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专题03 三角函数
知识点一 同角三角函数公式及诱导公式
1．（2025·北京·高考真题）已知，且，.写出满足条件的一组的值 ， ．
【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一）
【解析】因为，，
所以的终边关于轴对称，且不与轴重合，
故且，
即，
故取可满足题设要求；
故答案为：；（答案不唯一）
1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，
所以，，
所以，
故选：B.
2．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为 ．
【答案】/
【解析】由题意，从而，
因为，所以的取值范围是，的取值范围是，
当且仅当，即时，取得最大值，且最大值为.
故答案为：.
1．（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【解析】当时，例如但，
即推不出；
当时，，
即能推出.
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
2．（2023·全国乙卷·高考真题）若，则 ．
【答案】
【解析】因为，则，
又因为，则，
且，解得或（舍去），
所以.故答案为：.
知识点二 三角函数性质
1．（2025·全国一卷·高考真题）若点是函数的图像的一个对称中心，则a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足，
即的对称中心是，即，
又，则时最小，最小值是，即.故选：B
2．（2025·北京·高考真题）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（ ）
A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变）
【答案】A
【解析】因为，所以将函数的图象上所有点的横坐标变成原来的倍，纵坐标不变，即可得到函数的图象，故选：A.
3．（2025·上海·高考真题）函数在上的值域为 ．
【答案】
【解析】由函数在上单调递增，在单调递减，
且，
故函数在上的值域为.
故答案为：.
4．（2025·天津·高考真题），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．0
【答案】A
【解析】设的最小正周期为，根据题意有，，
由正弦函数的对称性可知，
即，
又在上单调递增，则，
∴，则，
∵，∴时，，∴，
当时，，
由正弦函数的单调性可知.
故选：A
5．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数．
(1)求;
(2)设函数，求的值域和单调区间．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】（1）由题意，所以；
（2）由（1）可知，
所以
，
所以函数的值域为，
令，解得，
令，解得，
所以函数的单调递减区间为，
函数的单调递增区间为.
1．（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】对A，，周期，故A正确；
对B，，周期，故B错误；
对于选项C，，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误；
对于选项D，，周期，故D错误，
故选：A．
2．（2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点，
则，即，
且，所以.
故选：B.
3．（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【解析】因为函数的最小正周期为，则，所以，
即，当时，，
所以当，即时，
故选：D
4．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误；
对B，设，函数定义域为，
且，则为偶函数，故B正确；
对C，设，，
，则不是偶函数，故C错误；
对D，设，函数定义域为，
因为，且不恒为0，
则不是偶函数，故D错误.
故选：B.
5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）对于函数和，下列说法中正确的有（ ）
A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值
C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴
【答案】BC
【解析】A选项，令，解得，即为零点，
令，解得，即为零点，
显然零点不同，A选项错误；
B选项，显然，B选项正确；
C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确；
D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足，
的对称轴满足，
显然图像的对称轴不同，D选项错误.
故选：BC
5．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在上的最大值是 ．
【答案】2
【解析】，当时，，
当时，即时，.
故答案为：2
1．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为在区间单调递增，
所以，且，则，，
当时，取得最小值，则，，
则，，不妨取，则，
则，
故选：D.
2．（2023·天津·高考真题）已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由函数的解析式考查函数的最小周期性：
A选项中，B选项中，
C选项中，D选项中，
排除选项CD，
对于A选项，当时，函数值，故是函数的一个对称中心，排除选项A，
对于B选项，当时，函数值，故是函数的一条对称轴，
故选：B.
3．（2023·上海·高考真题）已知，函数在区间上最小值为，在区间上的最小值为变化时，下列不可能的是（ ）
A．且 B．且 C．且 D．且
【答案】C
【解析】因为函数的最小正周期是，因此只需考查离原点最近的右侧一个周期内的区间即可，
当时，，，而，，
因此在上的最小值，在上的最小值，A可能；
当时，，，
因此在上的最小值，在上的最小值，B可能；
当时，，，
因此在上的最小值，在上的最小值，D可能；
对于C，若，则，
若，则区间的长度，并且且，
即且与矛盾，所以C不可能.
