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中卫一中2024-2025学年度第二学期第5次过程性质量检测
高一数学(A卷)
一、单选题（每小题5分,共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．在复平面内，复数z对应的点为（1，-1），则=（　　）
A. i B. -i C. 2i D. -2i
2．若平面向量与的夹角为60°，，，则等于（　　）
A. B. C. 4 D. 12
3．小红同学统计了她妈妈最近6次的手机通话时间（单位：分钟），得到的数据分别为12，5，7，11，15，30，则这组数据的60%分位数是（　　）
A. 12 B. 11.5 C. 11 D. 7
4．已知某圆柱的高为10，底面周长为8π，则该圆柱的体积为（　　）
A. 640π B. 250π C. 160π D. 120π
5．已知直线l∥平面α，则（　　）
A. l与α内所有直线都平行 B. α内不存在直线与l垂直
C. 过l的平面与α必平行 D. α内有无数条直线与l垂直
6．某象棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人，现随机选派2人参加象棋比赛，则选出的2人中恰有1人是女队员的概率为（　　）
A. B. C. D.
7．已知一组数x1，x2，x3，x4的平均数是，方差s2=2，则数据2x1+3，2x2+3，2x3+3，2x4+3的平均数和方差分别为（　　）
A. 11，4 B. 8，8 C. 11，8 D. 4，2
8．在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC=60°，将△DAC沿对角线AC折起得三棱锥D-ABC．当三棱锥体积最大时，此三棱锥D-ABC的外接球的表面积为（　　）
A. 5π B. 4π C. D.
二、 多选题（每小题5分，共20分.选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9．已知一组数据：7，7，8，9，5，4，9，10，7，4，则（　　）
A. 这组数据的平均数为8 B. 这组数据的众数为7
C. 这组数据的极差为6 D. 这组数据的第75百分位数为9
10．若向量，满足，，则（　　）
A. B. 与的夹角为
C. D. 在上的投影向量为
11．从1，2，3，4，5，6这六个数字中，每次任意取出一个数字，有放回地取两次，设事件A为“第一次取出的数字为2”，事件B为“第二次取出的数字为奇数”，事件C为“两次取出的数字之和等于7”，则（　　）
A. A与B是互斥事件 B. 事件A与B相互独立
C. B与C是互斥但不对立事件 D. 事件A与C相互独立
12．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则下列说法正确的是（　　）
A. 直线D1C和BC1所成的角为 B. 四面体BDC1A1的体积是
C. 点A1到平面BDC1的距离为 D. 平面BDA1与平面BDC1所成二面角的正弦值为
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．复数=_____．
14．设是一个随机试验中的两个事件，记为事件的对立事件，若，且与相互独立，则 _____．
15．在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若点A，B，C，D均在球O的表面上，且AB=BC=CD=1，则球O的表面积为 _____．
16．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，G分别是棱AA1，BC，A1D1的中点，平面MGN截正方体ABCD-A1B1C1D1的截面面积为 _____．
解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知向量=（2，3），=（1，-2）．
（1）求+2的坐标及|+2|；
（2）若+λ与λ+共线，求实数λ的值．
18．如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD、侧棱PA=PD=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．
（1）求证：PO⊥平面ABCD；
（2）求三棱锥A-PCD的体积．
19．某校高一年级进行数学计算能力大赛，数学备课组从全年级的1000名学生的成绩中抽取容量为n的样本，构成频率分布直方图，且成绩在区间（50，60）的人数为5．
（1）求样本容量n以及频率分布直方图中的x；
（2）估计全年级学生竞赛成绩的平均数；
（3）从样本中得分在[80，100]的学生中随机抽取两人，问所抽取的两人中至少有一人的得分在区间[90，100]的概率是多少？
20．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S，已知．
（1）求C；
（2）若c=3，求a+b的最大值．
21．如下图，四边形ABCD为正方形，平面BDEF⊥平面ABCD，EF∥BD，AB=，DE=EF=1，DE⊥BD．
（1）求证：BF∥平面AEC；
（2）求证：DF⊥平面AEC．
