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厦门市2024-2025学年第二学期高二年级质量检测
数学试题
本试卷共4页，考试时长120分钟，满分150分．
注意事项：
1.考生将自己的姓名、准考证号、答案填写在答题卡上．考试结束后，须将“答题卡”交回．
2.答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若轴与圆相切，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知变量的4组相关数据分别为，则关于的线性回归直线必经过点（ ）
A. B. C. D.
3. 记正项等比数列的前项和为，若，则（ ）
A B. C. 1 D. 2
4. 若的展开式中二项式系数之和为32，则该展开式中的系数为（ ）
A. B. 48 C. D. 80
5. 为考察药物A对预防疾病B的效果，在两个不同规模的动物种群中分别进行了试验，根据种群一的试验结果得到如下列联表：
药物A 疾病B 合计
未患病 患病
未服用 28 22 50
服用 34 16 50
合计 62 38 100
计算得到．假设种群二试验结果对应的列联表中，每个单元格的数据都为上表对应单元格数据的5倍，则根据小概率值的独立性检验，（ ）
附：，
0.1 0.05 0.01 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
A. 当时，种群一中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过5%
B. 当时，种群一中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过10%
C. 当时，种群二中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过1%
D. 当时，种群二中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过0.5%
6. 在正四面体中，，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知双曲线的左、右焦点分别为是上的一点，为线段的中点．若，则的离心率为（ ）
A. B. 2 C. D.
8. 已知函数在区间上存在最大值与最小值，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数的定义域为，其导函数的图象如图所示，则（ ）
A. 在区间上单调递增 B. 的极小值点为2
C. 恰有2个极值点 D. 图象与轴至多有2个公共点
10. 某人从一座9层大楼的第1层进入电梯，在第层离开电梯，假设自第2层开始等可能地在每一层离开电梯，记事件“为偶数”，事件“”，事件“为质数”，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知数列：，其中第1项为，接下来的2项为，接下来的4项为，依此类推，设为的前项和，则（ ）
A. B.
C. 有且仅有一个正整数，使得 D. 存在无数个正整数，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知抛物线的焦点为，点在上，过作轴的垂线，垂足为．若，则的面积为______．
13. 从名同学中选择人分别去三地调研，每个地方安排一人，其中要求地不安排甲同学，则安排方案共有______种．（用数字作答）
14. 设函数，若，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知等差数列的各项均为正数，且．
（1）求通项公式；
（2）若，且，求正整数值．
16. 某工厂共有甲、乙两条生产线生产同一型号的产品，其中甲生产线每天产量为20000件，乙生产线每天产量为10000件．其中甲生产线的一等品率为0.2，二等品率为0.8；乙生产线的一等品率为0.6，二等品率为0.4.将甲、乙两条生产线生产的产品均匀混合后随机装箱．
（1）质检人员从混合后的产品中随机抽取一件，求抽取到的产品为一等品的概率；
（2）已知每箱中有3件产品，其中二等品的定价为100元／件，若要使得每箱产品销售额的期望不低于400元，一等品应该如何定价．
17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形．，，点为的中点．
（1）证明：平面；
（2）证明：平面；
（3）若，求平面与平面夹角余弦值．
18. 已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若是增函数，求的取值范围；
（3）证明：当时，．
19. 在平面直角坐标系中，定义两点的“距离”为，其中．已知定点，动点满足，其中．记的轨迹为“-椭圆”，为“-焦点”．
（1）当时，写出“-椭圆”的轨迹方程并直接画出相应曲线；
（2）已知数列均为正项数列，，椭圆，记以，为“-焦点”的“-椭圆”为，的边均与相切，且的顶点均在上．
（ⅰ）设的面积为，证明：；
（ⅱ）若是等比数列，求的离心率．
厦门市2024-2025学年第二学期高二年级质量检测
数学试题
本试卷共4页，考试时长120分钟，满分150分．
注意事项：
1.考生将自己的姓名、准考证号、答案填写在答题卡上．考试结束后，须将“答题卡”交回．
2.答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【1题答案】
【答案】A
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】D
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
【9题答案】
【答案】AD
【10题答案】
【答案】BCD
【11题答案】
【答案】ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
【12题答案】
【答案】8
【13题答案】
【答案】18
【14题答案】
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【15题答案】
【答案】（1）
（2）
【16题答案】
【答案】（1）
（2）若要使得每箱产品销售额的期望不低于400元，一等品定价至少200元/件
【17题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【18题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【19题答案】
【答案】（1），图象见解析
（2）（ⅰ）证明见解析；
（ⅱ）

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