故选：C
4．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．

【答案】
【解析】设，由可得，
由可知，或，，由图可知，
，即，．
因为，所以，即，．
所以，
所以或，
又因为，所以，．
故答案为：．
5．（2023·北京·高考真题）设函数．
(1)若，求的值．
(2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．
条件①：；
条件②：；
条件③：在区间上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1).
(2)条件①不能使函数存在；条件②或条件③可解得，.
【解析】（1）因为
所以，
因为，所以.
（2）因为，
所以，所以的最大值为，最小值为.
若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在；
若选条件②：因为在上单调递增，且，
所以,所以,,
所以，
又因为，所以，
所以，
所以，因为，所以.
所以，；
若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得最小值，即.
以下与条件②相同．
知识点三 两角和差与二倍角公式
1．（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
因为，则，则，
则.
故选：D.
2．（2025·全国一卷·高考真题）（多选）已知的面积为，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】，由二倍角公式，，
整理可得，，A选项正确；
由诱导公式，，
展开可得，
即，
下证.
方法一：分类讨论
若，则可知等式成立；
若，即，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，，同理，
又，于是，
与条件不符，则不成立；
若，类似可推导出，则不成立.
综上讨论可知，，即.
方法二：边角转化
时，由，则，
于是，
由正弦定理，，
由余弦定理可知，，则，
若，则，注意到，则，
于是（两者同负会有两个钝角，不成立），于是，
结合，而都是锐角，则，
于是，这和相矛盾，
故不成立，则
方法三：结合射影定理（方法一改进）
由，结合正弦定理可得，，由射影定理可得，于是，
则，可同方法一种讨论的角度，推出，
方法四：和差化积（方法一改进）
续法三：
，可知同时为或者异号，即，展开可得，
，
即，结合和差化积，，由上述分析，，则，则，则，即，于是，可知.
由，由，则，即，
则，同理，由上述推导，，则，
不妨设，则，即，
由两角和差的正弦公式可知，C选项正确
由两角和的正切公式可得，，
设，则，
由，则，则，
于是，B选项正确，由勾股定理可知，，D选项错误.
故选：ABC
1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
而，所以，
故即，
从而，故，
故选：A.
2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 .
【答案】
【解析】法一：由题意得，
因为，，
则，，
又因为，
则，，则，
则，联立 ，解得.
法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则,
，，
则
故答案为：.
1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为锐角，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，而为锐角，
解得：．
故选：D．
2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，而，因此，
则，
所以.
故选：B
3．（2023·上海·高考真题）已知，则= .
【答案】/
【解析】已知，则.
故答案为：
知识点四 交点问题
1．（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
【答案】C
【解析】函数，
设函数的最小正周期为T，由可得，
所以，即；
又函数在上存在零点，且当时，，
所以，即；
综上，的最小值为4.
故选：C.
1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】因为函数的最小正周期为，
函数的最小正周期为，
所以在上函数有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6个交点.
故选：C
2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】解法一：令，即，可得，
令，
原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点，
注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，
可得，即，解得，
若，令，可得
因为，则，当且仅当时，等号成立，
可得，当且仅当时，等号成立，
则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点，
所以符合题意；
综上所述：.
解法二：令，
原题意等价于有且仅有一个零点，
因为，
则为偶函数，
根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，
即，解得，
若，则，
又因为当且仅当时，等号成立，
可得，当且仅当时，等号成立，
即有且仅有一个零点0，所以符合题意；
故选：D.
1．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为，所以，
令，则有3个根，
令，则有3个根，其中，
结合余弦函数的图像性质可得，故，
故答案为：.
2．（2023·全国甲卷·高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】因为向左平移个单位所得函数为，所以，
而显然过与两点，
作出与的部分大致图像如下，

考虑，即处与的大小关系，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
所以由图可知，与的交点个数为.
