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华东师大附中2024-2025学年第二学期高一年级数学期末
2025.6
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．若复数，则 ．
2．物体受到，则合力的大小为 ．
3．若，则 ．
4．已知，若，则点的坐标为 ．
5．已知，则 （用弧度制表示）.
6．若函数为奇函数，则 ．
7．已知向量与的夹角为，且是单位向量，，则 ．
8．函数的值域是 ．
9．平面上三点的坐标分别是，已知该平面上点满足.假设小明在点处看着他的爱犬小沿着所在直线来回跑动，且不在两端逗留.一段时间后，想在小狗离他最近的处抱住它回家，则的坐标为 ．
10．函数的部分图像如图所示，则在上的投影向量是 ．
11．若点满足，则 ．
12．设函数在区间上恰有2个最值点和2个零点，则的取值范围是 ．
二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分．）
13．下列命题中为真命题的是（ ）.
A．实数不是复数 B．的共轭复数是
C．不是纯虚数 D．
14．已知是第一象限角，且角的终边关于轴对称，则的值是（ ）.
A． B． C． D．
15．已知两个平面向量满足：对任意的恒有，则（ ）.
A． B． C． D．
16.拿破仑是十九世纪法国伟大的军事家、政治家，对数学也很有兴趣，他发现并证明了著名的拿破仑定理：＂以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点＂，在中，以为边向外构造的三个等边三角形的中心依次记为，若，利用拿破仑定理可求得的最大值为（ ）.
A． B． C．8 D．4
三、解答题（本大题为5题，满分78分.）
17.（本题满分12分）本题共2个小题，第1题满分6分，第2题满分6分．
已知平面向量
（1）若，且，求的坐标；
（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.（结果用区间表示）
18.（本题满分14分）本题共2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分．
已知关于的实系数一元二次方程为，现解决以下问题：
（1）已知是以上方程的一个虚根，求实数的值；
（2）设，该方程的两根为，复数对应的向量分别是，若向量与垂直，求实数的值.
19.（本题满分12分）本题共2个小题，第1题满分6分，第2题满分6分．
在月亮和太阳的引力的作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐.通常情况下船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某天在某港口记录的水面深度（y）与时间（x）的关系表：
x（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y（米） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
（1）请从其中这3个函数中选择一个函数近似描述某天这个港口的水面深度（y）与时间（x）的函数关系，简单说明理由；
（2）请根据你对（1）的判断以及所给信息，写出你选择的函数模型的解析式；
（3）依照（2）中的函数模型，若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与海底的距离），则该货船在某天什么时间段能安全进出港口？要使该货船能在某天卸完货并安全离港，卸货最多只能用多少时间？
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1题满分4分，第2题满分6分，第3题满分8分．
已知，复数在复平面上对应的点分别为，其中为坐标原点．
（1）若复数，求：的取值范围；
（2）若复数，当三点共线时，求：的面积；
（3）在中，是边的中点，是线段的中点，若的面积为，求：的最小值．
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1题满分4分，第2题满分6分，第3题满分8分．
已知集合为坐标原点，
若，现定义.
（1）若，且，求：的值；
（2）记，若（为常数），求：的最大值；
（3）若，试判断＂存在，使＂＂是＂＂的什么条件？并证明你的结论.
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9. ; 10.； 11. 12.
9.计算在上的投影向量
12．设函数在区间上恰有2个最值点和2个零点，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】显然，令，则，
（1）当时，，由正弦曲线图像可知，两个最值点对应的值为和，零点对应的值为和，于是，解得，
（2）当时，，由正弦曲线图像可知，两个最值点对应的值为和，零点对应的值为和0，于是，解得，
综上，的取值范围是．故答案为：．
二、选择题
13.C 14.D 15.B 16.B
15．已知两个平面向量满足：对任意的恒有，则（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，化为，
∵对任意的，恒有
当时，上式恒成立；
当时，可得，即
化为，综上可得：．故选：B．
16.拿破仑是十九世纪法国伟大的军事家、政治家，对数学也很有兴趣，他发现并证明了著名的拿破仑定理：＂以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点＂，在中，以为边向外构造的三个等边三角形的中心依次记为，若，利用拿破仑定理可求得的最大值为（ ）.
A． B． C．8 D．4
【答案】B
【解析】设，
如图所示，连接，
由拿破仑定理可知，为等边三角形．
因为为等边三角形的中心，
所以在中，
设，由余弦定理得：，
即，即，即，同理；
又因为，所以
在中，由余弦定理可得，
即，化简得：，
由基本不等式得：，解得，
当且仅当时等号成立，所以的最大值为．故答案为：．
三、解答题
17.（1） （2）
18. （1） （2）
19.（1）选，理由略 （2） （3）小时
20．【答案】（1） （2）
（3） 提示 得，展开基本不等式即可
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1题满分4分，第2题满分6分，第3题满分8分．
已知集合为坐标原点，
若，现定义.
（1）若，且，求：的值；
（2）记，若（为常数），求：的最大值；
（3）若，试判断＂存在，使＂＂是＂＂的什么条件？并证明你的结论.
【答案】（1）的值为． （2） （3）充分不必要条件，证明见解析
【解析】（1）若，，则，即，
解得，又，所以的值为．
（2）设，
，所以
（3）＂存在，使＂是＂的充分不必要
条件，证明如下：
取
充分性：若存在，使，即，
则，，
故
故充分性成立；
必要性：因为，可取
则，
则，但是，
所以，则不共线，所以必要性不成立．
综上所述，＂存在，使＂是＂的充分不必要条件

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