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专题04 解三角形
知识点一 正余弦定理公式及边角互换
1．（2025·全国二卷·高考真题）在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·天津·高考真题）在中，角的对边分别为．已知，，．
(1)求A的值；
(2)求c的值；
(3)求的值．
1．（2024·全国甲卷·高考真题）在中,内角所对的边分别为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·天津·高考真题）在中，角所对的边分别为，已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
1．（2023·北京·高考真题）在中，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国乙卷·高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·上海·高考真题）在中，已知，，，则 ．
4．（2023·天津·高考真题）在中，角所对的边分别是．已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
知识点二 三角形的面积
1．（2025·北京·高考真题）在中，．
(1)求c的值；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高．
条件①：；条件②：；条件③：的面积为．
1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面积为，求c．
2．（2024·北京·高考真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，．
(1)求；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．
条件①：；条件②：；条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
1．（2023·全国甲卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求面积．
2．（2023·全国乙卷·高考真题）在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D为BC上一点，且，求的面积.
知识点三 三角形的周长
1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A．
(2)若，，求的周长．
知识点四 三角形的中线、角平分和高
1．（2023·全国甲卷·高考真题）在中，，的角平分线交BC于D，则 ．
2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知在中，．
(1)求；
(2)设，求边上的高．
3．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
知识点五 解三角形在实际生活中的应用
1．（2024·上海·高考真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则 (精确到0.1度)
知识点一 正余弦定理公式及边角互换
1．（2025·天津红桥·模拟预测）在中，若，，，则的长度为（ ）
A．2 B．4 C． D．
2（2025·天津红桥·模拟预测）在中，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·福建泉州·模拟预测）已知，，分别为三个内角，，的对边，，且，（ ）
A．1 B．3 C． D．
4．（2025·天津河北·模拟预测）已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且，，，则 ．
知识点二 三角形的面积
1．（2025·湖北黄冈·三模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，若，且.
(1)若，求；
(2)求△ABC面积的最大值.
2．（2025·广东湛江·模拟预测）在中，角所对的边分别是，且满足.
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的最大值；
3．（2025·海南·模拟预测）设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
(1)求A；
(2)若，且，求的面积．
4．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且.
(1)求B；
(2)若，则的面积为，求，.
5．（2025·湖南岳阳·三模）在中，角的对边分别为，．
(1)求；
(2)若的面积为，，求的周长．
知识点三 三角形的周长
1．（2025·福建厦门·三模）锐角中，角所对应的边分别为，满足，，则的周长的取值范围为 .
2．（2025·全国·二模）的内角的对边分别为
(1)求A；
(2)若的面积为，求的周长.
3．（2025·湖南益阳·三模）在中，角所对的边分别为，已知，且．
(1)若，求A；
(2)若是锐角三角形，求周长的取值范围．
知识点四 三角形的中线、角平分和高
1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知的内角的对边分别为的面积为．
(1)求A；
(2)若，且的周长为5，设为边中点，求．
2．（2025·广西柳州·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求；
(2)若的面积为为BC上一点，AD为的平分线，求AD.
3．（2025·海南三亚·一模）在锐角中，角所对的边分别为，且.
(1)求；
(2)若，求边上的高的长.
知识点五 解三角形在实际生活中的应用
1．（2025·湖北荆州·模拟预测）如图，为山脚两侧共线的三点，这三点处依次测得对山顶的仰角分别为，计划沿直线开通隧道，设的长度分别为.为了测出隧道的长度，还需直接测出（ ）的值.
