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2024~2025学年度第二学期期末学业水平诊断
高一数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 若数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为（ ）
A. B. C. D.
2. 若一水平放置的正方形的边长为2，则其用斜二测画法得到的直观图的面积是（ ）
A B. 2 C. D. 4
3. 已知一圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则其母线长为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4. 若数据，，，，，，，的分位数为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
5. 甲、乙两人进行投篮练习，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为．若甲、乙两人各投篮一次，且是否投中互不影响，则恰有一人投中的概率为（ ）
A B. C. D.
6. 已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
7. 已知正三棱台上、下底面的边长分别为，，体积为，则其侧棱的长度为（ ）
A. B. C. D.
8. 有个人在一座层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则恰有两个人在同一层离开电梯的概率为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题正确的有（ ）
A. 一条直线和一个点确定一个平面 B. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
C. 三棱台的各侧棱所在直线必交于一点 D. 底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体
10. 袋子中有个大小、质地完全相同球，其中个红球、个黄球，从中任取个球，设事件“取出的个球至少有一个红球”，“取出的个球至多有一个红球”，“取出的个球既有红球又有黄球”，“取出的个球全是红球”，则（ ）
A. 事件与互斥 B. 事件与互为对立事件
C. 事件与相互独立 D. 事件与相互独立
11. 如图，在棱长为的正方体中，点，，分别是棱，，的中点，点在线段上运动，则（ ）
A.
B. 直线与所成角的余弦值为
C. 三棱锥的体积为定值
D. 若，则过，，的平面截正方体底面所得交线的长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 从，，，，中随机选个不同的数，则这两个数之和为偶数的概率为________．
13. 已知甲、乙两校高一年级的学生人数之比为．在一次数学考试中，甲校高一学生成绩的平均数为、方差为，乙校高一学生成绩的平均数为、方差为，则甲、乙两校高一年级所有学生成绩的平均数为________，方差为________．
14. 已知点，，，在半径为的同一球面上，且，，则三棱锥体积的最大值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 为了解新能源汽车充电情况，某数学兴趣小组在社区内随机抽测了一定数量的新能源汽车的充电时长（单位：分钟），所得数据均在区间上，其频率分布直方图如图所示．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）试估计该社区内新能源汽车充电时长的平均值；
（3）现用比例分配的分层随机抽样方法从充电时长在上的样本中抽取n个样本数据，若在上抽取了6个样本数据，求n的值．
16. 某学校组织学生参加交通安全和环境保护知识宣讲活动．已知该校高一某班全体学生参与上述活动的情况如下表所示：
参加交通安全知识宣讲 未参加交通安全知识宣讲
参加环境保护知识宣讲 人 人
未参加环境保护知识宣讲 人 人
（1）从该班随机选取名学生，试估计该学生至少参加一项活动的概率；
（2）已知既参加交通安全知识宣讲又参加环境保护知识宣讲名学生中，有名男生和名女生．现从这名学生中随机选取人作为主讲人，求选取的人中恰有名男生和名女生的概率．
17. 如图，在多面体中，面为矩形，，，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）设为中点，求证：平面．
18. 某学校计划举办人工智能创新挑战赛，挑战赛包括个人赛和团队赛两种类型．个人赛中，每位选手回答随机给出的个题目，若答对不少于个题目，则其个人赛挑战成功．团队赛中，名选手组成一个团队，且平分成两个小组分别挑战甲、乙两个题目．每个团队可自主从以下两种参赛方式中选择一种参赛：方式一，将甲、乙两个题目随机分配给两个小组，每小组中的两名选手各自独立答题，若两人中至少一人答对，则该小组挑战成功，若两小组都挑战成功，则该团队挑战成功；方式二，将甲、乙两个题目随机分配给两个小组，每小组中的两名选手各自独立答题，若两人都答对，则该小组挑战成功，若两小组至少有一组挑战成功，则该团队挑战成功．
（1）某选手参加个人赛，若其前两个题答对的概率均为，后两个题答对的概率均为，且各题答对与否互不影响，求该选手个人赛挑战成功的概率；
（2）假设某团队的每位选手答对甲、乙两题的概率分别为，，若对任意，均有选择方式二参赛时该团队挑战成功的概率更大，求的取值范围．
19. 如图，在三棱锥中，，且．
（1）判断直线与是否垂直，并说明理由；
（2）若二面角的正切值为，求的长度；
（3）若，点E在的角平分线上（异于点D），求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
2024~2025学年度第二学期期末学业水平诊断
高一数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】A
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】D
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
【9题答案】
【答案】BCD
【10题答案】
【答案】AC
【11题答案】
【答案】ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
【12题答案】
【答案】##
【13题答案】
【答案】 ①. ②.
【14题答案】
【答案】##
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【15题答案】
【答案】（1）
（2）65 （3）34
【16题答案】
【答案】（1）
（2）
【17题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【18题答案】
【答案】（1）
（2）
【19题答案】
【答案】（1）与不垂直，理由见解析
（2）．
（3）

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