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揭阳市2024—2025学年度高中二年级教学质量测试
数学
本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处．
2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．
3．答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀．考试结束后，请将本试题及答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 若抛物线的准线为直线，且交圆于两点，为坐标原点，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知平面向量，若，则（ ）
A. B. C. 0 D. 1
5. 若命题为奇函数，为偶函数，则是成立的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 已知函数是的一个零点，则当时，的值域为（ ）
A. B. C. D.
7. 某次马拉松比赛活动中，甲，乙，丙，丁四位志愿者派往三个物资发放点，若每个物资发放点至少派一位志愿者，且每位志愿者只能派往一个物资发放点，则在甲被派去物资发放点条件下，甲，乙被派去同一个物资发放点的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知定义在上函数，对任意，总有成立，且当时，．设，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知公差不为的等差数列的前项和为，且，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 是递减数列 D. 若，则的最大值是
10. 已知双曲线，其左、右焦点分别是，过点的直线与交于，两点，则（ ）
A. 的离心率为
B. 当倾斜角为时，
C. 直线的斜率可以为
D. 上存在点，使
11. 用半径为的圆形铁皮剪出圆心角为的扇形（以圆形铁皮的半径为半径的扇形），制成一个圆锥形容器，底面圆的半径为．则下列说法正确的是（ ）
A. 当，且圆锥的侧面积为时，圆锥的体积
B. 当，且圆锥的侧面积为时，过圆锥的顶点所作的截面中，截面面积的最大值为
C. 当，且圆锥的侧面积为时，圆锥能在棱长为的正四面体内任意转动
D. 当时，圆锥的体积最大
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知随机变量，若，则______．
13. 已知曲线在点处的切线与曲线相切，则的值为______．
14. 如图，从1开始出发，一次移动是指从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9，1→2→3→5→7→8→9就是一条移动路线．从1移动到数字的不同路线条数记为，从1移动到9的事件中（每条移动路线都是等可能的），经过数字的概率记为，则______，______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知分别为三个内角对边，且．
（1）求；
（2）若边上的高为1，求的周长．
16. 如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，平面平面，，，．
（1）求证：平面；
（2）若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值．
17. 已知函数．
（1）求的极小值；
（2）若．
（ⅰ）讨论的单调性；
（ⅱ）当时，设的极大值是，求证：．
18. 已知椭圆的任意两条相互垂直的切线交点的轨迹是圆，称为椭圆的蒙日圆，其方程为．已知椭圆的两个焦点分别为，为坐标原点，点在椭圆上．
（1）求的标准方程；
（2）已知直线与交于两点，且，求面积的取值范围；
（3）过的蒙日圆上一点，作的一条切线，与蒙日圆交于另一点，若直线，的斜率存在，设与的斜率分别为，证明：为定值．
19. 若数列满足，则称数列为项数列，由所有项数列组成的集合为．
（1）若是项数列，当且仅当时，，求数列所有项的和；
（2）已知，且与是两个不同的数列，定义离散型随机变量其中，且．
（ⅰ）求取到最大值时的值；
（ⅱ）求随机变量的分布列，并证明：当时，．
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揭阳市2024—2025学年度高中二年级教学质量测试
数学
本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处．
2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．
3．答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀．考试结束后，请将本试题及答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】D
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】D
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
【9题答案】
【答案】BC
【10题答案】
【答案】ABD
【11题答案】
【答案】AD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】 ①. 5 ②.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【15题答案】
【答案】（1）
（2）
【16题答案】
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【17题答案】
【答案】（1）
（2）（ⅰ）答案见解析；（ⅱ）证明过程见解析
【18题答案】
【答案】（1）；
（2）；
（3）证明见解析.
【19题答案】
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）分布列为，证明见解析

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