故选：C.
知识点五 三角函数在实际生活中的应用
1．（2025·上海·高考真题）小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A、B，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米．则斜面的底角 ．（结果用角度制表示，精确到）
【答案】
【解析】如图，在处，，在处满足，
（其中水平面，是射过处杆子最高点的光线，光线交斜面于），
故设，则，
由勾股定理，，解得，
于是
故答案为：
知识点一 同角三角函数公式及诱导公式
1．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因，且，由，解得，
所以．
故选：A.
2．（2025·安徽蚌埠·三模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以，
因为 ，所以，
所以
==.
故选：D.
3．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，可得，可得，
又因为，所以，
即，
解得或（舍去），
所以.
故选：D.
4．（2025·甘肃白银·模拟预测）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，解得，
于是，
故选：A．
5．（2025·河北·模拟预测）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
故，
又且，故，
，故.
故选：A.
6．（2025·福建泉州·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，且，
所以，，
则.
故选：A.
7．（2025·湖南常德·模拟预测）化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得：，
因为，则，
可得，
所以.
故选：B.
8．（2025·海南海口·模拟预测）若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由可得，即，①．
由，可得，②
联立①，②，解得，，
则，
故.
故选：D．
知识点二 三角函数性质
1．（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）（多选）已知函数，则（ ）
A．函数的最小值为
B．函数的一个对称中心为
C．函数在区间单调递减
D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
【答案】ABC
【解析】由题意有，
对于A：的最小值为，故A正确；
对于B：，故B正确；
对于C：由可得，由在单调递减，故C正确；
对于D：由的图象向左平移个单位得到，
显然与不是同一函数，故D错误.
故选：ABC.
2．（2025·福建·模拟预测）（多选）已知函数的最小正周期为，则（ ）
A．的最小值为
B．在上单调递增
C．直线是的图象的对称轴
D．的图象可由的图象向左平移个单位得到
【答案】ABD
【解析】因为，最小正周期为，所以，
即.
对于A，由于，所以的最小值为，A正确；
对于B，当时，，
所以在上单调递增，B正确；
对于C，因为时，，所以C不正确；
对于D，由，所以D正确.
故选：ABD.
3．（2025·广西柳州·模拟预测）（多选）已知函数的部分图像如图所示，则（ ）
A． B．
C．直线是函数图象的一条对称轴 D．在的值域为
【答案】ACD
【解析】由图象知 ， 解得 ，A正确；
将代入中得，则 ，
因为 ，B错误；
将代入中得，直线是函数图象的一条对称轴，C正确；
因为，所以，
即，D正确，
故选：ACD.
4．（2025·山东泰安·模拟预测）（多选）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则下列结论正确的为（ ）
A．函数为偶函数
B．直线是函数图象的一条对称轴
C．若，则的值域为
D．是函数的一个单调递减区间
【答案】BC
【解析】因为函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，所以.
对于A：，
因为，所以函数为奇函数，故A不正确；
对于B: ，
所以当时，函数有最小值，所以直线是函数图象的一条对称轴，故B正确；
对于C: ，由，则，，
所以，故C正确；
故于D：当时，，
因为函数在上单调递增，所以在上也单调递增，
所以是函数的一个单调递增区间，故D不正确.
故选：BC
5．（2025·甘肃白银·二模）（多选）已知在处取得极小值，与该极小值点相邻的一个对称中心为，则（ ）
A．
B．将的图象向左平移个单位长度即可得到的图象
C．在区间上单调递减
D．在区间上的值域为
【答案】BC
【解析】对于A，的极小值为，
的最小正周期，又，
∴，
，
解得：，
，故A错误；
对于B，由的图象向左平移个单位长度得到，故B正确；
对于C，由得，则在区间上单调递减，故C正确；对于D，，
在区间上的值域为，故D错误.