A．和 B．和 C．和 D．三者
2．（2025·湖北恩施·模拟预测）某学生准备测量如图中某建筑物高度，选择高为50m的大楼进行测量，在大楼顶部处测得该建筑物的顶部的仰角为，底部的俯角为，则该建筑物的高度为（ ）
A．m B．m
C．m D．m
3．（24-25高二下·云南玉溪·期中）如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东45°、点北偏西60°的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为20海里/小时，则该救援船到达点最快所需时间为（ ）

A．1小时 B．0.3小时 C．0.5小时 D．0.2小时
4．（24-25 湖北武汉·期中）享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地处蛇山之巅，濒临万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名闻天下.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度，在黄鹤楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，黄鹤楼顶部的仰角分别为30°和45°，在处测得楼顶部的仰角为15°，则黄鹤楼的高度约为（ ）

A． B． C． D．
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专题04 解三角形
知识点一 正余弦定理公式及边角互换
1．（2025·全国二卷·高考真题）在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得，
又，所以.故选：A
2．（2025·天津·高考真题）在中，角的对边分别为．已知，，．
(1)求A的值；
(2)求c的值；
(3)求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）已知，由正弦定理，
得，显然，
得，由，
故；
（2）由（1）知，且，，
由余弦定理，
则，
解得（舍去），
故；
（3）由正弦定理，且，
得，且，则为锐角，
故，故，
且；
故.
1．（2024·全国甲卷·高考真题）在中,内角所对的边分别为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，则由正弦定理得.
由余弦定理可得:，
即:，根据正弦定理得，
所以，
因为为三角形内角，则，则.
故选：C.
2．（2024·天津·高考真题）在中，角所对的边分别为，已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）设，，则根据余弦定理得，
即，解得（负舍）；
则.
（2）法一：因为为三角形内角，所以，
再根据正弦定理得，即，解得，
法二：由余弦定理得，
因为，则
（3）法一：因为，且，所以，
由（2）法一知，
因为，则，所以，
则，
.
法二：，
则，
因为为三角形内角，所以，
所以
1．（2023·北京·高考真题）在中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，
所以由正弦定理得，即，
则，故，
又，所以.
故选：B.
2．（2023·全国乙卷·高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意结合正弦定理可得，
即，
整理可得，由于，故，
据此可得，
则.
故选：C.
3．（2023·上海·高考真题）在中，已知，，，则 ．
【答案】
【解析】，
A为的内角，
.
故答案为:.
【点睛】本题考查余弦定理以及同角三角函数关系式的合理运用，是基础题.
4．（2023·天津·高考真题）在中，角所对的边分别是．已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）由正弦定理可得，，即，解得：；
（2）由余弦定理可得，，即，
解得：或（舍去）．
（3）由正弦定理可得，，即，解得：，而，
所以都为锐角，因此，，
．
知识点二 三角形的面积
1．（2025·北京·高考真题）在中，．
(1)求c的值；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高．
条件①：；条件②：；条件③：的面积为．
【答案】(1)6
(2)答案见解析
【解析】（1）因为，所以，
由正弦定理有，解得；
（2）如图所示，若存在，则设其边上的高为，
若选①，，因为，所以，因为，这表明此时三角形有两个钝角，
而这是不可能的，所以此时三角形不存在，故边上的高也不存在；
若选②，，由有，由正弦定理得,所以，
所以由余弦定理得,
此时三角形是存在的，且唯一确定，
所以,即，
所以边上的高；
若选③，的面积是，则，
解得，由余弦定理可得可以唯一确定，
进一步由余弦定理可得也可以唯一确定，即可以唯一确定，
这表明此时三角形是存在的，且边上的高满足：，即.
1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面积为，求c．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由余弦定理有，对比已知，
可得，
因为，所以，
从而，
又因为，即，
注意到，
所以.
（2）由（1）可得，，，从而，，
而，
由正弦定理有，
从而，
由三角形面积公式可知，的面积可表示为
，
由已知的面积为，可得，
所以.
2．（2024·北京·高考真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，．
(1)求；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．
条件①：；条件②：；条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)；
(2)选择①无解；选择②和③△ABC面积均为.
【解析】（1）由题意得，因为为钝角，
则，则，则，解得，
因为为钝角，则.
（2）选择①，则，因为，则为锐角，则，
此时，不合题意，舍弃；
选择②，因为为三角形内角，则，
则代入得，解得，
,
则.
选择③，则有，解得，
则由正弦定理得，即，解得，
因为为三角形内角，则，
则
，
则
1．（2023·全国甲卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求面积．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为，所以，解得：．
（2）由正弦定理可得
，
变形可得：，即，
而，所以，又，所以，
故的面积为．
2．（2023·全国乙卷·高考真题）在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D为BC上一点，且，求的面积.
【答案】(1)；
(2).
