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2024～2025学年度第二学期期末重点校联考
高二数学
出题学校：杨村一中 蓟州一中
第I卷（共45分）
一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分.每小题只有一个选项符合题意）
1．设集合，，则
A． B． C． D．
2．“成立”是“成立”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3．已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是
A． B．
C． D．
4．设，，，则，，的大小关系是
A． B．
C． D．
5．设为随机变量，若，当时，的值为
A．3 B．5 C．7 D．9
6．2025年1月16日在灵璧县钟灵文化广场举办了灵璧县第四届青年音乐节，节目均由青年人自导自演，展现了灵璧青年的独特风采和灵璧城市的魅力.若音乐节共6个节目，其中2个是个人歌唱表演，2个是舞蹈表演，1个大合唱，1个乐器合奏，要求第一个节目不能是大合唱，两个歌唱表演节目不相邻，现确定节目顺序，则不同的排法种数为
A．280 B．336 C．360 D．408
7．某学校一同学研究温差x(°C)与本校当天新增感冒人数y (人)的关系，该同学记录了5天的数据：
x 5 6 8 9 12
y 17 20 25 28 35
经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则下列结论错误的是
A．样本中心点为 B．
C．时，残差为 D．相关系数
8．现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取3件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是
A．8400 B．11760 C．13440 D．20160
9．已知函数是定义在上的奇函数，当时，．若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
第II卷（共105分）
二、填空题（本题共6小题,每题5分,共30分）
10．在的展开式中，的系数是 ．（用数字作答）
11．不等式的解集为，则 ．
12．若函数在区间上是单调减函数，则实数的取值范围是 ．
13．中华茶文化源远流长，博大精深，不但包含丰富的物质文化，还包含深厚的精神文化.其中绿茶在制茶过程中，在采摘后还需要经过杀青、揉捻、干燥这三道工序.现在某绿茶厂将采摘后的茶叶进行加工，其中杀青、揉捻、干燥这三道工序合格的概率分别为每道工序的加工都相互独立，则茶叶加工中三道工序至少有一道工序合格的概率为 ；在绿茶的三道工序中恰有两道工序加工合格的前提下，杀青加工合格的概率为 ．
14．已知偶函数的定义域是，其导函数为，对任意，都有成立，则不等式的解集为 ．
15．已知函数，若存在，使得关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ．
三、解答题（本题共5小题，共75分）
16．（本题满分14分）
已知的展开式中，前三项的二项式系数和为56.
（1）求展开式中各项系数的和；
（2）求展开式中的常数项；
（3）求展开式中二项式系数最大的项.
17．（本题满分15分）
某军事院校招生要经过考试和体检两个过程，在考试通过后才有体检的机会，两项都合格则被录取.若甲、乙、丙三名考生能通过考试的概率分别为0.4，0.5，0.8，体检合格的概率分别为0.5，0.4，0.25，每名考生是否被录取相互之间没有影响.
（1）求恰有一人通过考试的概率；
（2）设被录取的人数为求的分布列和数学期望.
18．（本题满分15分）
已知函数.
（1）若在处取得极值，求a的值，并求此时曲线y在处的切线方程；
（2）若在上为减函数，求a的取值范围.
19．（本题满分15分）
口袋中装着标有数字1，2，3，4的小球各2个，从口袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的8倍计分，每个小球被取出的可能性相等，用表示取出的3个小球上的最大数字，求：
（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
（2）随机变量的概率分布列和数学期望；
（3）计分介于17分到35分之间的概率.
（本题满分16分）
已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若有3个零点，其中.
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）求证：.
2024～2025学年度第二学期期末重点校联考
高二数学
一、单选题（共45分）
1-5 DBACD 6-9 ACBB
二、填空题（共30分）
10．40 11． 12．
13．； 14． 15．
三、解答题（共75分）
16．（本题满分14分）
解：（1）由题意知，，即 ，
求得，
故令，可得展开式中各项系数的和为．…………4分
（2）由于二项式的通项公式为，令，求得，
故展开式中的常数项为．………………………………9分
（3）要使二项式系数最大，只要最大，故，
故二项式系数最大的项为第6项．……14分
17．（本题满分15分）
解：（1）设恰有一人通过考试为事件A，则
.…5分
（2）依题意甲被录取的概率，乙被录取的概率，丙被录取的概率，即每个人被录取的概率均为，……………………………………………………6分
依题意的可能值为：0，1，2，3， ………………………………7分
所以，，
，………13分
所以的分布列为：
0 1 2 3
P 0.512 0.384 0.096 0.008
…………………………………………………………………………………14分
因为服从二项分布，所以……………………15分
18．（本题满分15分）
解：（1）………2分
在处取得极值，，解得……………3分
当时，，，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
故在处有极大值，符合题意……………………………4分
，，…………………………………………6分
曲线在点处的切线方程为，
即为： ……………………………………………7分
（2）由在上为减函数，
在上恒成立，……………9分
可得，在上恒成立………………………………11分
令，，
在上单调递增，…………………………………………13分
，，因此.………………………15分
19．（本题满分15分）
解：（Ⅰ）“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则；………………………………………4分
（Ⅱ）由题意所有可能的取值为：2，3，4．………………………………5分
，……………………………………7分
，……………………………………9分
.……………………………………11分
所以随机变量的概率分布为
2 3 4
……………………………………………………………………12分
因此的数学期望为. …………13分
（Ⅲ）“一次取球所得计分介于17分到35分之间”的事件记为，
则或.
……15分
20．（本题满分16分）
解：（1）当时，，
，…………………………………1分
则在恒成立，……………………………………2分
故的单调递增区间为，无单调递减区间.……………4分
（2）（ⅰ），
，，则除1外还有两个零点.
，…………………………5分
令，
当时，在恒成立，则，
所以在单调递减，不满足，舍去；……………………6分
当时，要是除1外还有两个零点，则不单调，
所以存在两个零点，所以，解得，
当时，设的两个零点为，则，
， 所以.……………………………………………8分
当时，，，则单调递增；
当时，，，则单调递减；
当时，，，则单调递增；
又，所以，，
而，且，
，且，
所以存在，，使得，
即有3个零点，，.
综上，实数的取值范围为.……………………………………10分
（ⅱ）因为，
所以若，则，所以.……………………11分
当时，先证明不等式恒成立，设,则,
所以函数在上单调递增，于是,
即当时，不等式恒成立.………………………13分
由，可得,
因为，所以，
即,…………………………………………15分
两边同除以，
得,
所以.…………………………………………16分

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