故选：BC
知识点三 两角和差与二倍角公式
1．（2025·江苏徐州·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
，
两式联立可得，
故选：A
2．（2025·河南信阳·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．5
【答案】A
【解析】由可得：，，
两式相加可得：，则；
两式相减可得：，则，
故.
故选：A.
3．（2025·江苏盐城·模拟预测）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
，即，
，
，
，
故选：A.
4．（2025·湖南永州·模拟预测）的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】.
故选：D.
5．（2025·甘肃白银·一模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】.
.
故选：D.
6．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，
故选：A.
知识点四 交点问题
1．（2025·湖南长沙·模拟预测）若关于的方程在上有个实根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】原方程可化为.
令，则，所以.
令，，
又在上单调递减，所以，则.
当时，，此时在只有个实根，不符合条件；
当时，，此时在有个实根，符合条件，
故选：A.
2．（2025·湖南·三模）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的振幅为
C．函数在区间上单调递增
D．若函数在区间上恰有两个不同零点，则实数a的取值范围为
【答案】ACD
【解析】对于A：因为，故A正确；
对于B：函数的振幅为2，故B错误；
对于C：因为，所以，所以函数在区间上单调递增，故C正确；
对于D：若函数在区间上恰有两个不同的零点，
即函数在区间上的图象与直线恰有两个交点，
令，∵，∴，
作出的图象与直线，如图．
由图知，当时，的图象与直线有两个交点，
所以实数a的取值范围为，故D正确．
故选：ACD．
3．（2025·辽宁盘锦·三模）（多选）已知函数，（，），与的图象关于对称，若，则（ ）
A．
B．直线为图象的一条对称轴
C．在上单调递减
D．函数在上有5个零点
【答案】BC
【解析】在函数的图象上任取点（x，y），
此点关于的对称点在的图象上，
故，
所以，故，，故A错误；
则，所以为其最大值，
所以直线为图象的一条对称轴，故B正确；
当时，，，
故在上单调递减，故C正确；
因为，
令，所以，即，，
令，解得，所以，
又，所以，所以函数在上有4个零点，故D错误．
故选：BC
4．（2025·江西·二模）（多选）已知函数（，为常数），且函数为奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．
C．与的图象有相同的对称轴
D．当时，方程有且仅有4个实根
【答案】ACD
【解析】对于B，由函数为奇函数，得函数图象的一个对称中心为，
则，解得，B错误；
对于A，，的最小正周期为，A正确；
对于C，，与的图象有相同的对称轴，C正确；
对于D，方程在上的实根个数即为与
图象交点个数，在同一坐标系内作出函数与的图象，如图，
观察图象知，函数与在上的图象恰有4个交点，D正确.
故选：ACD
5．（2025·河北邯郸·模拟预测）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．在内有3个零点 B．的图象关于直线对称
C．在上单调递增 D．的值域为
【答案】BD
【解析】对于A ,令，则，在同一直角坐标系中，
画出和在的图象，根据图象可知：两个函数图象有4个交点，故在内有4个零点，故A错误，
对于B, ,则，故的图象关于直线对称，B正确，
对于C, 故，
令则有和复合而成，
由于在单调递增，而在单调递减，所以在单调递减，故C错误，
对于D,
，故是的一个周期，
故只需要考虑的值域即可，又的图象关于直线对称，
故只需要考虑的值域即可，因为在单调递减，，所以的值域为，D正确，
故选：BD
6．（2025·江西·模拟预测）（多选）已知，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的最小值为
C．在内有3个零点
D．在内有3个零点
【答案】BC
【解析】对于A，由，显然不恒等于，即不是的周期，故A错误；
对于B，因，，则，故B正确；
对于C，，因，
则由可得，即零点有3个，故C正确；
对于D，，因，
则由有，即零点有4个，故D错误.
故选：BC.
