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深圳高级中学2024-2025学年第二学期期末考试
高一数学
（满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. （为虚数单位）的虚部为（ ）
A. B. 5 C. D.
2. 一组数据2，2，5，5，8，14，15，17的第25百分位数是（ ）
A. 3.5 B. 2 C. 4.5 D. 5
3. 和垂直的一个单位向量的坐标可以是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 设，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）
A. 若，，且，则 B. 若，，且，则
C. 若，，且，则 D. 若，，且，则
6. 已知两个随机事件A和B，其中，，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 我国古代举世闻名的数学专著《九章算术》将底面为矩形的棱台称为“刍童”.已知棱台是一个所有侧棱的长相等，高为2的“刍童”，，，则该“刍童”外接球的表面积为（ ）
A B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A. 若点坐标为，则对应的点在第三象限
B. 若，则点Z的集合所构成的图形的面积为
C. 若是关于方程的一个根，则
D. 若，则的模为13
10. 有一组样本数据，，…，，其平均数、中位数、方差、极差分别记为，，，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中（，2，…，n且），其平均数、中位数、方差、极差分别记为，，，，则（ ）
A. B. C. D.
11. 如图1，已知矩形中，，，E为中点，现将沿翻折后得到如图2的四棱锥，点F是线段上（不含端点）的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 当F为线段中点时，平面
B.
C. 不存在点F，使平面
D. 当F为线段中点时，过点A，E，F的截面交于点M，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 哥德巴赫猜想被誉为“数学王冠上的明珠”，可以表述为“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如.素数是除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的大于1的自然数.在不超过15的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是__________.
13. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C对边，且，则__________.
14. 已知圆为的外接圆，，则的最大值为______________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某芯片工厂生产甲型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从这种芯片中抽取100件进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示：
假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
（1）求甲型芯片指标的平均数和第60百分位数；
（2）现采用按比例分层抽样的方式，从甲型芯片指标在内取6件，再从这6件中任取2件，求指标在和内各1件的概率.
16. 如图，四棱锥的侧面是正三角形，底面是正方形，且侧面底面，，E为侧棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积.
17. 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，，AC边上的高等于.
（1）求的值；
（2）若，求△ABC的面积.
18. 在学校数学活动周中，高一年级举办了数学答题比赛.题目选自模块1或模块2.已知在模块1的比赛中，选手甲、乙答对的概率分别为，在模块2的比赛中，选手甲、乙答对的概率分别为p和q.假设甲、乙两人在每个模块中答对与否互不影响.每个人在各模块中的结果也互不影响.
（1）若在正式比赛前，甲、乙作为代表参加模块1循环答题热身赛.参赛者依次轮流答题，若答对则该选手获1枚印章，若答错则对手获1枚印章.连续获两枚印章的选手最终获胜.甲回答第1题，乙回答第2题，依次轮流答题.求到第4个问题甲获胜的概率.
（2）在正式比赛中，每个选手均要参加两个模块的比赛，每个模块回答一个问题，答对者获1枚印章，答错没有印章.
（ⅰ）若，，求甲、乙共获得3枚印章的概率；
（ⅱ）若甲没有获得印章，乙获得1枚印章的概率为，两人都获得两枚印章的概率为.求甲、乙至少有1人获得印章的概率.
19. 如图，在棱长为3的正方体中.
（1）求二面角的正切值；
（2）若与平面交于点E，求线段BE的长；
（3）若点P是平面内一个动点，且，求直线与平面所成角的正弦值.
深圳高级中学2024-2025学年第二学期期末考试
高一数学
（满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
【答案】D
【6题答案】
【答案】D
【7题答案】
【答案】D
【8题答案】
【答案】C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
【9题答案】
【答案】BC
【10题答案】
【答案】ABD
【11题答案】
【答案】ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】##
【14题答案】
【答案】3
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【15题答案】
【答案】（1），.
（2）
【16题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【17题答案】
【答案】（1）
（2）
【18题答案】
【答案】（1）
（2）（ⅰ）；（ⅱ）
【19题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）

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