【解析】（1）由余弦定理可得：
，
则，，
.
（2）由三角形面积公式可得，
则.
知识点三 三角形的周长
1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A．
(2)若，，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）
由可得，即，
由于，故，解得
方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）
由，又，消去得到：
，解得，
又，故
方法三：利用极值点求解
设，则，
显然时，，注意到，
，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点，
即，即，
又，故
方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）
设，由题意，，
根据向量的数量积公式， ，
则，此时，即同向共线，
根据向量共线条件，，
又，故
方法五：利用万能公式求解
设，根据万能公式，，
整理可得，，
解得，根据二倍角公式，，
又，故
（2）由题设条件和正弦定理
，
又，则，进而，得到，
于是，
，
由正弦定理可得，，即，
解得，
故的周长为
知识点四 三角形的中线、角平分和高
1．（2023·全国甲卷·高考真题）在中，，的角平分线交BC于D，则 ．
【答案】
【解析】
如图所示：记，
方法一：由余弦定理可得，，
因为，解得：，
由可得，
，
解得：．
故答案为：．
方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：，
由正弦定理可得，，解得：，，
因为，所以，，
又，所以，即．
故答案为：．
2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知在中，．
(1)求；
(2)设，求边上的高．
【答案】(1)
(2)6
【解析】（1），
，即，
又，
，
，
，
即，所以，
.
（2）由（1）知，，
由，
由正弦定理，，可得，
，
.
3．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
【答案】(1)；
(2).
【解析】（1）方法1：在中，因为为中点，，，

则，解得，
在中，，由余弦定理得，
即，解得，则，
，
所以.
方法2：在中，因为为中点，，，
则，解得，
在中，由余弦定理得，
即，解得，有，则，
，过作于，于是，，
所以.
（2）方法1：在与中，由余弦定理得，
整理得，而，则，
又，解得，而，于是，
所以.
方法2：在中，因为为中点，则，又，
于是，即，解得，
又，解得，而，于是，
所以.
知识点五 解三角形在实际生活中的应用
1．（2024·上海·高考真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则 (精确到0.1度)
【答案】
【解析】设，
在中，由正弦定理得，
即’
即①
在中，由正弦定理得，
即，即，②
因为，得，
利用计算器即可得，
故答案为：.
知识点一 正余弦定理公式及边角互换
1．（2025·天津红桥·模拟预测）在中，若，，，则的长度为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】A
【解析】由余弦定理得：，所以，故选：A.
2（2025·天津红桥·模拟预测）在中，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由正弦定理，得，则，解得.故选：C.
3．（2025·福建泉州·模拟预测）已知，，分别为三个内角，，的对边，，且，（ ）
A．1 B．3 C． D．
【答案】B
【解析】由题设及正弦边角关系，有，，
所以，
由，，则，可得，
所以，整理得，
可得或，
若，则，结合，故，三角形有两个钝角，不符合；
所以.
故选：B
4．（2025·天津河北·模拟预测）已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且，，，则 ．
【答案】/
【解析】由题设.
故答案为：
知识点二 三角形的面积
1．（2025·湖北黄冈·三模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，若，且.
(1)若，求；
(2)求△ABC面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）若 ，则，所以，
所以，即 ，
因为，所以 .
则 ，
解得；
（2） ，
有，
故
有， 即， .
当且仅当 时等号成立 .
所以面积的最大值为.
2．（2025·广东湛江·模拟预测）在中，角所对的边分别是，且满足.
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的最大值；
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由正弦定理得，即，
因为，所以，
所以，所以，
又因为，所以.
（2）由余弦定理得：
，代入得：，
根据基本不等式，得：，当且仅当时，等号成立，
的面积为：，故面积的最大值为.
3．（2025·海南·模拟预测）设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
(1)求A；
(2)若，且，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由及正弦定理得：
，
因为，
所以，又，
，又，故．
（2）由可得，
因为，所以，
由可得，
故，
又，可得，
所以.
4．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且.
(1)求B；
(2)若，则的面积为，求，.
【答案】(1)或
(2)或者
【解析】（1）由正弦定理，得：①
，
①式可化为：
，.
从而，
，或，或.