7．（2025·河北保定·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的对称中心及对称轴方程；
(2)当时，求函数的最大值和最小值．
【答案】(1)对称中心为，对称轴方程为：；
(2)最大值为，最小值为0．
【解析】（1）
，
令，解得，
对称轴方程为：．
令，解得，
函数的对称中心为．
（2）当时，，
由正弦函数的性质可知，的最大值为1，最小值为，
函数的最大值为，最小值为0．
知识点五 三角函数在实际生活中的应用
1．（2025·重庆·一模）（多选）声音源于物体振动所产生的、能够激发听觉的波动．为了有效地消除噪声，人类研发了主动降噪的技术，该技术的原理是通过电子设备模拟产生一种与目标噪声频率，振幅完全相同，但相位恰好相反（即相位差为的奇数倍）的声音，理论上就可以和噪声完全抵消．某一目标噪声的数学模型函数是，则可以作为降噪模拟声的数学函数模型有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】由题意可知，可以作为降噪模拟声的数学函数模型为，，
或，，
AB选项满足题意，
故选：AB.
2．（2025·河南开封·二模）（多选）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时间（单位：）时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式确定，则下列说法正确的是（ ）
A．小球在开始振动（即）时在平衡位置上方处
B．每秒钟小球能往复振动次
C．函数的图象关于直线对称
D．小球从到时运动的路程是
【答案】ACD
【解析】当时，，故A正确；
小球往复振动的周期为，所以每秒钟小球能往复振动次，故B错误；
因为，所以函数的图象关于直线对称，故C正确；
由，又，
，
所以小球从到时运动的路程是，故D正确.
故选：ACD.
3．（24-25高三上·湖北·开学考试）（多选）受潮汐影响，某港口5月份每一天水深y（单位：米）与时间x（单位：时）的关系都符合函数（，，，）.根据该港口的安全条例，要求船底与水底的距离必须不小于2.5米，否则该船必须立即离港，一艘船满载货物，吃水（即船底到水面的距离）6米，计划于5月10日进港卸货（该船进港立即可以开始卸货），已知卸货时吃水深度以每小时0.3米的速度匀速减少，卸完货后空船吃水3米（不计船停靠码头和驶离码头所需时间）.下表为该港口5月某天的时刻与水深关系：
时刻 2：00 5：00 8：00 11：00 14：00 17：00 20：00 23：00
水深/米 10 7 4 7 10 7 4 7
以下选项正确的有（ ）
A．水深y（单位：米）与时间x（单位：时）的函数关系为，
B．该船满载货物时可以在0：00到4：00之间以及12：00到16：00之间进入港口
C．该船卸完货物后可以在19：00离开港口
D．该船5月10日完成卸货任务的最早时间为16：00
【答案】ABD
【解析】依题意，，，解得，
显然函数的图象过点，
即，又，因此，
所以函数表达式为，，故A对；
依题意，，整理得，
即有，
即,
解得或，
所以该船可以在0点到4点以及12点到16点进入港口，故B对；
该船卸完货后符合安全条例的最小水深为5.5，
19时水深为，故C错；
该船0点进港即可以开始卸货，设自0点起卸货x小时后，
该船符合安全条例的最小水深为
函数与的图象交于点，
即卸货5小时后，在5点该船必须暂时驶离港口，此时该船的吃水深度为4.5米，
下次水深为7米时刻为11点，
故该船在11点可返回港口继续卸货，5小时后完成卸货，此时为16点，
综上，该船在0点进港开始卸货，5点暂时驶离港口，11点返回港口继续卸货，16点完成卸货任务，故D对.
故选：ABD.