22．多项选择题是高考数学中的一种题型，其规则如下：有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分）．现高二某同学正在进行第四学期入学考试，做到多项选择题的10题和11题．该同学发现自己只能全凭运气，在这两个多项选择题中，他选择一个选项的概率是，选择两个选项的概率是，选择三个选项的概率是．已知该同学做题目时题目与题目之间互不影响且第10题正确答案是两个选项，第11题正确答案是三个选项．
（1）求该同学第10题得6分的概率；
（2）求该同学两个题总共得分不小于10分的概率．中卫市第一中学2024-2025学年度第二学期第5次
过程性质量检测高一（A卷）数学答案
提醒：请将选择题答案填涂在小答题卡上，切记！
第Ⅱ卷 非选择题
单选 B B A C D B C C 多选　BCD BCD BD BCD 二、填空题 (13) 1 (14) 0.88 (15) 3π (16) 12
三、解答题 (17)题：（本题满分10分） 解： (1）∵向量=（2，3），=（1，-2），
∴+2=（2，3）+2（1，-2）=（4，-1），
∴|+2|==；
（2）∵向量=（2，3），=（1，-2），
∴+λ=（2+λ，3-2λ），λ+=（2λ+1，3λ-2），
∵+λ与λ+共线，
∴（2+λ）（3λ-2）-（2λ+1）（3-2λ）=0，
解得λ=±1．
(18)题：（本题满分12分） 解： （1）证明：∵侧棱PA=PD=，O为AD的中点，
∴PO⊥AD，PO 平面PAD，
又侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD∩底面ABCD=AD，
∴PO⊥平面ABCD；
（2）∵PO⊥平面ACD，PO=1，
，
∴三棱锥A-PCD的体积为：
．
(19)题：（本题满分12分） 解： （1）成绩在区间（50，60）的频率为0.2，，
由频率分布直方图可得第4组的频率为：
1-0.2-0.24-0.36-0.08=0.12，故x=0.012．
（2）先估计所抽取的25名学生成绩的平均数为：
（55×0.02+65×0.024+75×0.036+85×0.012+95×0.008）×10=71.4（分），
估计全年级学生竞赛成绩的平均数为71.4；
（3）得分成绩在[80，90）有0.012×10×25=3（人），
这组的3名学生分别为a,b,c,
得分在区间[90，100]有0.008×10×25=2（人），
这组的2名学生分别为d,e,
随机抽取两人，所以可能的结果为：
（a,b），（a,c），（a,d），（a,e），（b,c），（b,d），（b,e），（c,d），（c,e），（d,e），共10种，
所抽取的两人中至少有一人的得分在区间[90，100]的结果为：
（a,d），（a,e），（b,d），（b,e），（c,d），（c,e），（d,e），共7种，
故所抽取的两人中至少有一人的得分在区间[90，100]的概率是．
(20)题：（本题满分12分） 解： 因为，
所以可得，
由余弦定理得，
则，
又C∈（0，π）， 所以；
（2）由c=3及余弦定理，得，
则，当且仅当a=b=3时取等号，
整理得（a+b）2≤36，当且仅当a=b=3时取等号，
解得a+b≤6，当且仅当a=b=3时取等号，
所以a+b的最大值为6．
(21)题：（本题满分12分） 解： （1）证明：如图，
因为四边形ABCD为正方形，，所以，
∵EF∥BD，DE=EF=1，∴BD=2EF=2，连接AC与BD交于点O，则O为正方形ABCD的中心，
∴EF∥OB且EF=OB，则BOEF为平行四边形，
∴OE∥BF，
又∵OE 平面AEC，BF 平面AEC，
∴BF∥平面AEC；
（2）连接OF，∵四边形ABCD为正方形，
∴BD⊥AC．
又∵平面ABCD⊥平面BDEF，且平面ABCD∩平面BDEF=BD，AC 平面ABCD，
∴AC⊥平面BDEF，因为DF 平面BDEF，
∴DF⊥AC，
又由（1）可知ODEF为正方形，
∴DF⊥OE，
又∵OE∩AC=O，OE，AC 平面ACE．
∴DF⊥平面ACE．
(22)题：（本题满分12分） 解： 根据题意，选择一个选项的概率是，选择两个选项的概率是，选择三个选项的概率是．
第10题得6分需满足选两个选项且选对，
选两个选项共有6种情况AB，AC，AD，BC，BD，CD
所以；
（2）总得分不低于10分共2种情况，它们分别是：第10题得6分且第11题得4分；第10题得6分且第11题得6分，
记事件A：第10题得6分，满足选了两个选项且选对；
事件B1：第11题得4分，满足三个选项选了两个选项且选对；
事件B2：第11题得6分，满足选了三个选项且选对．
则；；；
．中卫一中2024-2025学年度第二学期
第5次过程性质量检测高一数学(A卷)答题卡
第Ⅱ卷 非选择题
填空题 (13)___________________ (14)____________________ (15)___________________ (16)____________________
解答题 (17)题：（本小题满分10分）
(18)题：（本小题满分12分）
(19)题：（本小题满分12分）
（20）题：（本小题满分12分）
(21)题：（本小题满分12分）
(22)题：（本小题满分12分）

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