（2）②
由（1）得：当时，解得②的解为或者，
当时，②式无解.
5．（2025·湖南岳阳·三模）在中，角的对边分别为，．
(1)求；
(2)若的面积为，，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由和正弦定理，，
因，代入化简得：，
因，则，故，
因，故.
（2）因的面积为，解得，
由余弦定理，，
因，代入解得，则，
故的周长为
知识点三 三角形的周长
1．（2025·福建厦门·三模）锐角中，角所对应的边分别为，满足，，则的周长的取值范围为 .
【答案】
【解析】因为，，所以，故，
所以，
即，
因为，所以，，
所以，故或（舍），即，
由正弦定理可得，
所以
，
因为是锐角三角形，所以，解得，
令，
则，
所以的周长的取值范围为.
故答案为：.
2．（2025·全国·二模）的内角的对边分别为
(1)求A；
(2)若的面积为，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由得，
因为，
所以，即，
因为，所以，所以，
所以，因为，所以；
（2）因为三角形的面积为，所以，所以，
由余弦定理知，即，
所以，故，
所以三角形的周长为.
3．（2025·湖南益阳·三模）在中，角所对的边分别为，已知，且．
(1)若，求A；
(2)若是锐角三角形，求周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由，可得，即，
∴，则或（舍），
∴，
当，由，可得.
（2）由正弦定理可得∴，
易知，可得，因此，
易知在上单调递增，所以，
可得周长范围为.
知识点四 三角形的中线、角平分和高
1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知的内角的对边分别为的面积为．
(1)求A；
(2)若，且的周长为5，设为边中点，求．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）依题意，，
所以，
由正弦定理可得，，
由余弦定理，，解得，
因为，所以；
（2）依题意，，
因为，解得，
因为，
所以，
所以．
2．（2025·广西柳州·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求；
(2)若的面积为为BC上一点，AD为的平分线，求AD.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）根据题意，
则由正弦定理得，
即，
即，
化简得，
因为，所以，
∴，由于，
则；
（2）根据题意，的面积为即，
则，
又根据余弦定理，，则，
所以，即，
又由的面积，
所以.
3．（2025·海南三亚·一模）在锐角中，角所对的边分别为，且.
(1)求；
(2)若，求边上的高的长.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由正弦定理可得，
因为，所以，
又因为锐角三角形，，所以.
（2）由余弦定理
可知
又因即代入上式可得
则的面积为
则
解得：.
知识点五 解三角形在实际生活中的应用
1．（2025·湖北荆州·模拟预测）如图，为山脚两侧共线的三点，这三点处依次测得对山顶的仰角分别为，计划沿直线开通隧道，设的长度分别为.为了测出隧道的长度，还需直接测出（ ）的值.
A．和 B．和 C．和 D．三者
【答案】D
【解析】在中，
由正弦定理有：，所以，
在中，
由正弦定理有：，
所以，
因为，
所以为了测出隧道的长度，还需直接测出三者的值.
故选：D
2．（2025·湖北恩施·模拟预测）某学生准备测量如图中某建筑物高度，选择高为50m的大楼进行测量，在大楼顶部处测得该建筑物的顶部的仰角为，底部的俯角为，则该建筑物的高度为（ ）
A．m B．m
C．m D．m
【答案】B
【解析】如图，过点作的垂线，垂足为，则，
得到，则该建筑物的高度.
故选：B.
3．（24-25高二下·云南玉溪·期中）如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东45°、点北偏西60°的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为20海里/小时，则该救援船到达点最快所需时间为（ ）

A．1小时 B．0.3小时 C．0.5小时 D．0.2小时
【答案】B
【解析】由题意，在中，，，，所以，
由正弦定理可得，，
则；
又在中，，，
由余弦定理可得，
，所以，
因此救援船到达点需要的时间为小时.
故选：B.
4．（24-25 湖北武汉·期中）享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地处蛇山之巅，濒临万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名闻天下.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度，在黄鹤楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，黄鹤楼顶部的仰角分别为30°和45°，在处测得楼顶部的仰角为15°，则黄鹤楼的高度约为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，，
在中，，，则，
在中，，
则，
由正弦定理得，，得，
在中，，则，
所以.
故选：C
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