4．（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）（多选）从出生之日起，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，在前30天内，它们的变化规律如图所示(均为可向右无限延伸的正弦型曲线模型):
记智力曲线为，情绪曲线为，体力曲线为，且三条曲线的起点位于坐标系的同一点处，则（ ）
A．体力曲线的最小正周期是三个曲线中最小的
B．第462天时，智力曲线与情绪曲线都处于上升期
C．智力、情绪、体力三条曲线存在无数个公共点
D．不存在正整数，使得第天时，智力、情绪、体力三条曲线同时处于最高点或最低点
【答案】ACD
【解析】对于A，观察图象知，智力曲线的最小正周期，情绪曲线的最小正周期，
体力曲线的最小正周期，因此体力曲线的最小正周期是三个曲线中最小的，A正确；
对于B，462除以33余数为0，462除以28余数为14，此时，情绪曲线处于周期处，
处于下降期，而智力曲线刚好处于周期的起点处，处于上升期，B错误；
对于C，智力曲线的对称中心的横坐标，情绪曲线的对称中心的横坐标，
体力曲线的对称中心的横坐标，取的公倍数即得3条曲线公共对称中心横坐标，
有无数个，即三条曲线存在无数个公共的对称中心，因此智力、情绪、体力三条曲线存在无数个公共点，C正确；
对于D，智力曲线的对称轴方程，情绪曲线的对称轴方程，
体力曲线的对称轴方程，令，
由，得，而，
因此不存在自然数使得方程成立，即三条曲线不存在公共的对称轴，
因此不存在正整数，使得第天时，智力、情绪、体力三条曲线同时处于最高点或最低点，D正确.
故选：ACD
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专题03 三角函数
知识点一 同角三角函数公式及诱导公式
1．（2025·北京·高考真题）已知，且，.写出满足条件的一组的值 ， ．
1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为 ．
1．（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
2．（2023·全国乙卷·高考真题）若，则 ．
知识点二 三角函数性质
1．（2025·全国一卷·高考真题）若点是函数的图像的一个对称中心，则a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·北京·高考真题）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（ ）
A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变）
3．（2025·上海·高考真题）函数在上的值域为 ．
4．（2025·天津·高考真题），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．0
5．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数．
(1)求;
(2)设函数，求的值域和单调区间．
1．（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．
4．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）对于函数和，下列说法中正确的有（ ）
A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值
C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴
5．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在上的最大值是 ．
1．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·天津·高考真题）已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·上海·高考真题）已知，函数在区间上最小值为，在区间上的最小值为变化时，下列不可能的是（ ）
A．且 B．且 C．且 D．且
4．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．

5．（2023·北京·高考真题）设函数．
(1)若，求的值．
(2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．
条件①：；
条件②：；
条件③：在区间上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
知识点三 两角和差与二倍角公式
1．（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·全国一卷·高考真题）（多选）已知的面积为，若，则（ ）
A． B．
C． D．
1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 .
1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为锐角，，则（ ）．
A． B． C． D．
2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（ ）．
A． B． C． D．
3．（2023·上海·高考真题）已知，则= .
知识点四 交点问题
1．（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
1．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
2．（2023·全国甲卷·高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
知识点五 三角函数在实际生活中的应用
1．（2025·上海·高考真题）小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A、B，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米．则斜面的底角 ．（结果用角度制表示，精确到）
知识点一 同角三角函数公式及诱导公式
1．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知，则（ ）．
A． B． C． D．
