。。。。。。15分
，即， 。。。。。。。。。。。。。。。。。16分
的取值范围为． 。。。。。。。。。。。。。。。。。17分
（讨论的酌情给分）
答案第4页，共4页

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