资源简介

广安市2025年春季高一期末考试
数学试题
本试卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名 座位号和准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
5.考试结束后，只将答题卡交回.
一 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.在复平面内，复数对应的向量，则（ ）
A. B.4 C. D.1
2.广安市某单位有员工1200人，其中岁的有400人，为了调查员工的身体健康状况，从中抽取120名员工，则在岁抽取的人数为（ ）
A.40 B.20 C.60 D.44
3.已知函数的最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
4.下列式子正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
5.已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
6.己知，则的值是（ ）
A.-5 B. C.5 D.
11.我们称底面直径与高相等的圆柱为等边圆柱，如图，在等边圆柱内有一个正三棱锥，正三棱锥的底面在圆柱底面圆周上，顶点是圆柱的上底面中心，是底面三角形边的中点，连接是上底面的一条直径且不平行于，若圆柱的高为2，则下列说法中，正确的是（ ）
A.中的长为
B.三棱锥的外接球的体积与圆柱的外接球的体积之比为
C.四面体的体积最大值为1
D.半平面与半平面所成二面角的余弦值的取值范围是
三 填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知向量，若，则__________.
13.水平放置的的直观图如图所示，其中，那么原面积为__________.
14.已知是正整数，且，则满足方程的有__________个.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.在中，是边上的中点，且平分，
（1）求的长；
（2）求的面积；
（3）求的长.
16.为了迎接2026年四川省第十五届运动会，某市积极开展体育竞赛，对甲 乙两支运动队进行7次初测，成绩统计如图所示：
（1）求甲和乙的测试成绩的平均数和方差；
（2）从下列两个不同的角度分别对甲 乙两队结果进行分析：
（i）从平均数和方差相结合分析哪支队伍的成绩更好；
（ii）从折线图走势分析哪支队伍更具有潜力.
17.如图，在边长为2的正方体中，为中点，
（1）证明：平面；
（2）证明：平面；
（3）求三棱锥的体积.
18.已知函数.
（1）求函数的对称中心；
（2）先将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，
（i）求函数的单调递增区间；
（ii）若将函数图像所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），所得函数图象在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心，求的范围及在区间上的最值.
19.如图，四棱台中，下底面是边长为2的正方形，上底面是边长为1的正方形，平面，动点在棱上移动，连接.
（1）证明：平面平面；
（2）若点为的中点，平面平面
（i）与所成的最小角为，求；
（ii）设平面平面与所成角的最小值为，当最小时，求的值.
广安市2025年春季高一期末考试
数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A C B D D B D
题号 9 10 11
答案 ACD BCD BC
12.-3
13.
14.11
15.解：（1）在中，是边上的中点，且平分
为等腰三角形，
又，
，
在中，由正弦定理；
（2）由（1）可知，
（3），
，
两端平方
，
由数量积的定义
，
，
的长为.
16.【解】（1）由表格中的数据可得
甲的平均数为，
乙的平均数为，
甲的方差为，
乙的方差为；
（2）（i）甲，乙两支队伍平均数相等，且，乙队发挥更稳定；
（ii）从折线图的走势上看甲队更有潜力，甲队成绩稳步提高，
17.解（1）在边长为2的正方体中，设交于点，连结，是中点，而为中点，则，
又平面平面，所以平面
（2）在边长为2的正方体中，平面，
平面，
底面为正方形，，
平面平面，
由线面垂直判定定理
平面
平面
（3）在边长为2的正方体中，平面，
所以三棱锥的体积为
18.解（1）
，
由，得，
所以的对称中心为
（2）将的图象向右平移个单位长度，得上的图象，
再将该图象所有点的横坐标缩短为原来的2（纵坐标不变），得到的图象，
故.
（i）由可得，
所以函数的单调减区间为.
（ii）将函数图像所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），所得函数，由，设，则，由在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心，结合正弦曲线可知直线在线段之间，不含点，可以含，
所以，得.
又因为，令，又
在区间上的最大值为1，无最小值.
【建议：若学生求的是的最值且正确也给分，参考步骤为：由在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心，结合正弦曲线可知，这条对称轴正好取到最大值为1，无最小值.】
19.【解】（1）连接，
因为底面是边长为2的正方形，所以，
因为平面平面，
所以，
因为平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面；
（2）（i）设，则为中点，连接，
因为点为棱的中点，所以，
因为平面，所以平面，
又平面，故当在直线上时，与所成的角最小，
即，
因为，所以，
因为底面是边长为2的正方形，所以，
故，由勾股定理得，
所以；
（ii）设，
若，即为中点，此时，
平面平面，显然此时，
取中点，连接，则，
因为平面平面，所以，
又平面，所以平面，
因为平面，所以，即，
，故，
与所成角的最小值为，即与所成角的最小值为，
由于与平面上的直线的夹角最小，
故当与点重合时，，此时与所成角最小，最小值为，
其中，故；
若时，如图所示，延长交的延长线于点，连接，则，
过点作于点，连接，
因为平面平面，所以，
因为平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，故，
与所成角的最小值为，即与所成角的最小值为
故当，此时与所成角最小，最小值为，
其中，
由于，故，故
；
若时，如图所示，延长交的延长线于点，连接，则
，
过点作于点，连接，
同理可证，
与所成角的最小值为，即与所成角的最小值为，
故当，此时与所成角最小，最小值为，
其中，
当时，为等腰直角三角形，，
此时重合，取得最大值，最大值为，
故取得最小值，最小值为，
由于，故当时，满足要求，
此时，过点作，交于点，则，
即，故，
又，故，故，
因为点为棱的中点，所以
其中，故，即，解得，
综上，.

展开更多......

收起↑