2．（2025·安徽蚌埠·三模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·甘肃白银·模拟预测）若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·河北·模拟预测）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·福建泉州·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·湖南常德·模拟预测）化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·海南海口·模拟预测）若，，则（ ）
A． B． C． D．
知识点二 三角函数性质
1．（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）（多选）已知函数，则（ ）
A．函数的最小值为
B．函数的一个对称中心为
C．函数在区间单调递减
D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
2．（2025·福建·模拟预测）（多选）已知函数的最小正周期为，则（ ）
A．的最小值为
B．在上单调递增
C．直线是的图象的对称轴
D．的图象可由的图象向左平移个单位得到
3．（2025·广西柳州·模拟预测）（多选）已知函数的部分图像如图所示，则（ ）
A． B．
C．直线是函数图象的一条对称轴 D．在的值域为
4．（2025·山东泰安·模拟预测）（多选）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则下列结论正确的为（ ）
A．函数为偶函数
B．直线是函数图象的一条对称轴
C．若，则的值域为
D．是函数的一个单调递减区间
5．（2025·甘肃白银·二模）（多选）已知在处取得极小值，与该极小值点相邻的一个对称中心为，则（ ）
A．
B．将的图象向左平移个单位长度即可得到的图象
C．在区间上单调递减
D．在区间上的值域为
知识点三 两角和差与二倍角公式
1．（2025·江苏徐州·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·河南信阳·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．5
3．（2025·江苏盐城·模拟预测）若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·湖南永州·模拟预测）的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·甘肃白银·一模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
知识点四 交点问题
1．（2025·湖南长沙·模拟预测）若关于的方程在上有个实根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·湖南·三模）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的振幅为
C．函数在区间上单调递增
D．若函数在区间上恰有两个不同零点，则实数a的取值范围为
3．（2025·辽宁盘锦·三模）（多选）已知函数，（，），与的图象关于对称，若，则（ ）
A．
B．直线为图象的一条对称轴
C．在上单调递减
D．函数在上有5个零点
4．（2025·江西·二模）（多选）已知函数（，为常数），且函数为奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．
C．与的图象有相同的对称轴
D．当时，方程有且仅有4个实根
5．（2025·河北邯郸·模拟预测）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．在内有3个零点 B．的图象关于直线对称
C．在上单调递增 D．的值域为
6．（2025·江西·模拟预测）（多选）已知，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的最小值为
C．在内有3个零点
D．在内有3个零点
7．（2025·河北保定·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的对称中心及对称轴方程；
(2)当时，求函数的最大值和最小值．
知识点五 三角函数在实际生活中的应用
1．（2025·重庆·一模）（多选）声音源于物体振动所产生的、能够激发听觉的波动．为了有效地消除噪声，人类研发了主动降噪的技术，该技术的原理是通过电子设备模拟产生一种与目标噪声频率，振幅完全相同，但相位恰好相反（即相位差为的奇数倍）的声音，理论上就可以和噪声完全抵消．某一目标噪声的数学模型函数是，则可以作为降噪模拟声的数学函数模型有（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·河南开封·二模）（多选）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时间（单位：）时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式确定，则下列说法正确的是（ ）
A．小球在开始振动（即）时在平衡位置上方处
B．每秒钟小球能往复振动次
C．函数的图象关于直线对称
D．小球从到时运动的路程是
3．（24-25高三上·湖北·开学考试）（多选）受潮汐影响，某港口5月份每一天水深y（单位：米）与时间x（单位：时）的关系都符合函数（，，，）.根据该港口的安全条例，要求船底与水底的距离必须不小于2.5米，否则该船必须立即离港，一艘船满载货物，吃水（即船底到水面的距离）6米，计划于5月10日进港卸货（该船进港立即可以开始卸货），已知卸货时吃水深度以每小时0.3米的速度匀速减少，卸完货后空船吃水3米（不计船停靠码头和驶离码头所需时间）.下表为该港口5月某天的时刻与水深关系：
时刻 2：00 5：00 8：00 11：00 14：00 17：00 20：00 23：00
水深/米 10 7 4 7 10 7 4 7
以下选项正确的有（ ）
A．水深y（单位：米）与时间x（单位：时）的函数关系为，
B．该船满载货物时可以在0：00到4：00之间以及12：00到16：00之间进入港口
C．该船卸完货物后可以在19：00离开港口
D．该船5月10日完成卸货任务的最早时间为16：00
4．（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）（多选）从出生之日起，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，在前30天内，它们的变化规律如图所示(均为可向右无限延伸的正弦型曲线模型):
记智力曲线为，情绪曲线为，体力曲线为，且三条曲线的起点位于坐标系的同一点处，则（ ）
A．体力曲线的最小正周期是三个曲线中最小的
B．第462天时，智力曲线与情绪曲线都处于上升期
C．智力、情绪、体力三条曲线存在无数个公共点
D．不存在正整数，使得第天时，智力、情绪、体力三条曲线同时处于最高点或最低点
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